2025年普通高等学校招生考试仿真卷6-【高考快车道·高考母题必读及衍生】2025年高考数学二轮总复习专题学案

2025年普通高等学校招生考试仿真卷6 (满分150分　时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|ex2－2x≤1}，B＝{－1，0，1}，则A∩B的非空子集的个数为(　　) [A]4 [B]3 [C]8 [D]7 2．已知i为虚数单位，复数z满足|z＋2i|＝的虚部为(　　) [A]－1 [B]1 [C]i [D]－i 3．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《详解九章算法》《杨辉算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是(　　) [A] [B] [C] [D] 4．若f (x)＝ln ＋b为奇函数，则实数a，b的值分别为(　　) [A]e，1 [B]－e，1 [C]e，－1 [D]－e，－1 5．设a，b为平面向量．若a为单位向量，|b|＝6，a与b的夹角为＝(　　) [A] [B]2 [C] [D]2 6．棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，平面A1DM将该正方体分成两部分，则较小部分的体积是(　　) [A] [B]20 [C] [D] 7．若cos α，cos ，cos 成等比数列，则sin 2α＝(　　) [A] [B]－ [C] [D]－ 8．已知f (x)是定义在R上的函数，且函数y＝f (x＋1)－1是奇函数，当x<时，f (x)＝ln (1－2x)，则曲线y＝f (x)在x＝2处的切线方程是(　　) [A]y＝x－4 [B]y＝x [C]y＝－2x＋2 [D]y＝－2x＋6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题中，是真命题的是(　　) [A]“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件 [B]“x>2”是“lg (3－x)<0”的必要不充分条件 [C]若命题p：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则¬p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0 [D]若a<b<0，则a2<ab<b2 10．下列命题中，正确的命题是(　　) [A]假设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则P(AB)＝P(A)P(B) [B](3x＋2y＋z)5的展开式中xy3z项的系数为480 [C]用数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被5整除的五位数有216个 [D]某地气象局预报6月9日本地降水的概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学 11．已知函数f (x)＝x ln x－＋tx－1(t∈R)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则下列说法正确的是(　　) [A]t>ln 2－1 [B]曲线y＝f (x)在点(e，f (e))处的切线可能与直线x－y＝0垂直 [C]f (x1)<0 [D]x1＋x2>x1x2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．实数a，b满足lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则ab的最小值为________． 13．在平面直角坐标系Oxy中，点A(0，－3)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在一点M满足|MA|＝2|MO|，则实数a的取值范围是________． 14．在某个电子竞技平台中，n名同学在玩一种“数字智力”游戏．这些同学编号依次为1，2，3，…，n．在这个电子竞技平台的这种“数字智力”游戏中，每个同学会看到自己的一个数对，用(p，q)表示．游戏规则是：编号为k的同学看到自己的数对是(ak，ak＋1)，且满足ak＋1－ak＝k(k∈N*且k≤n)．若在平台中告之编号为1的同学看到自己的数对是(5，6)，则编号为3的同学看到自己的数对是________；某位同学看到自己的数对为(305，q)，则这位同学看到的数对中的q＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c． (1)求角C的大小； (2)若cos A＝，求sin (2A＋C)的值； (3)若c＝，△ABC的面积为，求边a，b的值． 16．(15分)如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝∠PCB＝60°，CD＝1，AB＝3，PC＝2，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． (1)证明：PF⊥AD； (2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为？ 17．(15分)已知函数f (x)＝ax2－ln x－1，g(x)＝xex－ax2(a∈R)． (1)讨论f (x)的单调性； (2)证明：f (x)＋g(x)≥x． 18．(17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P(2，1)． (1)求C的方程； (2)若A，B是C上两点，直线AB与圆x2＋y2＝2相切，求|AB|的取值范围． 19．(17分)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象有重要应用．在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为．例如在第1秒末，粒子会等可能地出现在(1，0)，(－1，0)，(0，1)，(0，－1)四点处． (1)设粒子在第2秒末移动到点(x，y)，记x＋y的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X)； (2)记第n秒末粒子回到原点的概率为pn． (ⅱ)令bn＝p2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，若对任意实数M＞0，存在n∈N*，使得Sn＞M，则称粒子是常返的．已知＜n！＜，证明：该粒子是常返的． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考标准仿真卷·仿真卷6 1．B　[由＝e0，得x2－2x≤0，所以0≤x≤2，即A＝{x|0≤x≤2}，又B＝{－1，0，1}，则A∩B＝{0，1}，所以{0，1}的非空子集个数为22－1＝3.故选B.] 2．B　[设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则的虚部为－b＝1.故选B.] 3．D　[三本书都不含杨辉的著作有种，从7本书中抽取3本书有种，故从7本书中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率P＝1－.故选D.] 4．C　[根据题意，f (x)＝ln ＋b， 则有解得x≠且x≠， 若f (x)＝ln ＋b为奇函数，f (x)的定义域关于原点对称，则有，解得a＝e，则f (x)＝ln ＋b＝ln ＋b， 故f (x)＋f (－x)＝2b＋ln ＋ln ＝2b＋2＝0，解得b＝－1.故选C.] 5．B　[根据已知条件，|2a＋b|＝ ＝.故选B.] 6．C　[如图，取BC的中点N，连接MN，ND，B1C，因为M为棱BB1的中点，所以MN∥B1C，MN＝B1C. 因为A1B1∥CD，A1B1＝CD， 所以四边形A1B1CD为平行四边形， 所以B1C∥A1D，B1C＝A1D， 所以MN∥A1D，MN＝A1D， 可得梯形MNDA1为平面A1DM所在的截面，则体积较小的部分为三棱台BMN­AA1D， 由正方体的棱长为4，得S△BMN＝＝×4×4＝8， 所以V＝·AB ＝×(2＋8＋4)×4＝.故选C.] 7．B　[由cos α，cos ，cos 成等比数列，得cos2＝cosαcos ， 即＝cos αsin 2α，所以cos 2α＋ sin 2α＝cos 2α－sin 2α，解得sin 2α＝－. 故选B.] 8．D　[因为函数y＝f (x＋1)－1是奇函数，所以f (－x＋1)－1＝－[f (x＋1)－1]，即f (x＋1)＋f (－x＋1)＝2，两边同时求导，得f ′(x＋1)－f ′(－x＋1)＝0，即f ′(x＋1)＝f ′(－x＋1)．因为当x<时，f (x)＝ln (1－2x)，所以当x<时，f ′(x)＝.所以f (2)＝2－f (0)＝2，f ′(2)＝f ′(0)＝－2.所以曲线y＝f (x)在x＝2处的切线方程为y－f (2)＝f ′(2)(x－2)，即y－2＝－2(x－2)，即y＝－2x＋6.故选D.] 9．ABC　[对于A选项，当a＝0，b＝－1时，a>b成立，但a2>b2不成立，当a＝－1，b＝0时，a2>b2成立，但a>b不成立．所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，所以A选项正确．对于B选项，lg (3－x)<0⇔0<3－x<1⇔2<x<3，所以“x>2”是“lg (3－x)<0”的必要不充分条件，所以B选项正确．对于C选项，根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知C选项正确．对于D选项，取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，所以D选项错误． 故选ABC.] 10．BC　[选项A：假设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0， 当事件A，B是两个互相独立的事件时，有P(AB)＝P(A)P(B)，故A选项错误； 选项B：(3x＋2y＋z)5＝[(3x＋2y)＋z]5＝＋z5， 则(3x＋2y＋z)5的展开式中xy3z项出自(3x＋2y)4z， 又(3x＋2y)4的展开式的通项公式为Tk＋1＝4-k·(2y)k， 令k＝3，则(3x＋2y)4的展开式中第四项为4-3·(2y)3＝96xy3， 则(3x＋2y＋z)5的展开式中xy3z项的系数为480，故B选项正确； 选项C：当个位上放置0时，有＝120(个)无重复数字且能被5整除的五位数； 当个位上放置5时，有＝96(个)无重复数字且能被5整除的五位数．则用数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被5整除的五位数有216个，故C选项正确； 选项D：概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故D选项错误．故选BC.] 11．ACD　[对于A项，由题得f ′(x)＝1＋ln x－＋t＝ln x－＋t＋1，令g(x)＝f ′(x)，则g′(x)＝(x>0)，令g′(x)＝0得x＝，易得g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)max＝＝1－ln 2＋t，由题意可知g(x)有两个变号零点，故g(x)max＝1－ln 2＋t>0，即t>ln 2－1，故A项正确；对于B项，曲线y＝f (x)在点(e，f (e))处的切线的斜率k＝f ′(e)＝t，若该切线与直线x－y＝0垂直，则k＝－1，即t＝－1，与t>ln 2－1矛盾，故B项不正确；对于C项，由题易知f ′(x1)＝0，即ln x1－＋t＋1＝0，则f (x1)＝x1ln x1－－x1－1，由A项可知0<x1<＝0，即ln x2－＋t＋1＝0，则ln x2－ln x1＝即，要证，只需证>，即证>，设＝t(t>1)，则只需证t－>2ln t(t>1)，构造函数h(t)＝t－－2ln t(t≥1)，则h′(t)＝1＋≥0，所以h(t)在[1，＋∞)上单调递增，故h(t)≥h(1)＝0，所以t－>2ln t(t>1)，故D项正确．故选ACD.] 12．8　[由题意，知a，b>0. 因为lg a＋lg b＝lg (ab)，所以lg (ab)＝lg (a＋2b)，所以ab＝a＋2b，等号两边同时除以ab可得，＝1，所以ab＝a＋2b＝(a＋2b)＋4＝8，当且仅当且＝1，即a＝4，b＝2时等号成立．故ab的最小值为8.] 13．[0，3]　[由题意知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1的圆心坐标为(a，a－2)，半径为1.设点M的坐标为(x，y)，由|MA|＝2，即x2＋(y－1)2＝4，故点M的轨迹为以点(0，1)为圆心，2为半径的圆． 又点M在圆C上，即圆C和点M的轨迹有公共点，所以1≤≤3，解得0≤a≤3，所以实数a的取值范围是[0，3].] 14．(8，11)　330　[由题意，编号为1的同学看到自己的数对是(5，6)，则编号为2的同学看到自己的数对是(6，8)，编号为3的同学看到自己的数对是(8，11)． 依题意，a1＝5，ak＋1－ak＝k(k∈N*且k≤n)，所以ak－ak－1＝k－1(k∈N*且2≤k≤n)，所以ak＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(ak－ak－1)＝5＋1＋2＋3＋…＋(k－1)＝5＋＝(k∈N*且2≤k≤n)，又a1＝5＝，所以ak＝(k∈N*且k≤n)．令ak＝＝305，得k＝25，所以数对(305，q)对应的同学的编号为25，所以q＝a26＝a25＋25＝305＋25＝330．] 15．解：(1)因为2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，由正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C， 即2cos C sin (A＋B)＝2cos C sin C＝sin C，因为sin C>0，所以cos C＝，由C为三角形内角得C＝． (2)若cos A＝，则sin A＝， 所以sin 2A＝2sin A cos A＝2××＝，cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝－，所以sin(2A＋C)＝sin 2A cos C＋sin C cos 2A＝×－×＝． (3)因为△ABC的面积S＝ab sin C＝，所以ab＝6， 由余弦定理得7＝a2＋b2－ab， 所以a＝2，b＝3或a＝3，b＝2． 16．解：(1)证明：因为四边形ABCD为直角梯形， ∠DAB＝60°，CD＝1，AB＝3， 所以AD＝4，BC＝2． 因为PC＝BC＝2，∠PCB＝60°， 所以△PBC为正三角形， 因为F为BC的中点，所以PF⊥BC． 又平面ABCD⊥平面PCB，平面ABCD∩平面PCB＝BC，PF⊂平面PCB，所以PF⊥平面ABCD， 又AD⊂平面ABCD，所以PF⊥AD． (2)以F为坐标原点，FB，FP所在直线分别为y轴、z轴，过点F且垂直于直线BC的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则P(0，0，3)，A(3，，0)，B(0，，0)，D(1，－，0)， 设E(0，0，a)，则＝(3，，－3)，＝(2，2，0)，＝(0，－，a)． 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以即 令x＝，则y＝－1，z＝，所以n＝， 设直线BE与平面PAD所成角为α， 则sin α＝＝＝， 所以a＝2． 所以当EF＝2时，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为． 17．解：(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝2ax－＝． ①当a≤0时，f ′(x)＜0恒成立，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减； ②当a＞0时，令f ′(x)＞0，解得x＞， 令f ′(x)＜0，解得x＜， 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增． 综上，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增． (2)证明：f (x)＋g(x)＝xex－ln x－1， 要证f (x)＋g(x)≥x，即证xex－ln x－1－x≥0恒成立， 令h(x)＝xex－ln x－1－x，x＞0， 则h′(x)＝(x＋1)ex－－1＝(x＋1)． 令k(x)＝ex－，则k(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为k＝－2＜0，k(1)＝e－1＞0， 所以存在x0∈，使k(x0)＝ －＝0， 所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(x0)＝x0－ln x0－1－x0， 又因为k(x0)＝－＝0， 所以＝，所以x0＝－ln x0， 代入h(x0)中得h(x)≥h(x0)＝1＋x0－1－x0＝0， 所以xex－ln x－1－x≥0， 则f (x)＋g(x)≥x恒成立． 18．解：(1)依题意得， 所以椭圆C的方程为＋＝1． (2)圆x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径r＝，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝或x＝－， 联立⇒y＝±， 联立⇒y＝±， 所以|AB|＝2； 当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为y＝或y＝－， 联立⇒x＝±， 联立⇒x＝±， 所以|AB|＝2； 当直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，由于直线AB和圆x2＋y2＝2相切， 所以＝⇒b2＝2(1＋k2)， 联立消去y并化简得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－6＝0， Δ＝16k2b2－4(1＋2k2)(2b2－6)＝48k2＋24－8b2＝48k2＋24－8×2(1＋k2)＝32k2＋8>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以|AB|＝· ＝· ＝·＝2· ＝2·＝2·>2， 另一方面，由于4k2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当4k2＝，k2＝时等号成立， 所以2·≤2·＝3，即2<|AB|≤3． 综上所述，|AB|的取值范围是[2，3]． 19．解：(1)粒子在第2秒末可能运动到点(1，1)，(2，0)，(0，2)，(0，0)，(1，－1)，(－1，1)，(－1，－1)，(－2，0)，(0，－2)的位置，则X的所有可能取值为－2，0，2， P(X＝－2)＝＝，P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X －2 0 2 P 数学期望E(X)＝(－2)×＋0×＋2×＝0． (2)(ⅰ)粒子奇数秒后不可能回到原点，故p3＝0． 粒子在第4秒后回到原点，分两种情况考虑： ①每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有A种情形； ②每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有2C种情形， 所以p4＝＝． 第2n秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动(n－k)步，向下移动(n－k)步， 故p2n＝ ＝ ＝· ＝·CCC ＝·C (C)2＝·(C)2， 故p2n＝·(C)2＝·(C)2＝·． (ⅱ)证明：由＜n！＜可知，C＝＞＝， 于是p2n＝·(C)2＞． 令f (x)＝x－ln (1＋x)，x＞0， 则f ′(x)＝1－＝＞0， 故f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f (x)＞f (0)＝0，于是x＞ln (1＋x)(x＞0)， 从而有Sn＝p2k＞ ＞ln ＝ln (n＋1)． 记[x]为不超过x的最大整数，则对任意常数M＞0， 当n≥[e6M]时，n＞e6M－1，于是Sn＞ln (n＋1)＞M． 综上所述，当n≥[e6M]时，Sn＞M成立，因此该粒子是常返的． 7/9 学科网（北京）股份有限公司 $$