2025年普通高等学校招生考试仿真卷5-【高考快车道·高考母题必读及衍生】2025年高考数学二轮总复习专题学案

2025年普通高等学校招生考试仿真卷5 (满分150分　时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＞0}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则(　　) [A]A∩B＝∅ [B]A∪B＝R [C]A⊆B [D]B⊆A 2．设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝(　　) [A]－2 [B]－1 [C]242 [D]243 3．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为(　　) [A] [B] [C] [D] 4．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是(　　) [A] [B] [C] [D] 5．已知将函数f (x)＝A sin (A，ω∈R)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos x的图象，则A＋ω的值为(　　) [A]－ [B]－ [C] [D] 6．已知直线x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，若⊥，则实数m的值为(　　) [A]－4或0 [B]－4或4 [C]0或4 [D]－4或2 7．设集合M＝{1，－1}，N＝{x|x＞0且x≠1}，函数f (x)＝ax＋λa－x(a＞0且a≠1)，则(　　) [A]∀λ∈M，∃a∈N，f (x)为增函数 [B]∃λ∈M，∀a∈N，f (x)为减函数 [C]∀λ∈M，∃a∈N，f (x)为奇函数 [D]∃λ∈M，∀a∈N，f (x)为偶函数 8．若过点(a，b)(a＞0)可以作曲线y＝xex的三条切线，则(　　) [A]0＜a＜beb [B]－aea＜b＜0　 [C]0＜ae2＜b＋4 [D]－(a＋4)＜be2＜0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是(　　) [A]若数据x1，x2，…，xn的方差s2＝0，则x1＝x2＝…＝xn [B]若数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据y1，y2，…，yn(其中yi＝2xi＋1(i＝1，2，…，n))的均值为6 [C]若数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中至少有50%的数据不大于90 [D]若数据x1，x2，…，xn的众数为78，则可以说总体的众数为78 10．设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的是(　　) [A]若(1＋i)z＝－i，则|z|＝1 [B]对任意复数z1，z2，有|z1z2|＝|z1|·|z2| [C]对任意复数z1，z2，有 [D]在复平面内，若M＝{z||z－2|≤2}，则集合M所构成区域的面积为6π 11．随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠(一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作，用来遮阳或避雨)也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”．根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量．现有一个“灯罩斗笠”(如图)，帽坡长为20 cm，帽底宽为20 cm，关于此斗笠，下面说法正确的是(　　) [A]斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120° [B]过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100 cm2 [C]若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一球面上，则该球的表面积为 [D]此斗笠放在平面上，可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为 cm 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝ac，则△ABC的面积为________． 13．已知O为坐标原点，F为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为________． 14．某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分(n≥4)，每个部分从红、黄、蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花．将总的栽植方案数用an表示，则a4＝________，an＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列． (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)若数列{bn}满足b1＝6，且，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合M＝{Tn|Tn∈N*}，求M(用列举法表示)． 16．(15分)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题，该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在[195，210)内，则为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图． 质量指标值 频数 [190，195) 9 [195，200) 10 [200，205) 17 [205，210) 8 [210，215) 6 甲流水线样本的频数分布表 乙流水线样本的频率分布直方图 (1)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？ (2)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.15的χ2独立性检验，能否认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？ 流水线 产品 合计 合格 不合格 甲 乙 合计 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．(15分)如图，四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°． (1)证明：EF⊥平面SBC； (2)若EF＝BC，求平面SCD与平面BSC夹角的余弦值． 18．(17分)已知函数f (x)＝e2x＋(2a－1)ex－2x－，a∈R． (1)讨论函数f (x)的单调性； (2)若f (x)在R上有两个零点，求实数a的取值范围． 19．(17分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆C的标准方程； (2)在圆O：x2＋y2＝3上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，PM与PN的斜率均存在，分别记为k1，k2． (ⅰ)求证：k1·k2＝－1； (ⅱ)求△OMN面积的取值范围． 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考标准仿真卷·仿真卷5 1．D　[因为集合A＝{x|x2＋3x＋2＞0}＝{x|x＜－2或x＞－1}，所以B⊆A．故选D．] 2．C　[在(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，令x＝0，得15＝a0，所以a0＝1．令x＝1，得35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35－a0＝242．故选C．] 3．B　[由题意，得a＋b＝－c，所以c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b＝3，所以a·b＝.设a与b的夹角为θ(θ∈[0，π])，则cos θ＝＝，所以θ＝.故选B.] 4．B　[记事件A1为取出的一个零件是第一台车床加工的，事件A2为取出的一个零件是第二台车床加工的，事件B为取出的一个零件是合格品，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝1－0.03＝0.97，P(B|A2)＝1－0.02＝0.98，故P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝0.97×＋0.98×＝.故选B.] 5．B　[将函数f (x)＝A sin (A，ω∈R)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝A sin ＝A sin ＝cos x，可得A＝，ω＝－1，所以A＋ω＝－.故选B.] 6．A　[圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为C(0，－2)，半径为r＝2， 因为⊥且|CA|＝|CB|＝2，故△ABC为等腰直角三角形，且|AB|＝|CA|＝2，则圆心C到直线AB的距离为d＝|AB|＝，由点到直线的距离公式可得d＝＝，解得m＝－4或0.故选A.] 7．D　[对于AB，当λ＝1时，f (x)＝ax＋a－x，当a＞1时，f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．当λ＝－1时，f (x)＝ax－a－x，当a＞1时，f (x)在R上为增函数；当0＜a＜1时，f (x)在R上为减函数，故A，B不正确．对于CD，当λ＝1时，f (x)＝ax＋a－x，f (－x)＝a－x＋ax＝f (x)，所以f (x)为偶函数，故C不正确，D正确．故选D．] 8．D　[由y＝xex，得y′＝(x＋1)ex， 设切点为()，则，整理得＝－b， 由题意知关于x0的方程＝－b有三个不同的解． 令f (x)＝(x2－ax－a)ex，则f ′(x)＝(x＋2)(x－a)ex， 由f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝a，又a＞0， 所以当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增； 当x∈(－2，a)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增． 又当x→－∞时，f (x)→0，当x→＋∞时，f (x)→＋∞， 且f (－2)＝，f (a)＝－aea＜0， 画出函数f (x)的大致图象如图． 因为f (x)的图象与直线y＝－b有三个交点，所以0<－b<，即－(a＋4)＜be2＜0．故选D．] 9．AC　[对于A，数据x1，x2，…，xn的方差s2＝0，则x1＝x2＝…＝xn，所以选项A正确；对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据y1，y2，…，yn(其中yi＝2xi＋1(i＝1，2，…，n))的均值为2×3＋1＝7，所以选项B错误；对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则根据中位数的定义可以估计总体中至少有50%的数据不大于90，所以选项C正确；对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，所以选项D错误．故选AC．] 10．BC　[对于选项A，因为(1＋i)z＝－i，所以|z|＝＝＝，所以选项A错误；对于选项B，|z1z2|＝|z1|·|z2|成立，所以选项B正确；对于选项C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则＝a－bi，＝c－di，所以z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，所以＝(ac－bd)－(ad＋bc)i．因为·＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，所以＝·，所以选项C正确；对于选项D，设z＝x＋yi，x，y∈R，则由|z－2|≤2，可得(x－2)2＋y2≤4，其构成以(2，0)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以集合M所构成区域的面积为4π，所以选项D错误．故选BC．] 11．ACD　[斗笠的轴截面如图所示，由题意可知SB＝20，AB＝20，O为AB的中点，连接SO， 则sin ∠OSB＝，所以∠OSB＝60°，则∠ASB＝120°，所以选项A正确；当截面三角形过斗笠顶点和斗笠侧面上两条互相垂直的母线时(因为轴截面的顶角为120°，所以两条母线可以垂直)，截面三角形的面积最大，且最大值为×202＝200(cm2)，所以选项B错误；若此斗笠的顶点和底面圆上所有点都在同一球面上，则该球为外接球，设此球的半径为R，球心为O1，则O1到S，A，B的距离相等，O1在SO的延长线上，作出点O1，连接AO1，因为此斗笠的高h＝SO＝＝10，所以OO1＝R－10，在Rt△AOO1中有R2＝(R－10)2＋2，解得R＝20，则该球的表面积S＝4πR2＝1 600π(cm2)，所以选项C正确； 将此斗笠放在平面上，可以盖住的球的半径最大，则此时球为圆锥的内切球，设内切球的半径为r，即轴截面三角形的内切圆的半径为r， 所以△SAB的面积S△SAB＝r＝×10，解得r＝ cm，所以选项D正确．故选ACD.] 12．3　[在△ABC中，B＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝2ac－2ac cos ，解得ac＝6，所以S△ABC＝ac sin B＝＝3.] 13．　[由题知，AB⊥x轴，OA＝OB，则△OAB为等腰直角三角形，不妨设点A在第一象限，所以A，所以c＝，所以b2＝ac＝a2－c2，所以e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．] 14．18　2n＋2·(－1)n　[当n＝4时，对区域1，3分类讨论，若区域1，3同色，则第一步栽植区域1有3种方案，第二步栽植区域2有2种方案，第三步栽植区域3有1种方案，第四步栽植区域4有2种方案，所以共有3×2×1×2＝12(种)方案；若区域1，3不同色，则第一步栽植区域1有3种方案，第二步栽植区域2有2种方案，第三步栽植区域3有1种方案，第四步栽植区域4有1种方案，所以共有3×2×1×1＝6(种)方案．所以a4＝12＋6＝18． 当有n＋1个区域时，若不考虑区域1和区域n＋1是否同色，则第一步给区域1栽植有3种方案，第二步给区域2栽植有2种方案，第三步给区域3栽植有2种方案，…，第n＋1步给区域(n＋1)栽植有2种方案，所以共有3×2n种方案，这3×2n种方案中包含区域1和区域(n＋1)同色和不同色两种情况．若区域1和区域(n＋1)不同色，则共有an＋1种方案，若区域1和区域(n＋1)同色，则可以把这两个区域看作一个区域，记为区域①，则给区域①，2，3，…，n栽植，由题意可知有an种方案，所以an＋1＋an＝3×2n， 即an＋1－2n+1＝－(an－2n)，所以数列{an－2n}(n≥4)是等比数列，且公比为－1，所以an－2n＝(a4－24)·(－1)n-4＝(－1)n·2，(注：当n∈Z时，因为n－4与n的奇偶性相同，所以(－1)n-4＝(－1)n．)所以an＝2n＋2·(－1)n．] 15．解：(1)证明：设等差数列的公差为d，则＝＋3d，即S1＋3d＝5.① 因为S2＝a1＋a2＝S1＋4， 由＝＋d，得S1＋2d＝4.② 由①②解得S1＝2，d＝1， 所以＝n＋1，即Sn＝n(n＋1)， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n， 当n＝1时，a1＝S1＝2，对上式也成立， 所以an＝2n(n∈N僾)． 因为当n≥2时，an－an－1＝2， 所以数列{an}是等差数列． (2)由(1)可知＝＝＝， 当n≥2时，bn＝·…··b1＝·…·×6＝. 因为b1＝6满足上式， 所以bn＝＝12(n∈N*)， 则Tn＝12 ＝12×＝12－. 因为当∈N*时，n＝1，2，3，5，11， 所以M＝{6，8，9，10，11}． 16．解：(1)由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率P甲＝＝，乙流水线生产的产品为不合格品的概率P乙＝(0.012＋0.028)×5＝0.2， 若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品， 则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：5 000×＝1 500件，5 000×0.2＝1 000件． (2)2×2列联表： 流水线 产品 合计 合格 不合格 甲 35 15 50 乙 40 10 50 合计 75 25 100 则χ2＝≈1.3<2.072＝x0.15，依据小概率值α＝0.15的χ2独立性检验，没有充分证据认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”． 17．解：(1)证明：如图，取SB的中点M，连接FM和MA，则MF∥BC，且MF＝BC， 因为E是AD的中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥BC，且AE＝BC， 所以MF∥AE，且MF＝AE， 所以四边形AEFM为平形四边形，所以EF∥AM， 因为EF与底面ABCD所成角为45°，所以AM与底面ABCD所成角为45°， 因为SA⊥平面ABCD，SA⊂平面SAB，所以平面SAB⊥平面ABCD， 因为AM⊂平面SAB，所以∠MAB即为AM与底面ABCD所成角，即∠MAB＝45°， 所以△SAB为等腰直角三角形，则AM⊥SB． 因为SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以SA⊥BC． 又因为AB⊥BC，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AM． 因为BC∩SB＝B，所以AM⊥平面SBC，所以EF⊥平面SBC． (2)以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 若EF＝BC，设BC＝2，则EF＝1， 连接AC，取AC的中点H，连接FH，EH， 因为F，H分别为SC，AC的中点，故FH∥SA， 因为SA⊥平面ABCD，所以FH⊥平面ABCD， 所以FH⊥HE，所以∠FEH＝45°， 所以EH＝FH＝，CD＝AB＝，SA＝， 所以D(0，2，0)，B(，0，0)，S(0，0，)，C(，2，0)， 则＝(，2，－)，＝(0，2，0)，＝(－，0，0)，＝(0，2，－)． 设平面BSC的法向量为n＝(a，b，c)， 则则 取a＝c＝1，则n＝(1，0，1)． 设平面SCD的法向量为m＝(x，y，z)， 则则 取z＝，则y＝1，则m＝(0，1，)， 则cos 〈m，n〉＝＝＝， 则平面SCD与平面BSC夹角的余弦值为. 18．解：(1)由题意得f ′(x)＝ae2x＋(2a－1)ex－2＝(aex－1)(ex＋2)，x∈R. ①当a≤0时，f ′(x)＜0，所以f (x)在R上单调递减． ②当a＞0时，令f ′(x)＝0，得x＝ln ＝－ln a， 令f ′(x)＜0，则x＜－ln a；令f ′(x)＞0，则x＞－ln a， 所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)由(1)得，当a≤0时，f (x)在R上单调递减， 所以f (x)在R上至多有一个零点， 所以a≤0不符合题意． 当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增， 所以f (x)min＝f (－ln a)＝＋2ln a. ①当a≥1时，f (－ln a)≥0，所以f (x)在R上至多有一个零点，所以a≥1不符合题意． ②当0＜a＜1时，f (－ln a)＜0， 因为f (－1)＝＋2－＞＞0， 所以f (x)在(－1，－ln a)上有一个零点． 设g(x)＝ex－1－x－x2，x＞0，g′(x)＝ex－1－x， 令k(x)＝ex－x－1，x≥0，k′(x)＝ex－1，当x＞0时， k′(x)＞0，k(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g′(x)＞g′(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以g(x)＞g(0)＝0，所以ex－1－x－x2＞0，得ex＞1＋x＋x2， 所以·e＞＞4＋， 所以f ＝·e＞·e－1－＞3＋＝＞0， 所以f (x)在(－ln a，＋∞)上有一个零点，此时f (x)在R上有两个零点，所以0＜a＜1符合题意． 综上，实数a的取值范围为(0，1)． 19．解：(1)因为2b＝2，所以b＝1， 又因为e＝＝，所以a2＝2， 则椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)(ⅰ)证明：设P(x0，y0)，过P点与椭圆C相切的直线方程为y＝k(x－x0)＋y0， 联立得(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－2＝0， 由Δ＝0，得－1＝0，可得k1k2＝＝＝－1. (ⅱ)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，再设PM：y＝k1(x－x1)＋y1， 联立 得x1－y1)2－2＝0. 由Δ＝0，得－1＝0，则k1＝＝，PM：y＝(x－x1)＋y1，即x1x＋2y1y＝2， 同理PN：x2x＋2y2y＝2， 因为P(x0，y0)在直线PM，PN上，所以直线MN的方程为x0x＋2y0y＝2， 与椭圆方程联立，可得＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝|x1－x2|＝＝. O到MN的距离d＝＝， 所以S△OMN＝＝，y0≠±1， 令＝t，则t∈[1，)∪(，2]， 所以S△OMN＝∈. 所以△OMN面积的取值范围为. 1/9 学科网（北京）股份有限公司 $$