3.专题三 三角函数、平面向量及其应用-【高考快车道·高考母题必读及衍生】2025年高考数学二轮总复习专题学案

高考真题衍生卷·命题区间9 ．] 8．C　[因为B＝ac，则由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝． 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac， 即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝＝， 所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝， 因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C＞0，则sin A＋sin C＝．故选C．] 9．ABD　[对于A，因为a＝，A＝120°， 所以a<b，A<B，故B为钝角，不可能，无解； 对于B，因为a＝，A＝45°， 由正弦定理得，即， 所以sin B＝>1，不可能，无解； 对于C，由cos A＝，得sin A＝， 由正弦定理得，即， 所以a＝，此时三角形有一解； 对于D，因为c＝b，sin A＝sin B，所以a＝b， 由余弦定理的推论得cos C＝＝0，不符合题意，此时三角形无解．故选ABD．] 10．2　[如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6， 因为b>0，解得b＝1＋， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°， 解得AD＝＝2．] 11．解：(1)因为a cos c＋a sin c－b－c＝0，所以根据正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C＝sin B＋sin C，即sin A cos C＋sin A sin C＝sin (A＋C)＋sin C， 所以sin A cos C＋sin A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C＋sin C． 因为0°＜C＜180°，所以sin C≠0， 所以sin A－cos A＝1，即sin (A－30°)＝．所以A－30°＝30°(A－30°＝150°舍去)，即A＝60°． (2)由A＝60°，S＝bc sin A＝，得bc＝4． 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，所以b＋c＝4．又bc＝4，所以b＝c＝2． 12．解：(1)因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝， 又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 所以sin A＝3cos A． 又因为sin2A＋cos2A＝1， 所以sin2A＋sin2A＝1， 解得sin2A＝． 又因为A∈(0，π)， 所以sinA>0, 所以sin A＝． (2)由(1)知，sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角，所以cos A＝， 所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C ＝． 由正弦定理，可得AC＝． 设AB边上的高为h， 所以AB·AC·sin A， 所以h＝AC·sin A＝2＝6． 13．解：(1)法一：(辅助角公式) 由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin ＝1， 由于A∈(0，π)，则A＋∈，故A＋，解得A＝． 法二：(同角三角函数的基本关系) 由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA得4cos2A－4cosA＋3＝0，即2＝0，解得cos A＝，又A∈(0，π)，故A＝． (2)由题设条件和正弦定理得， sin B sin C＝2sin C sin B cos B， 又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0， 所以cos B＝，所以B＝， 于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理，可得，解得b＝2， 故△ABC的周长为2＋． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　三角恒等变换与解三角形 　　　　三角恒等变换 命题角度：(1)三角函数式的化简；(2)三角函数式的求值；(3)三角恒等变换的综合应用． 典例1　(2023·新高考Ⅰ卷T8)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．－　　　　　　　　 D．－ 命题立意：本题以三角函数式化简求值为载体，考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，属于课程学习情境，考查的学科素养是理性思维和数学探索． 思维拆解 解题思路 名师点拨 第1步：由已知结合两角和与差的正弦公式先求出sin αcos β． 第2步：求出sin (α＋β)． 第3步：结合二倍角公式可求． 解：依题意得 所以sin αcos β＝， 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝， 所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B． (1)易错警示：①混淆两角差的正弦公式与余弦公式的区别；②混淆两角差的正弦公式与两角和的正弦公式的区别． (2)观察题干中所求的cos(2α＋2β)，利用二倍角公式，转化为求两角和的正弦是突破瓶颈的关键． 归纳总结：三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，如1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角的公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化． 　　　　解三角形 命题角度：(1)三角形中基本量的计算；(2)解三角形与三角函数的交汇问题． 典例2　(2024·新高考Ⅰ卷T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 命题立意 审题指导 本题以三角形中的边角关系为载体，考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，综合性较强，考查运算求解、逻辑推理能力． (1)a2＋b2－c2＝abcos C―→角C角B． 角C． 思维拆解 解题思路 名师点拨 (1)第1步：利用余弦定理的推论求角C． 第2步：将角C代入已知等式求角B． (2)第1步：求角A． 第2步：利用正弦定理得出b，c的关系． 第3步：利用三角形面积公式求c． 解：(1)由余弦定理的推论得cos C＝，a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝， 又0＜C＜π，所以C＝， 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝． 又0＜B＜π，所以B＝． (2)由(1)得A＝π－B－C＝， 又sin ＝sin ＝． 由正弦定理＝，得b＝c＝c， 因为△ABC的面积为3＋， 所以bc sin A＝c2×＝3＋， 所以c＝2． (1)余弦定理，化边为角． (2)求角的大小，要注意角的范围，根据条件，将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． (3)若第(1)问没有附加条件，解答第(2)问时，可以直接使用第(1)问的结论；若第(1)问有附加条件，则第(2)问不能使用第(1)问的结论． 归纳总结：掌握并熟记一些常见的三角函数值，如cos ＝sin ＝，sin ＝cos ＝，可以提升解题效率． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题过关验收卷·专题三 1．D　[因为向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)， 所以λa＋b＝(1＋λ，λ－1)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)， 由(λa＋b)∥(a＋μb)，可得 (1＋λ)·(1－μ)＝(λ－1)·(1＋μ)， 整理得λμ＝1．故选D．] 2．A　[由题意可知tan θ＝2， 所以7cos2θ－2sin2θ＝ 3．C　[由tanA＝－，且0＜A＜π，则A＝， 所以△ABC的面积为bc sin A＝，则bc＝4a， 由余弦定理的推论可得cos A＝， 即－， 所以bc≥48，当且仅当b＝c时取等号，此时bc取得最小值为48．故选C．] 4．D　[将函数y＝f (x)的图象向右平移个单位长度，得y＝f 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，得y＝f 的图象，所以f ＝sin ，令2x－＝t，则x＝，所以f (t)＝sin ＝sin ，则f (x)＝sin ＝cos ＝cos ．故选D．] 5．B　[取CD的中点E，连接PE，如图所示， 所以PE的取值范围是 ． 19．解：(1)连接BD(图略)， 在△ABD中，由余弦定理得， BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos 60°＝3，所以BD＝， 在△BCD中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋DC2－2BC·DC cos C＝8－8cos C， 所以cos C＝，sin C＝， 所以S△ABD＝BA·AD·sin60°＝×1×2×， S△BCD＝BC·CD·sin C＝×2×2×， 所以四边形ABCD的面积为S△ABD＋S△BCD＝. (2)设A＝θ，可得S＝×1×2×sin θ＝sin θ， 在△ABD中，由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝5－4cos θ， 在△BCD中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋DC2－2BC·DC cos C＝8－8cos C， 所以cos C＝，所以sin2C＝1－cos2C＝1－， 所以T＝BC·CD·sin C＝2sin C， S2＋T2＝sin2θ＋4× ＝sin2θ＋4× ＝ ＝， 当cos θ＝－时，S2＋T2取得最大值. 8/8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 命题区间9　三角恒等变换与解三角形 (单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题13分，共90分) 考向一　三角恒等变换 1．(2023·新高考Ⅰ卷T8子母题)已知sin (α＋β)＝，sin αcos β＝，则cos 4(α－β)＝(　　) [A] [B] [C]－ [D]－ 2．(2023·新高考Ⅰ卷T8姊妹题)若sin A＋cos A＝，则cos ＝(　　) [A] [B] [C]－ [D] 3．(2023·新高考Ⅰ卷T8改编题)已知cos (α－β)＝，cos αcos β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) [A]1 [B] [C]－ [D]－1 4．(2024·新高考Ⅰ卷T4)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) [A]－3m [B]－ [C] [D]3m 5．(2024·全国甲卷理T8文T9)已知＝，则tan ＝(　　) [A]2＋1 [B]2－1 [C] [D]1－ 6．(2023·新高考Ⅱ卷T7姊妹题)已知α∈，tan α＝，则＝(　　) [A]－ [B]－ [C] [D] 7．(2024·新高考Ⅱ卷T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 考向二　解三角形 8．(2024·全国甲卷理T11文T12)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) [A] [B] [C] [D] 9．(多选)(补偿题)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以下条件中，使得△ABC无解的是(　　) [A]a＝，b＝，A＝120° [B]a＝，b＝，A＝45° [C]b＝2，cos A＝，B＝60° [D]c＝b，sin A＝sin B，C＝60° 10．(2023·全国甲卷理T16)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． 11．(13分)(人教A版必修第二册P54习题6.4T22链接2024·新高考Ⅰ卷T15)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0． (1)求A； (2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c． 12．(13分)(2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 13．(13分)(2024·新高考Ⅱ卷T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2． (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三　三角函数、平面向量及其应用 (满分150分　时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(λa＋b)∥(a＋μb)，则下列关系一定成立的是(　　) [A]λμ＝－1 [B]λ－μ＝2 [C]λ＋μ＝0 [D]λμ＝1 2．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1，2)，则7cos2θ－2sin2θ＝(　　) [A]－ [B] [C]－2 [D]2 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A＝－，△ABC的面积为a，则bc的最小值为(　　) [A]16 [B]16 [C]48 [D]24 4．将函数y＝f (x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　) [A]sin [B]sin [C]cos [D]cos 5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为(　　) [A](0，16] [B][0，16] [C](0，4) [D][0，4] 6．已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) [A] [B] [C] [D] 7．在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝1，若直线y＝k(x－1)＋2上存在两个点Pi(i＝1，2)，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足＝，则k的取值范围为(　　) [A] [B]∪(0，＋∞) [C](0，1) [D](－∞，0)∪(1，＋∞) 8．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足(a＋c－b)(a＋b＋c)＝ac，b＝，则下列说法正确的是(　　) [A]B＝ [B]B＝ [C]△ABC面积的最小值为 [D]△ABC面积的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，c＝(2，t)，则下列说法正确的是(　　) [A]若(a＋b)∥c，则t＝6 [B]若(a＋b)⊥c，则t＝ [C]若t＝1，则cos 〈a，c〉＝ [D]|a＋c|<3 10．已知函数f (x)＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，且h(x)＝sin 2x－f (x)，则(　　) [A]φ＝ [B]h(x)的图象关于点中心对称 [C]f (x)与h(x)的图象关于直线x＝对称 [D]h(x)在区间内单调递增 11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a·sin2＝b·sinA，则下列结论正确的是(　　) [A]B＝ [B]若a＝4，b＝5，则△ABC有两解 [C]当a－c＝b时，△ABC为直角三角形 [D]若△ABC为锐角三角形，则cos A＋cos C的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知tan α＝3，π<α<，则cos α－sin α＝________． 13．如图，在△ABC中，sin ∠BAC＝，AD⊥AC，AD＝2，∠ABC＝45°，则sin ∠BAD＝________，BD＝________． 14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，＝3．设＝x＋y，则x＋y的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)． (1)若a⊥b，求θ的值； (2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围． 16．(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C． (1)求A； (2)若△ABC的面积为，BC边上的高为1，求△ABC的周长． 17．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B·(c cos B＋b cos C)＋a＝0． (1)求角B的大小； (2)若b＝7，a＋c＝8，a＜c． ①求a，c的值； ②求sin (2A＋C)的值． 18．(17分)已知函数f (x)＝sin2sin·cos ＋1． (1)求函数y＝f (x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2＝ac cos B－bc，求f (B)的取值范围． 19．(17分)如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝AD＝2． (1)若∠A＝60°，求四边形ABCD的面积； (2)记△ABD和△BCD的面积分别为S和T，求S2＋T2的最大值． 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考试题 (年份/卷别/题号) 新高考全国卷 新高考地方卷 命题区间 三角 函数 三角函数的图象与性质 2024新高考Ⅰ卷T7Ⅱ卷T9 2023新高考Ⅰ卷T15Ⅱ卷T16 2022新高考Ⅰ卷T6Ⅱ卷T9 2024北京卷T6　 2024天津卷T7 2023上海卷T15 2023北京卷T17 2022浙江卷T6 三角恒等 变换与 解三角形 2024新高考Ⅰ卷T4T15Ⅱ卷T13T152023新高考Ⅰ卷T8T17Ⅱ卷T7T17 2022新高考Ⅰ卷T18Ⅱ卷T6T18 2024北京卷T16　 2024天津卷T16 2023北京卷T17　 2023上海卷T4T8 2023天津卷T16　 2022浙江卷T13T18 2022北京卷T16 平面向量 2024新高考Ⅰ卷T3Ⅱ卷T3 2023新高考Ⅰ卷T3Ⅱ卷T13 2022新高考Ⅰ卷T3Ⅱ卷T4 2024北京卷T5　 2024天津卷T14 2024上海卷T5 2023北京卷T3 2023上海卷T2 2023天津卷T14 2022北京卷T10 2022浙江卷T17 命 题 分 析 与 备 考 策 略 1．规律小结 (1)三角函数和解三角形作为高考的必考内容，在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及，大部分考查基础知识和基本方法，考查内容涉及三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、图象变换、三角函数的图象和性质、三角恒等变换、解三角形．如果考查解答题，多位于解答题的第一题或第二题，难度不大． (2)平面向量题考的比较基础，重点考查向量的概念、共线、垂直、线性运算及坐标运算等知识，侧重考查向量数量积的坐标运算，难度较低，同时也有可能出现在解答题中，突出其工具功能． 2．考点频度 (1)高频考点：三角恒等变换、三角函数的图象和性质、解三角形、向量的线性运算、夹角计算、数量积． (2)中频考点：三角函数的概念、向量模的计算、向量的平行与垂直． (3)低频考点：向量的综合问题． 3．考前备考策略 (1)针对三角函数部分知识比较零碎，公式比较多，知识点比较多的特点，备考时可以采用如下策略和方法：①建立知识网络对知识进行梳理，掌握其知识体系．②弄清公式之间的内在联系和公式的各种用法．③注重将多个知识点融合交汇的综合题目的处理方法与思路解析明晰化． (2)向量内容必考且难度不大，备考时应重视基础知识，熟练掌握基本技能，复习面要广，题型要练全． 　三角函数的图象与性质、平面向量 　　　　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式 命题角度：(1)三角函数的概念；(2)同角三角函数的基本关系；(3)诱导公式． 典例1　(2021·新高考Ⅰ卷T6)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 命题立意：本题是基础性题目，属于课程学习情境，以三角函数化简求值为载体，考查三角函数基本关系式的应用．考查的知识是同角三角函数的基本关系式、倍角公式，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养． 思维拆解 解题思路 名师点拨 方法一：弦化切法 根据已知条件tan θ＝－2，考虑将所求转化为只含tan θ的式子再进行求解． 方法二：正弦化余弦法 第1步：根据tan θ＝－2得sin θ＝－2cos θ． 第2步：利用sin2θ＋cos2θ＝1与sin2θ＝2sin θcos θ将所求式化为齐次式． 第3步：将sin θ＝－2cos θ代入齐次式，化简求值． 方法三：求值代入法 根据tan θ＝－2，利用同角三角函数基本关系式求出sin θ与cos θ的值，然后代入求值． 解：法一：＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sinθcos θ ＝＝＝＝．故选C． 法二：因为tanθ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ， 则＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝ ＝＝．故选C． 法三：因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限， 所以或 所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sinθcos θ＝＝． 故选C． (1)解题关键是将1＋sin 2θ转化成(sin θ＋cos θ)2，然后进行化简，并利用sin2θ＋cos2θ＝1将所求式化为齐次式． (2)根据正切值的正负，确定角θ可能所在的象限． 归纳总结：解答此类问题的关键：一是化简，利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系等，化简已知三角函数式；二是求值，利用弦化切或切化弦，求出三角函数值． 　　　　三角函数的图象和性质 命题角度：(1)三角函数的图象与解析式；(2)三角函数的性质及应用． 典例2　(2024·新高考Ⅰ卷T7)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．4　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　　　 D．8 命题立意：本题以正弦函数以及正弦型函数为载体，考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想，体现了直观想象的核心素养． 思维拆解 解题思路 名师点拨 方法一：图象的变换法． 方法二：“五点法”作图． 解：法一：如图，先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数y＝sin 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sin 的图象，如图所示． 由图可知，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为6．故选C． 法二：由题可得y＝2sin 的最小正周期T＝， 即在[0，2π]内，y＝2sin 有3个周期，又其值域为[－2，2]，且x＝0时，y＝－1， 而y＝sin x的值域为[－1，1]，在同一个坐标系内作出y＝sin x与y＝2sin 的图象如图所示， 由图可得曲线y＝sin x与y＝2sin 有6个交点．故选C． (1)易错：针对图象变换有两处易错：一是平移的方向与“＋”“－”的对应，二是如何处理自变量x的系数．如果是左右平移变换，平移变换的规则是“左加右减”，同时由y＝sin ωx的图象变换到y＝sin (ωx＋φ)的图象时，需要向左或向右平移(ω＞0)个单位长度，而不是|φ|个单位长度． (2)y＝sin (ωx＋φ)的最小正周期T＝． 　　　　平面向量 命题角度：(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的数量积；(3)平面向量的综合应用． 典例3　(2024·新高考Ⅱ卷T3)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．1 命题立意：本题以平面向量的模为载体，考查平面向量的模以及向量垂直条件的应用，属于课程学习情境，体现了数学运算的核心素养． 思维拆解 解题思路 名师点拨 第1步：由(b－2a)⊥b得b2＝2ab． 第2步：将|a＋2b|＝2两边平方． 第3步：解方程得|b|． 解：因为(b－2a)⊥b， 所以(b－2a)b＝0，即b2＝2ab， 因为|a＋2b|＝2，得a2＋4ab＋4b2＝4， 又|a|＝1，所以1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4， 解得|b|2＝，所以|b|＝．故选B． (1)已知向量和(差)的模，往往两边同时平方，将向量模的问题转化为向量的数量积，从而与条件中的已知向量建立联系． (2)b2＝|b|2． 归纳总结：平面向量数量积运算的常用公式：|a|＝，(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2． 典例4　(2023·新高考Ⅰ卷T3)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 命题立意：本题以向量的坐标表示为载体，考查两个平面向量的垂直关系，体现了数学运算的核心素养，属于课程学习情境． 思维拆解 解题思路 名师点拨 第1步：求a＋λb与a＋μb的坐标． 第2步：由两向量垂直与数量积的关系列式求解． 解：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)， 所以a＋λb＝(λ＋1，1－λ)，a＋μb＝(μ＋1，1－μ)， 由(a＋λb)⊥(a＋μb)，得 (λ＋1)(μ＋1)＋(1－λ)(1－μ)＝0， 整理得2λμ＋2＝0，即λμ＝－1．故选D． 易错警示：两个向量垂直，其数量积为零，注意与两直线垂直(两直线斜率存在)，其斜率之积为－1的区别． 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 命题区间8　三角函数的图象与性质、平面向量 (单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题13分，共100分) 考向一　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1．(2023·全国乙卷文T14姊妹题)已知角α的终边经过点P(1，3)，则＝(　　) [A] [B] [C]－ [D]－ 2．(2023·全国乙卷文T14子母题)已知tan θ＝，则＝(　　) [A]6 [B] [C] [D]2 3．(2023·全国乙卷文T14改编题)已知sinα＋cos α＝，则＝(　　) [A]－ [B] [C]－ [D] 考向二　三角函数的图象和性质 4．(2024·上海卷T14)下列函数中，最小正周期是2π的是(　　) [A]y＝sin x＋cos x [B]y＝sin x cos x [C]y＝sin2x＋cos2x [D]y＝sin2x－cos2x 5．(2024·北京卷T6)设函数f (x)＝sinωx(ω＞0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) [A]1 [B]2 [C]3 [D]4 6．(2024·新高考Ⅰ卷T7子母题)当x∈[0，π]时，曲线f (x)＝cos x与g(x)＝cos 的交点个数为(　　) [A]4 [B]5 [C]6 [D]7 7．(2024·天津卷T7改编)已知函数f (x)＝sin 3(ω＞0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为(　　) [A]－ [B]－ [C]0 [D] 8．(2024·新高考Ⅰ卷T7姊妹题)设函数f (x)＝cos (ωx＋φ)，|φ|＜，若∀x∈R，都有f ＋f ＝0，且曲线y＝f (x)在一个周期内与直线y＝－有两个交点A，B，|AB|min＝，则f ＝(　　) [A] [B] [C]－ [D]－ 9．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷T9姊妹题)已知函数f (x)＝cos ，把y＝f (x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，以下说法正确的是(　　) [A]直线x＝是y＝f (x)图象的一条对称轴 [B]f (x)的单调递减区间为(k∈Z) [C]y＝g(x)的图象关于原点对称 [D]f (x)＋g(x)的最大值为 10．(多选)(补偿题)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) [A]函数f (x)图象的对称轴方程为x＝4k－3(k∈Z) [B]函数f (x)的单调递减区间为[8k－3，8k＋1](k∈Z) [C]函数f (x)在区间[－π，0]上单调递增 [D]f (x)≥－1的解集为(k∈Z) 11．(2023·新高考Ⅰ卷T15)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________． 考向三　平面向量 12．(2024·新高考Ⅰ卷T3)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) [A]－2 [B]－1 [C]1 [D]2 13．(2024·新高考Ⅰ卷T3子母题)若|a＋b|＝|a－b|，a＝(1，2)，b＝(m，3)，则实数m＝(　　) [A]6 [B]－6 [C]3 [D]－3 14．(2023·北京卷T3)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) [A]－2 [B]－1 [C]0 [D]1 15．(2024·全国甲卷理T9)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) [A]“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 [B]“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 [C]“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 [D]“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 16．(2023·全国甲卷理T4)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝(　　) [A]－ [B]－ [C] [D] 17．(2023·新高考Ⅱ卷T13)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝__________． 18．(13分)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T8衔接2024·新高考Ⅱ卷T3)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当λ为何值时，a＋λb与a垂直？ 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三　三角函数、平面向量及其应用 高考真题衍生卷·命题区间8 1．C　[由题意，可得tan α＝3， 所以－sin α(cos α＋sin α) ＝－，故选C．] 2．C　[因为tanθ＝， 所以＝． 故选C．] 3．C　[因为sin α＋cos α＝， 所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－， 4．A　[对于选项A，y＝sin x＋cos x＝sin ，其最小正周期T＝2π，故A正确； 对于选项B，y＝sin x cos x＝sin 2x，其最小正周期T＝＝π，故B错误； 对于选项C，y＝sin2x＋cos2x＝1，是常数函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，其最小正周期T＝＝π，故D错误．故选A．] 5．B　[由题意可知，x1为f (x)的最小值点，x2为f (x)的最大值点，则|x1－x2|min＝，即T＝π， 又ω＞0，所以ω＝＝2．故选B．] 6．B　[由题可得g(x)＝cos 的最小正周期T＝，即在[0，π]内，g(x)有3个周期，又其值域为[－1，1]，且g(0)＝－，在同一直角坐标系内作出f (x)＝cos x与g(x)＝cos 的图象，如图所示，由图象可得曲线f (x)＝cos x与g(x)＝cos 在[0，π]内有5个交点．故选B． ] 7．A　[f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝，即f (x)＝－sin 2x， 当x∈ 8．C　[令f (x)＝cos (ωx＋φ)＝，所以ωx＋φ＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，即xA＝＋－，xB＝＋－，k∈Z，由题意及|AB|min＝得，|AB|min＝|xA－xB|＝＝，所以ω＝1，因为函数f (x)对任意的x∈R，都有f ＋f ＝0，所以函数f (x)的图象关于点中心对称，所以f ＝cos ＝0，又|φ|＜，所以φ＝，即f (x)＝cos ，则f ＝cos ＝－．故选C．] 9．ABD　[将函数f (x)＝cos 的图象向右平移个单位长度， 得到函数y＝g(x)＝cos (2x－π)＝－cos 2x的图象． 对于A项，令x＝，求得f (x)＝，即为函数y＝f (x)的最大值， 所以直线x＝是函数f (x)图象的一条对称轴，所以A正确； 对于B项，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 可得f (x)的单调递减区间为，k∈Z，所以B正确； 对于C项，由于g(x)＝－cos 2x是偶函数，可得函数g(x)的图象关于y轴对称，所以C错误； 对于D项，由f (x)＋g(x)＝cos ＋ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin ≤， 即f (x)＋g(x)的最大值为，所以D正确． 故选ABD．] 10．AD　[根据题图可知，A＝2，＝3－1＝2，所以T＝8，即ω＝， 又f (1)＝2sin ＝2， 而|φ|<，所以φ＝，可得f (x)＝2sin ． 对于A，令x＋＝－＋kπ，k∈Z，解得x＝4k－3(k∈Z)，A正确； 对于B，由题图结合函数周期可知，函数f (x)的单调递增区间为[8k－3，8k＋1](k∈Z)，B错误； 对于C，由题图可知，函数f (x)在区间[－π，－3]上单调递减，在[－3，0]上单调递增，C错误； 对于D，在函数f (x)的一个周期[－3，5]内， 由2sin ＝－1，解得x＝－或x＝， 所以f (x)≥－1的解集为(k∈Z)，D正确．故选AD．] 11．[2，3)　[因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3． ] 12．D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0， 所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2． 故选D．] 13．B　[因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2， 即a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0， 因为a＝(1，2)，b＝(m，3)，所以a·b＝m＋6＝0， 解得m＝－6．故选B．] 14．B　[因为a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)， 所以a＝(0，2)，b＝(2，1)， 所以|a|2－|b|2＝4－5＝－1．故选B．] 15．C　[对A，当a⊥b时，则a·b＝0， 所以x(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误； 对C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0， 所以a⊥b，即充分性成立，故C正确； 对B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误； 对D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C．] 16．D　[因为|a|＝|b|＝1，|c|＝， 且a＋b＋c＝0，所以－c＝a＋b， 所以c2＝a2＋b2＋2a·b， 即2＝1＋1＋2×1×1×cos 〈a，b〉， 解得cos 〈a，b〉＝0，所以a⊥b． 又a－c＝2a＋b，b－c＝a＋2b， 所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋2b2＋5a·b＝2＋2＋0＝4， |a－c|＝＝＝＝， |b－c|＝＝＝＝， 所以cos 〈a－c，b－c〉＝＝＝．故选D．] 17．　[因为|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|， 所以a2＋b2－2a·b＝3， a2＋b2＋2a·b＝4a2＋b2－4a·b， 所以a2＝2a·b，所以b2＝3，所以|b|＝．] 18．解：a＋λb＝(1，0)＋λ(1，1)＝(λ＋1，λ)， 由(a＋λb)⊥a，得a·(a＋λb)＝(1，0)·(λ＋1，λ)＝λ＋1＝0，解得λ＝－1． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $$