1.专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、复数-【高考快车道·高考母题必读及衍生】2025年高考数学二轮总复习专题学案

　不等式、复数 　　　　不等式 命题角度：(1)不等关系的判断；(2)解不等式；(3)利用基本不等式求最值；(4)基本不等式的应用． 典例1　(多选)(2020·新高考Ⅰ卷T11)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥　　　　 B．2a－b>　　　　 C．log2a＋log2b≥－2　　　　 D． 命题立意：本题以不等式为载体，考查基本不等式的应用，考查的知识是基本不等式(a>0，b>0)，体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养． 思维拆解 解题思路 名师点拨 通过观察题干和问题，找到已知条件和选项间的关系进行转化与化归，将基本不等式进行变形运用，从而得到正确结果． 解：因为a＋b＝1，所以由2(a2＋b2)≥(a＋b)2，得a2＋b2≥，A项正确；因为0<b<1，所以－1<a－b＝1－2b<1，所以2a－b>，B项正确；因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，所以ab≤，所以log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，C项错误；由a>0，b>0，得2(a＋b)≥()2，得，D项正确．故选ABD． (1)忽略a，b的范围易导致本题选错． (2)熟练掌握基本不等式及其变形应用，恰当利用平方关系解决问题． 归纳总结：利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解；(2)将条件进行变形，进行“1”的代换求目标函数最值；(3)利用拼凑法求最值． 　　　　复数 命题角度：(1)复数的概念；(2)复数的运算；(3)复数的模；(4)复数的几何意义． 典例2　(2024·新高考Ⅰ卷T2)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 命题立意：本题以复数的代数运算为载体，考查复数的四则运算，计算量较小，属于课程学习情境．考查内容回归教材，考教衔接：本题源自人教A版必修第二册P95复习参考题7T6，T7． 思维拆解 解题思路 名师点拨 方法一：解方程法 把已知等式看作关于z的方程求解． 方法二：取倒数法． 解：法一：因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)， 即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i， 所以z＝＝＝1－i．故选C． 法二：因为＝1＋i，所以＝， 即1－＝＝i， 即＝i＝，所以z＝＝1－i． 故选C． (1)注意i2＝－1． (2)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． (3)复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 命题区间2　不等式、复数 (单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题13分，共107分) 考向一　不等式 1．(2020·新高考Ⅰ卷T11子母题)已知正实数a，b满足a＋b＝2，则的最小值是(　　) [A] [B] [C]5 [D]9 2．(2020·新高考Ⅰ卷T11姊妹题)若x<0，则x＋的最大值为(　　) [A]－2 [B]－2 [C]－ [D]2 3．(2024·上海春季卷T13)已知a，b，c∈R，b＞c，则下列不等式一定成立的是(　　) [A]a＋b2＞a＋c2 [B]a2＋b＞a2＋c [C]ab2＞ac2 [D]a2b＞a2c 4．(2024·上海卷T3)已知x∈R，则不等式x2－2x－3＜0的解集为________． 5．(2023·上海春季卷T6)已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab的最大值为________． 6．(13分)(2022·上海春季卷T19)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30 m，AD＝15 m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为古树保护区．若架空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与古树保护区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区． (1)若∠ADE＝20°，求EF的长；(结果精确到0.1 m) (2)当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？(结果精确到0.01 m2) 考向二　复数 7．(2024·新高考Ⅰ卷T2姊妹题)若＝i(i为虚数单位)，则＝(　　) [A]i [B]－i [C]1 [D]－1 8．(2024·新高考Ⅱ卷T1)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) [A]0 [B]1 [C] [D]2 9．(2024·新高考Ⅱ卷T1子母题)已知z＝3－4i，则|z|＋zi＝(　　) [A]1＋3i [B]8－4i [C]9＋3i [D]20＋3i 10．(2023·新高考Ⅱ卷T1子母题)已知复数z＝(2＋2i)(1－2i)，则z在复平面内对应的点位于(　　) [A]第一象限 [B]第二象限 [C]第三象限 [D]第四象限 11．(2023·新高考Ⅰ卷T2)已知z＝，则z－＝(　　) [A]－i [B]i [C]0 [D]1 12．(2024·北京卷T2)若复数z满足＝－1－i，则z＝(　　) [A]－1－i [B]－1＋i [C]1－i [D]1＋i 13．(2023·新高考Ⅱ卷T1姊妹题)已知复数z满足＝2－2i(i为虚数单位)，则复数z2在复平面内对应的点位于(　　) [A]第一象限 [B]第二象限 [C]第三象限 [D]第四象限 14．(多选)(补偿题)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是纯虚数，则(　　) [A]b＝0 [B]bc>0 [C]ac<0 [D]ac>0 15．(2024·天津卷T10)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________． 16．(2024·上海卷T9)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________． 17．(补偿题)以下四个关于复数的结论，正确的是________．(填序号) ①任意两个复数不能比较大小； ②z∈C⇒z2>0； ③z1－z2>0⇒z1>z2； ④复数a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇒a＝c且b＝d． 18．(13分)(人教A版必修第二册P94复习参考题7 T6链接2024·新高考Ⅰ卷T2)已知z1＝5＋10i，z2＝3－4i，＝，求z． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考真题衍生卷·命题区间2 1．B　[因为正实数a，b满足a＋b＝2， 则(a＋b)，当且仅当b＝时取等号．故选B．] 2．A　[因为x<0，则－x>0， 所以x＋＝－2， 当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立．故选A．] 3．B　[当b＞c≥0时，b2＞c2，当c＜b≤0时，b2＜c2，所以a＋b2＞a＋c2不一定成立，故A错误； 因为b＞c，a2≥0，所以a2＋b＞a2＋c成立，故B正确； 当a＞0，c＜b≤0时，ab2＜ac2，当a＜0，b＞c≥0时，ab2＜ac2，当a＝0时，ab2＝ac2，这三种情况下ab2＞ac2都不成立，故C错误； 当a＝0时，a2b＞a2c不成立，故D错误．综上，故选B．] 4．(－1，3)　[x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)＜0， 解得－1＜x＜3．故不等式的解集为(－1，3)．] 5．　[正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab＝，当且仅当a＝时等号成立．] 6．解：(1)如图，作DH⊥EF，垂足为H， 因为DH＝DA＝15，DA⊥AE，DH⊥HE， 所以Rt△DHE≌Rt△DAE， 所以∠HDE＝∠ADE＝20°，∠HDF＝90°－40°＝50°， 则EF＝EH＋HF＝15tan 20°＋15tan 50°≈23.3 m． (2)设∠ADE＝θ，则∠EDH＝θ，∠FDH＝90°－2θ，所以 AE＝15tan θ，FH＝15tan (90°－2θ)， S四边形ADFE＝2S△ADE＋S△DFH＝2××15×15tan θ＋15×15tan (90°－2θ)＝225tan θ＋＝225≥，当且仅当3tan θ＝，即tan θ＝时取等号，此时AE＝15tan θ＝5，生态区最大面积为450－≈255.14 m2． 7．B　[由＝i，得z－2＝i(1＋i)，即z＝2＋i(1＋i)＝1＋i．所以＝－i．故选B．] 8．C　[若z＝－1－i，则|z|＝．故选C．] 9．C　[因为z＝3－4i，则|z|＝＝5，又zi＝(3－4i)i＝4＋3i，所以|z|＋zi＝9＋3i．故选C．] 10．D　[z＝(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝6－2i， 所以z在复平面内对应的点为(6，－2)，位于第四象限．故选D．] 11．A　[，则i，故z－＝－i．故选A．] 12．C　[由题意得z＝i(－1－i)＝1－i．故选C．] 13．A　[由＝2－2i得z－i＝(2－2i)(1＋i)＝4，即z＝4＋i，则z2＝15＋8i，在复平面内对应的点为(15，8)，位于第一象限．故选A．] 14．AD　[设虚根为z＝xi(x∈R，x≠0)，则另一根为－xi， 则－＝0，故b＝0，＝x2>0，则ac>0．故选AD．] 15．7－i　[＝5＋i－2i＋2＝．] 16．2　[设z＝1＋bi，b∈R且b≠0， 则z＋＝1＋bi＋i＝m， 因为m∈R，所以解得m＝2．] 17．④　[当复数是实数时，可以比较大小，故①错误． 令z＝1＋i，则z2＝2i不能和0比较大小，故②错误． 令z1＝3＋i，z2＝i，满足z1－z2>0，但不满足z1>z2，故③错误． 根据复数相等的定义知④正确．] 18．解：由已知可得z1＋z2＝8＋6i，z1z2＝55＋10i．又，所以z＝i． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题过关验收卷·专题一 1．B　[由A＝{x||x－1|≤1}＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，1，2，4}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选B．] 2．A　[因为(a＋i)i＝ai＋i2＝－1＋ai＝b－2i， 所以a＝－2，b＝－1，故z＝a＋bi＝－2－i， 所以复数z＝a＋bi的共轭复数＝－2＋i．故选A．] 3．A　[因为复数z为纯虚数， 所以解得x＝1， 所以x＝1是复数z为纯虚数的充要条件．故选A．] 4．A　[＝{x|0<x<1}， B＝{x|2x2＋x－1<0}＝， 则A∩B＝．故选A．] 5．C　[因为z＝＝1＋i， 所以－4＝1－i－4＝－3－i， 所以复数－4在复平面内对应的点(－3，－1)位于第三象限．故选C．] 6．C　[由题意知，“∀x∈R，使(m－3)x2＋(m－3)x＋1＞0”是真命题， 当m－3＝0，即m＝3时，不等式可化为1＞0，符合题意； 当m－3≠0，即m≠3时，则m－3＞0且Δ＝(m－3)2－4(m－3)＜0，解得3＜m＜7．综上，实数m的取值范围为3≤m＜7．故选C．] 7．D　[因为y＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1≥1， 所以函数的最小值为1，所以A错误； 因为y＝＝8， 当且仅当|cos x|＝＝4时等号成立， 因为|cos x|∈(0，1]，所以y＝>8，所以B错误； 当x＝时，ln x＝－1，y＝－1－16＝－17，所以C错误； 因为y＝4x＋42-x≥2＝8，当且仅当4x＝42-x，即x＝1时等号成立，所以D正确．故选D．] 8．C　[由题意知，能够推出≥4，但不能由≥4推出的选项为答案． 对于A，举反例，当a＝时，满足a＞0，b＞0，a2＋b2＝1，但此时＜4，故A错误． 对于B，≥4(a＞0，b＞0)⇔a＋b≥4ab(a＞0，b＞0)，互为充要条件，故B错误． 对于C，先证充分性，当a＋b＝1时，(a＋b)＝1＋1＋＝4，当且仅当，即a＝b＝时，等号成立，≥4；再证不必要性，举反例，当a＝，b＝1时，满足a＞0，b＞0，≥4，但a＋b＞1．故C正确． 对于D，由基本不等式a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)得，2(a2＋b2)≥(a＋b)2(当且仅当a＝b时，等号成立)，又≥4，所以2≥16，所以≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，故D为题设的必要条件，故D错误．综上，故选C．] 9．BCD　[对于A，是无理数，Q是有理数集，故A错误； 对于B，集合A，B，若A∪B＝A∩B，必有A＝B，故B正确； 对于C，集合A，B，若A∩B＝B，必有B⊆A，故C正确； 对于D，如果一个元素既属于集合A又属于集合B，则这个元素一定属于A∩B，故D正确．故选BCD．] 10．ABD　[因为z＝i，故z的实部为，A正确； 由z＝i知，i，所以在复平面中对应的点是，在第四象限，B正确； z，都不是实数，它们不能比较大小，C错误； z·，D正确． 故选ABD．] 11．BD　[对于A，当a＜b＜0时，a2＞b2，故A错误； 对于B，因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＜b时，a3＜b3，故B正确； 对于C，当a＜0＜b时，＜，故C错误； 对于D，构造函数f (x)＝x－sin x，则f ′(x)＝1－cos x≥0，故f (x)在R上单调递增，所以a－sin a＜b－sin b，故D正确．综上，故选BD．] 12．2　[因为集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a2}，且A∪B＝A， 而A中互为平方关系的只有2和4，解得a＝2．] 13．2－12　[由于x＞0，y＞0，6y＋2x＋xy＝14， 则14－2(x＋3y)＝xy＝·x·3y， ，当且仅当x＝3y时，取“＝”， 此时 由于x＞0，y＞0，解得 故x＋3y＝2－12，即x＋3y的最小值为2－12．] 14．2x2－12x＋10　[－10，＋∞)　[由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f (x)＝2x2－12x＋10．不等式f (x)≤2＋t在x∈[1，3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]上有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10．] 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ (表一) 高考试题 (年份/卷别/题号) 新高考全国卷 新高考地方卷 命题区间 集 合 集合的含义 与表示 2023新高考Ⅱ卷T2 2023上海卷T13 集合的运算 2024新高考Ⅰ卷T1 2023新高考Ⅰ卷T1 2022新高考Ⅰ卷T1Ⅱ卷T1 2024北京卷T1　2024天津卷T1 2024上海卷T1　2023天津卷T1 2023北京卷T1　2022浙江卷T1 2022北京卷T1　2022天津卷T1 常 用 逻 辑 用 语 充分条件与 必要条件 2024北京卷T5　2024天津卷T2 2023北京卷T8　2023天津卷T2 2022浙江卷T4　2022北京卷T6 全称量词命题 与存在量词命题 2024新高考Ⅱ卷T2 命题分 析与备 考策略 1．规律小结 (1)集合作为高中数学的第一章内容，新高考全国卷、地方卷都将其作为必考题，题目分布在选择题第1题或第2题，以集合运算为主，多与解不等式交汇，难度较低，主要考查学生的运算求解能力． (2)常用逻辑用语容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，考查热点是充分条件与必要条件，冷点是全称量词命题与存在量词命题． 2．考点频度 (1)高频考点：集合的含义与表示、集合的运算、充分条件与必要条件． (2)低频考点：集合间的基本关系，全称量词命题与存在量词命题． 3．考前备考策略 (1)集合主要以课程学习情境为主，备考应以选择题为主，难度不大，在备考中注意与不等式的解法相结合．在备考时要注意以下两点：①在注意集合定义的基础上，牢固掌握集合的基本概念与运算，加强与其他知识的联系，借助数轴和Venn图突出集合的工具性；②适当加强集合与函数、不等式的联系，注意小题的综合化． (2)常用逻辑用语是数学学习和思维的工具，要通过具体例子切实理解其中的基本概念和思维方法．由于该内容与函数、立体几何、不等式、数列等知识结合紧密，在函数、立体几何、不等式、数列等内容备考过程中注重渗透充分条件与必要条件、全称量词命题与存在量词命题． (表二) 高考试题 (年份/卷别/题号) 新高考全国卷 新高考地方卷 命题区间 不 等 式 不等式的性质 及解法 2024新高考Ⅰ卷T8 2024上海卷T3　2023上海(春季)卷T6 基本不等式 2022新高考Ⅱ卷T12 2024北京卷T9　2022上海卷T14 复 数 复数的概念 及几何意义 2024新高考Ⅱ卷T1 2023新高考Ⅱ卷T1 2024上海卷T9　2023北京卷T2 2022北京卷T2　2022浙江卷T2　 复数的运算 2024新高考Ⅰ卷T2 2023新高考Ⅰ卷T2 2022新高考Ⅰ卷T2Ⅱ卷T2 2024北京卷T2　2024天津卷T10 2023天津卷T10 2023上海卷T6 2022北京卷T2 2022天津卷T10 2022浙江卷T2 命题分析与 备考策略 1．规律小结 (1)不等式在高考中一般不单独命题，多作为载体考查其他知识．题型多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等． (2)复数以考查复数的四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查的概念有：复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等． 2．考点频度 (1)高频考点：复数的四则运算． (2)中频考点：基本不等式、复数的代数形式、共轭复数、复数的模． (3)低频考点：不等式的性质及解法． 3．考前备考策略 (1)对于不等式及其性质的备考，要注意结合函数图象与性质、三角函数、数列等知识；对于基本不等式的备考，则需结合不等式的性质，以中等难度题型为主训练思维的灵活性． (2)近几年高考主要考查复数的基本运算、基本概念．备考应注重复数的基本概念、基本运算以及复数的几何意义，应做到运算准确，保证不丢分．适当关注复数的三角形式的表示，复数与三角函数的结合等问题． 　集合、常用逻辑用语 集合的含义与表示 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法，要能理解描述法对代表元素的要求和指向． 典例1　(2023·新高考Ⅱ卷T2)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．－1 命题立意：本题以集合的包含关系为载体，考查集合子集的概念和集合元素的互异性，属于课程学习情境，具体是数学运算学习情境．考教衔接：本题源自人教A版必修第一册P9习题1.2T5． 思维拆解 解题思路 名师点拨 第1步：由A⊆B易知B中必有元素0． 第2步：讨论求a． 第3步：根据A⊆B验证得结论． 解：依题意，有a－2＝0或2a－2＝0， 当a－2＝0时，a＝2，则A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B； 当2a－2＝0时，a＝1，则A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B，所以a＝1．故选B． (1)注意分类讨论思想的运用． (2)注意集合中元素的互异性． 归纳总结：已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观解决这类问题． 集合的运算 以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补等基本运算，以新定义集合及集合的运算为背景考查集合的关系与运算． 典例2　(2024·新高考Ⅰ卷T1)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 命题立意：本题以三次不等式的解集为载体，考查集合的表示方法、交集的概念及交集的运算，同时考查三次不等式的解法，属于课程学习情境．考教衔接：本题源自人教A版必修第一册P14习题1.3 T1，T2． 思维拆解 解题思路 名师点拨 方法一：直接法 直接求解不等式的解集，再利用A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}运算． 方法二：验证法 不具体解出不等式的解集，通过分析、推理得出结论． 解：法一：因为A＝{x|－5＜x3＜5}＝{x|－}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}．故选A． 法二：因为(－3)3＝－27＜－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8＞5，33＝27＞5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A，3∉A，所以A∩B＝{－1，0}．故选A． (1)a＜b⇔a3＜b3． (2)集合A，B为数集． 归纳总结：集合的运算可以直接利用交集、并集、补集的定义、性质，或借助数轴、Venn图按部就班地计算得出结果，也可以通过简单的分析和逻辑推理得到正确选项． 常用逻辑用语 命题角度：(1)命题真假的判断；(2)充分条件、必要条件的判断；(3)全称量词命题与存在量词命题． 典例3　(2024·新高考Ⅱ卷T2)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 命题立意：本题以方程与不等式为载体，考查全称量词命题与存在量词命题的真假判断以及命题的否定，属于课程学习情境．考教衔接：本题源自人教A版必修第一册P35复习参考题1T6． 思维拆解 解题思路 名师点拨 方法一：(通解)判断命题p，q的真假，进而判断¬p，¬q的真假，从而结合选项做出选择． 方法二：特殊值法． 解：法一：因为∀x∈R，|x＋1|≥0， 故命题p为假命题，¬p为真命题；对于命题q，由x3＝x，得x3－x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1，0，1，故∃x＞0，x3＝x，即命题q为真命题，则¬q为假命题，故¬p和q都是真命题．故选B． 法二：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题；在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题．故选B． (1)“∀”表示全称量词，“所有的”“任意一个”；“∃”表示存在量词，“存在一个”“至少有一个”． (2)命题p与¬p真假性相反，一真一假． (3)判断命题为真，需严格推理论证；判断命题为假只需举出一个反例． 典例4　(2023·北京卷T8)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 命题立意：本题以换元法、一元二次方程为载体，考查充分条件与必要条件，属于探索创新情境，考查逻辑思维能力，要求学生具有批判性思维． 思维拆解 解题思路 名师点拨 第1步：由x＋y＝0变形代入计算判断充分性成立与否． 第2步：换元，得方程，通过计算求解判断必要性成立与否． 第3步：得结论． 解：由xy≠0，x＋y＝0，得y＝－x≠0， 所以＝－2． 反之，若xy≠0，＝－2， 令＝t，则＝， 于是t＋＝－2，化为t2＋2t＋1＝0， 解得t＝－1，即＝－1，所以x＋y＝0． 所以xy≠0，“x＋y＝0”是“＝－2”的充要条件．故选C． (1)正确认识判断充分条件与必要条件的方法，p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件． (2)解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，在解这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明． 归纳总结：判断充分条件、必要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，并注意与图示相结合． (2)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件(即“谁大谁必要，谁小谁充分，相等则充要”)． 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与精析 专题一　集合、常用逻辑用语、不等式、复数 高考真题衍生卷·命题区间1 1．B　[因为P＝{x|－3<x<4}，Q＝{x∈Z||x|>1}＝{x∈Z|x<－1或x>1}，则P∩Q＝{－2，2，3}．故选B．] 2．C　[因为x2－x－6≥0，所以(x－3)(x＋2)≥0，所以x≥3或x≤－2，N＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则M∩N＝{－2}．故选C．] 3．B　[因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}， 所以A∩B＝{2，3，4}．故选B．] 4．C　[由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}．故选C．] 5．D　[集合A＝{x|－2＜x＜2}，集合B＝{x∈N|x≤1}＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}．故选D．] 6．C　[集合A＝{x∈N|x2≤4}＝{0，1，2}，B＝{1，a}，由B⊆A可得a＝0或a＝2，所以实数a的取值集合为{0，2}．故选C．] 7．D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}， 则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D．] 8．C　[满足x，y∈N*，y≤x，且x＋y＝10的元素(x，y)有(9，1)，(8，2)，(7，3)，(6，4)，(5，5)，共5个，故A∩B中元素的个数为5．故选C．] 9．A　[集合M＝{x|－1≤x<15}，集合N＝，M∩N＝．故选A．] 10．ABC　[因为集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝， 所以A∩B＝{0，1，2}， A∪B＝ ∁RB＝， ∁R(A∩B)＝{x|x<0或0<x<1或1<x<2或x>2}．故选ABC．] 11．CD　[设全班同学组成全集U，参加田赛的同学组成集合A，参加径赛的同学组成集合B，参加球类比赛的同学组成集合C， 设同时参加径赛和球类比赛的人数为x， 根据题意，画出Venn图如图所示， 则3＋8＋9＋x＋(13－8－x)＋(19－9－x)＝30，解得x＝5， 所以同时参加径赛和球类比赛的人数有5人， 只参加球类一项比赛的人数有5人， 只参加径赛一项比赛的人数为0人， 只参加田赛一项比赛的人数为3人． 故选CD．] 12．{1，3，5}　[因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，所以∁UA＝{1，3，5}．] 13．{1，2，4，6，8，9，10}　[由题设A＝{2，3，5，7}，B＝{1，3，5，7，9}，则A∩B＝{3，5，7}， 所以∁U(A∩B)＝{1，2，4，6，8，9，10}．] 14．[－2，－1]　[因为， 所以即 所以－2≤x≤－1或3≤x≤4， 所以集合M＝{x|－2≤x≤－1或3≤x≤4}， |x＋1|≤1，解得－2≤x≤0， 所以集合N＝{x|－2≤x≤0}， 所以M∩N＝[－2，－1]．] 15．解：因为A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}， 所以A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3≤x＜4}． 16．C　[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．故选C．] 17．B　[对于A：若幂函数f (x)＝xα过点，则＝9，解得α＝－2，故A错误； 对于B：在同一平面直角坐标系中画出y＝与y＝的函数图象，如图所示， 由图可知，故B正确； 对于C：在同一平面直角坐标系中画出y＝与y＝的函数图象，如图所示， 由图可知，当x∈(0，1)时， 当x＝1时， 当x∈(1，＋∞)时，故C错误； 对于D：根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知，命题“∃x∈R，sin x＋cos x<1”的否定是“∀x∈R，sin x＋cos x≥1”，故D错误．故选B．] 18．B　[若a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，若a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b， 故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立， “a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．] 19．BC　[A是真命题；对于B，“∀x＞3，x2－2x－3＞0”的否定是“∃x＞3，x2－2x－3≤0”，故B错误；对于C，由2x＋4y＝3得x＝(x，y∈Z)，因为3－4y为奇数，所以x不可能为整数，与x∈Z矛盾，故C为假命题；对于D，方程x2－ax－1＝0的判别式Δ＝a2＋4＞0，所以方程有实根，故D为真命题．故选BC．] 20．[0，＋∞)　[命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，即不等式ax2＋1≥0在x∈R上恒成立， 当a＝0时，不等式为1≥0，恒成立； 当a≠0时，必有解得a>0． 综上可得，a≥0．] 21．(答案不唯一)　(答案不唯一)　[取α＝＋2π，β＝，则α>β，但tan α＝tan β，不满足tan α>tan β， 因为命题p为假命题，所以能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝．] 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 命题区间1　集合、常用逻辑用语 (单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题13分，共116分) 考向一　集合 1．(2022·新高考Ⅱ卷T1姊妹题)已知集合P＝{x|－3<x<4}，集合Q＝{x∈Z||x|>1}，则P∩Q＝(　　) [A](－3，－1)∪(1，4) [B]{－2，2，3} [C](1，4) [D]{2，3} 2．(2023·新高考Ⅰ卷T1)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) [A]{－2，－1，0，1} [B]{0，1，2} [C]{－2} [D]{2} 3．(2024·天津卷T1)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) [A]{1，2，3，4} [B]{2，3，4} [C]{2，4} [D]{1} 4．(2024·北京卷T1)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) [A]{x|－1≤x<1} [B]{x|x>－3} [C]{x|－3<x<4} [D]{x|x<4} 5．(2024·新高考Ⅰ卷T1姊妹题)集合A＝{x|－2＜x＜2}，集合B＝{x∈N|x≤1}，则A∩B＝(　　) [A]{x|－2＜x≤1} [B]{－1，0，1} [C]{1} [D]{0，1} 6．(2023·新高考Ⅱ卷T2姊妹题)已知集合A＝{x∈N|x2≤4}，B＝{1，a}，B⊆A，则实数a的取值集合为(　　) [A]{0，1，2} [B]{1，2} [C]{0，2} [D]{2} 7．(2024·全国甲卷理T2)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) [A]{1，4，9} [B]{3，4，9} [C]{1，2，3} [D]{2，3，5} 8．(2022·新高考Ⅰ卷T1姊妹题)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≤x}，B＝{(x，y)|x＋y＝10}，则A∩B中元素的个数为(　　) [A]3 [B]4 [C]5 [D]6 9．(2022·新高考Ⅰ卷T1子母题)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) [A] [B] [C] [D] 10．(多选)(2022·全国甲卷文T1子母题)设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，则(　　) [A]A∩B＝{0，1，2} [B]A∪B＝ [C]∁RB＝ [D]∁R(A∩B)＝{x|x<0或x>2} 11．(多选)(补偿题)某校举行秋季运动会，高一年级某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的是(　　) [A]同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 [B]只参加球类一项比赛的人数有2人 [C]只参加径赛一项比赛的人数为0人 [D]只参加田赛一项比赛的人数为3人 12．(2024·上海卷T1改编)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则∁UA＝________． 13．(2024·全国甲卷理T2子母题)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{x∈U|x为素数}，B＝{x∈U|x为奇数}，则集合∁U(A∩B)＝________． 14．(2022·新高考Ⅰ卷T1姊妹题)若集合M＝{x|}，N＝{x||x＋1|≤1}，则M∩N＝________．(用区间表示) 15．(13分)(人教A版必修第一册P14习题1.3T1衔接2024·新高考Ⅰ卷T1)集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B． 考向二　常用逻辑用语 16．(2024·天津卷T2)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) [A]充分不必要条件 [B]必要不充分条件 [C]充要条件 [D]既不充分也不必要条件 17．(补偿题)下列命题是真命题的是(　　) [A]若幂函数f (x)＝xα过点，则α＝－ [B]∃x∈(0，1)， [C]∀x∈(0，＋ [D]命题“∃x∈R，sin x＋cos x<1”的否定是“∀x∈R，sin x＋cos x>1” 18．(2023·天津卷T2)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) [A]充分不必要条件 [B]必要不充分条件 [C]充要条件 [D]既不充分也不必要条件 19．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷T2姊妹题)下列命题是假命题的是(　　) [A]∀x∈R，x2≥0 [B]命题“∀x＞3，x2－2x－3＞0”的否定是“∃x≤3，x2－2x－3≤0” [C]∃x，y∈Z，2x＋4y＝3 [D]∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 20．(补偿题)若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为________． 21．(2023·北京卷T13)已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β．能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝________，β＝________． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一　集合、常用逻辑用语、不等式、复数 (满分73分　时间45分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x||x－1|≤1}，B＝{0，1，2，4}，则A∩B＝(　　) [A]{1，2} [B]{0，1，2} [C]{0，1，2，4} [D]{1，4} 2．已知a，b∈R，(a＋i)i＝b－2i(i为虚数单位)，则复数z＝a＋bi的共轭复数为(　　) [A]－2＋i [B]2－i [C]1＋2i [D]1－2i 3．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　　) [A]充要条件 [B]必要不充分条件 [C]充分不必要条件 [D]既不充分也不必要条件 4．已知集合A＝，B＝{x|2x2＋x－1<0}，则A∩B＝(　　) [A] [B]{x|－1<x<1} [C] [D]{x|0<x<1} 5．已知复数z＝，i是虚数单位，则复数－4在复平面内对应的点位于(　　) [A]第一象限 [B]第二象限 [C]第三象限 [D]第四象限 6．已知命题“∃x∈R，使(m－3)x2＋(m－3)x＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) [A](7，＋∞) [B](3，7) [C][3，7) [D](－∞，3] 7．下列函数中最小值为8的是(　　) [A]y＝x2＋4x＋5 [B]y＝|cos x|＋ [C]y＝ln x＋ [D]y＝4x＋42-x 8．已知a＞0，b＞0，则使≥4成立的一个充分不必要条件是(　　) [A]a2＋b2＝1 [B]a＋b≥4ab [C]a＋b＝1 [D]≥8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是(　　) [A]∈Q [B]集合A，B，若A∪B＝A∩B，则A＝B [C]若A∩B＝B，则B⊆A [D]若a∈A，a∈B，则a∈A∩B 10．已知复数z＝是z的共轭复数，则下列说法正确的是(　　) [A]z的实部为 [B]复数在复平面中对应的点在第四象限 [C]z＞ [D]z·＝ 11．已知实数a，b满足a＜b，则(　　) [A]a2＜b2 [B]a3＜b3 [C]＜ [D]a－sin a＜b－sin b 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a2}，若A∪B＝A，则a＝________． 13．已知x＞0，y＞0，且6y＋2x＋xy＝14，则x＋3y的最小值为 ________． 14．设函数f (x)＝2x2＋bx＋c，不等式f (x)<0的解集是(1，5)，则f (x)＝________；若对于任意x∈[1，3]，不等式f (x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$