7.2  相遇问题（1个知识点+3类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（北师大版）

7.2  相遇问题 学习重难点 学习目标 1、会用方程解决相遇问题。(重点) 2、找准等量关系并列方程。(难点) 3、根据数量关系，用方程解决简单的实际问题。(难点) 1、会分析简单实际问题中的数量关系，提高用方程解决简单实际问题的能力。 2、学会分析简单实际问题中的数量关系，提高用形如ax±bx=c的方程解决实际问题的能力。 3、经历解决问题的过程，体验数学与日常生活密切相关，提高收集信息、处理信息和建立模型的能力。 知识点一列方程解决相遇问题 用一体解法如下: 1.解形如“ax±bx=c”(a≠0，b≠0)类型的方程，要根据乘法分配律和等式的性质来解，具体揭发如下： ax±bx=c 解:(a±b)x=c (α±b)x÷(a±b)= c÷( a±b) x=c÷( a±b) 2、在解决相遇问题时，可利用“速度和x相遇时间=路程和”这个等量关系来列方程解答。 题型一列方程解相遇问题求距离 1．沪宁高速公路全长约270千米，两辆汽车分别从上海和南京两地出发，相向而行，1.5小时后在途中相遇。一辆汽车平均每小时行100千米，另一辆汽车平均每小时行多少千米？ 【答案】80千米 【分析】根据相遇问题的公式可得出等量关系：速度和×相遇时间＝公路全长，据此列出方程并求解。 【解答】解：设另一辆汽车平均每小时行x千米。 1.5（100＋x）＝270 1.5（100＋x）÷1.5＝270÷1.5 100＋x＝180 100＋x－100＝180－100 x＝80 答：另一辆汽车平均每小时行80千米。 2．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行60千米，乙车每时行48千米，两车在离中点30千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？ 【答案】540千米 【分析】两车在离中点30千米处相遇，甲车超过中点30千米，乙车没有到中点30千米，则甲车的路程比乙车的路程多行驶60千米。甲车行驶的路程＝甲车的速度×相遇的时间，乙车行驶的路程＝乙车的速度×相遇的时间。设经过x小时两车相遇，则数量关系式为：甲车的速度×相遇的时间－乙车的速度×相遇的时间＝60。再根据等式的性质2解方程得出相遇的时间，则A、B两地间的距离＝甲、乙速度和×相遇时间。 【解答】解：设经过x小时两车相遇。 60x－48x＝30×2 12x＝60 x＝60÷12 x＝5 （60＋48）×5 ＝108×5 ＝540（千米） 答：A、B两地间的距离是540千米。 题型二列方程解相遇问题求时间 3．北京到郑州的铁路线长690千米，一列火车从北京出发，每小时行110千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米。两列火车同时出发，几小时后相遇？ 【答案】3小时 【分析】根据路程＝速度×时间；设两列火车同时出发，x小时后相遇；一列火车从北京出发，每小时行110千米，x小时行驶110x千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米，x小时行驶120x千米，两车行驶的路程相加，等于北京到郑州的距离，列方程：110x＋120x＝690，解方程，即可解答。 【解答】解：设两列火车同时出发，x小时后相遇。 110x＋120x＝690 230x＝690 x＝690÷230 x＝3 答：两列火车同时出发，3小时后相遇。 4．甲城到乙城的公路长为470千米，快慢两辆汽车同时从两城相向开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行44千米，经过多少小时两车相遇？（列方程解答，并写出等量关系式） 【答案】快车走的路程＋慢车走的路程＝两城之间的距离；5小时 【分析】相遇问题中，两车行驶的时间是一样的，路程＝速度×时间。设两车相遇的时间为x小时，根据数量关系式：快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝甲乙两地之间的距离。列出方程求出相遇的时间。 【解答】快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝甲乙两地之间的距离。 解：设经过x小时两车相遇。 50x＋44x＝470 94x＝470 94x÷94＝470÷94 x＝5 答：经过5小时两车相遇。 5．小刚和小强同时从同一点出发，沿着400米环形跑道向相反方向慢跑，小刚每分钟跑95米，小强每分钟跑105米。几分钟后两人第一次相遇？ 【答案】2分钟 【分析】根据相遇问题的公式可得出等量关系：（小刚的速度＋小强的速度）×相遇时间＝路程，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设分钟后两人第一次相遇。 （95＋105）＝400 200＝400 200÷200＝400÷200 ＝2 答：2分钟后两人第一次相遇。 题型三方程解相遇问题求速度 6．甲、乙两车同时分别从A，B两地相对开出，1.5小时后两车在距离中点36千米处相遇。已知甲车每小时的速度比乙车的2倍少4千米，甲车每小时行多少千米？ 【答案】100千米 【分析】由题意可知，经过1.5个小时，甲车比乙车多行了2个36千米，如果设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（2x－4）千米/时。根据速度×时间＝路程，那么甲车行驶路程是（2x－4）×1.5，乙车行驶路程是1.5x，再根据“甲车行驶路程－乙车行驶路程＝甲车比乙车多行的路程”。列方程解答，最后把解出的数值代入（2x－4）中，据此解答。 【解答】解：设乙车每小时行x千米，则甲车每小时行（2x－4）千米。 （2x－4）×1.5－1.5x＝36×2 2x×1.5－4×1.5－1.5x＝72 3x－6－1.5x＝72 1.5x－6＝72 1.5x－6＋6＝72＋6 1.5x＝78 1.5x÷1.5＝78÷1.5 x＝52 2×52－4 ＝104－4 ＝100（千米） 答：甲车每小时行100千米。 7．两地间的路程是17千米，甲、乙两队学生同时从两地出发，相向而行，经过2小时相遇。甲队学生每小时走4.5千米，乙队学生每小时走多少千米？ 【答案】4千米 【分析】根据“速度和×相遇时间＝路程”可得出等量关系：（甲队学生的速度＋乙队学生的速度）×相遇时间＝两地间的路程，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设乙队学生每小时走千米。 （4.5＋）×2＝17 （4.5＋）×2÷2＝17÷2 4.5＋＝8.5 4.5＋－4.5＝8.5－4.5 ＝4 答：乙队学生每小时走4千米。 8．甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】63千米 【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间＋客车速度×时间＋135＝540，据此列出方程求解即可。 【解答】解：设货车每小时行驶x千米。 3×72＋3x＋135＝540 216＋3x＋135＝540 351＋3x＝540 3x＝540－351 3x＝189 x＝189÷3 x＝63 答：货车每小时行驶63千米。 一、选择题 1．佳佳和青青分别从相距822米的两地同时出发，相向而行，佳佳每分走72米，青青每分走65米。他们分后相遇，下面所列方程中错误的是（    ）。 A． B． C． 2．甲，乙两船同时从相距250千米的码头相向而行，6时后相遇。甲船每时行驶21千米，乙船每时行驶m千米。下面所列方程正确的是（    ）。 A． B． C． 3．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米。途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达B地。A、B两地间的路程是（    ）。 A．270 B．400 C．360 D．800 4．笑笑和淘气合打一篇600字的文稿，笑笑每分打50个字，淘气每分打45个字，两人同时打，x分能打完这篇文稿。下面的列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 5．甲、乙两个工程队铺一条长1540米的公路，他们从两端同时施工，11天铺完，甲队每天铺80米，乙队每天铺（    ）米。 A．140 B．50 C．60 二、填空题 6．小狗站在百米跑道的终点，看到起点有一个像是它主人的人向它走来。它盯着看了5秒，确定那就是主人，于是它以3米/秒的速度向主人跑去，若主人的行走速度是2米/秒，则小狗跑了（ ）秒和主人相遇。 7．师徒两人合作加工300个零件，师傅每时加工18个，徒弟每时加工12个，几时能加工完成？若设x时能加工完成，可列方程为（ ）。 8．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差（ ）分钟。 9．A、B两地相距12千米，甲、乙两人骑自行车同时从A、B两地出发，相向而行，经过30分钟后相遇。已知甲每分骑行0.22千米，则乙每分骑行多少千米？解：设乙每分骑行x千米。可列方程（ ），解得x＝（ ）。 10．王娟和李丽合作录入一份2870字的稿件，王娟每分录入85个字，李丽每分录入95个字。王娟先开始录入，录入2分，然后李丽再一起录入。她们再录入几分才能录完？题中的等量关系是：（ ）。解：设她们再录入x分才能录完，可列方程是（ ）。 三、计算题 11．看图列式或列方程计算。 四、解答题 12．A、B两地相距395千米，甲开货车从A地出发，1小时后乙开小轿车从B地出发，相向而行。甲每时行驶50千米，乙每时行驶65千米。乙出发后多长时间甲乙相遇？ 13．甲、乙两车同时从相距420千米的A、B两地相向开出，甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶80千米。 （1）估计两车在何处相遇，用“▼”在图中标记出来。 （2）两车经过几小时相遇？ 14．港珠澳大桥全长55千米，是当今世界总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一。王叔叔和李叔叔两人分别驾车从桥的两端同时出发，相向而行。王叔叔每分钟行驶1.3千米，李叔叔每分钟行驶1.2千米，行驶多少分钟后两人相遇？（用方程解答） 15．东东和明明相约一起玩。两人约定同时从家出发，如图，东东家到明明家的路程是1400米。 （1）估计两人相遇的地方大概在什么地方，请用★标出来。 （2）出发几分钟后二人相遇？ （3）相遇地点与东东家相距多少米？ 参考答案 1．A 【分析】速度×时间＝路程，根据佳佳速度×相遇时间＋青青速度×相遇时间＝总路程，佳佳和青青速度和×相遇时间＝总路程，即可列出方程，据此分析。 【解答】A．，佳佳速度×相遇时间－青青速度×相遇时间＝两人路程差，方程错误； B．，用到的等量关系：佳佳速度×相遇时间＋青青速度×相遇时间＝总路程，方程正确； C．，用到的等量关系：佳佳和青青速度和×相遇时间＝总路程，方程正确。 方程中错误的是。 故答案为：A 2．B 【分析】解决相遇问题的依据是：甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝路程，据此解答即可。 【解答】由分析可列方程： 故答案为：B 【点评】本题主要考查了学生对相遇问题数量关系的掌握以及列方程解方程的能力。 3．B 【分析】由题意可知：行完全程，设乙行完全程用x小时，则甲用（x－3＋1）小时，进而利用两车行驶的总路程相等，即可列方程求解。 【解答】解：设乙车行完全程用x小时。 50×（x－3＋1）＝40x 50x－100＝40x 50x－40x＝100 10x＝100 x＝10 10×40＝400（千米） 故答案为：B 【点评】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 4．C 【分析】根据题目的数量关系，逐项分析。 【解答】A．的左边表示笑笑x分打字数量，右边表示两人x分合作的字数，方程不成立，错误； B．的左边表示淘气x分打字数量，右边表示两人x分合作的字数，方程不成立，错误； C．是根据等量关系式：两人打字的速度和×合作时间＝合作总字数，列出的方程，正确； D．的左边表示笑笑1分和淘气x分打字的数量和，右边表示两人x分合作的字数，方程不成立，错误。 故答案为：C 【点评】本题考查用方程解决实际问题。明确题目中的等量关系是列出方程的关键。 5．C 【分析】设乙队每天铺x米，甲队铺的米数＋乙队铺的米数＝公路总长度，据此列方程解答。 【解答】解：设乙队每天铺x米。 11×80＋11x＝1540 11x＝660 x＝60 故选择：C 【点评】此题考查了列方程解决实际问题，找出等量关系认真解答即可。 6．18 【分析】设小狗跑了秒和主人相遇。根据等量关系：100米＝小狗秒跑的路程＋主人秒行的路程＋主人5秒行的路程，列出方程即可求解。 【解答】解：设小狗跑了秒和主人相遇。 3＋2＋2×5＝100 3＋2＋10＝100 5＋10＝100 5＋10－10＝100－10 5＝90 5÷5＝90÷5 ＝18 小狗跑了18秒和主人相遇。 7．18x＋12x＝300 【分析】设x时能加工完成，根据师傅每时加工个数×时间＋徒弟每时加工个数×时间＝总个数，列出方程即可。 【解答】解：设x时能加工完成。 18x＋12x＝300 30x＝300 30x÷30＝300÷30 x＝10 10时能加工完成。 若设x时能加工完成，可列方程为18x＋12x＝300。（答案不唯一） 8．9.6 【分析】设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分，两辆车之间的距离是相等的。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上是一个追及问题，则（电车的速度－小王的速度）×12＝两车之间的距离。每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇则（电车的速度＋小王的速度）×8＝两车之间的距离。则12（x－y）＝8（x＋y），化简得x＝5y。则两辆车之间的距离是得出48y。相邻两辆电车的发时间＝两车路程÷电车车速。 【解答】设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分。 12（x－y）＝8（x＋y） 12x－12y＝8x＋8y 12x－8x＝12y＋8y 4x＝20y x＝5y 两辆车之间距离：12（x－y） ＝12（5y－y） ＝12×4y ＝48y（米） 则相邻两辆电车的发时间：48y÷x＝48y÷5y＝48÷5＝9.6（分钟） 则相邻两辆电车的发车时间相差9.6分钟。 9． 0.18 【分析】速度×时间＝路程，设乙每分骑行x千米，根据两车速度和×相遇时间＝总路程，列式方程，解方程即可。 【解答】解：设乙每分骑行x千米。 可列方程，解得x＝0.18。 10． 王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数 85×2＋（85＋95）x＝2870 【分析】由于王娟先录入2分钟，2分钟之后李丽一起录入，可以用王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数，由于再录入x分钟录完，据此即可列方程。 【解答】由分析可知： 等量关系是：王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数。 列方程为：85×2＋（85＋95）x＝2870 【点评】本题主要考查列简易方程，关键是找准等量关系。 11．52分 【分析】由线段图以及相遇问题的公式，可得出等量关系：速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列出方程，并求解。 【解答】（5＋3）＝416 解：8＝416 8÷8＝416÷8 ＝52 经过52分后相遇。 12．3小时 【分析】设乙出发后x小时甲乙相遇，根据等量关系，甲先1小时行驶的路程＋甲相遇时行驶的路程＋乙相遇时行驶的路程＝A、B两地相距的路程，列方程解答即可。 【解答】解：设乙出发后x小时甲乙相遇。 50×1＋50x＋65x＝395 50＋50x＋65x＝395 50＋115x＝395 50＋115x－50＝395－50 115x＝345 115x÷115＝345÷115 x＝3（小时） 答：乙出发后3小时甲乙相遇。 13．（1）见详解 （2）3小时 【分析】（1）已知甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶80千米，即甲车的速度比乙车的速度慢，那么相遇时，甲车行驶的路程比乙车少，据此估计出两车相遇的地点，用“▼”在图中标记出来。 （2）根据相遇问题的公式“速度和×相遇时间＝路程”可得出等量关系：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝A、B两地的距离，据此列出方程，并求解。 【解答】（1）如图： （2）解：设两车经过小时相遇。 （60＋80）＝420 140＝420 140÷140＝420÷140 ＝3 答：两车经过3小时相遇。 14．22分钟 【分析】根据题意，设行驶x分钟后两人相遇，根据速度×时间＝路程，王叔叔行驶的路程加上李叔叔行驶的路程等于港珠澳大桥的全长，据此列出方程并求解即可。 【解答】解：设行驶x分钟后两人相遇。 1.3x＋1.2x＝55 2.5x＝55 2.5x÷2.5＝55÷2.5 x＝22 答：行驶22分钟后两人相遇。 15．（1）见详解； （2）10分钟后； （3）600米 【分析】（1）明明比东东的速度快一些，所以两人相遇时，明明走的路程远一些，据此估计两人在何处相遇，用★在图上标出来即可； （2）根据：速度和×相遇时间＝路程和，设出发x分钟后二人相遇；列方程为（60＋80）x＝1400，然后解出方程即可。 （3）根据：速度×时间＝路程，用东东的速度乘两人相遇用的时间，求出相遇地点距东东家有多远即可。 【解答】（1）如图： （2）解：设出发x分钟后二人相遇。 （60＋80）x＝1400 140x＝1400 140x÷140＝1400÷140 x＝10 答：出发10分钟后二人相遇。 （3）（米） 答：相遇地点与东东家相距600米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$