数学（江苏连云港专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（江苏连云港专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 几何图形的折叠问题 1 押题猜想二 实数的混合运算 3 押题猜想三 解不等式 4 押题猜想四 锐角三角函数的应用 5 押题猜想五 数据分析 7 押题猜想六 平行四边形的性质与判定 11 押题猜想七 二元一次方程组的应用 13 押题猜想八 反比例函数与一次函数的综合 16 押题猜想九 二次函数的应用 19 押题猜想十 三角形的综合问题 21 押题猜想一 几何图形的折叠问题 限时：5min （改编）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则BP的长为 ． 押题解读 几何图形的折叠问题考察形式多为填空为主，给出折叠图形求角度、线段长度等。内容围绕折叠前后图形对称性，涉及三角形、四边形等。解题方法利用折叠性质找相等角和线段，结合勾股定理等知识。难度中等，需较强空间想象与逻辑推理能力，要能准确还原折叠后图形关系。 （江苏连云港热考点）1．如图，在矩形中，，，点是的中点，过点作直线分别交矩形的边于点，，将四边形沿直线翻折得到，连接，若，则的长为 ． 2．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，点落在点的位置，若，则 ． 3．如图，在矩形中，，，为边上的动点，连结，，将沿折叠得，再将沿折叠得（与为对应点），当点落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是 ． 4．如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为 5．如图，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点落在平行四边形内的点处，且，如果，，，那么的长为 ． 押题猜想二 实数的混合运算 限时：3min （原创）计算：-22； 押题解读 实数的混合运算主要以计算题形式考查，直接要求运算结果。内容涵盖有理数、无理数加减乘除、乘方等混合运算及绝对值、括号等。解题按运算顺序，先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内。难度较易，但需细心，避免符号、顺序等计算错误，确保结果准确。 1．计算： 2．计算：． 3．计算：． 4．计算：． 5．计算：． 押题猜想三 解不等式 限时：6min 解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 押题解读 解不等式主要在解答题中出现，要求解不等式并在数轴上表示解集。内容是一元一次不等式及一元一次不等式组。解题依据不等式基本性质，移项、合并同类项、系数化为 1，注意不等号方向变化。难度中等，准确运用性质是关键，防止因粗心出错。 1．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 2．解不等式：，并在如图所示的数轴上表示出其解集． 3．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 4．解不等式：；并把不等式的解集在数轴上表示出来． 5．解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集． 押题猜想四 锐角三角函数的应用 限时：8min 1．如图，青岛祈福灯塔位于奥帆中心情人坝的尽头，是为了满足2008年奥帆赛的需要而建造的，如今游客观光时可通过灯塔位置判断相对方位．一艘游船位于点时，测得A位于的南偏东，，当游船行驶到点时，测得A位于的北偏东，． (1)求，两地在南北方向的距离； (2)，两地的距离为________． （结果保留根号．参考数据：，，，，，） 押题解读 锐角三角函数的应用多以解答题形式结合测量、建筑等实际问题出现。内容是用锐角三角函数解决直角三角形相关实际问题，如求高度、距离等。解题先构建直角三角形模型，再依三角函数定义列式计算。难度中等，要把实际问题转化为数学模型，找准对应三角函数关系。 （跨学科融合）1． “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小聪同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，防止试管里的冷凝水倒流，引起试管炸裂，‌铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，，结果保留1位小数） (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求水槽壁到铁杆（右图线段）的长度． 2．图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆O，，及是支撑杆，点C在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点P．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点Q，的延长线交半圆O于点． (1)求半径的长； (2)乘坐时（如图3），点D到地面的高度为多少？ (3)请直接写出的长是_______． 3．今年是世界反法西斯战争暨中国抗日战争胜利80周年． (1)某小组参观侵华日军南京大屠杀遇难同胞纪念馆，测量纪念碑高度．身高，眼（点C）距离地面的张明站在距离纪念碑的D处，测得仰角．求纪念碑的高度．（结果精确到，参考数据：，） (2)作为新时代的接班人，我们能做些什么？ 4．随着科技的进步．人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人．基座与地面垂直，基座米．大臂米．小臂米．大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，．（图中点线在同一个平面内） (1)求机械臂机器人抓手距离地面的最大高度；（精确到米） (2)设抓手到直线的水平距离为，当时，求的取值范围．（精确到米）（参考数据：，） 5．人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到展示台上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡与地面夹角为时．运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长3米，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算展示台的高度及斜坡加长后多占多长一段地面？（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 押题猜想五 数据分析 限时：8min 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级：88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； (2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； (3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 押题解读 数据分析常见于解答题，给出统计图表数据要求分析计算。内容涉及平均数、中位数、众数、方差等统计量计算与分析及数据收集整理。解题依公式计算统计量，通过图表分析数据特征和趋势。难度较易，关键是理解统计概念和图表信息，准确计算分析。 1．我校为提高学生的安全意识，组织八、九年级学生开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 中位数 8 众数 9 方差 (1)根据以上信息可以求出：___________，___________，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)在这两个年级中，成绩更稳定的是___________（填“八年级”或“九年级”）； (3)已知该校八年级有1000人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 2．某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：    平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； (3)若要从七八年级选一个年级代表学校参加比赛，你认为应该选哪个年级？ 为什么？ 3．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 4．电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全．为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理描述和分析，成绩得分用表示，共分成四组：组，组，组，组，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84，90，86，99，95，100，89，90，81，96，八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：90，94，94，根据以上信息，解答下列问题： 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 众数 100 方差 52 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 (1)上述图表中，______，______，______； (2)根据以上数据，你认为七、八年级哪个年级掌握的相关知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有1000人，八年级有800人参与此次竞赛，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 押题猜想六 平行四边形的性质与判定 限时：10min 1．如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 押题解读 平行四边形的性质与判定填空、选择、解答题均有，常结合其他几何知识。内容包括平行四边形边、角、对角线性质及判定方法。解题根据已知条件选合适性质或判定定理进行证明或计算。难度中等，需熟练掌握性质和判定方法，灵活运用解决问题。 1．如图：在平行四边形中，点F在上，且． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹保留在图中）， (2)求证：四边形为菱形． 2．如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 3．如图．在中，是的中点，连接是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 4．如图，中，分别是边上的点，，连接．    (1) 求证：； (2) 连接，若，点为的中点，，求的长． 5．如图，为的对角线，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，平行四边形的周长为12，，求菱形的面积． 5．如图，在矩形中，，点E，F分别在边上．将沿折叠，点D的对应点G恰好落在对角线上；将沿折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)若，求四边形的面积． 押题猜想七 二元一次方程组的应用 限时：10min （改编）1．2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉祥物和3个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元． (1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元． (2)某公司举行“追梦新时代  巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖名，奖励一件B种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？ 押题解读 二元一次方程组的应用主要为解答题，依实际问题列方程组求解。内容有行程、工程、分配等实际应用问题。解题设未知数，找等量关系列方程组，用代入法或加减法求解。难度中等，找准等量关系是关键，要能把实际问题抽象为方程组。 （生活实际题）1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水_____； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． （热点问题）2．电影《哪吒2》成为首部登顶动画票房榜榜首的亚洲电影，与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来，哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件深受游客喜爱，某经销商计划同时购进哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件两种玩具．据了解，16个手办盲盒摆件和10个雕像模型摆件的进价共计1600元；24个手办盲盒摆件和20个雕像模型摆件的进价共计2800元． (1)求购进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需多少元？ (2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进手办盲盒摆件和雕像模型摆件共200个，要求购买的总费用不超过12400元，求最多可以购买雕像模型摆件多少个？ （中考新趋势）3．材料题 生活中的数学：确定租车方案 信息一 出租车公司有A、B两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 记录单 租用A型客车数量/辆 租用B型客车数量/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 1200 记录单2 3 2 2800 信息二 载客量：A型客车每辆有30个座位，B型客车每辆有50个座位． 任务一 （1）根据该公司租车记录单上的信息，确定A、B两种型号客车每辆的租金分别是多少元？ 任务二 （2）已知七年级师生共460人前往某教育基地研学，决定租用A，B两种型号客车共10辆作为交通工具（可以有空的位置，但确保每个人都有位置坐），请你设计出一种最省钱的租车方案． 4．“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需190元；购进6本A类图书和2本B类图书共需230元． (1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)若该书店购进这两类图书恰好用了50000元，进货时，A类图书的数量不少于500本．已知A类图书每本的售价为35元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 5．某风扇专卖店准备购进两款电风扇，一款是手持小电风扇，一款是落地大电风扇．已知第1批购进台小电风扇和台大电风扇共需要元，第批购进台小电风扇和台大电风扇共需要元． (1)设购进一台小电风扇和一台大电风扇分别需要元，元，请用含，的代数式填表． 批数 购进小电风扇的花费 购进大电风扇的花费 购进大，小电风扇的总花费 第批 第批 ______ (3) 在进价不变的情况下，若该专卖店第批购进小电风扇台，大电风扇台，则购进这两种电风扇共花费了多少元？ 押题猜想八 反比例函数与一次函数的综合 限时：12min 1.直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 押题解读 反比例函数与一次函数的综合以解答题形式考查，涉及函数图像、解析式及交点等问题。内容是反比例函数与一次函数图像位置关系、交点坐标计算及应用。解题先确定函数解析式，联立方程求交点，根据图像分析性质。难度较难，对函数理解和综合运用能力要求高，要能准确把握函数特征。 1．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. (1)直接写出的值； (2)①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 2．如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)分别求出函数与的函数表达式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P为y轴上的一个动点，当最小时，求出点P坐标． 3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围． 4．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)若点为轴正半轴上一点，且满足，求点的坐标． 押题猜想九 二次函数的应用 限时：12min 1. 已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； 押题解读 二次函数的应用多在解答题中出现，结合实际情境如销售、建筑等。内容是二次函数解析式的确定及利润最大、面积最大等最值问题。解题根据已知条件设解析式，用顶点式或配方法求最值。难度中等偏上，要能建立函数模型解决实际问题，理解函数与实际的联系。 1．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求点到直线的距离； (3)当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 2．已知二次函数（其中为常数）． (1)若该函数图像经过点和，求的值； (2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； (3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 3．已知二次函数（为常数）， (1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 4．已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 5．已知二次函数（b，c为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点，． ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上，求m的值． (2)若二次函数的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当时，该二次函数的最大值是2，求b的值． 押题猜想十 三角形的综合问题 限时：15min 1．问题呈现 和都是直角三角形，，，，连接，探究的位置关系． 问题探究 （1）如图1，当时，直接写出的位置关系：______ （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 拓展应用 （3）将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，若，直接写出m的值． 押题解读 三角形的综合问题以复杂图形为背景的解答题为主，考查多个知识点。内容涉及三角形全等、相似、勾股定理等知识综合运用。解题添加辅助线构造全等或相似三角形，运用相关定理解题。难度难，对知识综合运用和思维能力要求很高，要能从复杂图形中找出关键关系。 1．在数学活动课上，沈老师给出如下问题：如图3，在中，，，，求的长． ①如图4，小浩同学延长至点，使得，连接，通过可求的长； ②如图5，小宇同学作的平分线，交于点D，可得，通过可求的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程； 【类比分析】 沈老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将倍角关系转化为等角关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，沈老师提出了下面的问题，请你解答． （2）如图6，在中，，，点D，E分别在，上，，试探究，，之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图7，于点C，，点在上，，，，求的长． 2．正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； [初步探究] （1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是________；与的位置关系为________ [探索发现] （2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由． [拓展延伸] （3）如图③，连接，若，，则的长为________ 3．已知和都是等边三角形 【模型建立】（1）如图1，当点D在边上时，连接．用等式写出线段和的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接．用等式写出线段和的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在等边三角形中，，点E在边上，点D是线段上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，求的长． 4．（1）操作发现： 如图①，在中，，点D是上一点，沿折叠，使得点C恰好落在上的点E处．请写出，，之间的关系______________； （2）问题解决： 如图②，若（1）中，其他条件不变，请猜想，，之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形中，，，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（江苏连云港专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 几何图形的折叠问题 1 押题猜想二 实数的混合运算 8 押题猜想三 解不等式 10 押题猜想四 锐角三角函数的应用 14 押题猜想五 数据分析 24 押题猜想六 平行四边形的性质与判定 32 押题猜想七 二元一次方程组的应用 43 押题猜想八 反比例函数与一次函数的综合 50 押题猜想九 二次函数的应用 60 押题猜想十 三角形的综合问题 70 押题猜想一 几何图形的折叠问题 限时：5min （改编）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则BP的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，设，得到，证明，列出比例式求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，设， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴BP=2 故答案为：2． 押题解读 几何图形的折叠问题考察形式多为填空为主，给出折叠图形求角度、线段长度等。内容围绕折叠前后图形对称性，涉及三角形、四边形等。解题方法利用折叠性质找相等角和线段，结合勾股定理等知识。难度中等，需较强空间想象与逻辑推理能力，要能准确还原折叠后图形关系。 （江苏连云港热考点）1．如图，在矩形中，，，点是的中点，过点作直线分别交矩形的边于点，，将四边形沿直线翻折得到，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．连接，根据矩形的性质结合题意可知，，则，，可知为的中位线，则，由折叠可知，，，，设，则，在中，，列出方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，，， 则， 连接， ∵点是的中点， ∴， ∵，，， ∴，则， ∴， ∴为的中位线，则， 由折叠可知，，，， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，点落在点的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同旁内角互补，得出，再根据折叠性质得，，即可作答． 【详解】解：∵长方形纸带，， ∴， ∴， ∵将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，为边上的动点，连结，，将沿折叠得，再将沿折叠得（与为对应点），当点落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形与折叠，相似三角形的判定和性质是关键． 如图所示，点重合时，，设，则，，在中，；如图所示，点在上，，；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，点重合时， ∵折叠， ∴， 在中，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 如图所示，点在上， 根据折叠得到，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 根据上述计算得到， ∴，整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意； 当时，，即点在延长线上，不符合题意； ∴， ∴当点落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是， 故答案为： ． 4．如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质，四边形内角和定理及三角形内角和定理：根据得到，根据折叠得到，，，结合得到，，，结合四边形内角和求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点落在平行四边形内的点处，且，如果，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角函数等，如图，过点作于，过点作于，交于，可证四边形是矩形，可得，，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理即可求出的长，添加恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，交于， ∵四边形是平行四边形 ， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵将沿直线折叠， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 押题猜想二 实数的混合运算 限时：3min （原创）计算：-22； 【答案】-8；【分析】本题主要考查整式的混合运算，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解题的关键是掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则． 【详解】（1）原式=-3+(-2)+1-4= -8； 押题解读 实数的混合运算主要以计算题形式考查，直接要求运算结果。内容涵盖有理数、无理数加减乘除、乘方等混合运算及绝对值、括号等。解题按运算顺序，先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内。难度较易，但需细心，避免符号、顺序等计算错误，确保结果准确。 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算乘方，求解算术平方根，立方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 2．计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根，化简绝对值等，准确计算是正确解答此题的关键． 先算立方根，化简绝对值，乘法，再合并即可． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了化简二次根式，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算零指数幂，化简二次根式及绝对值，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可．熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式． 押题猜想三 解不等式 限时：6min 解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，解题关键是明确不等式的性质，两边同时除以一个负数不等号的方向要改变，在数轴上表示不等式的解集时“”，“”向右画，“”，“”向左画，“”，“”用实心点，“”，“”用空心圆．根据一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1，即可得到的范围，再把所得的的范围在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项得 合并同类项，得， 系数化为，得． 在数轴上表示此不等式的解集如图： 押题解读 解不等式主要在解答题中出现，要求解不等式并在数轴上表示解集。内容是一元一次不等式及一元一次不等式组。解题依据不等式基本性质，移项、合并同类项、系数化为 1，注意不等号方向变化。难度中等，准确运用性质是关键，防止因粗心出错。 1．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集即可得到答案．熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组得解集为， 将它的解集在数轴上表示出来，如图所示： ． 2．解不等式：，并在如图所示的数轴上表示出其解集． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解：去分母，得，     去括号，得， 移项，合并得． 系数化为1，得：． 所以原不等式的解来为：．     在数轴上表示不等式的解集为： 3．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同小取小”即可确定不等式组的解集，最后在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集为： 4．解不等式：；并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 5．解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．对不等式去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，并在数轴上表示该不等式的解集即可． 【详解】解：去分母、去括号，得，     移项，合并同类项，得，     系数化为1，得．     将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 押题猜想四 锐角三角函数的应用 限时：8min 1．如图，青岛祈福灯塔位于奥帆中心情人坝的尽头，是为了满足2008年奥帆赛的需要而建造的，如今游客观光时可通过灯塔位置判断相对方位．一艘游船位于点时，测得A位于的南偏东，，当游船行驶到点时，测得A位于的北偏东，． (1)求，两地在南北方向的距离； (2)，两地的距离为________． （结果保留根号．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)，两地在南北方向的距离为600米 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）过A作于 M，过B作于N，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论； （2）解，求得，解，求得，则，即，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：解：过A作于 M，过B作于N， 则 ∴四边形 为矩形， ∴， 由题意知，， ， 在 中，， ∵ 在 中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：B，C 两地在南北方向的距离 为 600 米． （2）解：在 中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 答：，两地的距离为． 故答案为：． 押题解读 锐角三角函数的应用多以解答题形式结合测量、建筑等实际问题出现。内容是用锐角三角函数解决直角三角形相关实际问题，如求高度、距离等。解题先构建直角三角形模型，再依三角函数定义列式计算。难度中等，要把实际问题转化为数学模型，找准对应三角函数关系。 （跨学科融合）1． “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小聪同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，防止试管里的冷凝水倒流，引起试管炸裂，‌铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，，结果保留1位小数） (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求水槽壁到铁杆（右图线段）的长度． 【答案】(1)试管口B与铁杆的水平距离的长度约为 (2)水槽壁到铁杆（右图线段）的长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∵， ∴； 答：试管口B与铁杆的水平距离的长度约为． （2）解：∵， ∴， 延长，交于点H， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：水槽壁到铁杆（右图线段）的长度为． 2．图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆O，，及是支撑杆，点C在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点P．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点Q，的延长线交半圆O于点． (1)求半径的长； (2)乘坐时（如图3），点D到地面的高度为多少？ (3)请直接写出的长是_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据勾股定理即可求解； （2）如图，过点作于点．得出，根据半圆与地面相切，得出．结合，证明，求出，再求出，根据点到地面的高度即为的长，即可求解； （3）根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； （2）解：如图，过点作于点． ， ． 半圆与地面相切于点， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ， 点到地面的高度即为的长， 点到地面的高度为； （3）解：由题意可知，弧的长为． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质，垂径定理等知识点，解题的关键是理解题意． 3．今年是世界反法西斯战争暨中国抗日战争胜利80周年． (1)某小组参观侵华日军南京大屠杀遇难同胞纪念馆，测量纪念碑高度．身高，眼（点C）距离地面的张明站在距离纪念碑的D处，测得仰角．求纪念碑的高度．（结果精确到，参考数据：，） (2)作为新时代的接班人，我们能做些什么？ 【答案】(1)纪念碑的高度为． (2)见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形并运用解直角三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． （1）由题意可得：，延长交于F，则四边形是矩形，得，然后解直角三角形求得，然后根据线段的和差即可解答． （2）根据自己所需知识舒爱国之情即可． 【详解】（1）解：如图：由题意可得：， 延长交于F，则四边形是矩形， ∴， ∵． ∴米， ∴． 答：纪念碑的高度为． （2）解：主动学习抗战历史知识，通过阅读书籍、参观纪念馆等方式，深入了解抗战的艰辛历程和伟大意义，将历史铭记于心． 4．随着科技的进步．人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人．基座与地面垂直，基座米．大臂米．小臂米．大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，．（图中点线在同一个平面内） (1)求机械臂机器人抓手距离地面的最大高度；（精确到米） (2)设抓手到直线的水平距离为，当时，求的取值范围．（精确到米）（参考数据：，） 【答案】(1)米； (2)米米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意，当抓手距离地面高度最大时，，取最大值，点三点共线，在中，解直角三角形即可求解； （）分三种情况讨论，画出图形，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由题意，当抓手距离地面高度最大时，取最大值，点三点共线， 此时在中，（米）， ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为：米； （2）解：如图2，由题意，当时，米， 延长交于点， 四边形为矩形， 米， 米； 如图3，当时，，米， 延长交于点， 米， ， 最小值为：米， 如图4，当时，最大， 此时，米， 的取值范围为米米． 5．人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到展示台上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡与地面夹角为时．运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长3米，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算展示台的高度及斜坡加长后多占多长一段地面？（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 【答案】展台高度约为米，斜坡加长后多占米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 设，则，在和中利用三角函数表示出相关线段的长度，利用公共边为等量关系即可求出未知数的解，并可求解． 【详解】解：设米，则米， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， 所以，展台高度约为米，斜坡加长后多占米． 押题猜想五 数据分析 限时：8min 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级：88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； (2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； (3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 【答案】(1)85，87，七 (2)估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人 (3)我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好，理由见解析 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【详解】（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 故该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数． A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． 故答案为：85，87，七． （2）解：（人）， 答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人． （3）解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差， 所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一） 押题解读 数据分析常见于解答题，给出统计图表数据要求分析计算。内容涉及平均数、中位数、众数、方差等统计量计算与分析及数据收集整理。解题依公式计算统计量，通过图表分析数据特征和趋势。难度较易，关键是理解统计概念和图表信息，准确计算分析。 1．我校为提高学生的安全意识，组织八、九年级学生开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 中位数 8 众数 9 方差 (1)根据以上信息可以求出：___________，___________，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)在这两个年级中，成绩更稳定的是___________（填“八年级”或“九年级”）； (3)已知该校八年级有1000人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)9，10 (2)八年级 (3)1296人 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级B中，可以确定的值，根据所占百分比最大的数据是众数，可以确定的值；根据题意得到八年级等级C人数后补全条形图即可． （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用分别用八、九年级的人数乘以各自的优秀率，然后相加即可得到答案． 【详解】（1）解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 八年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级B中， 故八年级中位数， 由扇形图可知：即等级A所占比例最多， 九年级众数， 由题可知：八年级等级C人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：，； （2）解：八、九年级平均分相同，而八年级中位数大于九年级中位数，八年级方差小于九年级方差， 八年级成绩更好，更稳定； 故答案为：八年级； （3）解：八年级优秀人数为人． 九年级优秀人数为人． ∴两个年级优秀学生总人数为人． 2．某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：    平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； (3)若要从七八年级选一个年级代表学校参加比赛，你认为应该选哪个年级？ 为什么？ 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． （1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数或众数作决策即可． 【详解】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80， ∴； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； （2）解：由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． （3）解：选择八年级参赛，因为七年级和八年级的平均成绩相同，但是八年级的众数比八年级的大，所以八年级参赛学生的成绩较好，从方差角度看，八年级的方差比七年级的小，所以八年级的成绩更稳定．选八年级代表学校参加比赛．（或七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好，选七年级代表学校参加比赛．） 3．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】(1) (2)8.36 (3)150人 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【详解】（1）解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． （2） 这组数据的平均数是8.36． （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 4．电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全．为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理描述和分析，成绩得分用表示，共分成四组：组，组，组，组，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84，90，86，99，95，100，89，90，81，96，八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：90，94，94，根据以上信息，解答下列问题： 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 众数 100 方差 52 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 (1)上述图表中，______，______，______； (2)根据以上数据，你认为七、八年级哪个年级掌握的相关知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有1000人，八年级有800人参与此次竞赛，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)八年级掌握的相关知识较好，理由见解析 (3)该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有1160人 【分析】（1）根据扇形统计图可求出“C组”所占的百分比，即可求出m的值，根据中位数、众数的意义可求出的值； （2）通过中位数、平均数进行分析得出答案； （3）利用七、八年级样本中的防电信诈骗意识较强的学生的占比分别乘以各对应的总人数，即可得到答案． 【详解】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩：84，90，86，99，95，100，89，90，81，96，出现次数最多的是90，故众数， ∵八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：90，94，94， ∴C组的百分比是， ∴ ∴ 根据各组占比可知，八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第从小到大排列后的第5个和第6个数据的平均数，即C组的94和94的平均数，即； 故答案为：，， （2）八年级掌握的相关知识较好，理由如下： 因为两个年级的平均数均为91，但八年级的中位数七年级的中位数90，所以八年级掌握的相关知识较好； （3）（人） 答：该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有人． 【点睛】本题考查扇形统计图统计表、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提． 押题猜想六 平行四边形的性质与判定 限时：10min 1．如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵E，F分别是边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 证明：连接交于O，如图， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判断，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的判断、平行四边形的性质、三角形中位线性质是解题的关键． 押题解读 平行四边形的性质与判定填空、选择、解答题均有，常结合其他几何知识。内容包括平行四边形边、角、对角线性质及判定方法。解题根据已知条件选合适性质或判定定理进行证明或计算。难度中等，需熟练掌握性质和判定方法，灵活运用解决问题。 1．如图：在平行四边形中，点F在上，且． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹保留在图中）， (2)求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）因为在平行四边形中，，故，以点A为圆心，为半径，画弧，分别与、交于点和，再以点和为圆心，大于为半径画弧，交于一点，然后连接A和这个交点，并延长交于一点，即为点，即可作答． （2）由尺规作的角平分线的过程可得，，，根据平行四边形的性质可得，然后证明，进而可得四边形为平行四边形，再由可得四边形为菱形； 此题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：由尺规作的角平分线的过程可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 2．如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行及角平分线得，即，从而得四边形是平行四边形，再由即可证明结论成立； （2）设交于点O，由菱形的性质及垂直关系得点G是线段的中点，得，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵ ∴； ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是菱形； （2）解：设交于点O，如图； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点， ∴； 在中，，， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线性质定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，熟悉菱形的判定与性质是解题的关键； 3．如图．在中，是的中点，连接是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题得，，得到，得出； （2）由，得到，由，是的中点，得到，得出，得到四边形是矩形，求出，，可证明，得到，求出． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ，， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．如图，中，分别是边上的点，，连接．    (1) 求证：； (2) 连接，若，点为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】根据平行四边形的性质可知，，利用可证； 连接，因为，根据等腰三角形的性质可知，利用锐角三角函数可求出，根据全等三角形的性质可得：． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）解：如下图所示， ，点为的中点， ，即， 又，， ， ， 由得， ．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 5．如图，为的对角线，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，平行四边形的周长为12，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先证明，根据平行四边形的周长为12得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程，解得：，设平行四边形的边上的高为，由于，，，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为12， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， 设平行四边形的边上的高为 ∴， ∵，， ∴． 5．如图，在矩形中，，点E，F分别在边上．将沿折叠，点D的对应点G恰好落在对角线上；将沿折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质及折叠的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到四边形为平行四边形，利用勾股定理求出，进而求出，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可解答． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ，，， ， 由折叠性质可得：，， ，，，，，， ，，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ，， ， 且， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，，， ， ， ， 设， 则，， 在中，，，， 由勾股定理得， 即， 解得， ． 押题猜想七 二元一次方程组的应用 限时：10min （改编）1．2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉祥物和3个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元． (1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元． (2)某公司举行“追梦新时代  巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖名，奖励一件B种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？ 【答案】(1)A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元 (2)购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程和一元一次不等式成为解题的关键． （1）设A种吉祥物每件的售价是元，B种吉祥物每件的售价是元，然后根据题意列二元一次方程求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式并求最小整数值，再根据一次函数求最小值，即可解答； 【详解】（1）解：设A种吉祥物每件的售价是元，B种吉祥物每件的售价是元， 由题意可知， 解得， 答：A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元； （2）解：由题意可知：， ， 设总费用为元，则， ， 随的增大而增大， 当时，取最小值， ， 购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱。 押题解读 二元一次方程组的应用主要为解答题，依实际问题列方程组求解。内容有行程、工程、分配等实际应用问题。解题设未知数，找等量关系列方程组，用代入法或加减法求解。难度中等，找准等量关系是关键，要能把实际问题抽象为方程组。 （生活实际题）1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水_____； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)； (2)乙同学接温水得时间为，开水的时间． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数乘法的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）乙同学接温水得时间为，开水的时间，根据题列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水：， 故答案为：； （2）解：设乙同学接温水得时间为，开水的时间， 根据题意得，， 解得：， 答：乙同学接温水得时间为，开水的时间． （热点问题）2．电影《哪吒2》成为首部登顶动画票房榜榜首的亚洲电影，与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来，哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件深受游客喜爱，某经销商计划同时购进哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件两种玩具．据了解，16个手办盲盒摆件和10个雕像模型摆件的进价共计1600元；24个手办盲盒摆件和20个雕像模型摆件的进价共计2800元． (1)求购进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需多少元？ (2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进手办盲盒摆件和雕像模型摆件共200个，要求购买的总费用不超过12400元，求最多可以购买雕像模型摆件多少个？ 【答案】(1)进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需元、元 (2)最多可以购买雕像模型摆件个 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）设进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需元、元，根据题意得，解得，即可得到答案； （2）设最多可以购买雕像模型摆件个，则购买哪吒系列手办盲盒摆件为个， 根据题意得，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需元、元， 根据题意得， 解得， 答：进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需元、元； （2）解：设最多可以购买雕像模型摆件个，则购买哪吒系列手办盲盒摆件为个， 根据题意得， 解得， 最多可以购买雕像模型摆件个． （中考新趋势）3．材料题 生活中的数学：确定租车方案 信息一 出租车公司有A、B两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 记录单 租用A型客车数量/辆 租用B型客车数量/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 1200 记录单2 3 2 2800 信息二 载客量：A型客车每辆有30个座位，B型客车每辆有50个座位． 任务一 （1）根据该公司租车记录单上的信息，确定A、B两种型号客车每辆的租金分别是多少元？ 任务二 （2）已知七年级师生共460人前往某教育基地研学，决定租用A，B两种型号客车共10辆作为交通工具（可以有空的位置，但确保每个人都有位置坐），请你设计出一种最省钱的租车方案． 【答案】任务一：每辆种型号客车的租金是400元，每辆种型号客车的租金是800元；任务二：租用2辆种型号客车，8辆种型号客车，最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． 任务一：设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务二：设租用辆种型号客车，则租用种型号客车辆，根据租用的客车可以有空的位置，但确保每个人都有位置坐，列出一元一次不等式，结合m为非负整数，即可得出各租车方案，再分别计算租金比较即可． 【详解】解：任务一，设每辆种型号客车的租金是元，每辆种型号客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆种型号客车的租金是400元，每辆种型号客车的租金是800元． 任务二，设租用辆种型号客车，则租用种型号客车辆， 根据题意得：， ， 又为非负整数， 或或 共有3种租车方案， 方案1：租用2辆种型号客车，8辆种型号客车，租金为：（元）； 方案2：租用1辆种型号客车，9辆种型号客车，租金为：（元）； 方案3：租用0辆种型号客车，10辆种型号客车，租金为：（元）； ∵， ∴租用2辆种型号客车，8辆种型号客车，最省钱． 4．“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需190元；购进6本A类图书和2本B类图书共需230元． (1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)若该书店购进这两类图书恰好用了50000元，进货时，A类图书的数量不少于500本．已知A类图书每本的售价为35元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)每本A类图书的进价为30元，每本B类图书的进价为25元 (2)购进A类图书500本、B类图书1400本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为9500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需190元；购进6本类图书和2本类图书共需230元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为W元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每本A类图书的进价为a元，每本B类图书的进价为b元． 根据题意，得， 解得． 答：每本A类图书的进价为30元，每本B类图书的进价为25元． （2）解：设购进A类图书x本，购进B类图书y本，全部售出后所获利润为W元． 根据题意，得，解得． ∴，其中． ∵，∴W随x的增大而减小． ∴当时，W最大，，此时． 答：购进A类图书500本、B类图书1400本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为9500元． 5．某风扇专卖店准备购进两款电风扇，一款是手持小电风扇，一款是落地大电风扇．已知第1批购进台小电风扇和台大电风扇共需要元，第批购进台小电风扇和台大电风扇共需要元． (1)设购进一台小电风扇和一台大电风扇分别需要元，元，请用含，的代数式填表． 批数 购进小电风扇的花费 购进大电风扇的花费 购进大，小电风扇的总花费 第批 第批 ______ (2)在进价不变的情况下，若该专卖店第批购进小电风扇台，大电风扇台，则购进这两种电风扇共花费了多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）根据题意得，解出方程，所以购进一台小电风扇需要元，购进一台大电风扇需要元，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第批购进大电风扇的花费为元， 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得：， ∴购进一台小电风扇需要元，购进一台大电风扇需要元， ∴第批购进小电风扇台，大电风扇台，共花费了（元）， 答：第批购进小电风扇台，大电风扇台，共花费了元． 押题猜想八 反比例函数与一次函数的综合 限时：12min 1.直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用先求出反比例函数的关系式，得到，再利用待定系数法求解一次函数关系式即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴反比例函数， 当时，， ∴； 将，代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ∵与相似， ∴当时，， ∴， 设点P的坐标为， 则， 解得， ∴此时点的坐标为； 当时，， ∴， 设，则，，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 押题解读 反比例函数与一次函数的综合以解答题形式考查，涉及函数图像、解析式及交点等问题。内容是反比例函数与一次函数图像位置关系、交点坐标计算及应用。解题先确定函数解析式，联立方程求交点，根据图像分析性质。难度较难，对函数理解和综合运用能力要求高，要能准确把握函数特征。 1．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. (1)直接写出的值； (2)①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 【答案】(1)4 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设点，由轴，轴，得到，，根据点P在反比例函数图象上，于是得到； （2）①在中，令，则；令，则，于是得到，，求得，根据等腰直角三角形的性质得到； ②由①知是等腰直角三角形，得到，过C作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设点， ∵轴，轴， ∴，， ∵点P在反比例函数图象上， ∴； （2）解：①证明：∵在中，令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②由①知是等腰直角三角形， ∴， 过C作轴于E，轴于F， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴m与n的函数关系式为. 2．如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)分别求出函数与的函数表达式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P为y轴上的一个动点，当最小时，求出点P坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点坐标，函数图象与几何图形面积问题，正确掌握一次函数与反比例函数的综合知识点是解题的关键． （1）将点A的坐标代入，求出m，再将点A的坐标代入，把代入，进而求得的解析式； （2）根据函数图象的交点坐标即可解答； （3）求出点B、点B关于y轴对称点，待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，可得， ∴， 把代入双曲线，可得， ∴与x之间的函数关系式为：． 把代入，可得， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴当时，不等式的解集为：． （3）解：，令，则， ∴点B的坐标为，则点B关于y轴对称点， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴，当最小，即时，． 3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)反比例函数为，一次函数的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，比例系数的几何意义，利用待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式； （）先求出点坐标，由面积关系列出不等式即可求解. 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过于，两点， ∴，解得：，， ∴反比例函数为，， ∵一次函数的图象相交，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵直线交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点是正半轴上的一个动点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 4．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． （1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据的面积等于12，再建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于12， ∴，即， 解得：或； ∴或． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)若点为轴正半轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析，一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，直角三角形的性质，理解题意，利用数形结合的思想是解决问题的关键． （1）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可； （2）结合函数的性质，根据图象观察可得一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可写出的取值范围． （3）由勾股定理可知，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可知，再结合题意可得点的坐标． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得：， ∴点的坐标为， 将代入反比例函数，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）由一次函数与反比例函数的图象的性质可知，另一个交点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 要使得，只需，即一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 由图象可知，此时或； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵点为轴正半轴上一点， ∴点的坐标为． 押题猜想九 二次函数的应用 限时：12min （改编）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； 【答案】(1)①；②的值为或 (2) 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可； （2）由点，在抛物线上，结合可得，计算求解即可； 【详解】（1）解：①∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即， 解得：，， ∴点， 故答案为：； ②∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大， ∴时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （2）解：∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：， 解得：； 押题解读 二次函数的应用多在解答题中出现，结合实际情境如销售、建筑等。内容是二次函数解析式的确定及利润最大、面积最大等最值问题。解题根据已知条件设解析式，用顶点式或配方法求最值。难度中等偏上，要能建立函数模型解决实际问题，理解函数与实际的联系。 1．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求点到直线的距离； (3)当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合应用； （1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，然后求出，再根据三角形的面积公式可得结论； （3）过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E下方时，分别根据列式求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入得：， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点， ， ∴， ∴点到直线的距离为； （3）解：过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，最高点为点，最低点为点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，最高点为点，最低点为点， ∴，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E下方时，即时，最高点为点，最低点点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 2．已知二次函数（其中为常数）． (1)若该函数图像经过点和，求的值； (2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； (3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 【答案】(1) (2)只有一个公共点，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题以及二次函数的图像和性质等知识． （1）利用待定系数法求解即可． （2）根据根的判别式判断即可． （3）法一：把两点分别代入二次函数得出和，然后做差即可比较． 法二：利用二次函数的图像和性质比较即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得． （2）解：， ， 图像与轴只有一个公共点． （3）解：法一： 由题意知 法二：对称轴为， 与关于对称轴对称， ∴当时，随着的增大而增大， ． ∴． 3．已知二次函数（为常数）， (1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键关键． （）将点的坐标代入函数表达式即可求解； （）分当时和当时两种情况即可求解； （）分情况，将特殊值代入新解析式进行求解即可得答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，则时，，则； 当时，则时，，则（舍去），， 综上可得：或； （3）解：当时，抛物线的表达式为：， ∵抛物线向下平移个单位， ∴， ∵新抛物线过点，且， 当抛物线和轴有一个交点时，即时，此时，符合题意； 当即时，，此时； 当即时，，此时； x． 4．已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．已知二次函数（b，c为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点，． ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上，求m的值． (2)若二次函数的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当时，该二次函数的最大值是2，求b的值． 【答案】(1)①；② (2)3和 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出平移后的顶点为，由平移后顶点恰好落在直线上即可求出答案； （2）分三种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得 ∴二次函数的表达式 ②∵， ∴顶点为， ∵图象向左平移m个单位， ∴平移后的顶点为 ∵平移后顶点恰好落在直线上， ∴， 解得． （2）∵二次函数图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍， ∴，即， ∴ ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数图象开口向下． ①当时，即， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时函数值最大， ∴， ∴（舍去）． ②当，即时，当时函数值最大， ∴ ∴． ③当，即时， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时函数值最大， ∴， ∴，（舍去） 综上所述，b的值为3和． 押题猜想十 三角形的综合问题 限时：15min 1．问题呈现 和都是直角三角形，，，，连接，探究的位置关系． 问题探究 （1）如图1，当时，直接写出的位置关系：______ （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 拓展应用 （3）将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，若，直接写出m的值． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况：D在线段上，E在线段上，同（2）知，，故，求出，根据勾股定理即可求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长交于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）成立；理由如下：延长交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）设， 当D在线段上时，如图： 同（2）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）； 当E在线段上时，如图： 同（2）可得，， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）； 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 押题解读 三角形的综合问题以复杂图形为背景的解答题为主，考查多个知识点。内容涉及三角形全等、相似、勾股定理等知识综合运用。解题添加辅助线构造全等或相似三角形，运用相关定理解题。难度难，对知识综合运用和思维能力要求很高，要能从复杂图形中找出关键关系。 1．在数学活动课上，沈老师给出如下问题：如图3，在中，，，，求的长． ①如图4，小浩同学延长至点，使得，连接，通过可求的长； ②如图5，小宇同学作的平分线，交于点D，可得，通过可求的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程； 【类比分析】 沈老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将倍角关系转化为等角关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，沈老师提出了下面的问题，请你解答． （2）如图6，在中，，，点D，E分别在，上，，试探究，，之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图7，于点C，，点在上，，，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2），证明过程见详解；（3）15 【分析】（1）小浩同学思路：延长至点，使得，连接，证明两角对应相等，可证明，得，即可得结果；小宇同学思路：作的平分线，交于点D，由，，可证明，进而得，即可得结果； （2）延长至点，使，连接，先证明，得，设，则，由，进而可得，即可得结论； （3）过点作，且，连接，，设交于点， 先证明，可得，，进而可得，设，则，推出，可得，同理可求，即可求解． 【详解】（1）解：小浩同学思路：延长至点，使得，连接， ， ， ，， ， ， ，， ， ，即， ； 小宇同学思路：作的平分线，交于点D， ，平分， ， ， ，， ， ， 即， ，； （2）解：，证明如下， 如图，延长至点，使，连接， ，， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，过点作，且，连接，，设交于点， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， 设，则， ， ， ， ， 同理，， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 2．正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； [初步探究] （1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是________；与的位置关系为________ [探索发现] （2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由． [拓展延伸] （3）如图③，连接，若，，则的长为________ 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，得出，，求出，即可得出结论； （2）同理（1）证明，；利用勾股定理求出，即可求解； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）， 理由：∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴； （3）在正方形中，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 3．已知和都是等边三角形 【模型建立】（1）如图1，当点D在边上时，连接．用等式写出线段和的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接．用等式写出线段和的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在等边三角形中，，点E在边上，点D是线段上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）．理由见解析；（3）的长为或 【分析】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据条件易证，再进行线段转化易得答案； （2）与第（1）小问思路一样，证出即可； （3）由为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点D的位置关系去讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨论求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）．理由如下， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）过E作，则为等边三角形． ①当点D在H左侧时，如图1， ∵， ∴， ∴， 此时不可能为直角三角形． ②当点D在H右侧，且在线段上时，如图2， 同理可得，， ∴， 此时只有有可能为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． ③当点D在H右侧，且延长线上时，如图3， 此时只有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：的长为或． 4．（1）操作发现： 如图①，在中，，点D是上一点，沿折叠，使得点C恰好落在上的点E处．请写出，，之间的关系______________； （2）问题解决： 如图②，若（1）中，其他条件不变，请猜想，，之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形中，，，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）由已知证明为等腰直角三角形，得，由翻折的性质可知，，，进而证明为等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）根据折叠的性质得，，，而，则，根据三角形外角性质得，所以，则，所以，于是得到； （3）作于H，如图，设，利用（1）的结论得，根据等腰三角形的性质由，得到，且，在中，利用含角的直角三角形的性质得，再利用勾股定理，解方程求出x即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵折叠，使得点C恰好落在上的点E处， ∴，，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）作于H，如图， 设，由（1）的结论得， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 即的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$