精品解析：湖北省武汉市江汉区2024--2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024~2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列数组中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1，1 C. D. ，， 3. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 6. 下列四个命题：①平行四边形的两组对角分别相等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线相等；④三角形的中位线平行于三角形的第三边．其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知，则代数式的值是（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8. 如图，在中，O是对角线的交点，过点O的直线分别交于点M，N，若的面积为3，的面积为8，则的面积是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 以的各边为直径的三个半圆组成如下图形，若图中三个阴影部分的面积和为24，，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 11. 化简：__________． 12. 在中，，则__________． 13. 平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），则点P到原点的距离是______． 14. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是__________． 15. 如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是__________． 16. 如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则__________． 三、解答题（共5小题，共52分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 20. 如图，在四边形中，，，，． （1）直接写出的长； （2）求四边形的面积． 21. 在每个小正方形的边长为Ⅰ的网格中，网格线的交点称为格点，图中正方形的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺画图．每个任务的画线不得超过三条，并回答相关问题． （1）直接写出正方形的边长； （2）在图（1）中，F是与网格线的交点，画出矩形； （3）在图（1）中，E是上一点，在上画点H，使四边形的面积为10； （4）在图（2）中，P是上一点，在上画点Q，使四边形为菱形． 第Ⅱ卷（本卷满分50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 22. 如图，在中，，于点D，E是的中点，，则__________． 23. 化简__________． 24. 如图，在中，D是的中点，，，__________． 25. 如图，四边形的对角线交于点O，，，，，则__________，__________． 五、解答题（共3小题，共34分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 26. 如图，在四边形中，，，，，，点E从B出发，以的速度向点C运动，运动时间为t秒；同时点F从D出发，以的速度向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）__________，__________（用含t的式子表示）； （2）当四边形是矩形时，__________； （3）当时，求t的值． 27. 方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到很好的效果，请看下列问题： 化简 设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，，，__________． 显然， 所以__________． （1）完成上面填空； （2）化简：； （3）根据以上方法化简：__________． 28. 点E，F是不同边上的两点（E，F不与顶点重合），连接，的一个顶点（不妨设为B）关于的对称点为O，我们把的其他顶点（不妨设为D）与O的距离称为这个点D与B的“关联距离”．比如：如图（1），点B与O关于对称，若，则点D与B的“关联距离”是1． （1）如图（2），四边形是矩形，点B关于的对称点O恰好在上，若，，，则点D与B的“关联距离”=__________，点C与B的“关联距离”=__________； （2）如图（3），，点A关于的对称点O在的延长线上，若，，求点B与A的“关联距离”； （3）如图（4），四边形是菱形，，点A关于的对称点O恰好在直线上，若，，直接写出点C与A的“关联距离”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 下列数组中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1，1 C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、是勾股数，故本选项符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法，二次根式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的加法，二次根式的乘除运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、2和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 5. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C． 6. 下列四个命题：①平行四边形的两组对角分别相等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线相等；④三角形的中位线平行于三角形的第三边．其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，三角形的中位线．根据平行四边形的性质和判定对①②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据三角形的中位线对④进行判断． 【详解】解：①平行四边形的两组对角分别相等，是真命题； ②一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原命题是假命题； ③菱形的对角线不一定相等，原命题是假命题； ④三角形的中位线平行于三角形的第三边，是真命题． 综上，①④是真命题，共2个． 故选：C． 7. 已知，则代数式的值是（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了因式分解，二次根式的混合运算．先利用完全平方公式因式分解，再把，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A 8. 如图，在中，O是对角线的交点，过点O的直线分别交于点M，N，若的面积为3，的面积为8，则的面积是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，可得，，可证明，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴． 故选：C 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．根据菱形的性质求出，求出，根据，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 以的各边为直径的三个半圆组成如下图形，若图中三个阴影部分的面积和为24，，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设两个小半圆的面积分别为，大半圆的面积为，根据题意得：三个阴影部分的面积和为，再由三个阴影部分的面积和为24，以及勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设两个小半圆的面积分别为，大半圆的面积为， 根据题意得：三个阴影部分的面积和为， ∵三个阴影部分的面积和为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 11. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的化简．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 在中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质．根据题意可知平行四边形对角相等，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），则点P到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出点P到原点的距离即可． 【详解】解：∵点P的坐标为（2，3）， ∴点P到原点的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查点到原点的距离，解题关键是熟练掌握两点间的距离公理． 14. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形． 根据等宽可得四边形是平行四边形，结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 可设两张等宽的纸条的宽为h，则， ∴， ∴四边形是菱形，        ∴ 故答案为： 15. 如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是__________． 【答案】3个 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法． 【详解】解：有三种拼法，如图1、2、3， 故答案为：3个． 16. 如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，交于点，由矩形的性质得，从而得到，由等腰三角形性质得，再由三角形内角和定理求得，即可推出，再根据等边对角即可解答． 【详解】解：连接，交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共5小题，共52分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）把括号里的每一项都除以，再化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的加减混合运算．先根据二次根式的性质化简，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，，得出，证明，得出，求出，即可得证． 【详解】略 20. 如图，在四边形中，，，，． （1）直接写出的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理及其逆定理： （1）在中，利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再由四边形的面积解答即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 21. 在每个小正方形的边长为Ⅰ的网格中，网格线的交点称为格点，图中正方形的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺画图．每个任务的画线不得超过三条，并回答相关问题． （1）直接写出正方形的边长； （2）在图（1）中，F是与网格线的交点，画出矩形； （3）在图（1）中，E是上一点，在上画点H，使四边形的面积为10； （4）在图（2）中，P是上一点，在上画点Q，使四边形为菱形． 【答案】（1） （2） 如图，矩形即为所求； （3） 如图，点H即为所求； （4） 如图，点Q即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理解答，即可； （2）取与网格线的交点G，即可； （3）连接交于点O，连接，并延长交于点H，即可； （4）取的中点，即格点O，连接并延长交于点，连接并延长交于点F，连接交于点Q，即可． 【小问1详解】 解：正方形的边长为， 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：理由：连接， 由勾股定理可知：， ∴点是的中点， ∵四边形是正方形， ∴经过点，，，， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要查了正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（本卷满分50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 22. 如图，在中，，于点D，E是的中点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质．设，可得，，再由直角三角形的性质可得，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：设， ∵，，即， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 23. 化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简，二次根式有意义的条件，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由题意可知， ∴，则， ， 故答案为：． 24. 如图，在中，D是的中点，，，__________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理，完全平方公式的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过点C作于点E，设，分别在和中，可得，，再由D是的中点，可得，然后利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：33 25. 如图，四边形的对角线交于点O，，，，，则__________，__________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】在取点E是，过点A作于点F，可得是等边三角形，再证明，可得，，从而得到， ，，在中，利用勾股定理可得，从而得到，过点B作于点G，利用直角三角形的性质可得，再根据勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，在取点E是，过点A作于点F， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，， ∴， 过点B作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：8； 【点睛】本题主要查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 五、解答题（共3小题，共34分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 26. 如图，在四边形中，，，，，，点E从B出发，以的速度向点C运动，运动时间为t秒；同时点F从D出发，以的速度向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）__________，__________（用含t的式子表示）； （2）当四边形是矩形时，__________； （3）当时，求t的值． 【答案】（1）； （2） （3）5或7 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据矩形的性质可得，从而得到关于t的方程，即可求解； （3）过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到， ，在中，利用勾股定理可得，然后分两种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵，， ∴，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【小问3详解】 解： 如图，过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 如图，过点F作于点M，则，， 在中，， ∴， ∴， 解得：； 如图，过点F作于点N，则，， 同理， 解得：； 综上所述，当时，t的值为5或7． 27. 方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到很好的效果，请看下列问题： 化简 设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，，，__________． 显然， 所以__________． （1）完成上面填空； （2）化简：； （3）根据以上方法化简：__________． 【答案】（1）2或0；2 （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程，分式方程，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据题意直接计算即可； （2）仿照（1）解题方法解答，即可； （3）设，仿照（1）解题方法解答，即可． 【小问1详解】 解：设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，即， ∴， ∴或0． ∵， ∴； 故答案为：2或0；2 【小问2详解】 解：设 两边平方得 又， 所以，移项得， 所以， 即， ∴或， ∴或． ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设， 两边同时减1，得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是方程的根， ∵， ∴． 故答案为： 28. 点E，F是不同边上的两点（E，F不与顶点重合），连接，的一个顶点（不妨设为B）关于的对称点为O，我们把的其他顶点（不妨设为D）与O的距离称为这个点D与B的“关联距离”．比如：如图（1），点B与O关于对称，若，则点D与B的“关联距离”是1． （1）如图（2），四边形是矩形，点B关于的对称点O恰好在上，若，，，则点D与B的“关联距离”=__________，点C与B的“关联距离”=__________； （2）如图（3），，点A关于的对称点O在的延长线上，若，，求点B与A的“关联距离”； （3）如图（4），四边形是菱形，，点A关于的对称点O恰好在直线上，若，，直接写出点C与A的“关联距离”． 【答案】（1）2， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，，根据轴对称的性质得到，从而在中，根据勾股定理求得，进而求得的长，得到点D与B的“关联距离”．在中，根据勾股定理求出，得到点C与B的“关联距离”； （2）延长交于点H，根据轴对称的性质得到，，由，求得，从而，进而得到． 过点O作于点G，得到，根据勾股定理在中，求得，在中，求得，即可解答． （3）分两种情况讨论：①若点O在线段上，过点E作于点N，连接， 则，由得到，，进而在中，求得，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，，得到，从而在中，求出，根据线段的和差求出，即点C与A的“关联距离”．②若点O在线段上，同①解答即可． 【小问1详解】 解：连接，， ∵点B关于的对称点O恰好在上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴则点D与B的“关联距离”为2． ∵在中，， ∴点C与B的“关联距离”为． 故答案为：2， 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， 延长交于点H， ∵点A与点O关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 过点O作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴点B与A的“关联距离”为． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①若点O在线段上，如图， 过点E作于点N，连接， ∴， ∵，， ∴在中，， ， ∵在菱形中，， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵在菱形中，， ∴， ∵点A与点O关于对称， ∴， ∴在中，， ∴， 即点C与A的“关联距离”为． ②若点O在线段上，如图， 由①同理可得， ∴， 即点C与A的“关联距离”为． 综上所述，点C与A的“关联距离”为或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理及其逆定理，含角的直角三角形的性质，平行四边形、矩形、菱形等四边形的性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $