专题05 第18章 等腰三角形 单元阶段复习（十大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

专题05 第18章 等腰三角形 单元阶段复习（十大题型） 目录： 题型1：概念辨析、填空 题型2：根据等腰三角形的定义求边长、角度 题型3：等腰、等边三角形的性质 题型4：三角形的分类、判断三角形的形状 题型5：等腰、等边三角形性质的应用 题型6：等腰、等边三角形的判定辨析 题型7：线段的垂直平分线 题型8：尺规作图 题型9：分类讨论、新定义、动态几何 题型10：解答题 题型1：概念辨析、填空 1．等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴． 2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（   ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的高所在的直线 D．腰上的高所在的直线 3．在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是（     ） A．底边上的高 B．腰上的中线 C．底边上的中线 D．顶角的角平分线 4．已知：在中，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　）   A． B． C．平分 D． 题型2：根据等腰三角形的定义求边长、角度 5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 6．等腰三角形的顶角是，则它的底角是 ． 7．等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（  ） A． B． C．或 D．或 8．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（    ）． A． B． C． D．或 题型3：等腰、等边三角形的性质 9．在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．如图，为边上一点，联结，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（    ） A．（已知），（等腰三角形三线合一） B．（已知）， （等腰三角形三线合一） C．（已知），（等腰三角形三线合一） D．（已知），（等腰三角形三线合一） 题型4：三角形的分类、判断三角形的形状 14．在△ABC中，，，则△ABC是 三角形． 15．若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形． 16．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5：等腰、等边三角形性质的应用 17．如图，在中，点D在上，，E为的中点，若，则 ． 18．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．如图所示的方格中， 度． 20．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．如图，等边中，，则的度数是 ． 题型6：等腰、等边三角形的判定辨析 22．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 23．下列四个说法中，正确的有（    ） ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角等于的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．下列说法中，正确的有（    ） ①都含有70°的两个直角三角形一定全等； ②都含有100°的两个等腰三角形一定全等； ③底边相等的两个等腰三角形一定全等； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型7：线段的垂直平分线 25．如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 26．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在，两边高线的交点处 B．在，两边中线的交点处 C．在，两边垂直平分线的交点处 D．在，两内角平分线的交点处 27．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 28．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 29．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 题型8：尺规作图 30．如图，在中，，小明按下列叙述作图（作图过程是正确的），则小明所作的是（   ） ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②连接，则即为所求 A．的平分线 B．边上的高 C．边上的中线 D．边的垂直平分线 31．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 32．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 题型9：分类讨论、新定义、动态几何 34．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 35．若一个等腰三角形可以被一条直线分成两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“完美三角形”，则完美三角形的顶角度数为 ． 36．已知：是边长为的等边三角形，点、点分别在边，上，点为边的三等分点，将沿着直线翻折，点恰好与点重合，则的周长为 ． 37．在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 38．如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型10：解答题 39．如图，在中，，，求、的度数． 40．如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 41．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（要求根据给出的图形写出已知、求证和证明过程．） 42．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接． (1)等于多少度？ (2)说明与相等的理由． 43．如图，在中，，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)结合（1）中作图，连接，求的度数． 44．如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． (1)试说明△ADC与△BEC全等的理由； (2)试判断△DCE的形状，并说明理由． 45．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E，连接． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数； (3)设直线交于点O，试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 46．已知， 、均为等边三角形，点是内的点 （1）如图①，说明的理由；    （2）如图②，当点在线段上时，求的度数；    （3）当为等腰直角三角形时，________度（直接写出答案）. 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【解析】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 题型2：根据等腰三角形的定义求边长、角度 5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系和等腰三角形的定义求解即可．三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【解析】解：解：∵一个三角形的两边长分别是2和4，设第三边长为， ∴， 即 又∵这个三角形是等腰三角形， ∴第三边的长可能是2和4， ∴第三边的长只可能是4， 故选：B． 6．等腰三角形的顶角是，则它的底角是 ． 【答案】/55度 【分析】此题考查了是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解题的关键． 【解析】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的底角为， 故答案为：． 7．等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论． 分是底边与腰长两种情况讨论求解． 【解析】解：当是底边时，此时三角形的三边分别为、、，能组成三角形，它的周长是； 当是腰长时，此时三角形的三边分别为、、，能组成三角形，它的周长是； 故选：C． 8．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是熟知相关概念； 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和等于；要注意分情况讨论； 【解析】解：本题可分两种情况：①为顶角；②为底角，则顶角为：； 故选：D 题型3：等腰、等边三角形的性质 9．在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．根据等腰三角形的性质可得到即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 10．如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，再证明，从而可得答案． 【解析】解：在等边三角形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A 11．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出． 【解析】解：∵是的中线，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 故选：D． 12．如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 由三角形的内角和得到，根据对顶角性质得到，从而，再由等边对等角即可解答． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 13．如图，为边上一点，联结，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（    ） A．（已知），（等腰三角形三线合一） B．（已知）， （等腰三角形三线合一） C．（已知），（等腰三角形三线合一） D．（已知），（等腰三角形三线合一） 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质选出不成立的选项． 【解析】A选项错误，等腰三角形的三线合一必须要是已知三角形为等腰直角三角形，才可以在“顶角角平分线”、“底边上的高”和“底边上的中线”这三个结论中知一得二； B、C、D选项都是符合上述的要求． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． 题型4：三角形的分类、判断三角形的形状 14．在△ABC中，，，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定．根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状． 【解析】解：在中，，， ， ∴， 故， 所以的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰． 15．若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查偶次方的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴这个三角形一定是等边三角形， 故答案为：等边． 16．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【解析】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 题型5：等腰、等边三角形性质的应用 17．如图，在中，点D在上，，E为的中点，若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质，再根据三角形的内角和定理求得，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求解即可． 【解析】解：∵，E为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质：等边对等角． 根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 19．如图所示的方格中， 度． 【答案】135 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理．根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．标注字母，然后根据网格结构可得与所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出的度数；再根据所在的三角形是等腰直角三角形可得，然后进行计算即可得解． 【解析】解：如图， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． 20．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由平角的定义得出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【解析】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 21．如图，等边中，，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】根据题目已知条件可证，再利用全等三角形的性质可得，进而结合三角形外角定理求解．本题侧重考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质等知识点． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型6：等腰、等边三角形的判定辨析 22．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 【答案】B 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【解析】A．∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠C＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 故A选项不符合题意； B．∵∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故B选项符合题意； C．∵∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故C选项不符合题意； D．∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 23．下列四个说法中，正确的有（    ） ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角等于的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可判断． 【解析】解：①三个角都相等，则三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ②有两个角等于，则剩余的一个角为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ③若顶角为，则两个底角相等，均为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形；若底角为，则顶角为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ④若相等的两个角是底角，则这个等腰三角形不一定是等边三角形，此说法错误． 说法正确的是：①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． 24．下列说法中，正确的有（    ） ①都含有70°的两个直角三角形一定全等； ②都含有100°的两个等腰三角形一定全等； ③底边相等的两个等腰三角形一定全等； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可得到结果． 【解析】解：①都含有70°的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误； ②都含有100°的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误； ③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； 因为根据SSS或AAS或SAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以④正确； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． 因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或AAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以⑤正确； 所以正确的有④⑤这2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 题型7：线段的垂直平分线 25．如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分，则.利用这一性质和已知的和的长度，可以计算出的长度. 【解析】解：因为垂直平分，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：C. 26．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在，两边高线的交点处 B．在，两边中线的交点处 C．在，两边垂直平分线的交点处 D．在，两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键． 【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在，两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 27．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为． 【解析】解：是的垂直平分线， ， ，， ． 故选：． 28．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，再另一条角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 本题考查了线段的垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【解析】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 29．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【答案】A 【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线． 【解析】∵AC＝AD，BC＝BD， ∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上， ∴AB是CD的垂直平分线． 即AB垂直平分CD． 故选A 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键． 题型8：尺规作图 30．如图，在中，，小明按下列叙述作图（作图过程是正确的），则小明所作的是（   ） ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②连接，则即为所求 A．的平分线 B．边上的高 C．边上的中线 D．边的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图方法及性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线的作图方法即可得到答案 【解析】解：根据小明的作图步骤可知，小明所作的是边的垂直平分线， 故选：D． 31．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【解析】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 32．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【解析】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 33．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”； 图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”； 图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”． 故选：． 【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键． 题型9：分类讨论、新定义、动态几何 34．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．分两种情况讨论，即可求解． 【解析】解：如图，若等腰三角形为锐角三角形，且，，此时， ∵，， ∴， 即顶角的度数为；   如图，若等腰三角形为钝角三角形，且，，此时， ∵，， ∴ ∴， 即顶角的度数为； 故答案为∶或． 35．若一个等腰三角形可以被一条直线分成两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“完美三角形”，则完美三角形的顶角度数为 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．分两种情况画出图形，①当，时，设，得．．由，则，即可得到；②当，，时，设．得．则，则，得． ③当，，时．得到．由得到，则，即可得到 【解析】解：分三种情况讨论： ①如图（1）， 当，时，设． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ②如图（2）， 当，，时，设． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ③如图（3）， 当，，时． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴ 则完美三角形的顶角度数为或或． 故答案为：或或 36．已知：是边长为的等边三角形，点、点分别在边，上，点为边的三等分点，将沿着直线翻折，点恰好与点重合，则的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查折叠的性质，由于点为边的三等分点，所以分点为靠近点和点的三等分点两种情况讨论求解即可． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴， ①点为边的三等分点，且点靠近点时，如图①， ∴， 由折叠的性质得，， ∴的周长 ②点为边的三等分点，且点靠近点时，如图②， ∴ 由折叠的性质得，， ∴的周长 综上，的周长为或． 故答案为：或． 37．在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，设，根据等边对等角得，根据折叠的性质得，继而得到，，，然后分三种情况：①若；②若；③若，分别建立关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握等边对等角，方程思想和分类讨论思想的应用． 【解析】解：设， ∵， ∴， ∵把折叠，使点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等腰三角形， ①若，则， 即， 解得：，不符合题意； ②若，则， 即， 解得：， ∴； ③若，则， 即， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 38．如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质求得，由旋转的性质得，推出是等边三角形，据此求解即可． 【解析】解：连接， ∵，是边上的高， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 题型10：解答题 39．如图，在中，，，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∴． 40．如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 【答案】；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键． 由角平分线的定义得，由等式的性质得，结合外角的性质可得，从而，然后利用三线合一即可求解． 【解析】解：结论： 理由： 因为平分（已知），所以（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以（等角对等边）， 又因为（线段中点的意义） 所以（等腰三角形的三线合一）． 故答案为：；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一． 41．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（要求根据给出的图形写出已知、求证和证明过程．） 【答案】证明见解析 【分析】根据题目中的条件和的判定方法，可以证明，然后即可得到．本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解析】解：已知：如图，在中，，，分别是腰，上的中线． 求证：． 证明：在中，，，分别是腰，上的中线， ， 在和中， ， ， 即等腰三角形两腰上的中线相等． 42．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接． (1)等于多少度？ (2)说明与相等的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，由可知，再根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据等边三角形三线合一的性质得出，在由在同一三角形中等角对等边的性质即可得出结论． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 43．如图，在中，，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)结合（1）中作图，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图：作线段的垂直平分线，三角形内角和定理及等腰三角形的性质 （1）利用尺规作图，以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即为垂直平分线， 交于点，垂足为； （2）先根据已知条件求出的度数，再由垂直平分线的性质得到，从而得出，最后用求解． 【解析】（1）如图，直线即为所求作的图形． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 44．如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． (1)试说明△ADC与△BEC全等的理由； (2)试判断△DCE的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS证明△ADC≌△BEC即可； （2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论． 【解析】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC（SAS）； （2）△DCE是等边三角形；理由如下： ∵△ADC≌△BEC， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC， 即△DCE是等腰三角形， ∴△DCE是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定定理、直角三角形的性质，熟记等边三角形的判定是解题的关键． 45．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E，连接． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数； (3)设直线交于点O，试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)点O在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 对于（1），根据线段垂直平分线的性质定理得，再根据的周长，可得答案； 对于（2），由（1），得，再根据等边对等角得，即可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（3），根据线段垂直平分线的性质定理得，再根据线段垂直平分线的判定定理得出答案． 【解析】（1）解：分别是边的垂直平分线， ， ∴的周长； （2）解：由（1），得， ∴， ∴， ∴； （3）解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，延长交于点O，连接， ∵分别是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 46．已知， 、均为等边三角形，点是内的点 （1）如图①，说明的理由；    （2）如图②，当点在线段上时，求的度数；    （3）当为等腰直角三角形时，________度（直接写出答案）. 【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）或或. 【分析】（1）先理由等边三角形的性质得出，，，即可得出结论； （2）同（1）得，再判断出，进而求出，即可得出结论； （3）当为等腰直角三角形时，有三种情况：I.当∠EDB=90°，DE=DB时， II.当∠BED=90°，BE=DB时，当∠EDB=90°，DE=DB时，分别作出图形，然后根据等腰三角形性质即可求出． 【解析】解：（1）∵和都是等边三角形（已知） ∴，，（等边三角形的性质）． ∴（等式性质），即， 在和中， ， ∴ ∴（全等三角形对应边相等） （2）∵是等边三角形（已知）． ∴（等边三角形的性质）． ∴（邻补角的意义） ∴（等式性质） ∴同理（1）得 ∴（全等三角形对应角相等） ∴（等式性质） （3）当为等腰直角三角形时，有三种情况： I.当∠EDB=90°，DE=DB时，如图③-1：      ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=60°+90°=150°， 又∵AD=DE， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠ABD=； II.当∠BED=90°，BE=DB时，如图③-2：    在△ABE和△ADB中： ， ∴△ABE≌△ADB（SSS） ∴∠ABE=∠ABD， ∴ ； III.当∠EDB=90°，DE=DB时，如图③-3： 同I可得：∠ABE=15°， ∵∠EBD=， ∴∠ABD=. 综上所述：∠ABD=或或. 故答案为或或. 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形性质，（2）中求出是解本题的关键．（3）中关键是根据题意画出等腰直角三角形. 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