数学活动 探究将无限循环小数化为分数&第6章 实数综合提升-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(沪科版2024)

数学活动探究将无限循环小数化为分数（答案2） 活动1规律探究：将无限循环小数化为分数 国活动2方程思想：将无限循环小数化为分数 1.小明对无限循环小数转化成分数的过程进行 2.【实验与探究】我们知道分数。写为小数形式 了探究，以下是他以0.6和0.16为例进行了 纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分 即0.3，反过来，无限循环小数0.3写为分数形 数的探究： 式即了一般地，任何一个无限循环小数都可 由左侧推导可知0.6= 以写为分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？ 因为0.6×10=6.6， 2 ①先以无限循环小数0.7为例进行讨论： 而6.6=6+0.6， 所以0.16=1.6× 设0.7=x,由0.7=0.777…可知，10x= 所以6.6-0.6=6， 10 所以0.6×10-0.6=6， (1+0.6)×10 7.777…,所以10x-x=7,解方程，得x=。. 即0.6×(10-1)=6， 所以06-号-导 +》×0=号 于是，得a- 1 1 106 ②再以无限循环小数0.73为例，做进一步 讨论： (1)请仿照上述推导过程，将下列纯无限循环 小数化为分数.（写出推导过程） 设0.73=x,由0.73=0.737373…可知， 100x=73.7373…,所以100.x一x=73.解方 ①0.5； ②-0.36. (2)请仿照上述推导过程，将下列混无限循环 程，得x码于是，得0.3- 991 小数化为分数（写出推导过程）. 【问题解决】 ①0.45； ②-0.1236. (1)无限循环小数0.2化为分数为 (3)根据(1)(2)所求结果，可归纳出无限循环 无限循环小数4.13化为分数为 小数转化成分数的规律：如果小数是纯无限循 环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个 (2)将无限循环小数0.512化为分数，写出计 循环节的数字所组成的数，那么分母是 算过程。 ,如果小数是混无限循环小数，可 以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯无限 循环小数，然后再化为分数， (4)请计算：4.54-3.63. (5)利用Q.14285=号将2.28571化为分 数形式 一七详级卡数学 11 本章综合提升（答案3） 本章知识归纳 算术平方根 若x=ak>),则正数x叫作a的算术平方根 定义 若x=a,则致r叫作a的平方根 一个正数有两个平方根，它们互为① 平方根 性质 0的算术平方根与平方根均为② 负数没有平方根 开平方 定义 若x=a,则效x叫作a的立方根 正数的立方根是正数 性质 负数的立方根是③ 立方根 0的立方根是④ 开主方 实数 有理数 按定义 6 分类 正实数 0 按正负 6 实数与敦轴上的点一一对应 实数与数物 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的 先算括号内的 运算 思想方法纳 论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题 的思想称为分类讨论思想。 1.分类讨论思想 链接亦章… 当被研究的对象包括多种可能情况，导致不 (1)研究（算术）平方根的性质；(2)有关 实数的运算. 能一概而论时，必须按照出现的所有情况分类讨 12 优李率课时通 【例1】(2024·芜湖期中)【观察】引-2= 【变式训练2】如图①所示，将一根长为a的 2,|2=2:(-3)2=9,32=9. 长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别 【推理】(1)若|x|=1,则x= 与数轴上的点A,B重合（点A在点B的左边）. (2)若y2=16,则y= 【初步思考】 【应用】(3)已知|a+1|=2,b2=25,且a,b (1)若a=5,当点A表示的数为-2时，点B 同号，求a一b的值. 表示的数为 【数学探究】 (2)如图②所示，若将木条沿数轴向右水平 移动，当它的左端移动到B点时，它的右端在数 轴上所对应的数为14；若将木条沿数轴向左水平 移动，当它的右端移动到A点时，它的左端在数 【变式训练1】已知/2a+b2+|b2一9|=0， 轴上所对应的数为一10.请确定4的值及图中 求a十b的值. A,B两点表示的数 【实际应用】 (3)一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若 是你现在这么大，你还要32年才出生：你若是我 现在这么大，我已经124岁，是老寿星了，哈哈！” 根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是 2.方程思想 岁 从问题的数量关系入手，将问题转化为方 -10A B 14 2 程，通过解方程（组）来使问题获解的思维方式. 这种思想强调通过设元寻找已知与未知之间的 等量关系，方程思想的核心体现在建模思想和转 化思想上，它要求能够正确列出方程（组），并通 过解方程（组）来解决问题， :一链接本章“ 与（算术）平方根、立方根有关的问题， 【例2】(2024·合肥庐江期末)已知2a一1 的平方根是士3，a十b+1的立方根是3，试求b一 3.数形结合思想 a的平方根. 所谓数形结合思想，是指数（实数）与图形 (数轴及其他几何图形)相结合，从数量间的关系 来分析图形，同时从图形中获取数量间的关系. 子链接本章 主要体现在实数与数轴上的点的对应 关系和绝对值的化简等. 一七详级卡带数学 【例3】已知实数a,b在数轴上的对应点如 请利用你所发现的规律，解决下列问题： 图所示，化简a|-|a+b|+lc一b|. 11 (1)发现规律 1+ a b0 c (2)计算： 1.1 1,1 1 1+++1+++1++不 1 十十 1+2023+2024 【变式训练3】如图所示，已知数轴上的点A, B,C分别表示实数a,b,c.化简：a一b|+c一b|+ lc-al. B A 【变式训练4】(2024·六安叶集区月考)【问 题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅 读下列解题过程，探求规律： 4.类比思想 类比思想是根据两个对象都具有一些相同 或相似的属性，并且其中一个对象还具有另外某 7 93 一属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同 √1- 16=√16=4… 或相似的性质。 【实践探究】 管链授亦章 (1)类比平方根的定义去理解立方根的 1)按照此规律，计算： 49 定义，类比有理数的相反数、绝对值、比较大 小、混合运算去学习实数的相反数、绝对值、 比较大小、混合运算，(2)有关实数的规律 探究. 【迁移应用】 【例4】(2024·安庆迎江区期末)观察下列 4047 各式： (3)若 /1 =x符合上述规律，请直接 ++=1+g0 写出x的值. 1,1 1 1++京=1 V 3X4…③ 优学第课阴通一 通模拟 9.(2024·合肥二模)中国数字文化源远流长， “万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…是古人 1.(2024·淮北一模)下列实数为无理数的 对自然、社会的一种观察和思考.古籍《孙子算 是() 经》中也记录了很多古人发现的数字规律.现 A.2x B.√49 在请你根据所学知识观察： c号 D.-1.010101 113 (1) 2.(2024·合肥庐阳区三模)实数一24的倒数 11√5 是() (2) √232-2×3 A-品 B.24 1工7 (3)3衣=3×4… 1 C.24 D.-24 根据规律写出第(n)个等式： 3.(2024·合肥瑶海区三模)下列四个数中，最大 10.(2024·合肥庐阳区二模)一√64的立方根 的数是() 是 A.-3B.0 C.5 D.2 11.(2024·芜湖无为模拟)计算：（一1）4+√/16一 4.(2024·合肥瑶海区三模)如图所示，在做浮力 1-3+-8. 实验时，李明同学用一根细线将一个正方体铁 块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并 用一个量筒量得溢出的水的体积为24cm3,由 此可估计该正方体铁块的棱长（单位：cm)位于 哪两个相邻的整数之间？( A.2和3 B.3和4 C.4和5 D.5和6 5.(2024·滁州天长二模)已知正整数m,n满 通中巾考》29393>933922>9>>99> 足：m<10<m+1,n</10<n+1,则m"的 12.(安徽中考)下列为负数的是() 值为() A.1-2 B.3 A.4 B.8 C.9 D.27 C.0 D.-5 5.(2024·合肥瑶海区校级模拟)号的平方粗 13.(2024·安徽中考)我国古代数学家张衡将圆 周率取值为√10，祖冲之给出圆周率的一种分 是 数形式的近似值为号比较大小0 22 7.(2024·合肥模拟)计算：√9-一2= 8.(2024·六安霍邱模拟)若n<7+2<n十1， (填“>”或“<”) 则整数n的值是 14.(安徽中考)计算：√9一1= 一七样级卡带数学10.3(答案不唯一) 所以c=3. 1山解：正分数号1.6… 所以a十2b十c=5十8十3=16. 所以a+2h+c=√16=4. 非负整数{5,0，…}： 所以√a+2b+c的平方根为士不=士2. 无理数{一r,7.1010010001…(每两个1之间依次增加 第3课时实数的运算及大小比较 个0)，13，… r-2=0, 1.D2.C3.D4.D5.T6.67,D8.-√2x 12.解：(1)由题意，得 y2-1=0 解得2， y=±L. 9.C10.B11.0 12.解：原式=一1一5十2=一4. (2)当x=2,y=1时，y+5=6,是无理数. 13.C14.A15.>16.(1)D(2)B17.A 当x=2y=一1时，分十5==2，是有理数. 18.D19.A 第2课时实数的概念及分类 1.A2.C3.B4.D5.26.③④ 2：原式-号一4+-号-2 ,解：正有理数：个1415926.号1.414.002： 21.解：因为2<√7<3， 所以、7的整数部分为2，小数部分为行一2， 负有理数：{一2，…}： 即a=7-2. 正无理数：{W8,5,√5一1,0.1010010001（每两个1之间 因为5<26<6， 依次增加一个0)，…： 负无理数：{一√7，一云…： 所以√26的整数部分为5， 所以6=5， 实数：0瓜8115026，-25w5-1.号 所以a十6-√7=7-2+5-√7=3. 0.1010010001…(每两个1之间依次增加一个0)，1.414.22.解：(1)x-3.14 0.02.-7,-π，… (2)≥ 8.解：(1)如图①所示，SE方乖m=SE方每H一S△r一5△ADw 3)原式=-)+（侵-）+（后-）+…中 1 Sam-54m=5X5-4X2X4X1=17, (日)+（合） 所以正方形ABCD的而积是17，边长是√/17. =1-+号-+-+…+g-号+g- (2)正方形ABCD的边长是无理数 (3)正方形如图②所示，其边长为√5.（答案不唯一，合理 =1-0 即可) 9 数学活动 探究将无限循环小数化为分数 L.解：(1)①因为0.5×10=5.5，而5.5=5+0.5，所以5.5 0.5=5. 2 所以0,5x10-0.5=5.甲0.5×10-1=5，所以0.5=号 9.C10.C11.1012.挥13.714.±115.0 ②因为-0.36×100=-36.36，而-36.36=-36-0.36 16解：a后6月 所以一36.36-(-0.36)=一36，所以-0.36×100- 1 1 (-0.36)=-36. (2)√2023+2025=2024√2025 即-0.36X(100-1)=-36. ③)结合1和(2)的结论，得，√n+王 +w+2=(n+1) 1 Vn十2 所以-0.36=-36=_4 99- 17.解：因为9的算术平方根是3,8的立方根是2， 5 所以2a一1=9，a十b-1=8,解得a=5,b=4. (2)①由(1)①可知：0,5=9 因为<√13<√16， 所以a6=45x品-4+o)x-(+号)×品-费 所以3</13<4. 因为c是13的整数部分， @由(1@可知：-0,36=一 所以-Q123G=-126×。-(一12-036)×。=所以A点表示的数为-10+8-2，B点表示的数为14-8=6 (3)72 【例3】解：由题图可知，t<0,b<0,c>0,且a>b, 所以a十b<0,c-b>0. (3)由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数 所以la|一a十b|十|c-bl=-a十a十b十c-b=c, 相等 【变式调练3】解：由题图，知a一b>0,c一b<0,e一a<0, 0由③总结的规律，可知5i-为-音63-号- :la-bl+c-81+c-al=(a-6)-(c-b)-(c-a)=a- b-c+b-c十a=2a-2c. 所以4.-a.6品=(+)-(+)=4-3+ 【例】解：11+文5 710 11 1 1 (2)原式=1+×2十1+23+1+3x4+1+4×5+…+1中 5)因为0.i14285=号，所以.714285×100=号× 5 1 2023×202 1000=714.285714, 所以0.28571i-号×100-714-号 =2+0-++号+}+叶 1 所以2.8571i-2+a,2s71i=2+号-9 20232024) 2解：0号 -2023+(t-2） 99 2023 =2023+2024 (2)设0.512=x,所以100x=51.21212…,.100x-x= 2023 50.7, =2023202 50.7507 所以x=99=990 【变式调练】解：号 本章综合提升 【本章知识归纳】 ①相反数②0③负数①0⑤无理数①负实数 8 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)士1(2)士4 1 2 3 8 2 3 4 X…X 9 (3)因为a+1=2,b2=25. 所以4十1=士2，b■±5， 91 即a=1或a=-3,b=士5， 1(m-10_n-1 由a,b同号可知： 3)因为，1-符合0 n n 当a=1,b=5时，a-b=1-5=-4: 所以2m-1=4047.所以H=2024.那么了-20 当a=-3,b=一5时，4-b=一3-(-5)=2， 所以a一b的值为一4或2. 【通模拟】 3 【变式训练1】解：因为√2a+b+1b-91=0, 1.A2.A3.C4A5B6.±之718.4 所以b=士3，a=-4.5. 1 1 2I+1 当b=3,a=-4.5时.a+6=-4.5+3=-1.5: 9√m+1=+10.-2 当b=-3,a=-4.5时，a+b=-4.5+(-3)=-7.5. 11.解：(-1D2+√/16--31+/-8=1+4-3-2=0. 【例2】解：因为2a-1的平方根是士3，所以2a-1=9, 【通中考】 解得a=5, 12.D13.>14.2 又因为a十b+1的立方根是3， 第7章一元一次不等式与不等式组 所以a+b十1=27，解得b=21, 所以b一a=21-5=16, 7.1不等式及其基本性质 所以b一a的平方根是士√/16=士4 第1课时不等式 【变式训练2】解：(1)3 1.A2.C3.B4.A5.> （2)由题意，得a=号×1+10)=8 6,解：D7r+2r<0.2a-33.(3)20%x<3+ 3