精品解析：广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试题

试卷类型：A 惠州市2025届高三模拟考试 数 学 2025.04 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有—项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 15种 D. 18种 6. 如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 7. 已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ） A. B. C. 函数的周期为2 D. 8. 已知，均为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 无零点 D. 在上单调递减 10. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（ ） A. C的准线方程为 B. C. 若点，则 D. 设直线与C的准线的交点为，则点在直线上 11. 设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且，，现定义，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则随着n的增大而增大 C. 若，则的最小值为1 D. 若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在锐角中，则的值等于__________ ． 13. 已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________． 14. 已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 16. 体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立． （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围． 18. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）． （1）证明：； （2）若． （ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小； （ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围． 19. 已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点． （1）若椭圆C的离心率是，求b的值； （2）设的面积是，的面积是，若，时，求t的值； （3）若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 惠州市2025届高三模拟考试 数 学 2025.04 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有—项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故选：B 3. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解. 【详解】设与的夹角为， 因为，， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两角和、差的余弦公式展开后消去即得 【详解】因为， 所以. 故选：D. 5. 2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 15种 D. 18种 【答案】D 【解析】 【分析】运用分类加法计数原理，分为甲入选和甲不入选两种情况． 【详解】运用分类加法计数原理，若甲不入选，有（种）安排方法； 若甲入选，则有（种）安排方法， 所以共有（种）不同的安排方法． 故选：D． 6. 如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，由分别为所在棱的中点得，由正方体的性质易知，平面，平面， 所以，，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面，故A选项正确； 对于B选项，为下底面的中心，故为的中点， 因为为所在棱的中点，所以，故B选项正确； 对于C选项，若，由B选项知，则有， 令一方面，由正方体的性质知为直角三角形，， 所以，不满足，故C选项错误； 对于D选项，由A选项知，由正方体的性质易知， 所以，平面，平面， 所以平面，故D选项正确. 故选：C 7. 已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ） A. B. C. 函数的周期为2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC，再由函数的周期为4，代入计算，即可判断BD 【详解】为奇函数，， 又为偶函数，，故A项错误. 即函数的周期为4， 即C项错误. 由，令，得， 即B项错误. 又， 所以D项正确. 故选：D 8. 已知，均为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得，构造函数，，利用导数可得在上为增函数，从而可得，再由正余弦函数的单调性可得结论 【详解】，， 令，，， 所以在上为增函数， ∴， ∵，均为锐角， ∴， ∴， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 无零点 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义可判定A，利用分段函数及对数函数的单调性可判定BD，直接解方程可判定C. 【详解】易知的定义域为. 因为，所以为偶函数，故A正确. 当时，，在上单调递增， 所以在上单调递减，则，故B错误，D正确. 令,得,则有2个零点，故C错误. 故选：AD 10. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（ ） A. C的准线方程为 B. C. 若点，则 D. 设直线与C的准线的交点为，则点在直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可判断选项A；设直线的方程为，联立方程组求解即可判断选项B；由求出，由两点间的距离求解即可判断选项C；直线的方程为，又，联立求解即可判断选项D. 【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，故A正确； 设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，则，故B正确； 若点，则，，，故C错误； 直线的方程为，又，即 ， 令，可得，即， 而直线的方程为，则点在直线上，故D正确. 故选：ABD. 11. 设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且，，现定义，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则随着n的增大而增大 C. 若，则的最小值为1 D. 若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，可得，由题中定义可求得的值，可判断A选项的正误；利用对数函数的单调性可判断B选项的正误；当时，构造函数求导分析单调性可得C错误；求得和的表达式，利用对数函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，当时，，则，故A选项正确； 对于B选项，若，则， 所以，随着的增大而增大，故B选项正确； 对于C选项，当时，，则，其中， . 设， 则， 所以当时，；当时，； 所以当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小， 当时，，故C选项错误； 对于D选项，若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且， ， ， 则 ， ，，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在锐角中，则的值等于__________ ． 【答案】 2 【解析】 【详解】设由正弦定理得 13. 已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________． 【答案】2.1 【解析】 【分析】由,利用正态分布的对称性求得, 则,利用二项分布的方差公式可得结果. 【详解】,且，， , , 由题意可得, 所以的方差为， 故答案为:2.1 14. 已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分和进行分类讨论，易得时不合题意，时对求导，分析得到，从而，进而由，令，求导得到的最小值即为最终结果. 【详解】函数的定义域为， 当时，可得在上单调递增，又，所以不合题意； 当时，， 易知，在上单调递增，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，有极小值，也是最小值， 又因为恒成立且，所以， 则，得，所以， 设，，令，得， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式及等比数列的通项公式即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时也符合上式， 所以， ，所以. 【小问2详解】 ， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 16. 体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立． （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出甲同学在3次投篮中，投中2次或3次的概率，得到答案； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，得到数学期望. 【小问1详解】 记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次， 则. 【小问2详解】 若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次， 所以乙通过测试的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有0，50，100， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 50 100 故. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增； （2）. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据导数的正负可求出函数的单调区间； （2）由题意可得函数在点A、B处取得极值，再根据线段与x轴有公共点，可得，从而可求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 由题意得，， 令，得或， ①当时，当或时，，当时，， 所以在或上递增，在上递减， ②当时，当或时，，当时，， 所以在或上递减，在上递增， 综上，当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增； 【小问2详解】 由（1）可知曲线上的两点的纵坐标为函数的极值， 且函数在，处分别取得极值， ， 因为线段与x轴有公共点， 所以， 所以， ， 所以，且， 解得或， 所以实数a的取值范围为. 18. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）． （1）证明：； （2）若． （ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小； （ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）直线PB与平面所成角为;（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）取中点为，由题意可得，再结合线面垂直的判定定理及性质定理即可证明； （2）（i）以为原点建立直角坐标系，求以及平面的法向量，利用即可；（ii）利用二面角的向量求法可得，令，则，可得，所以，即可求解. 【小问1详解】 证明：取中点为，连接， 因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. 【小问2详解】 （i）因为为等腰三角形，，即，所以， 因为为等边三角形，所以， 故，，因，则，即， 又因，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，F为线段PB的中点， 则，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 所以， 设直线PB与平面所成角为，则， 又，则， 所以直线PB与平面所成角为， （ii）设平面的法向量为， ， 则， 取，得， 设，所以， 所以， 则平面的法向量为， 则， 取，得， 所以 ， 令，则， 所以， 因为时，， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面角、二面角的向量求法，关键是需要建立空间直角坐标系，由（1）知平面，所以需证明，设， 以为基底来表示与，结合题意即可证明，可得两两互相垂直，从而以为原点，为基底，建立空间直角坐标系. 19. 已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点． （1）若椭圆C的离心率是，求b的值； （2）设的面积是，的面积是，若，时，求t的值； （3）若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方． 【答案】（1）的值为或 （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分，两种情况结合离心率计算式可得答案； （2）联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得.结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案； （3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得大小，又由题意可得大小，即可证明结论. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率是. 当时，，得； 当时，，得； 所以的值为或； 【小问2详解】 由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在， ，直线的方程，设． 则. ，直线的方程，设． 则. 由图，， 注意到，则. 又，同理可得 .则 【小问3详解】 由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在， ，直线的方程，设． 则 . ，直线的方程，设． 则 . 则 .又在椭圆内部，则，故. 又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方． 【点睛】关键点睛：本题涉及由离心率求参数，椭圆中的面积问题，及椭圆新定义，难度极大.（1）因不知焦点位置，故需分情况讨论；（2）问关键是用得到关于的表达式；（3）类似于（2），可得，，后利用作差法即可比较大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $