数学（甘肃兰州卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

2025年中考押题预测卷（甘肃兰州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（   ） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故选：B． 2．《哪吒2》（即《哪吒之魔童闹海》）于2025年1月29日在中国大陆上映，随后在北美、欧洲、港澳及日本等多个地区陆续上映．该电影不仅刷新华语动画电影天花板，更有望成为全球动画电影票房新标杆．截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达150.12亿元人民币．150.12亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：亿， 故选：C． 3．如图，所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图，从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图． 根据俯视图的定义得到所示的几何体的俯视图，即可得到答案． 【详解】 解：几何体的俯视图为 故选：C． 4．如图，直线，平分，若，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义．根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 故选：B． 5．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一项即可． 【详解】解：， 故选：D． 6．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了求概率．用1减去他在路口遇到绿灯和黄灯的概率，即可求解． 【详解】解：， 即他遇到红灯的概率为． 故选：A 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，中点坐标公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由，可证是 等边三角形，所以，，然后通过勾股定理求出，则有，，最后由中点坐标公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是 等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴，即， 故选：． 8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，若每人出8元，则多3元；若每人出7元，则少4元．问有多少人？该物品价值几何？设有x人．物品价值y元，则列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得方程组为； 故选D． 9．如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明四边形是矩形，可得，，再结合，，再建立方程组解题即可． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即①， ∵， ， ， ， ∴②， 由①②得： ， 故选：A． 10．关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据分式方程无解的条件求出的值，即可得到答案． 【详解】解：原分式方程可化为：， 两边同时乘以， 得：， 整理得：， 分式方程无解，， 故①整式方程无解，即， ； ②分式方程有增根，即， 把或分别代入， 解得或， 故m的值为或或， 故选C． 11．已知，是关于的函数，函数，的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数与具有性质，以下函数与具有性质的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，依次画出图象，即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； B、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； C、如图： 与有三个公共点，故选项符合题意； D、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； 故选：C． 12．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 15．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是 ． 【答案】6.5 【分析】本题考查了中位数和平均数的求解，根据平均数是6求出，可知这组数据为：，即可求出中位数． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这组数据为： 故中位数为：， 故答案为：6.5． 16．如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确找出两个临界位置是解题关键．先把问题转化为将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点，再求出点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，将这个两个点的坐标代入反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】解：将反比例函数的图象向左平移个单位长度，使平移后的函数图象和线段有交点，相当于将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点， ∵， ∴点平移后的坐标为，点平移后的坐标为， 由题意，有以下两个临界位置： ①当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； ②当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； 所以要使平移后的函数图象和线段有交点，则， 故答案为：． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简负整数指数幂、乘方、立方根、零次幂 特殊角的三角函数值，再运算乘除，然后运算加减，即可作答． 【详解】解： 18．（4分） 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示为： 19．（4分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，代入上式， 原式． 20．（6分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， (1)求和的值 (2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)求△AOB的面积． 【答案】(1)；(2)一次函数解析式为；反比例函数解析式为(3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，在由可求出m的值，则可求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，即可得到n的值； （2）根据（1）所求可得反比例函数解析式，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （3）求出点C坐标得到的长，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 把代入中得，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为，点的坐标为，点的坐标为， 把点A和点B坐标代入一次函数解析式中得， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 21．（6分）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知，那么，，那么，根据平角的定义，可知，，最后由得到结论； （2）根据题意，可知，那么，从而得到，最后得出答案． 【详解】（1）证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． （2）解：由题意可知，，， ， ，垂足为，， ， ． 22．（6分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶，理由见解析 【分析】本题主要考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化为数学问题以及数形结合思想成为解题的关键． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴． （2）解：隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 23．（6分）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接，四边形是平行四边形（依据：______）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点O作边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颗的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，图见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定即可求解，根据作垂线的方法即可作图； （2）过点作边的垂线，垂足为D．，则，而，那么，可得是的垂直平分线，则，即可证明； （3）延长到点F，使，连接，先证明，再证明，则，即可求证． 【详解】（1）解：如图2， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 补全图形3如下： 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴． ∴D是边的中点，即是的垂直平分线． ∴． ∴； （3）解：如解图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（6分）电影《哪吒之魔童闹海》上映9天已登顶中国影史票房榜冠军，上映16天全球累计票房突破100亿，并于3月15日以150.19亿元票房超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五位．为了解大家对电影的评价情况，小李同学从某电影院下午、晚上观影后的观众中各随机抽取了名观众对这部电影进行评分（十分制），然后对评分进行分组（A：；B：；C：；D：）．下面是对数据进行整理、描述和分析后的部分信息．    下午 晚上 平均数 9.2 9.2 中位数 9.5 众数 9.2 9.5 其中下午评分位于组的有14人，分别为： 10，10，9.8，9.8，9.7，9.6，9.6，9.6，9.5，9.4，9.2，9.2，9.2，9.2 下午、晚上评分的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表所示： (1)填空：_____，_____：并补全条形统计图； (2)根据以上数据分析，你认为该影院下午、晚上观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)如果该影院下午和晚上共有3000名观众观看了这部电影，请估计给这部电影评分在9分以上的观众有多少人？ 【答案】(1)20，9.3；图见解析 (2)晚上的观众更欢这部电影，理由：调查晚上的观众评分的中位数比下午的观众的评分高 (3)2100人 【分析】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力． （1）下午观众的评分位于A组有14人，占调查人数的，可求出调查人数，即m的值，根据中位数的意义可求出n的值； （2）根据中位数进行判断即可； （3）求出该影院下午和晚上观众评分高于9分的人数所占的百分比，再乘以总人数3000即可． 【详解】（1）解：（人）， 将下午抽出的20名观众的评分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为， 即， 晚上B组人数为（人）， 补全条形统计图： 故答案为：20，9.3； （2）解：晚上的观众更喜欢这部电影，理由：调查晚上的观众评分的中位数比下午的观众的评分高； （3）解：（人）， 答：估计这3000人中给出这部电影评分在9分以上的观众人数是2100人． 25．（6分）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 【答案】m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．延长交于，延长交于，设，在中，，可得，，在中，通过，列出方程，解方程求得，最后通过，求得的值． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， 由题易知，四边形为矩形， 则， 设，则， 在中，， ， 则， ， 在中，， ， ，即， 解得：， 则， 答：书圣阁的高度约为m． 26．（7分）如图，是的一条对角线，且，的外接圆与边交于点．连结． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，且，求的长． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)6 【分析】（1）连接、，连接并延长交于点，可得垂直平分，则，由三角形内角和定理得出，由等边对等角以及圆周角定理得出，再根据平行四边形的性质得出，进而得出，进一步即可得出是的切线． （2）由等边对等角，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质得出，即可证明． （3）连接过点B作于点F，由等腰三角形三线合一的性质可知，由，设，，得出，最后根据勾股求解即可． 【详解】（1）证明：连接、，连接并延长交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； （3）解：连接、，连接并延长交于点， 由（1）可知，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴设，， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得：（舍去）或， ∴． 27．（8分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．    (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 【答案】(1)(2)猜想．证明见解析(3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得．再由证明即可得到； （2）两种方法：通过辅助线构造证得，或通过辅助线构造证得，再由即可证明结论． （3）通过延长，使，构造，进而得到，结合求出答案． 【详解】（1）解：当四边形是正方形，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：思路一：如图，在上取一点M，使，则，    ∵四边形是菱形， ∴，，∠ABM=∠C=180°，， ∵∠AME=∠AMB=180°，∠ABM=∠C=180°， ∴， ∵∠APB=∠D=∠ABM=∠AMB， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 思路二：如图，在延长线上取点N，使，则，    根据菱形的性质，， ∴， 又∵∠BAN=∠ABC=∠ANB，∠APB=∠AEB=∠CBF，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，使，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，∠PBE=∠BEP=∠APB，， ∴， 在和中，∠GAE=∠CBF，， ∴， ∴． 28．（9分）对于平面直角坐标系中的点和图形 ，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于，则称为图形的关联点． (1)当的半径为时， ① 在点 中，的关联点是_______； ② 点在直线上，若为的关联点，直接写出点的横坐标 的取值范围； (2)的圆心在轴上，半径为，直线与轴，轴分别交于点．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标 的取值范围． 【答案】(1)①；②或(2) 【分析】（）①利用两点间距离公式求出，进而根据半径为求出点与的最小距离即可判断求解；②根据定义可得，当直线上的点到原点的距离在到之间时符合题意，利用两点间距离公式分别求出点的横坐标即可求解； （）分四种情况画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵点 ， ∴，，， ∴点与的最小距离为，点与的最小距离为，点与的最小距离为， ∴的关联点是， 故答案为：； ②根据定义可得，当直线上的点到原点的距离在到之间时符合题意， ∴设点的坐标为， 当时，由距离公式可得，， 解得， 当时，由距离公式可得，， 解得， 故点的横坐标的取值范围为或； （2）解：∵与轴、轴的交点分别为两点， 令，得， 解得， 令，得， ∴，， 如图，当圆过点时，， ∴点坐标为， 如图，当直线与小圆相切时，切点为，则 又∵直线所在的函数解析式为， ∴直线与轴形成的夹角是， ∴中，， ∴点坐标为， ∴点的横坐标的取值范围为； 如图3，当圆过点时，， ∴ 点坐标为， 此时，不符合题意； 如图，当圆过点时，连接，此时， ∴在中，由勾股定理得， ∴点坐标为， 显然，此时不符合题意； ∴该种情况不存在，不合题意； 综上，圆心的横坐标的取值范围为． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，一次函数的性质，解题的关键是正确地理解新定义，运用分类讨论思想解答． 2 / 31 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年中考押题预测卷（甘肃兰州卷） 数学参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)》 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 B C C B D B D A C A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.3mn1+2m14.∠EAF=90°（答案不唯一）15.6.516.4≤m≤15 三、解答题（本大题共12个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【详解】解：3×+64-(2025+°+3 sin300 -x3-4-1+ 3 1 2 =1-4-1+6 =24 (4分) 3(x-1)≤2x+1① 18.【详解】解： 3x+6<3x② 解不等式①得，x≤4， 解不等式②得，x>2, 不等式组的解集为：2<x≤4；… (3分) 在数轴上表示为： -101345→ (4分) 19.【详解】解： x2+4x+4 -2 x-2 1/13 =4+x-2.x-2 x-2(x+2 x+2x-2 x-2(x+2 x+2' (3分) 当x=5-2时，代入上式， 1 原式=5-2+23 (4分) 20.【详解】(1)解：：AH⊥x轴，垂足为H,点A的坐标为(m,1), :OH =-m,AH =1, HO=2AH, -m=2, m=-2, .点A的坐标为-2,1，…(1分) 把A(-2,代入y=上中得1=点，解得=-2， -2 2 反比例函数解析式为y=- 在y=-2中，当x=1时，y=-2, ·点B的坐标为1，-2)， .=-2；4 …(2分) (2)解：由(1)可得反比例函数解析式为y=-2,点A的坐标为-2，别，点B的坐标为1，-2引， -2k+b=1 把点A和点B坐标代入一次函数解析式中得 k+b=-2 k=-1 解得 b=-1 二一次函数解析式为y归一-1：…（4分) (3)解：在y=-x-1中，当y=-x-1=0时，x=-1, 2/13 .C(-1,0, .0C=1, .SA4OB=SAOAC+S△oBc 2x1x1+×1x2=3 6分) 21.【详解】(1)证明：：将△AEC绕者点E顺时针旋转得到aBED, :ED EC,ZC=ZEDB, :∠EDB=LEDC=∠ECD, ∠1=180°-∠EDB-LEDC, :∠1=180°-∠EDC-∠ECD=∠2. .(2分) (2)解：由题意可知，△AEC≌△BED，AC=5, :AC=BD=5, :EH⊥BD,垂足为H,EH=3, BD·EH5×315 .S.BED= 22 15 .S.AC= 2· …（6分) 22.【详解】(1)解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为5,6.25)，且图象过10,0)点， 设抛物线的解析式为：y=ax-5)2+6.25, 0=a10-52+6.25,解得：a=-025, .y=-0.25x-5）+6.25,…(3分) (2)解：隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶.理由如下： 当最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， .10-3×2=4,，4÷2=2, .x=2代入解析式得：y=-0.25(2-5)+6.25=4; 4-3.5=0.5，…(6分) :隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶. 23.【详解】(1)解：如图2， 3/13 :BD是斜边AC上的中线， :AD=CD :DE BD, :.四边形ABCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 补全图形3如下： (2分) 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形： (2)证明：过点O作BC边的垂线，垂足为D. 0D⊥BC, .∠0DC=90°. 又：∠ABC=90°， .OD∥AB. OC DC AO BD' ,BO是斜边AC上的中线， 0C=1 A0 DC=1. BD D是BC边的中点，即OD是BC的垂直平分线. .B0=0C, B0=0C=2C（4分） (3)解：如解图，延长BO到点F,使OF=OB,连接CF, :AO=CO,∠AOB=∠COF, .aA0B≌aC0F(SAS), 4/13 ·AB=CF,∠F=∠ABO, ÷.AB I CF, :∠ABC=90°， .∠FCB=180°-∠ABC=90°=∠ABC, BC=CB, △ABC≌aFCB(SAS), .BF =AC =20B, OB=AC.（6分) 24.【详解】(1)解：m=14*70%=20(人)， 将下车抽出的20名观众的评分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为9.2+94=9,3， 2 即n=9.3,…(1分) 晚上B组人数为20-14-2-1=3（人）， 补全条形统计图： 人数 14- 14 12 10 8 (2分) 6 4 2 2 ABCD分组 故答案为：20,9.3： (2)解：晚上的观众更喜欢这部电影，理由：调查晚上的观众评分的中位数比下午的观众的评分高： (3)解：3000x14+14 20+20 2100(人)，(6分） 答：估计这3000人中给出这部电影评分在9分以上的观众人数是2100人. 25.【详解】解：如图，延长BA交QE于M,延长PD交MB于F, 5/13 B 由题易知，四边形QMFD,PCBF为矩形， OM=DF,MF =OD=20m,FB PC=90.7m, 设QM=m,则PF=(x+60)m, 在Rt△QMA中，∠AQM=45°， .∠MAQ=45°=∠MQA, 则MA=QM=m, .AF=(x-20)m, 在Rt△PFA中，∠APF=16°， ytan∠APF= AF PE AF=PFan∠APF,即x-20=(x+60)x0.29, 解得：x≈52.68， (5分) 则AB=90.7+20-52.68≈58(m),4(6分) 答：书圣阁的高度约为58m 26.【详解】(1)证明：连接0C、0D,连接B0并延长交CD于点F, D B OC=OD,BD BC. ∴.BF垂直平分CD, .∠0BC=∠0BD, 0B=0C, .∠0BC=LOCB, :BC=BC· 0115 ·.∠B0C-2∠BDC, :L0BC+∠0CB+∠B0C=180°， .2∠0BC+2∠BDC=180°， .∠0BC+∠BDC=90°， :四边形ABCD是平行四边形， :AB /CD, .∠BDC=∠ABD, .∠0BD+∠ABD=90°， 即∠AB0=90°， :B0为00的半径， AB是⊙O的切线. …(2分) (2)证明：BD=BC, .LBDC=∠BCD, :四边形ABCD是平行四边形， :ZA=ZC, 又：四边形BCDE是OO内接四边形， .∠BED+∠C=180°， :∠AEB+∠BED=180°， .LAEB=∠C, ·LAEB=LA=LC=LBDC. .△ABEn△DBC:. …(4分) (3)解：连接OC、OD,连接BO并延长交CD于点F, D B 由(1)可知，BF垂直平分CD, ∴BF1CD,CF=cD, 2 7/13 :∠A=∠BCD, An∠A=∠BCD=8F=3, CF 设CF=x,BF=3x, .OF=BF-0B=3x-5, 在RIAOFC中，∠0FC=90°， FC2+0F2=0C2, 即x2+3x-5)2-52, 解得：x=0(舍去)或x=3, .CD=2CF=6.…(7分） 27.【详解】(1)解：当四边形ABCD是正方形，∠APB=∠D=90°， .∠BAP+∠ABP=∠ABP+∠EBP=90°， .∠BAP=∠EBP, 又AB=BC,∠ABC=∠C, △ABE≌△BCF(ASA, AE =BF. …(2分) 故答案为：AE=BF: (2)解：猜想AE=BF. 证明：思路一：如图，在BC上取一点M,使AB=AM,则∠ABM=∠AMB, D B :四边形ABCD是菱形， AB∥CD,AB=BC=AM,∠ABM=∠C=180°，∠D=∠ABE, ,∠AME=∠AMB=180°，∠ABM=∠C-180°， ·.∠AME=∠C, 8/13 :∠APB=∠D=∠ABM=∠AMB, .∠FBC-∠APB-∠AEM=LAMB-∠AEM=LEAM, 在△AEM和△BFC中， ∠EAM=∠FBC AM=BC ∠AME=∠C .△AEM≌△BFCASA, .AE=BF;… …(4分)】 思路二：如图，在CB延长线上取点N,使AW=AE,则∠ANB=∠AEB, A D N B E C 根据菱形的性质∠ABC+∠C=180°，AB1川CD, LABN=∠C, 又：∠BAN=∠ABC=∠ANB,∠APB=∠AEB=∠CBF,且∠APB=∠D=∠ABC, .LBAN=∠CBF, 在△ABN和BCF中， ∠BAN=∠CBF AB=BC ∠ABN=∠C AABN≌aBCF(ASA, :AN BF, AE=BF;…(5分) (3)解：如图，延长AB,使BG=BE, 9/13 D B G :AB∥CD, .∠GBC=∠C=60°， .△BGE是等边三角形， ∠G=60,BG=BE=BC=4B, 2 2 :∠BAE+∠BEA=∠GBC,∠PBE=∠BEP=∠APB,LAPB=∠C=60°， .∠BAE=LPBE, 在△EAG和aFBC中，∠GAE=∠CBF,，∠G=∠C, aEAG∽aFBC, :AE AG AB+BG AB+IAB 3 (8分) BFBC BC AB 28【详解】1)解：①：点r0引 (-1,0,BL, 0r=0-0+}-0-30g=1-g+40-g-104=1-o+6-0可=2 :点P与00的最小距离为23=2点B与00的最小距离为3-1=2，点B与00的最小距离为3-2=1， ⊙0的关联点是P、P, 故答案为：：… …(1分) ②根据定义可得，当直线y=-x上的点P到原点的距离在2到4之间时符合题意， 设点P的坐标为Px,-x, 当0P=2时，由距离公式可得，OP=Vx-02+(-x-0=2, 解得x=±√2， 10/13 11 2025年中考押题预测卷（甘肃兰州卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分） 18. （4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （4分） 20.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（6分） 22.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（6分） 23. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（6分） 26.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考押题预测卷（甘肃兰州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 12个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分） 18. （4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （4分） 20.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（6分） 22.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（6分） 23. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（7分） 27.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（甘肃兰州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填(涂)写在试卷及答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（   ） A．2025 B． C．-2025 D． 2．《哪吒2》（即《哪吒之魔童闹海》）于2025年1月29日在中国大陆上映，随后在北美、欧洲、港澳及日本等多个地区陆续上映．该电影不仅刷新华语动画电影天花板，更有望成为全球动画电影票房新标杆．截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达150.12亿元人民币．150.12亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，平分，若，则度数是（    ） A． B． C． D． 5．计算：（    ） A． B． C． D． 6．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，若每人出8元，则多3元；若每人出7元，则少4元．问有多少人？该物品价值几何？设有x人．物品价值y元，则列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（    ） A． B． C． D． 10．关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或 11．已知，是关于的函数，函数，的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数与具有性质，以下函数与具有性质的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式的结果是 ． 14．如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 15．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是 ． 16．如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 18．（4分） 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（4分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， (1)求和的值 (2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)求△AOB的面积． 21．（6分）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 22．（6分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 23．（6分）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接，四边形是平行四边形（依据：______）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点O作边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颗的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 24．（6分）电影《哪吒之魔童闹海》上映9天已登顶中国影史票房榜冠军，上映16天全球累计票房突破100亿，并于3月15日以150.19亿元票房超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五位．为了解大家对电影的评价情况，小李同学从某电影院下午、晚上观影后的观众中各随机抽取了名观众对这部电影进行评分（十分制），然后对评分进行分组（A：；B：；C：；D：）．下面是对数据进行整理、描述和分析后的部分信息．    下午 晚上 平均数 9.2 9.2 中位数 9.5 众数 9.2 9.5 其中下午评分位于组的有14人，分别为： 10，10，9.8，9.8，9.7，9.6，9.6，9.6，9.5，9.4，9.2，9.2，9.2，9.2 下午、晚上评分的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表所示： (1)填空：_____，_____：并补全条形统计图； (2)根据以上数据分析，你认为该影院下午、晚上观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)如果该影院下午和晚上共有3000名观众观看了这部电影，请估计给这部电影评分在9分以上的观众有多少人？ 25．（6分）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 26．（7分）如图，是的一条对角线，且，的外接圆与边交于点．连结． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，且，求的长． 27．（8分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．    (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 28．（9分）对于平面直角坐标系中的点和图形 ，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于，则称为图形的关联点． (1)当的半径为时， ① 在点 中，的关联点是_______； ② 点在直线上，若为的关联点，直接写出点的横坐标 的取值范围； (2)的圆心在轴上，半径为，直线与轴，轴分别交于点．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标 的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（甘肃兰州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填(涂)写在试卷及答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（   ） A．2025 B． C．-2025 D． 2．《哪吒2》（即《哪吒之魔童闹海》）于2025年1月29日在中国大陆上映，随后在北美、欧洲、港澳及日本等多个地区陆续上映．该电影不仅刷新华语动画电影天花板，更有望成为全球动画电影票房新标杆．截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达150.12亿元人民币．150.12亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，平分，若，则度数是（    ） A． B． C． D． 5．计算：（    ） A． B． C． D． 6．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，若每人出8元，则多3元；若每人出7元，则少4元．问有多少人？该物品价值几何？设有x人．物品价值y元，则列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（    ） A． B． C． D． 10．关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或 11．已知，是关于的函数，函数，的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数与具有性质，以下函数与具有性质的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式的结果是 ． 14．如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 15．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是 ． 16．如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 18．（4分） 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（4分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， (1)求和的值 (2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)求△AOB的面积． 21．（6分）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 22．（6分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 23．（6分）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接，四边形是平行四边形（依据：______）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点O作边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颗的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 24．（6分）电影《哪吒之魔童闹海》上映9天已登顶中国影史票房榜冠军，上映16天全球累计票房突破100亿，并于3月15日以150.19亿元票房超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五位．为了解大家对电影的评价情况，小李同学从某电影院下午、晚上观影后的观众中各随机抽取了名观众对这部电影进行评分（十分制），然后对评分进行分组（A：；B：；C：；D：）．下面是对数据进行整理、描述和分析后的部分信息．    下午 晚上 平均数 9.2 9.2 中位数 9.5 众数 9.2 9.5 其中下午评分位于组的有14人，分别为： 10，10，9.8，9.8，9.7，9.6，9.6，9.6，9.5，9.4，9.2，9.2，9.2，9.2 下午、晚上评分的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表所示： (1)填空：_____，_____：并补全条形统计图； (2)根据以上数据分析，你认为该影院下午、晚上观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)如果该影院下午和晚上共有3000名观众观看了这部电影，请估计给这部电影评分在9分以上的观众有多少人？ 25．（6分）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 26．（7分）如图，是的一条对角线，且，的外接圆与边交于点．连结． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，且，求的长． 27．（8分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．    (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 28．（9分）对于平面直角坐标系中的点和图形 ，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于，则称为图形的关联点． (1)当的半径为时， ① 在点 中，的关联点是_______； ② 点在直线上，若为的关联点，直接写出点的横坐标 的取值范围； (2)的圆心在轴上，半径为，直线与轴，轴分别交于点．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标 的取值范围． 2 / 31 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$