第6讲 计数问题（二）(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第6讲 计数问题（二） 考点目录 1、握手问题 2 2、排队问题 4 3、烙饼问题 6 4、沏茶问题 8 5、田忌赛马问题 10 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 握手问题 ★★ ★★★ 排队问题 ★★ ★★★ 烙饼问题 ★★ ★★★ 沏茶问题 ★★★ ★★★ 田忌赛马问题 ★★ ★★★ 【考情分析】计数问题是小升初数学考试中的重要模块，主要考查学生的逻辑思维、分类讨论能力和对基本计数方法的掌握。相关问题有握手问题、排队问题、烙饼问题、沏茶问题等，该部分题目通常出现在填空题、选择题和应用题中，难度中等，但灵活性较强，容易因遗漏或重复计数导致失分。 热点突破1 关键知识 握手问题 假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N-1）个人握手， 则总握手的次数是N（N-1），但是在这N（N-1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2， 则N个人握手的次数是N（N-1）． 典型例题 例1： 例1：甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（　　）盘． A、1          B、2           C、3           D、4 【分析】五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了4盘为突破口，找出小明下的盘数 【解答】甲下了4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明； 而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下； 乙下了3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了； 丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下； 由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了2盘． 故选：B 【点评】本题根据循环比赛，得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•江宁区期末）学校五年级举行足球比赛，一共有5个班参加．如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（　　）场． A．5 B．10 C．20 【跟踪训练2】（2024•北湖区校级开学）小明、小刚、小强和小亮4人要每两人互发一封电子邮件进行交流，他们一共发（　　）封邮件。 A．6 B．8 C．12 【跟踪训练3】（2024秋•莲湖区期末）阳光小学六年组的8个班参加拔河比赛．如果采用单循环赛制（每两个班之间都进行一场比赛），一共要安排______场比赛． 【跟踪训练4】（2023•凌海市模拟）某兴趣小组共6名队员，在每次见面会上，如果每两人握一次手，一共要握______次手． 【跟踪训练5】（2023秋•双峰县期末）用A、B、C、D、E代表5人的姓名，这5人进行乒乓球比赛，每2人之间都要打一局。A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局。E一共打了几局？分别和谁打的？ 【跟踪训练6】（2023秋•诸城市校级月考）学校三年级5个班举行拔河比赛，每2个班之间都要比赛一场，一共要比赛多少场？ 热点突破2 关键知识 排队问题 1．排队问题解决方法： 要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起． 2．举例说明： 四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？ 典型例题 例1： 例1：小朋友排队做早操，无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，这排小朋友有（　　）人． A、8         B、9         C、10           D、11 【分析】无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，说明笑笑的左右各有4个人，再加上她自己一共有4×2+1=9人，据此解答． 解：（5-1）×2+1， =4×2+1， =9（人）； 【解答】这排小朋友有9人． 故选：B 【点评】本题关键是理解“笑笑都排在第5位”的意思是：她的左右各有4个人，注意：求这一排的总人数时不要忘了加上她自己． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•章丘区校级期中）我们排成一队出校门，我的前面有13人，后面有7人，这一队共有（　　）人。 A．20 B．19 C．21 【跟踪训练2】（2024秋•同安区期末）同学们排成一队做早操，小明前面有4人，后面有7人，这一队一共有多少人？列式正确的是（　　） A．4+7 B．4+7-1 C．4+7+1 【跟踪训练3】（2025春•兴化市期中）小朋友们排成一队做游戏。从左往右数，红红排在第8个，丽丽排在第14个。红红和丽丽之间有 ______个小朋友。 【跟踪训练4】（2024秋•石首市期末）学校合唱比赛时，丽丽和其他成员站成一排，丽丽的左边有6人，右边有7人，这一排有 ______人。 【跟踪训练5】（2025春•洛龙区期中）金丝灌顶是一种稀有的牡丹品种，全世界仅有的一棵在洛阳王城公园内。花开时节，游客们争先排队欣赏。有13人在排队，小美前面有6人，她后面有几人？ 【跟踪训练6】（2024秋•西安期末）淘气一家去华清池参观，需排队买票，从前往后数，淘气前面有3人，后面有5人，这一队一共有多少人？ 热点突破3 关键知识 烙饼问题 1．烙饼问题公式： 总时间=饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间 当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为4，每一锅的只数为3时，根据公式，4×2÷3×1约=3分 2．深层意义： 烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题． 典型例题 例1： 例1：用一只平底锅煎饼，每次只能同时煎两张饼．如果煎一张饼需4分钟（正反面各需2分钟），那么煎5张饼至少需要_______分钟． 【分析】5÷2=2（组）…1（张），那么就要煎6次共需2×6=12（分钟），最后一次只煎1张饼，浪费了时间． 第一次先煎2张饼，剩下的3张饼可以这样煎：先煎2张的正面；煎熟后拿出第一张，放入第三张，煎第二张的反面和第三张的正面；煎熟后第二张就熟了，再煎第一张和第三张的反面 【解答】前2张煎2面，用时间4分钟．剩下3张假设为①、②、③： 第一次：放①的正面和②的正面， 第二次：放①的反面和③的正面， 第三次：放②的反面和③的反面， 共用2×3=6（分钟）． 全部时间：4+6═10（分钟）； 答：煎5只饼至少需要10分钟． 故答案为：10 【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•鄄城县期末）一个锅里一次最多能烤2个饼，一个饼正反面各需要2分钟，烤5个饼至少需要（　　）分钟。 A．12 B．10 C．8 【跟踪训练2】（2024秋•阳泉期末）一位装修工人要给3块同样的木板刷油漆，只刷一面，每面要求刷两遍油漆。一块木板刷一遍需要3分钟，晾晒4分钟后可以刷第二遍，要把3块木板全部刷完，最短需要（　　）分钟。 A．21 B．42 C．18 【跟踪训练3】（2024秋•河间市期末）用一只平底锅煎饼，每次只能煎两块饼，煎一面需要3分钟，两面都要煎。煎6块饼最少需要 ______分钟。 【跟踪训练4】（2024秋•望花区期末）用一口平底锅煎韭菜盒，每次能放4个，如果前一个需要6分钟（假设正反面各需3分钟），煎8个韭菜盒至少需要 ______分钟。 【跟踪训练5】（2024秋•历城区期末）周末家里来客人了，小华准备在妈妈的协助下，用数学课本第105页学习到的方法尝试烙10张饼。每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙3分钟。最少需要多少分钟？（请写出算式或简要说明） 【跟踪训练6】（2024春•礼泉县期末）妈妈用面包机烤面包，每个面包机盘子最多能放2片面包，面包的两面都要烤，每烤一面要用3分钟，烤7片面包至少要用多少分钟？ 热点突破4 关键知识 沏茶问题 典型例题 例1： 例1：小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（　　）分钟 A、21         B、25          C、26          D、41 【分析】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6+10=16分钟，所以做完这件事至少需要20+5=25分钟 【解答】根据题干分析，可设计如下工序： 20+5=25（分钟）， 故选：B． 【点评】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•沈北新区期末）明明起床后需要做以下几件事：①整理房间3分钟，②刷牙3分钟，③洗脸3分钟，④听广播8分钟。他最快（　　）分钟可以做完这些事。 A．8 B．9 C．11 D．17 【跟踪训练2】（2024秋•洪山区期末）妈妈给客人烧水泡茶。洗水壶1分钟，烧开水15分钟，洗茶壶1分钟，洗茶杯1分钟，拿茶叶2分钟。请问，最短（　　）分钟客人就能喝上茶了。 A．20 B．18 C．16 D．15 【跟踪训练3】（2025春•威县期中）下午，妈妈5点30分就开始做饭，淘米需要2分钟，洗菜切菜5分钟，用电饭锅蒸米饭15分钟，炒菜10分钟，妈妈最早做好饭的时间用24时计时法是 ______。 【跟踪训练4】（2024秋•长沙期末）聪聪帮妈妈做家务，整理房间用7分钟，烧开水用9分钟，沏茶用3分钟，扫地用2分钟，他做完这些事至少需要 ______分钟。 【跟踪训练5】（2024秋•河间市期末）芳芳早晨起床后，刷牙洗脸要用2分钟，用电饭锅烧早饭要14分钟，读英语单词要12分钟，吃早饭要用6分钟，请列式计算芳芳起床后最快多少分钟就能去上学。 【跟踪训练6】（2024秋•温州月考）端午节到了，妈妈要给我们包粽子。淘米、洗粽叶要用10分钟，包粽子要用20分钟，把粽子煮熟要用40分钟。如果想在中午12时吃到粽子，妈妈最迟应该从什么时间开始？ 热点突破5 关键知识 田忌赛马问题 1．田忌赛马： 田忌赛马说的是田忌和别人赛马的故事，大概如下：用自己的劣等马对决对手的优等马用自己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这个故事告诉我们一个道理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性． 2．深层意义： 通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养应用意识，提高解决实际问题的能力．只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用． 3．应用举例： 一位镇长想起了田忌赛马的故事．不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优势，以长击短，因此取胜．联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招． 典型例题 例1： 例1：森林运动会开始了，场上甲乙两组选手正在准备比赛，采取三局两胜制．第二组要想获胜，应该按照（　　）方案安排比赛顺序． 第一名 第二名 第三名 第一组 猎豹9.0秒 小鹿9.5秒 狗9.9秒 第二组 狮子9.3秒 羚羊9.6秒 兔子10.0秒 A．兔子--狗；羚羊--小鹿；狮子--猎豹 B．兔子--小鹿；羚羊--狗；狮子--猎豹 C．兔子--猎豹；羚羊--狗；狮子--小鹿 【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，用第二组的第一名对阵第一组的第二名，用第二组的第二名对阵第一组的第三名，用第二组的第三名对阵第一组的第一名，这样第二组会获得2胜1负，从而获胜 【解答】第二组要想获胜，应该按照兔子--猎豹；羚羊--狗；狮子--小鹿安排比赛顺序． 这样兔子负于猎豹，但是羚羊和狮子都会获胜，2胜1负，从而获胜． 故选：C 【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•江汉区期末）甲乙两人玩纸牌游戏，三局两胜，每人每次出一张牌，牌面数字大的获胜。甲的三张牌的牌面数字分别是“10、8、5”，乙的三张牌的牌面数字分别是“9、6、4”。游戏中甲先出，如果乙想获胜，那么当甲出10时，乙应该出（　　） A．4 B．6 C．9 D．无法确定 【跟踪训练2】（2024秋•北辰区期末）森林运动会开始了，采取三局两胜制，乙组要想获胜，应按（　　）安排比赛顺序。 甲组 猎豹9.0秒 鹿9.5秒 狗9.9秒 乙组 狮子9.3秒 羚羊9.6秒 兔子10.0秒 A．兔子——狗     羚羊——鹿    狮子——猎豹 B．兔子——猎豹   羚羊——狗    狮子——鹿 C．兔子——鹿     羚羊——狗    狮子——猎豹 【跟踪训练3】（2024秋•永川区期末）小红有10、7、4三张扑克牌，小东有3、6、8三张扑克牌，规定每人每次出一张，轮流出牌，各出三次，所出牌数字大的获胜，三局两胜，如果小红按照7-4-10的顺序出牌，小东需按照 ______的顺序出牌才能获胜。 【跟踪训练4】（2024秋•香坊区期末）冬冬和爸爸玩卡片“比大小”的游戏，游戏规则是：每人每次只能出一张卡片，大的卡片赢，玩三次，赢两次的获胜。第一次谁先出卡片，后两次还是谁先出卡片。左边三张6.8.10是爸爸的卡片，右边三张9.7.5是冬冬的卡片，如果第一次爸爸出10，那么，冬冬第一次出 ______方能确保获得最后的胜利。 【跟踪训练5】（2023秋•临潼区期末）奇思和妙想玩“比大小”的游戏。奇思的三张卡片上的数字分别为3、5、7，妙想的三张卡片上的数字分别为4、6、9、玩法：每人每次出一张卡片，数字大者胜，比三局，两胜为赢．奇思怎样可以获胜？ 【跟踪训练6】阳光小学四（1）班和四（2）班50米短跑比赛，规定三局两胜为胜，每名选手参赛一次。四（1）班跑得快的是小军、小强、小南，分别为7秒、7.4秒、7.9秒；四（2）班跑得快的是小明、小亮、小文，分别为7.3秒、7.5秒、8.1秒。如果四（2）班要胜四（1）班，四（2）班应如何派出选手？ 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 13 页 第 6 讲 计数问题（二） 1、握手问题.........................................................2 2、排队问题.........................................................4 3、烙饼问题.........................................................6 4、沏茶问题.........................................................8 5、田忌赛马问题....................................................10 热点考点 考查频率 考点难度 握手问题 ★★ ★★★ 排队问题 ★★ ★★★ 烙饼问题 ★★ ★★★ 沏茶问题 ★★★ ★★★ 田忌赛马问题 ★★ ★★★ 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 13 页 【考情分析】计数问题是小升初数学考试中的重要模块，主要考查学生的逻辑思维、分类讨论能力和对 基本计数方法的掌握。相关问题有握手问题、排队问题、烙饼问题、沏茶问题等，该部分题目通常出现 在填空题、选择题和应用题中，难度中等，但灵活性较强，容易因遗漏或重复计数导致失分。 握手问题 假设有 N个人，则每个人都要和除自己之外的（N-1）个人握手， 则总握手的次数是 N（N-1），但是在这 N（N-1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了， 例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以 2， 则 N个人握手的次数是 1 2 N（N-1）． 例 1： 例 1：甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了 4盘，乙下了 3盘， 丙下了 2盘，丁下了 1盘，问小明下了（　　）盘． A、1 B、2 C、3 D、4 【分析】五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下 4 盘；由甲下了 4 盘为突 破口，找出小明下的盘数 【解答】甲下了 4盘，甲和其他 4人各下了一盘，包括丁和小明； 而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下； 乙下了 3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了； 丙是下了 2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下； 由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了 2盘． 故选：B 【点评】本题根据循环比赛，得出每人最多下 4 盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 13 页 进行推算． 【跟踪训练 1】（2024秋•江宁区期末）学校五年级举行足球比赛，一共有 5个班参加．如果 每两个班都要比赛一场，一共要比赛（　　）场． A．5 B．10 C．20 【跟踪训练 2】（2024•北湖区校级开学）小明、小刚、小强和小亮 4人要每两人互发一封电 子邮件进行交流，他们一共发（　　）封邮件。 A．6 B．8 C．12 【跟踪训练 3】（2024秋•莲湖区期末）阳光小学六年组的 8个班参加拔河比赛．如果采用单 循环赛制（每两个班之间都进行一场比赛），一共要安排______场比赛． 【跟踪训练 4】（2023•凌海市模拟）某兴趣小组共 6名队员，在每次见面会上，如果每两人 握一次手，一共要握______次手． 【跟踪训练 5】（2023秋•双峰县期末）用 A、B、C、D、E代表 5人的姓名，这 5人进行乒乓 球比赛，每 2人之间都要打一局。A已打了 4局，B打了 3局，C打了 2局，D打了 1局。E 一共打了几局？分别和谁打的？ 【跟踪训练 6】（2023秋•诸城市校级月考）学校三年级 5个班举行拔河比赛，每 2个班之间 都要比赛一场，一共要比赛多少场？ 跟踪训练 第 4 页 共 13 页 排队问题 1．排队问题解决方法： 要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起． 2．举例说明： 四（1）班的 3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给 3只桶注满水所需的时间分别是 4分 钟、3分钟、1分钟，现在只有 1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？ 这个最短的时间是多少？ 例 1： 例 1：小朋友排队做早操，无论从左数还是从右手笑笑都排在第 5位，这排小朋友有 （　　）人． A、8 B、9 C、10 D、11 【分析】无论从左数还是从右手笑笑都排在第 5位，说明笑笑的左右各有 4个人，再加上她 自己一共有 4×2+1=9人，据此解答． 解：（5-1）×2+1， =4×2+1， =9（人）； 【解答】这排小朋友有 9人． 热点突破 2 关键知识 典型例题 第 5 页 共 13 页 故选：B 【点评】本题关键是理解“笑笑都排在第 5位”的意思是：她的左右各有 4个人，注意：求 这一排的总人数时不要忘了加上她自己． 【跟踪训练 1】（2025春•章丘区校级期中）我们排成一队出校门，我的前面有 13人，后面 有 7人，这一队共有（　　）人。 A．20 B．19 C．21 【跟踪训练 2】（2024秋•同安区期末）同学们排成一队做早操，小明前面有 4人，后面有 7 人，这一队一共有多少人？列式正确的是（　　） A．4+7 B．4+7-1 C．4+7+1 【跟踪训练 3】（2025春•兴化市期中）小朋友们排成一队做游戏。从左往右数，红红排在第 8个，丽丽排在第 14个。红红和丽丽之间有 ______个小朋友。 【跟踪训练 4】（2024秋•石首市期末）学校合唱比赛时，丽丽和其他成员站成一排，丽丽的 左边有 6人，右边有 7人，这一排有 ______人。 【跟踪训练 5】（2025春•洛龙区期中）金丝灌顶是一种稀有的牡丹品种，全世界仅有的一棵 在洛阳王城公园内。花开时节，游客们争先排队欣赏。有 13人在排队，小美前面有 6人，她 后面有几人？ 【跟踪训练 6】（2024秋•西安期末）淘气一家去华清池参观，需排队买票，从前往后数，淘 气前面有 3人，后面有 5人，这一队一共有多少人？ 跟踪训练 第 6 页 共 13 页 烙饼问题 1．烙饼问题公式： 总时间=饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间 当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为 4，每一锅的只数为 3时，根据公 式，4×2÷3×1约=3分 2．深层意义： 烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是 被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题． 例 1： 例 1：用一只平底锅煎饼，每次只能同时煎两张饼．如果煎一张饼需 4分钟（正反面各需 2 分钟），那么煎 5张饼至少需要_______分钟． 【分析】5÷2=2（组）…1（张），那么就要煎 6次共需 2×6=12（分钟），最后一次只煎 1 张饼，浪费了时间． 第一次先煎 2 张饼，剩下的 3 张饼可以这样煎：先煎 2 张的正面；煎熟后拿出第一张，放 入第三张，煎第二张的反面和第三张的正面；煎熟后第二张就熟了，再煎第一张和第三张 的反面 热点突破 3 关键知识 典型例题 第 7 页 共 13 页 【解答】前 2张煎 2面，用时间 4分钟．剩下 3张假设为①、②、③： 第一次：放①的正面和②的正面， 第二次：放①的反面和③的正面， 第三次：放②的反面和③的反面， 共用 2×3=6（分钟）． 全部时间：4+6═10（分钟）； 答：煎 5只饼至少需要 10分钟． 故答案为：10 【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工． 【跟踪训练 1】（2024秋•鄄城县期末）一个锅里一次最多能烤 2个饼，一个饼正反面各需要 2分钟，烤 5个饼至少需要（　　）分钟。 A．12 B．10 C．8 【跟踪训练 2】（2024秋•阳泉期末）一位装修工人要给 3块同样的木板刷油漆，只刷一面， 每面要求刷两遍油漆。一块木板刷一遍需要 3分钟，晾晒 4分钟后可以刷第二遍，要把 3块 木板全部刷完，最短需要（　　）分钟。 A．21 B．42 C．18 【跟踪训练 3】（2024秋•河间市期末）用一只平底锅煎饼，每次只能煎两块饼，煎一面需要 3分钟，两面都要煎。煎 6块饼最少需要 ______分钟。 【跟踪训练 4】（2024秋•望花区期末）用一口平底锅煎韭菜盒，每次能放 4个，如果前一个 需要 6分钟（假设正反面各需 3分钟），煎 8个韭菜盒至少需要 ______分钟。 【跟踪训练 5】（2024秋•历城区期末）周末家里来客人了，小华准备在妈妈的协助下，用数 学课本第 105页学习到的方法尝试烙 10张饼。每次最多只能烙 2张饼，两面都要烙，每面烙 3分钟。最少需要多少分钟？（请写出算式或简要说明） 跟踪训练 第 8 页 共 13 页 【跟踪训练 6】（2024春•礼泉县期末）妈妈用面包机烤面包，每个面包机盘子最多能放 2片 面包，面包的两面都要烤，每烤一面要用 3分钟，烤 7片面包至少要用多少分钟？ 沏茶问题 例 1： 热点突破 4 关键知识 典型例题 第 9 页 共 13 页 例 1：小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用 20分钟；扫地要用 6分钟； 擦家具要用 10分钟；晾衣服要用 5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（　　）分 钟 A、21 B、25 C、26 D、41 【分析】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约 6+10=16分钟，所以做完这件 事至少需要 20+5=25分钟 【解答】根据题干分析，可设计如下工序： 20+5=25（分钟）， 故选：B． 【点评】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答． 【跟踪训练 1】（2024秋•沈北新区期末）明明起床后需要做以下几件事：①整理房间 3分 钟，②刷牙 3分钟，③洗脸 3分钟，④听广播 8分钟。他最快（　　）分钟可以做完这些 事。 A．8 B．9 C．11 D．17 【跟踪训练 2】（2024秋•洪山区期末）妈妈给客人烧水泡茶。洗水壶 1分钟，烧开水 15分 钟，洗茶壶 1分钟，洗茶杯 1分钟，拿茶叶 2分钟。请问，最短（　　）分钟客人就能喝上 茶了。 A．20 B．18 C．16 D．15 【跟踪训练 3】（2025春•威县期中）下午，妈妈 5点 30分就开始做饭，淘米需要 2分钟， 洗菜切菜 5分钟，用电饭锅蒸米饭 15分钟，炒菜 10分钟，妈妈最早做好饭的时间用 24时计 时法是 ______。 【跟踪训练 4】（2024秋•长沙期末）聪聪帮妈妈做家务，整理房间用 7分钟，烧开水用 9分 钟，沏茶用 3分钟，扫地用 2分钟，他做完这些事至少需要 ______分钟。 【跟踪训练 5】（2024秋•河间市期末）芳芳早晨起床后，刷牙洗脸要用 2分钟，用电饭锅烧 早饭要 14分钟，读英语单词要 12分钟，吃早饭要用 6分钟，请列式计算芳芳起床后最快多 跟踪训练 第 10 页 共 13 页 少分钟就能去上学。 【跟踪训练 6】（2024秋•温州月考）端午节到了，妈妈要给我们包粽子。淘米、洗粽叶要用 10分钟，包粽子要用 20分钟，把粽子煮熟要用 40分钟。如果想在中午 12时吃到粽子，妈 妈最迟应该从什么时间开始？ 田忌赛马问题 1．田忌赛马： 田忌赛马说的是田忌和别人赛马的故事，大概如下：用自己的劣等马对决对手的优等马用自 己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这个故事告诉我们一个道 理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性． 热点突破 5 关键知识 第 11 页 共 13 页 2．深层意义： 通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养应用意 识，提高解决实际问题的能力．只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体 会优化思想的应用． 3．应用举例： 一位镇长想起了田忌赛马的故事．不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优 势，以长击短，因此取胜．联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势， 可能还是打破僵局、走向成功的一个高招． 例 1： 例 1：森林运动会开始了，场上甲乙两组选手正在准备比赛，采取三局两胜制．第二组要想 获胜，应该按照（　　）方案安排比赛顺序． 第一名 第二名 第三名 第一组 猎豹 9.0秒 小鹿 9.5秒 狗 9.9秒 第二组 狮子 9.3秒 羚羊 9.6秒 兔子 10.0秒 A．兔子--狗；羚羊--小鹿；狮子--猎豹 B．兔子--小鹿；羚羊--狗；狮子--猎豹 C．兔子--猎豹；羚羊--狗；狮子--小鹿 【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，用第二组的第一名对阵第一组的第二名， 用第二组的第二名对阵第一组的第三名，用第二组的第三名对阵第一组的第一名，这样第二 组会获得 2胜 1负，从而获胜 【解答】第二组要想获胜，应该按照兔子--猎豹；羚羊--狗；狮子--小鹿安排比赛顺序． 这样兔子负于猎豹，但是羚羊和狮子都会获胜，2胜 1负，从而获胜． 故选：C 【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键． 【跟踪训练 1】（2024秋•江汉区期末）甲乙两人玩纸牌游戏，三局两胜，每人每次出一张 牌，牌面数字大的获胜。甲的三张牌的牌面数字分别是“10、8、5”，乙的三张牌的牌面数 跟踪训练 典型例题 第 12 页 共 13 页 字分别是“9、6、4”。游戏中甲先出，如果乙想获胜，那么当甲出 10时，乙应该出 （　　） A．4 B．6 C．9 D．无法确定 【跟踪训练 2】（2024秋•北辰区期末）森林运动会开始了，采取三局两胜制，乙组要想获 胜，应按（　　）安排比赛顺序。 甲组 猎豹 9.0秒 鹿 9.5秒 狗 9.9秒 乙组 狮子 9.3秒 羚羊 9.6秒 兔子 10.0秒 A．兔子——狗 羚羊——鹿 狮子——猎豹 B．兔子——猎豹 羚羊——狗 狮子——鹿 C．兔子——鹿 羚羊——狗 狮子——猎豹 【跟踪训练 3】（2024秋•永川区期末）小红有 10、7、4三张扑克牌，小东有 3、6、8三张 扑克牌，规定每人每次出一张，轮流出牌，各出三次，所出牌数字大的获胜，三局两胜，如 果小红按照 7-4-10的顺序出牌，小东需按照 ______的顺序出牌才能获胜。 【跟踪训练 4】（2024秋•香坊区期末）冬冬和爸爸玩卡片“比大小”的游戏，游戏规则是： 每人每次只能出一张卡片，大的卡片赢，玩三次，赢两次的获胜。第一次谁先出卡片，后两 次还是谁先出卡片。左边三张 6.8.10是爸爸的卡片，右边三张 9.7.5是冬冬的卡片，如果第 一次爸爸出 10，那么，冬冬第一次出 ______方能确保获得最后的胜利。 【跟踪训练 5】（2023秋•临潼区期末）奇思和妙想玩“比大小”的游戏。奇思的三张卡片上 的数字分别为 3、5、7，妙想的三张卡片上的数字分别为 4、6、9、玩法：每人每次出一张卡 片，数字大者胜，比三局，两胜为赢．奇思怎样可以获胜？ 第 13 页 共 13 页 【跟踪训练 6】阳光小学四（1）班和四（2）班 50米短跑比赛，规定三局两胜为胜，每名选 手参赛一次。四（1）班跑得快的是小军、小强、小南，分别为 7秒、7.4秒、7.9秒；四 （2）班跑得快的是小明、小亮、小文，分别为 7.3秒、7.5秒、8.1秒。如果四（2）班要胜 四（1）班，四（2）班应如何派出选手？ 第6讲 计数问题（二） 考点目录 1、握手问题 2 2、排队问题 5 3、烙饼问题 8 4、沏茶问题 11 5、田忌赛马问题 14 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 握手问题 ★★ ★★★ 排队问题 ★★ ★★★ 烙饼问题 ★★ ★★★ 沏茶问题 ★★★ ★★★ 田忌赛马问题 ★★ ★★★ 【考情分析】计数问题是小升初数学考试中的重要模块，主要考查学生的逻辑思维、分类讨论能力和对基本计数方法的掌握。相关问题有握手问题、排队问题、烙饼问题、沏茶问题等，该部分题目通常出现在填空题、选择题和应用题中，难度中等，但灵活性较强，容易因遗漏或重复计数导致失分。 热点突破1 关键知识 握手问题 假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N-1）个人握手， 则总握手的次数是N（N-1），但是在这N（N-1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2， 则N个人握手的次数是N（N-1）． 典型例题 例1： 例1：甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（　　）盘． A、1          B、2           C、3           D、4 【分析】五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了4盘为突破口，找出小明下的盘数 【解答】甲下了4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明； 而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下； 乙下了3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了； 丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下； 由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了2盘． 故选：B 【点评】本题根据循环比赛，得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•江宁区期末）学校五年级举行足球比赛，一共有5个班参加．如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（　　）场． A．5 B．10 C．20 【答案】B 【分析】由于每个班都要和另外的4个班赛一场，一共要赛：5×4=20（场）；又因为两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2=10（场），据此解答． 【解答】解：5-1=4（场） 5×4÷2 =20÷2 =10（场） 答：这5个班一共要比赛10场． 故选：B． 【跟踪训练2】（2024•北湖区校级开学）小明、小刚、小强和小亮4人要每两人互发一封电子邮件进行交流，他们一共发（　　）封邮件。 A．6 B．8 C．12 【答案】C 【分析】本题要排列考虑元素的顺序，即A发给B与B发给A被视为两个不同的事件。小明、小刚、小强和小亮4人每人要发3封电子邮件，4人要发（4×3）封电子邮件，据此解答。 【解答】解：4×（4-1） =4×3 =12（封） 答：他们一共发12封邮件。 故选：C。 【跟踪训练3】（2024秋•莲湖区期末）阳光小学六年组的8个班参加拔河比赛．如果采用单循环赛制（每两个班之间都进行一场比赛），一共要安排______场比赛． 【分析】单循环制：每个班都要和其他7个班赛一场，共赛8×7=56场，由于两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：56÷2=28场，据此解答 【解答】解：单循环制：每个班都要和其他7个班赛一场，如图： 8×7÷2 =56÷2 =28（场） 答：一共要安排 28场比赛． 故答案为：28． 【跟踪训练4】（2023•凌海市模拟）某兴趣小组共6名队员，在每次见面会上，如果每两人握一次手，一共要握______次手． 【分析】每两人握一次手，即每人都要和其他5人握一次手，每人需握5次，共有6人，共握手5×6=30次，握手是在两人之间进行的，则互相握手30÷2=15次． 【解答】解：6×（6-1）÷2 =6×5÷2， =15（次）； 答：一共握15次手． 故答案为：15． 【跟踪训练5】（2023秋•双峰县期末）用A、B、C、D、E代表5人的姓名，这5人进行乒乓球比赛，每2人之间都要打一局。A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局。E一共打了几局？分别和谁打的？ 【答案】2局，分别和A、B打的。 【分析】5人进行乒乓球比赛，那么每人最多进行4场比赛，根据“A已打了4局，B打了3局，C打了2局，D打了1局”，在如图中连线表示已赛的场数，找出都有谁和E比赛，从而找出E比赛了几场。 【解答】解：如图： 。 答：由图可知，E一共打了2局，分别和A、B打的。 【跟踪训练6】（2023秋•诸城市校级月考）学校三年级5个班举行拔河比赛，每2个班之间都要比赛一场，一共要比赛多少场？ 【答案】10场。 【分析】由于每个班都要和另外的4个班赛一场，一共要赛：5×4=20（场）；又因为两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2=10（场），据此解答。 【解答】解：（5-1）×5÷2 =20÷2 =10（场） 答：一共要比赛10场。 热点突破2 关键知识 排队问题 1．排队问题解决方法： 要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起． 2．举例说明： 四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？ 典型例题 例1： 例1：小朋友排队做早操，无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，这排小朋友有（　　）人． A、8         B、9         C、10           D、11 【分析】无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，说明笑笑的左右各有4个人，再加上她自己一共有4×2+1=9人，据此解答． 解：（5-1）×2+1， =4×2+1， =9（人）； 【解答】这排小朋友有9人． 故选：B 【点评】本题关键是理解“笑笑都排在第5位”的意思是：她的左右各有4个人，注意：求这一排的总人数时不要忘了加上她自己． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•章丘区校级期中）我们排成一队出校门，我的前面有13人，后面有7人，这一队共有（　　）人。 A．20 B．19 C．21 【答案】C 【分析】把前面的人数与后面的人数加起来，再加上本人即可。 【解答】解：13+7+1=21（人） 答：这一队共有21人。 故选：C。 【跟踪训练2】（2024秋•同安区期末）同学们排成一队做早操，小明前面有4人，后面有7人，这一队一共有多少人？列式正确的是（　　） A．4+7 B．4+7-1 C．4+7+1 【答案】C 【分析】先把小明前面的人数与后面的人数加起来，求出和，再加上1（小明自己），求出和，就是这一队一共有多少人；据此解决即可。 【解答】解：由题意分析得： 这一队共有人数为：4+7+1=12（人） 故选：C。 【跟踪训练3】（2025春•兴化市期中）小朋友们排成一队做游戏。从左往右数，红红排在第8个，丽丽排在第14个。红红和丽丽之间有 ______个小朋友。 【答案】5。 【分析】用丽丽排的次序减去红红排的次数再减1，由此列式计算。 【解答】解：14-8-1=5（个） 答：红红和丽丽之间有5个小朋友。 故答案为：5。 【跟踪训练4】（2024秋•石首市期末）学校合唱比赛时，丽丽和其他成员站成一排，丽丽的左边有6人，右边有7人，这一排有 ______人。 【答案】14。 【分析】丽丽左边的人数，加上右边的人数，加上她自己1人即是所求。 【解答】解：6+7+1=14（人） 答：这一排有14人。 故答案为：14。 【跟踪训练5】（2025春•洛龙区期中）金丝灌顶是一种稀有的牡丹品种，全世界仅有的一棵在洛阳王城公园内。花开时节，游客们争先排队欣赏。有13人在排队，小美前面有6人，她后面有几人？ 【答案】6人。 【分析】用总人数减去小美前面的人数，再减去小美1人，求出后面的人数即可。 【解答】解：13-6-1 =7-1 =6（人） 答：她后面有6人。 【跟踪训练6】（2024秋•西安期末）淘气一家去华清池参观，需排队买票，从前往后数，淘气前面有3人，后面有5人，这一队一共有多少人？ 【答案】9人。 【分析】用淘气前面的人数加后面的人数再加淘气即可求出一共多少人。 【解答】解：3+5+1 =8+1 =9（人） 答：这一队一共有9人。 热点突破3 关键知识 烙饼问题 1．烙饼问题公式： 总时间=饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间 当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为4，每一锅的只数为3时，根据公式，4×2÷3×1约=3分 2．深层意义： 烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题． 典型例题 例1： 例1：用一只平底锅煎饼，每次只能同时煎两张饼．如果煎一张饼需4分钟（正反面各需2分钟），那么煎5张饼至少需要_______分钟． 【分析】5÷2=2（组）…1（张），那么就要煎6次共需2×6=12（分钟），最后一次只煎1张饼，浪费了时间． 第一次先煎2张饼，剩下的3张饼可以这样煎：先煎2张的正面；煎熟后拿出第一张，放入第三张，煎第二张的反面和第三张的正面；煎熟后第二张就熟了，再煎第一张和第三张的反面 【解答】前2张煎2面，用时间4分钟．剩下3张假设为①、②、③： 第一次：放①的正面和②的正面， 第二次：放①的反面和③的正面， 第三次：放②的反面和③的反面， 共用2×3=6（分钟）． 全部时间：4+6═10（分钟）； 答：煎5只饼至少需要10分钟． 故答案为：10 【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•鄄城县期末）一个锅里一次最多能烤2个饼，一个饼正反面各需要2分钟，烤5个饼至少需要（　　）分钟。 A．12 B．10 C．8 【答案】B 【分析】先烙前2张饼，每次烙两张饼，共需2×2=4（分钟）。剩下的三张饼分别为a、b、c；第一次烙a、b的正面；第二次烙a的反面和c的正面；第三次烙b、c的反面。所以烙剩下的三张饼需要3×2=6（分钟）。这样烙5张饼至少需要4+6=10（分钟）。 【解答】解：2×2+3×2 =4+6 =10（分钟） 答：烙熟5张饼至少需要10分钟。 故选：B。 【跟踪训练2】（2024秋•阳泉期末）一位装修工人要给3块同样的木板刷油漆，只刷一面，每面要求刷两遍油漆。一块木板刷一遍需要3分钟，晾晒4分钟后可以刷第二遍，要把3块木板全部刷完，最短需要（　　）分钟。 A．21 B．42 C．18 【答案】C 【分析】根据题意，刷第一块的第一遍，刷完后等待晾干的时间再刷第二块的第一遍，刷完后等待第二块晾干的时间再刷第三块的第一遍，刷完后第一块已经晾干，在等待第三块晾干的时间再刷第一块的第二遍，以此类推，这样所用的时间最短，据此解答即可。 【解答】解：3×3×2 =9×2 =18（分钟） 答：要把3块木板全部刷完，最短需要18分钟。 故选：C。 【跟踪训练3】（2024秋•河间市期末）用一只平底锅煎饼，每次只能煎两块饼，煎一面需要3分钟，两面都要煎。煎6块饼最少需要 ______分钟。 【答案】18。 【分析】烙饼问题公式：总时间=饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间，据此代入数据计算即可解答。 【解答】解：6×2÷2×3 =12÷2×3 =6×3 =18（分钟） 答：煎6块饼最少需要18分钟。 故答案为：18。 【跟踪训练4】（2024秋•望花区期末）用一口平底锅煎韭菜盒，每次能放4个，如果前一个需要6分钟（假设正反面各需3分钟），煎8个韭菜盒至少需要 ______分钟。 【答案】12。 【分析】第一次：第1个的正面，第2个的正面，第3个的反面，第4个的反面，用时3分钟； 第二次：第3个的正面，第4个的正面，第5个的反面，第6个的反面，用时3分钟； 第三次：第5个的正面，第6个的正面，第7个的反面，第8个的反面，用时3分钟； 第四次：第7个的正面，第8个的正面，第1个的反面，第2个的反面，用时3分钟；因此一共用了4个3分钟，依此计算。 【解答】解：3×4=12（分钟） 答：煎8个韭菜盒至少需要12分钟。 故答案为：12。 【跟踪训练5】（2024秋•历城区期末）周末家里来客人了，小华准备在妈妈的协助下，用数学课本第105页学习到的方法尝试烙10张饼。每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙3分钟。最少需要多少分钟？（请写出算式或简要说明） 【答案】30分钟。 【分析】根据题意可知，每2张饼为一组，每组需要2×3=6（分钟）。10张饼即5组，需要5×6=30（分钟），据此解答。 【解答】解：10÷2×（2×3） =5×6 =30（分钟） 答：最少需要30分钟。 【跟踪训练6】（2024春•礼泉县期末）妈妈用面包机烤面包，每个面包机盘子最多能放2片面包，面包的两面都要烤，每烤一面要用3分钟，烤7片面包至少要用多少分钟？ 【答案】21分钟。 【分析】烙饼问题公式：总时间=饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间。 【解答】解：7×2÷2×3 =7×3 =21（分钟） 答：烤7片面包至少要用21分钟。 热点突破4 关键知识 沏茶问题 典型例题 例1： 例1：小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（　　）分钟 A、21         B、25          C、26          D、41 【分析】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6+10=16分钟，所以做完这件事至少需要20+5=25分钟 【解答】根据题干分析，可设计如下工序： 20+5=25（分钟）， 故选：B． 【点评】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•沈北新区期末）明明起床后需要做以下几件事：①整理房间3分钟，②刷牙3分钟，③洗脸3分钟，④听广播8分钟。他最快（　　）分钟可以做完这些事。 A．8 B．9 C．11 D．17 【答案】B 【分析】明明听广播的时候可以整理房间、刷牙和洗脸，如果听广播的时间大于整理房间、刷牙和洗脸的总时间，则最快可以用听广播的时间完成这些事，反之则最快可用整理房间、刷牙和洗脸的总时间完成这些事情，依此选择即可。 【解答】解：根据分析可得： 听广播时间：8分钟； 整理房间、刷牙和洗脸时间： 3+3+3 =6+3 =9（分钟） 8分钟＜9分钟 答：他最快9分钟可以做完这些事。 故选：B。 【跟踪训练2】（2024秋•洪山区期末）妈妈给客人烧水泡茶。洗水壶1分钟，烧开水15分钟，洗茶壶1分钟，洗茶杯1分钟，拿茶叶2分钟。请问，最短（　　）分钟客人就能喝上茶了。 A．20 B．18 C．16 D．15 【答案】C 【分析】先洗水壶，再烧水，烧水的过程中洗茶壶、洗茶杯、然后拿茶叶。据此解答。 【解答】解：1+1+2 =2+2 =4（分钟） 4＜15 1+15=16（分钟） 答：最短16分钟客人就能喝上茶了。 故选：C。 【跟踪训练3】（2025春•威县期中）下午，妈妈5点30分就开始做饭，淘米需要2分钟，洗菜切菜5分钟，用电饭锅蒸米饭15分钟，炒菜10分钟，妈妈最早做好饭的时间用24时计时法是 ______。 【答案】17：47。 【分析】用电饭锅蒸米饭的同时，可以洗菜切菜炒菜，可节约5+10=15（分钟），所以做完这件事至少需要2+15=17（分钟）。 【解答】解：2+15=17（分钟） 5时30分+17分=5时47分，即17：47。 答：妈妈最早做好饭的时间用24时计时法是17：47。 故答案为：17：47。 【跟踪训练4】（2024秋•长沙期末）聪聪帮妈妈做家务，整理房间用7分钟，烧开水用9分钟，沏茶用3分钟，扫地用2分钟，他做完这些事至少需要 ______分钟。 【答案】12。 【分析】依据题意可知，在烧开水的过程中整理房间，扫地，然后沏茶，由此解答本题。 【解答】解：7+2=9（分钟） 9+3=12（分钟） 答：他做完这些事至少需要12分钟。 故答案为：12。 【跟踪训练5】（2024秋•河间市期末）芳芳早晨起床后，刷牙洗脸要用2分钟，用电饭锅烧早饭要14分钟，读英语单词要12分钟，吃早饭要用6分钟，请列式计算芳芳起床后最快多少分钟就能去上学。 【答案】20分钟。 【分析】芳芳可以用电饭锅烧早饭的同时，刷牙洗脸和读英语单词，然后再吃早饭。据此解题。 【解答】解：根据题意列式为： 12+2=14（分钟） 14+6=20（分钟） 答：芳芳起床后最快20分钟就能去上学。 【跟踪训练6】（2024秋•温州月考）端午节到了，妈妈要给我们包粽子。淘米、洗粽叶要用10分钟，包粽子要用20分钟，把粽子煮熟要用40分钟。如果想在中午12时吃到粽子，妈妈最迟应该从什么时间开始？ 【答案】10时50分。 【分析】依据题意可知，计算淘米、洗粽叶，包粽子，粽子煮熟的用时，开始时间=吃到粽子时间-包粽子一共用时，由此解答本题。 【解答】解：10+20+40=70（分） 70分=1时10分 12时-1时10分=10时50分 答：妈妈最迟应该从10时50分开始。 热点突破5 关键知识 田忌赛马问题 1．田忌赛马： 田忌赛马说的是田忌和别人赛马的故事，大概如下：用自己的劣等马对决对手的优等马用自己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这个故事告诉我们一个道理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性． 2．深层意义： 通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养应用意识，提高解决实际问题的能力．只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用． 3．应用举例： 一位镇长想起了田忌赛马的故事．不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优势，以长击短，因此取胜．联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招． 典型例题 例1： 例1：森林运动会开始了，场上甲乙两组选手正在准备比赛，采取三局两胜制．第二组要想获胜，应该按照（　　）方案安排比赛顺序． 第一名 第二名 第三名 第一组 猎豹9.0秒 小鹿9.5秒 狗9.9秒 第二组 狮子9.3秒 羚羊9.6秒 兔子10.0秒 A．兔子--狗；羚羊--小鹿；狮子--猎豹 B．兔子--小鹿；羚羊--狗；狮子--猎豹 C．兔子--猎豹；羚羊--狗；狮子--小鹿 【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，用第二组的第一名对阵第一组的第二名，用第二组的第二名对阵第一组的第三名，用第二组的第三名对阵第一组的第一名，这样第二组会获得2胜1负，从而获胜 【解答】第二组要想获胜，应该按照兔子--猎豹；羚羊--狗；狮子--小鹿安排比赛顺序． 这样兔子负于猎豹，但是羚羊和狮子都会获胜，2胜1负，从而获胜． 故选：C 【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•江汉区期末）甲乙两人玩纸牌游戏，三局两胜，每人每次出一张牌，牌面数字大的获胜。甲的三张牌的牌面数字分别是“10、8、5”，乙的三张牌的牌面数字分别是“9、6、4”。游戏中甲先出，如果乙想获胜，那么当甲出10时，乙应该出（　　） A．4 B．6 C．9 D．无法确定 【答案】A 【分析】甲先出，如果乙想获胜，那么甲出10时，乙应该出最小的4；甲出8时，乙应该出能大8的9；甲出5时，乙应该出能大5的6；据此解答。 【解答】解：甲先出，如果乙想获胜，那么甲出10时，乙应该出最小的4；甲出8时，乙应该出能大8的9；甲出5时，乙应该出能大5的6。乙必胜。 故选：A。 【跟踪训练2】（2024秋•北辰区期末）森林运动会开始了，采取三局两胜制，乙组要想获胜，应按（　　）安排比赛顺序。 甲组 猎豹9.0秒 鹿9.5秒 狗9.9秒 乙组 狮子9.3秒 羚羊9.6秒 兔子10.0秒 A．兔子——狗     羚羊——鹿    狮子——猎豹 B．兔子——猎豹   羚羊——狗    狮子——鹿 C．兔子——鹿     羚羊——狗    狮子——猎豹 【答案】B 【分析】此题结合田忌赛马的故事进行解答，用乙组的第一名对阵甲组的第二名，用乙组的第二名对阵甲组的第三名，用乙组的第三名对阵甲组的第一名，这样乙组会获得2胜1负，从而获胜。 【解答】解：乙组要想获胜，应该按照“兔子——猎豹   羚羊——狗    狮子——鹿”安排比赛顺序。 这样兔子负于猎豹，但是羚羊和狮子都会获胜，2胜1负，从而获胜。 故选：B。 【跟踪训练3】（2024秋•永川区期末）小红有10、7、4三张扑克牌，小东有3、6、8三张扑克牌，规定每人每次出一张，轮流出牌，各出三次，所出牌数字大的获胜，三局两胜，如果小红按照7-4-10的顺序出牌，小东需按照 ______的顺序出牌才能获胜。 【答案】8-6-3。 【分析】小红的三张扑克牌中数字最大的是10，小东的三张扑克牌中数字最大的是8，当小红出10时，无论小东出哪张牌都会输。小东可以用最小的牌对小红最大的牌，即小红出10，小东出3，小红胜；小红出7小东出8，小东胜；小红出4小东出6，小东胜。 【解答】解：如果小红按照7-4-10的顺序出牌，小东需8-6-3按照的顺序出牌才能获胜。 故答案为：8-6-3。 【跟踪训练4】（2024秋•香坊区期末）冬冬和爸爸玩卡片“比大小”的游戏，游戏规则是：每人每次只能出一张卡片，大的卡片赢，玩三次，赢两次的获胜。第一次谁先出卡片，后两次还是谁先出卡片。左边三张6.8.10是爸爸的卡片，右边三张9.7.5是冬冬的卡片，如果第一次爸爸出10，那么，冬冬第一次出 ______方能确保获得最后的胜利。 【答案】5。 【分析】依据题意可知，利用“田忌赛马”可知，爸爸出最大的数字时，冬冬出最小的数字，爸爸出较大的数字，冬冬出最大的数字，爸爸出最小的数字，冬冬出较大的数字，由此解答本题。 【解答】解：如果第一次爸爸出10，那么，冬冬第一次出5，爸爸胜； 爸爸出8，冬冬出8，冬冬胜； 爸爸出6，冬冬出7，冬冬胜，冬冬胜两次，爸爸胜一次，则冬冬最后胜利。 故答案为：5。 【跟踪训练5】（2023秋•临潼区期末）奇思和妙想玩“比大小”的游戏。奇思的三张卡片上的数字分别为3、5、7，妙想的三张卡片上的数字分别为4、6、9、玩法：每人每次出一张卡片，数字大者胜，比三局，两胜为赢．奇思怎样可以获胜？ 【答案】 妙想 9 6 4 奇思 3 7 5 胜者 妙想 奇思 奇思 【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，三局两胜，奇思要取胜，奇思用最小的数字3对妙想最大的数字9，奇思用最大的数字7对妙想的数字6，奇思用数字5对妙想的数字4，这样会获得2胜1负，从而获胜． 【解答】解：奇思获胜的方法如下： 妙想 9 6 4 奇思 3 7 5 胜者 妙想 奇思 奇思 【跟踪训练6】阳光小学四（1）班和四（2）班50米短跑比赛，规定三局两胜为胜，每名选手参赛一次。四（1）班跑得快的是小军、小强、小南，分别为7秒、7.4秒、7.9秒；四（2）班跑得快的是小明、小亮、小文，分别为7.3秒、7.5秒、8.1秒。如果四（2）班要胜四（1）班，四（2）班应如何派出选手？ 【答案】按小文、小明、小亮的顺序派选手。 【分析】根据常识可得，短跑比赛，时间越短，跑的越快。根据田忌赛马的故事可得，第一次四（1）班小军先跑，不管四（2）班如何派出选手，四（2）班都会输，因为四（2）班时间都比7秒要多。要想使四（2）班能赢，第一次派跑的最慢的小文，四（2）班输；第二次四（1）班派小强，四（2）班派小明，四（2）班赢；第三次四（1）班派最慢的小南，四（2）班派小亮，四（2）班赢；由此解答即可。 【解答】解：由分析得：第一次四（1）班：小军，四（2）班：小文     四（2）班输 第二次四（1）班：小强，四（2）班：小明     四（2）班胜 第三次四（1）班：小南，四（2）班：小亮     四（2）班胜 即：四（2）班应按小文、小明、小亮的顺序派选手。 答：四（2）班应按小文、小明、小亮的顺序派选手。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 计数问题（二） 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．A、B、C、D四人照相，2人照一张（不能重复），A照了3张，B照了2张，C照了1张，D照了（　　）张． A．1 B．2 C．3 D．4 2．甲、乙、丙、丁四队进行篮球比赛，如果每两队之间都要比赛一场，共要比赛（　　）场． A．3 B．4 C．5 D．6 3．鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里学游泳，它前面有5只小鸭子，后面有3只小鸭子。一共有几只鸭子？（　　） A．2 B．7 C．8 D．9 4．小明经常帮妈妈做家务，上个周末他洗碗用了15分钟，拖地用了20分钟，用洗衣机洗衣服用了40分钟，晾衣服用了5分钟。他做完这些事至少需要（　　）分钟。 A．80 B．45 C．40 D．35 5．一口平底锅上只能同时烤两块饼，用它烤一块饼需要6分钟（正、反面各3分钟），那么，要烤5块这样的饼至少需要（　　）分钟。 A．9 B．12 C．15 D．18 6．寒假居家学习期间，小敏常积极与家长一起做家务，现在小敏要完成如表的任务，完成这些任务至少需要（　　）分钟。 拖地 用洗衣机洗衣服 晾衣服 整理厨房 15分钟 30分钟 15分钟 5分钟 A．65 B．55 C．45 D．35 7．四年级举行100米跨栏比赛，四（1）班三位选手的成绩分别是A：22秒，B：19秒，C：17秒。四（2）班三位选手的成绩分别是甲：15秒，乙：20秒，丙：25秒。四（1）班选手的比赛顺序是A→B→C，如果采取三局两胜制，四（2）班按照（　　）的比赛顺序才能获胜。 A．甲→乙→丙 B．丙→甲→乙 C．丙→乙→甲 D．乙→丙→甲 8．用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙2张。如果烙1张饼要2分钟（正、反两面各1分钟），那么烙3张饼至少需要（　　）分钟。 A．2 B．3 C．6 D．15 9．小朋友排队去逃乐园，明明排票27个，兰兰排第35个。他们两人中间排了（　　）个人。 A．6 B．7 C．8 D．9 10．“比大小”的游戏，游戏规则是①对阵3次，出大者赢，赢两次者胜。②每人每次只出一张牌③第一次谁先出牌，后两次还是谁先。左边三张是小红的，右边三张是小军的。小红先出9，小军出（　　）才有可能获胜。 A．8 B．6 C．3 D．无法确定 二．填空题（共5小题） 11．有6名同学进行乒乓球比赛，如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要比赛 ______场。 12．10个小朋友排成一排，从左边数，小红排在第2位，从右边数，小明排在第2位，小红和小明之间有 ______个小朋友。 13．描金是一种传统工艺美术技艺，有两道工序，先上漆，再描绘花纹，每道工序10分钟。现在两位工匠要为3件漆器描金，最少需要 ______分钟。 14．东东经常帮妈妈做家务，上个周末他洗碗用了12分钟，拖地用了15分钟，用全自动洗衣机洗衣服用了35分钟，晾衣服用了5分钟。他做完这些事情至少需要 ______分钟。 15．小聪和小明两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出3次，赢两次者获胜．小聪拿的是如图所示上面一组的牌，小明拿的是如图所示下面一组的牌．小聪先出牌，小明想获胜，小明该如何出牌？ 小聪出梅花10，小明出黑桃______； 小聪出梅花8，小明出黑桃______； 小聪出梅花6，小明出黑桃______． 三．应用题（共5小题） 16．敏敏、菲菲、强强、思思、诚诚5人聚会，每两人之间都要握一次手。敏敏已经握了4次手，菲菲握了3次手，强强握了2次手，思思握了1次手。诚诚握了几次手？分别与谁握的？ 17．火车站附近的烙饼店来了五位顾客，每人想买一张饼，急着赶火车，限定时间不能超过17分钟。烙熟一张饼的两面各需3分钟，店里唯一的烙饼锅一次最多只能2张饼。这五位顾客能吃上烙饼吗？ 18． 同学们排队做操，从前数小明是第8名，从后数小明是第5名，这一共有多少人？ 19． 下班后，李老师马上做晚餐，接水淘米2分钟、洗菜3分钟、切菜2分钟、炒菜15分钟、电饭锅煮饭35分钟。李老师最快能吃上晚餐需要多少分钟？李老师在最快吃上晚餐前，最多还能安排出多长时间看书？ 20．四（1）班和四（2）班进行跳绳比赛，规定每班各出1人赛1局，共赛5局；获胜局数多的班级为团体优胜。两个班五名选手的跳绳成绩（单位：个）如下表。 四（1）班 张扬 刘若欣 李琳 吴悠 王恬 240 225 203 190 175 四（2）班 宋文文 赵刚 朱欣怡 夏天 陶书然 210 195 187 175 170 四（2）班怎样安排选手比赛，才能使获胜的可能性更大？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 计数问题（二） 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．A、B、C、D四人照相，2人照一张（不能重复），A照了3张，B照了2张，C照了1张，D照了（　　）张． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先不考虑重复的情况，每两人照一张，每个人要和其他3人各照1次，A照了3张，说明A和B、C、D都照了1张，又因为C只照了1张，说明她只和A照了；而B照了2张，除了和A照了1张外，另一张一定是和D照的，所以D照了2张，即和A、B照的；据此画图更容易观察． 【解答】解：根据题意可得： 观察上图可以很容易的看出：D照了2张，即和A、B照的； 答：D照了2张． 故选：B． 2．甲、乙、丙、丁四队进行篮球比赛，如果每两队之间都要比赛一场，共要比赛（　　）场． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】4支球队，每一支都要和其它的3支进行比赛，是比赛3场，一共比赛4×3场，而甲与乙和乙与甲比赛是同一场比赛，4×3就把所有的比赛算了2次，再除以2即可． 【解答】解：4×3÷2 =12÷2 =6（场） 答：一共要比赛6场． 故选：D． 3．鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里学游泳，它前面有5只小鸭子，后面有3只小鸭子。一共有几只鸭子？（　　） A．2 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】用鸭妈妈从前面数的排序，加上从后面数的排序，再加上鸭妈妈1只即可。 【解答】解：5+3+1=9（只） 答：一共有9只鸭子。 故选：D。 4．小明经常帮妈妈做家务，上个周末他洗碗用了15分钟，拖地用了20分钟，用洗衣机洗衣服用了40分钟，晾衣服用了5分钟。他做完这些事至少需要（　　）分钟。 A．80 B．45 C．40 D．35 【答案】B 【分析】小明可以先用洗衣机洗衣服，同时洗碗、拖地，这样可以节省（15+20）分钟，然后再晾衣服，据此解答。 【解答】解：40+5=45（分钟） 答：他做完这些事至少需要45分钟。 故选：B。 5．一口平底锅上只能同时烤两块饼，用它烤一块饼需要6分钟（正、反面各3分钟），那么，要烤5块这样的饼至少需要（　　）分钟。 A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】根据烙饼问题公式：总时间=饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间，直接计算即可。 【解答】解：5×2÷2×3 =10÷2×3 =5×3 =15（分钟） 答：要烤5块这样的饼至少需要15分钟。 故选：C。 6．寒假居家学习期间，小敏常积极与家长一起做家务，现在小敏要完成如表的任务，完成这些任务至少需要（　　）分钟。 拖地 用洗衣机洗衣服 晾衣服 整理厨房 15分钟 30分钟 15分钟 5分钟 A．65 B．55 C．45 D．35 【答案】C 【分析】用洗衣机洗衣服的同时，可以拖地，整理房间，可节约15+5=20（分钟），所以做完这件事至少需要30+15=45（分钟）。据此解答。 【解答】解：30+15=45（分钟） 答：完成这些任务至少需要45分钟。 故选：C。 7．四年级举行100米跨栏比赛，四（1）班三位选手的成绩分别是A：22秒，B：19秒，C：17秒。四（2）班三位选手的成绩分别是甲：15秒，乙：20秒，丙：25秒。四（1）班选手的比赛顺序是A→B→C，如果采取三局两胜制，四（2）班按照（　　）的比赛顺序才能获胜。 A．甲→乙→丙 B．丙→甲→乙 C．丙→乙→甲 D．乙→丙→甲 【答案】D 【分析】用时越多，速度越慢，因为（1）班的顺序已经确定，所以让（2）班跑的最慢的和（1）班跑的最快的比赛，（2）班剩下的2位选手和（1）班选手比自己慢的比赛即可。 【解答】解：四（1）班选手的比赛顺序是A→B→C，即比赛选手的成绩顺序为：22秒、19秒、17秒，则（2）班选手的顺序可以为：20秒、15秒、25秒，即四（2）班按照乙→丙→甲的顺序即可赢得比赛。 故选：D。 8．用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙2张。如果烙1张饼要2分钟（正、反两面各1分钟），那么烙3张饼至少需要（　　）分钟。 A．2 B．3 C．6 D．15 【答案】B 【分析】要使烙饼的总时间最少，那么每一次锅内就应有两张饼，然后计算出时间总和即可。 【解答】解：第一次：第1张饼的正面，第2张饼的正面，用时1分钟； 第二次：第1张饼的反面，第3张饼的正面，用时1分钟； 第三次：第3张饼的反面，第2张饼的反面，用时1分钟； 总共用时3分钟。 故选：B。 9．小朋友排队去逃乐园，明明排票27个，兰兰排第35个。他们两人中间排了（　　）个人。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】用兰兰的排序减去明明的排序，再减去兰兰一人，就是中间的人数。 【解答】解：35-27-1=7（人） 答：他们两人中间排了7人。 故选：B。 10．“比大小”的游戏，游戏规则是①对阵3次，出大者赢，赢两次者胜。②每人每次只出一张牌③第一次谁先出牌，后两次还是谁先。左边三张是小红的，右边三张是小军的。小红先出9，小军出（　　）才有可能获胜。 A．8 B．6 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】小红第一次出的是9，小军出哪个都比9小，都是输，既然都是输，要拿出最小的3与之对阵，这样剩下的两张都比小红的大，都会赢，根据游戏规则，小军以2：1胜。 【解答】解：根据田忌赛马的游戏方法： 小红出9，小军出3； 小红出7，小军出8； 小红出5，小军出6。 这样小军以2：1获胜。 答：小军出3才有可能获胜。 故选：C。 二．填空题（共5小题） 11．有6名同学进行乒乓球比赛，如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要比赛 ______场。 【答案】15。 【分析】由于每人都要和另外的（6-1）人比赛一场，一共要比6×（6-1）场；又因为两人之间只比一场，去掉重复计算的情况，实际只比6×（6-1）÷2场。 【解答】解：6×（6-1）÷2 =6×5÷2 =30÷2 =15（场） 答：一共要比赛15场。 故答案为：15。 12．10个小朋友排成一排，从左边数，小红排在第2位，从右边数，小明排在第2位，小红和小明之间有 ______个小朋友。 【答案】6。 【分析】这排小朋友的人数减去小红以及小红左边的人数，再减去小明以及小明右边的人数，即是所求。 【解答】解：10-2-2=6（人） 答：小红和小明之间有6个小朋友。 故答案为：6。 13．描金是一种传统工艺美术技艺，有两道工序，先上漆，再描绘花纹，每道工序10分钟。现在两位工匠要为3件漆器描金，最少需要 ______分钟。 【答案】30。 【分析】这是一道关于工作流程优化和时间计算的问题。关键在于如何合理安排两位工匠的工作顺序，使得在完成3件漆器的两道描金工序（上漆和描绘花纹，每道工序10分钟）时，总时间最短。因为有两位工匠，所以可以同时进行不同漆器的不同工序，避免出现一人等待另一人完成工作的情况，以此来节省时间。 【解答】解：设3件漆器分别为A、B、C。  第一个10分钟：工匠甲给A漆器上漆，工匠乙给B漆器上漆。第二个10分钟：工匠甲给C漆器上漆，工匠乙给A漆器描绘花纹。第三个10分钟：工匠甲给B漆器描绘花纹，工匠乙给C漆器描绘花纹。这样总共花费的时间为10×3=30（分钟）。 答：最少需要30分钟。 故答案为：30。 14．东东经常帮妈妈做家务，上个周末他洗碗用了12分钟，拖地用了15分钟，用全自动洗衣机洗衣服用了35分钟，晾衣服用了5分钟。他做完这些事情至少需要 ______分钟。 【答案】40。 【分析】用全自动洗衣机洗衣服用35分钟，同时在这期间洗碗用了12分钟，拖地用了15分钟，共27分钟，可以完成，最后再晾衣服用了5分钟，完成这些事至少需要35+5=40（分钟）。据此解答。 【解答】解：35+5=40（分钟） 答：他做完这些事情至少需要40分钟。 故答案为：40。 15．小聪和小明两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出3次，赢两次者获胜．小聪拿的是如图所示上面一组的牌，小明拿的是如图所示下面一组的牌．小聪先出牌，小明想获胜，小明该如何出牌？ 小聪出梅花10，小明出黑桃______； 小聪出梅花8，小明出黑桃______； 小聪出梅花6，小明出黑桃______． 【分析】根据“田忌赛马”的故事，用3对10，输一局；9对8，7对6，胜二局，由此即可能3局2胜获胜． 【解答】解：小聪出梅花10，小明出黑桃 3； 小聪出梅花8，小明出黑桃 9； 小聪出梅花6，小明出黑桃 7． 故答案为：3，9，7． 三．应用题（共5小题） 16．敏敏、菲菲、强强、思思、诚诚5人聚会，每两人之间都要握一次手。敏敏已经握了4次手，菲菲握了3次手，强强握了2次手，思思握了1次手。诚诚握了几次手？分别与谁握的？ 【答案】诚诚握了2次手，分别与敏敏、菲菲握的。 【分析】根据敏敏已经握了4次手，菲菲握了3次手，强强握了2次手，思思握了1次手作图，即可找到诚诚与谁握手。 【解答】解：如图： 答：诚诚握了2次手，分别与敏敏、菲菲握的。 17．火车站附近的烙饼店来了五位顾客，每人想买一张饼，急着赶火车，限定时间不能超过17分钟。烙熟一张饼的两面各需3分钟，店里唯一的烙饼锅一次最多只能2张饼。这五位顾客能吃上烙饼吗？ 【答案】17分钟内能吃上烙饼。 【分析】要想时间最短，尽量使每次都有2张饼在烙，由此进行合理安排即可解决问题。 【解答】解：五张饼分别用序号1、2、3、4、5表示 第一次：1正，2正，需3分钟 第二次：1反，3正，需3分钟 第三次：2反，3反，需3分钟 第四次：4反，5反，需3分钟 第五次：4正，5正，需3分钟 共需要3×5=15（分钟），即可在17分钟内能吃上烙饼。 18．同学们排队做操，从前数小明是第8名，从后数小明是第5名，这一共有多少人？ 【答案】12人。 【分析】从前往后数的排名加上从后往前数的排名，然后再减去自己就是全部的人数。 【解答】解：8+5-1=12（人） 答：这一共有12人。 19．下班后，李老师马上做晚餐，接水淘米2分钟、洗菜3分钟、切菜2分钟、炒菜15分钟、电饭锅煮饭35分钟。李老师最快能吃上晚餐需要多少分钟？李老师在最快吃上晚餐前，最多还能安排出多长时间看书？ 【答案】37分钟；15分钟。 【分析】先接水淘米2分钟，再用电饭锅煮饭35分钟，煮饭的同时可以洗菜、切菜、炒菜，这样可以节约3+2+15=20（分钟），据此即可解答问题。 【解答】解：（1）先接水淘米，再用电饭锅煮饭，煮饭的同时可以洗菜、切菜、炒菜。 2+35=37（分钟） 答：李老师最快能吃上晚餐需要37分钟。 （2）35-（3+2+15） =35-20 =15（分钟） 答：最多还能安排出15分钟时间看书。 20．四（1）班和四（2）班进行跳绳比赛，规定每班各出1人赛1局，共赛5局；获胜局数多的班级为团体优胜。两个班五名选手的跳绳成绩（单位：个）如下表。 四（1）班 张扬 刘若欣 李琳 吴悠 王恬 240 225 203 190 175 四（2）班 宋文文 赵刚 朱欣怡 夏天 陶书然 210 195 187 175 170 四（2）班怎样安排选手比赛，才能使获胜的可能性更大？ 【答案】宋文文对李琳；赵刚对吴悠；朱欣怡对王恬，夏天对刘若欣；陶书然对张扬。 【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使四（2）班胜出，安排如下： 让四（2）班的第一名与四（1）班的第三名一组； 让四（2）班的第二名与四（1）班的第四名一组； 让四（2）班的第三名与四（1）班的第五名一组； 让四（2）班的第四名与四（1）班的第二名一组； 让四（2）班的第五名与四（1）班的第一名一组； 这样能使四（2）班获胜的可能性最大；据此解答即可。 【解答】解：根据分析可得： 四（2）班宋文文对四（1）班李琳； 四（2）班赵刚对四（1）班吴悠； 四（2）班朱欣怡对四（1）班王恬； 四（2）班夏天对四（1）班刘若欣； 四（2）班陶书然对四（1）班张扬； 这样安排选手比赛，才能使四（2）班获胜的可能性更大。 学科网（北京）股份有限公司 $$第 6 讲 计数问题（二） 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．A、B、C、D四人照相，2人照一张（不能重复），A照了 3张，B照了 2张，C 照了 1张，D照了（　　）张． A．1 B．2 C．3 D．4 2．甲、乙、丙、丁四队进行篮球比赛，如果每两队之间都要比赛一场，共要比赛 （　　）场． A．3 B．4 C．5 D．6 3．鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里学游泳，它前面有 5只小鸭子，后面有 3只小 鸭子。一共有几只鸭子？（　　） A．2 B．7 C．8 D．9 4．小明经常帮妈妈做家务，上个周末他洗碗用了 15分钟，拖地用了 20分钟，用 洗衣机洗衣服用了 40分钟，晾衣服用了 5分钟。他做完这些事至少需要（　　） 分钟。 A．80 B．45 C．40 D．35 5．一口平底锅上只能同时烤两块饼，用它烤一块饼需要 6分钟（正、反面各 3分 钟），那么，要烤 5块这样的饼至少需要（　　）分钟。 A．9 B．12 C．15 D．18 6．寒假居家学习期间，小敏常积极与家长一起做家务，现在小敏要完成如表的任 务，完成这些任务至少需要（　　）分钟。 拖地 用洗衣机洗衣服 晾衣服 整理厨房 15分钟 30分钟 15分钟 5分钟 A．65 B．55 C．45 D．35 7．四年级举行 100米跨栏比赛，四（1）班三位选手的成绩分别是 A：22秒，B： 19秒，C：17秒。四（2）班三位选手的成绩分别是甲：15秒，乙：20秒，丙：25 秒。四（1）班选手的比赛顺序是 A→B→C，如果采取三局两胜制，四（2）班按照 （　　）的比赛顺序才能获胜。 A．甲→乙→丙 B．丙→甲→乙 C．丙→乙→甲 D．乙→丙→甲 8．用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙 2张。如果烙 1张饼要 2分钟（正、反两 面各 1分钟），那么烙 3张饼至少需要（　　）分钟。 A．2 B．3 C．6 D．15 9．小朋友排队去逃乐园，明明排票 27个，兰兰排第 35个。他们两人中间排了 （　　）个人。 A．6 B．7 C．8 D．9 10．“比大小”的游戏，游戏规则是①对阵 3次，出大者赢，赢两次者胜。②每人 每次只出一张牌③第一次谁先出牌，后两次还是谁先。左边三张是小红的，右边三 张是小军的。小红先出 9，小军出（　　）才有可能获胜。 A．8 B．6 C．3 D．无法确定 二．填空题（共 5 小题） 11．有 6名同学进行乒乓球比赛，如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要 比赛 ______场。 12．10个小朋友排成一排，从左边数，小红排在第 2位，从右边数，小明排在第 2位，小红和小明之间有 ______个小朋友。 13．描金是一种传统工艺美术技艺，有两道工序，先上漆，再描绘花纹，每道工序 10分钟。现在两位工匠要为 3件漆器描金，最少需要 ______分钟。 14．东东经常帮妈妈做家务，上个周末他洗碗用了 12分钟，拖地用了 15分钟，用 全自动洗衣机洗衣服用了 35分钟，晾衣服用了 5分钟。他做完这些事情至少需要 ______分钟。 15．小聪和小明两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出 3次，赢两 次者获胜．小聪拿的是如图所示上面一组的牌，小明拿的是如图所示下面一组的 牌．小聪先出牌，小明想获胜，小明该如何出牌？ 小聪出梅花 10，小明出黑桃______； 小聪出梅花 8，小明出黑桃______； 小聪出梅花 6，小明出黑桃______． 三．应用题（共 5 小题） 16．敏敏、菲菲、强强、思思、诚诚 5人聚会，每两人之间都要握一次手。敏敏已 经握了 4次手，菲菲握了 3次手，强强握了 2次手，思思握了 1次手。诚诚握了几 次手？分别与谁握的？ 17．火车站附近的烙饼店来了五位顾客，每人想买一张饼，急着赶火车，限定时间 不能超过 17分钟。烙熟一张饼的两面各需 3分钟，店里唯一的烙饼锅一次最多只 能 2张饼。这五位顾客能吃上烙饼吗？ 18．同学们排队做操，从前数小明是第 8名，从后数小明是第 5名，这一共有多少 人？ 19．下班后，李老师马上做晚餐，接水淘米 2分钟、洗菜 3分钟、切菜 2分钟、炒 菜 15分钟、电饭锅煮饭 35分钟。李老师最快能吃上晚餐需要多少分钟？李老师在 最快吃上晚餐前，最多还能安排出多长时间看书？ 20．四（1）班和四（2）班进行跳绳比赛，规定每班各出 1人赛 1局，共赛 5局； 获胜局数多的班级为团体优胜。两个班五名选手的跳绳成绩（单位：个）如下表。 张扬 刘若欣 李琳 吴悠 王恬 四（1）班 240 225 203 190 175 宋文文 赵刚 朱欣怡 夏天 陶书然 四（2）班 210 195 187 175 170 四（2）班怎样安排选手比赛，才能使获胜的可能性更大？