精品解析：江苏省南通市海门区2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024~2025学年第二学期学情调研试卷 九年级数学 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若南通某日最高气温为，最低气温为，则当日温差为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，南通某景区去年接待游客约5600000人次，将5600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣4 7. 《九章算术》中“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．设人数为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点，．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，．点从点出发沿折线运动到点停止，过作于点，连接．设点运动路径长为，的面积为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：________． 12. 分解因式∶________． 13. 若分式的值为0，则x的值为____． 14. 某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平均每月增长率为，则可列方程为_____． 15. 若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为__． 16. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为____海里（结果保留根号）． 17. 如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为_____． 18. 如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程组 （2）计算： 20. 为加强学生劳动教育实践，某校开展“劳动技能大比拼”知识竞赛活动，现从九年级和八年级参赛学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理分析（成绩用表示，分四组：A．，B．，C．，D．．相关数据如下： 八年级C组学生成绩为：82，85，86，88，87，89，84 九年级学生成绩为：72，75，78，82，84，85，85，86，86，86， 87，88，89，90，91，92，93，94，97，98． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 86.9 86.5 43.1 八年级 84.8 79 48.6 根据以上信息解答： （1）填空：_____，_____； （2）结合统计量说明哪个年级劳动知识掌握更好？请结合两种统计量说明理由； （3）该校八、九年级各有600名学生参赛，估计这两个年级成绩优秀（）的学生总数． 21. 如图，在中，，点，分别为边、的中点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 22. 如图所示的两张扑克牌，除正面图案外，其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片，将四张卡片洗匀后背面朝上． （1）从四张卡片中随机抽取一张，带有数字3的概率是________； （2）从四张卡片中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，求抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率． 23. 如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径及的长． 24. 为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下： 信息一 安装队 每天安装个数（台） 每天安装成本（元） 甲 5000 乙 x 3000 信息二 甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等． （1）求x的值； （2）某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1000个，求该项目安装成本的最小值． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点． （1）求点，，的坐标； （2）求证：的值为定值； （3）若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于0，求点的横坐标的取值范围． 26. 平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． （1）过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． （2）在（1）的基础上，求证：． （3）【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． （4）【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期学情调研试卷 九年级数学 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若南通某日最高气温为，最低气温为，则当日温差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的减法的应用，求该日的温差就是作减法，用最高气温减去最低气温，列式即可计算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当日温差为， 故选：． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义．根据题意利用轴对称图形和中心对称图形的定义对选项进行逐一分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴对称图形指的是沿着对称轴折两边能完全重合的图形，中心对称图形是绕着对称中心旋转能与原图形重合， ∴B选项既是轴对称图形又是中心对称图形， 故选：B． 3. 据统计，南通某景区去年接待游客约5600000人次，将5600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果； 【详解】把代入函数解析式得：， 化简得到：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键． 5. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平行线的性质是解题的关键． 由三角形内角和定理可求，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于的一元一次方程是解题的关键． 7. 《九章算术》中“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．设人数为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：A． 8. 如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，先根据作图可知四边形是菱形，再利用菱形的面积公式求解即可，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 【详解】解：根据题意得：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点，．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，作轴，垂足为E，轴，垂足为F，设的横坐标为，则，，由所对直角边等于斜边一半得出，由勾股定理求出，得出，求出，得出，，再求出，得，，根据，在上，得，解得（舍去），，得出k值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为E，轴，垂足为F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 设的横坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∵，在上， ∴，解得（舍去），， ∴． 故选：D． 10. 如图，矩形中，．点从点出发沿折线运动到点停止，过作于点，连接．设点运动路径长为，的面积为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了动点在不同阶段，函数的图像特点，解题关键是分析每个阶段y的大小变化，即可找到正确的图像．因为动点按沿折线的路径运动，因此，y关于的函数图象分为两部分：，，逐一分析每一部分即可得解． 【详解】解：设，，， 当点在上运动时， 则，， ， ， 即， 这是关于的二次函数，二次项系数小于0，图象开口向下； 当时，， 当点在上运动时，如下图： ， 则，， ， ， 即， 这是关于的二次函数，二次项系数小于0，图象开口向下， 综上，y关于的函数图象先下降到0（开口向下的抛物线部分），再上升（开口向下的抛物线部分），符合选项 的只有A； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题先根据算术平方根的定义计算，再根据绝对值的性质化简，最后进行有理数减法运算即可． 【详解】解：． 12. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若分式的值为0，则x的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0， ∴x=1. 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 14. 某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平均每月增长率为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求平均变化率的方法．三月份的产值=一月份工业产值平均每月增长的百分率，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份工业产值达50亿元，平均每月增长的百分率为x， ∴二月份的工业产值为， ∴三月份的工业产值为， ∴可列方程为， 故答案为：． 15. 若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为__． 【答案】12 【解析】 【分析】设该圆锥的母线长为l，再根据圆锥的侧面展开图是一个半圆，这个半圆的弧长等于圆锥底面的周长，然后再根据扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，最后求解即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得． 即该圆锥的母线长为12． 故填12． 【点睛】本题主要考查了圆锥的相关计算，圆锥的侧面展开图为一扇形且这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长． 16. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为____海里（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解求出、，再解求出即可．解决本题的关键是求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题． 【详解】解：如图， 由题意得：，，，海里， 在中，，， 海里， 海里， 在中，，， 海里， 海里， 故答案为：． 17. 如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，再由圆周角定理即可求得解． 【详解】如图，， 连接，在中，，则， ∵， ∴， 由圆周角定理得到：． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何最值问题，涉及直角三角形的性质、坐标系的应用，以及求最短路径，正确做出辅助线是解题的关键．建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形，作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I，求出点G的坐标，从而求出，证明，从而得到从而的解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形， 作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I， ∵在中，，，， ∴， ∵点C关于的对称点D， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵的中点为点G，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴，当且仅当点C、F、G三点共线时取最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程组 （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）把方程②化为：，再把方程①整体代入求解 再求 从而可得答案； （2）先通分，计算括号内的分式的加减运算，同步把除法运算转化为乘法运算，再约分后可得答案． 【详解】解：（1） 由②得：③ 把①代入③得： 把代入①得： 所以方程组的解是： （2） 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，分式的混合运算，掌握以上运算的运算方法是解题的关键． 20. 为加强学生劳动教育实践，某校开展“劳动技能大比拼”知识竞赛活动，现从九年级和八年级参赛学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理分析（成绩用表示，分四组：A．，B．，C．，D．．相关数据如下： 八年级C组学生成绩为：82，85，86，88，87，89，84 九年级学生成绩为：72，75，78，82，84，85，85，86，86，86， 87，88，89，90，91，92，93，94，97，98． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 86.9 86.5 43.1 八年级 84.8 79 48.6 根据以上信息解答： （1）填空：_____，_____； （2）结合统计量说明哪个年级劳动知识掌握更好？请结合两种统计量说明理由； （3）该校八、九年级各有600名学生参赛，估计这两个年级成绩优秀（）的学生总数． 【答案】（1）84．5，86 （2）九年级劳动知识掌握更好．理由：九年级平均数和中位数都比八年级高任选两个方面说明即可） （3）750人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数的意义即可求出a、b的值； （2）从平均数、方差的角度比较得出结论（答案不唯一）； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级A组由：（人），B组有：（人），竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为84，85故中位数，在被抽取的九年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数； 故答案为：； 【小问2详解】 解：九年级成绩较好，理由：因为九年级学生成绩的平均数比八年级的高，九年级学生成绩的方差比八年级的方差小，成绩更稳定，所以九年级成绩较好； 【小问3详解】 解：样本中八年级有10人成绩优秀，九年级有15人成绩优秀，（人）， 估计这两个年级成绩优秀的学生总数为750人． 21. 如图，在中，，点，分别为边、的中点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 点、分别为边、的中点， ． 又， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由点、分别为边、的中点得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由点、分别为边、的中点得，再由平行四边形的性质得，进而由锐角三角函数定义得，然后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 在 【小问2详解】 点、分别为边、的中点，， ． 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ， ， 在中，， 的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图所示的两张扑克牌，除正面图案外，其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片，将四张卡片洗匀后背面朝上． （1）从四张卡片中随机抽取一张，带有数字3的概率是________； （2）从四张卡片中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，求抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法和树状图法； （1）直接根据概率公式法求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：从四张卡片中随机抽取一张，带有数字3的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：将这两张扑克牌从正中间剪断，分别记为其中A和B能拼成一张完整扑克牌，C和D能拼成一张完成扑克牌，画树状图如下：， 共计12种等可能得结果，其中抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的结果有：共4种， ∴抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率为． 23. 如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1） 解：连接． 是的切线， ． ， ， ． ． ， ， ， 平分． （2）； 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质得到，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可； （2）利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得圆的半径，连接，利用相似三角形的判定与性质求得，则结论可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设的半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的半径为． ∴． 连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 24. 为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下： 信息一 安装队 每天安装个数（台） 每天安装成本（元） 甲 5000 乙 x 3000 信息二 甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等． （1）求x的值； （2）某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1000个，求该项目安装成本的最小值． 【答案】（1）40 （2）80000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用与一次函数的最值问题，解题的关键是根据天数相等的等量关系列出分式方程求解未知数，再通过建立成本与施工天数的函数关系，结合安装总量的不等式确定自变量范围，进而求出成本最小值． （1）根据甲队完成个与乙队完成个所需天数相等，结合每天安装个数列出分式方程，求解并检验得x的值； （2）设甲队施工天数，用总工期表示乙队施工天数，根据安装总量不少于个列出不等式确定甲队施工天数的范围；建立成本关于甲队施工天数的一次函数，根据函数增减性求最小值． 【小问1详解】 由题意可知，甲队每天安装台，乙队每天安装x台． ∵甲队完成个所需天数与乙队完成个所需天数相等， ． 交叉相乘得： 展开得： 移项化简得： 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴x的值为 【小问2详解】 由（1）得，甲队每天安装台，乙队每天安装台． 设甲队单独施工a天，则乙队单独施工天． 根据安装总量不少于个，可得：， 展开得： 化简得：， 解得． 设该项目安装成本为W元，则：． ∵， ∴W随a的增大而增大． 当时，W取得最小值，最小值为元． 答：该项目安装成本的最小值为元． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点． （1）求点，，的坐标； （2）求证：的值为定值； （3）若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于0，求点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2） 证明：设点， 由（1）知， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 将代入，则， ∴点， ∴； 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴； ∴为定值； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，函数过定点问题，数形结合是解题的关键． （1）对于，当时，则，令，则或，即可求解； （2）设点，求出直线的表达式为：，得到；同理可得：直线的表达式为：，得到；由为定值；即可证明； （3）由，将代入，则，得到一次函数过定点，设，由题意得到一次函数的图象随x的增大而减小，求出，联立直线和抛物线的表达式得：，解得：；当，该一次函数对应的函数值始终小于0，只需要当时，，进而求解． 【小问1详解】 解：对于，当时，则， 令，则或， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标分别为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， 将代入，则， ∴一次函数过定点， 设， ∵点是第四象限内的抛物线上一点，， ∴一次函数的图象随x的增大而减小， ∴，即， 如下图： 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：； ∵，该一次函数对应的函数值始终小于0， 将代入，则， ∴ ∴， ∴， 当时，， 故点P的横坐标的取值范围为：． 26. 平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． （1）过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． （2）在（1）的基础上，求证：． （3）【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． （4）【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形得到，证明四边形是平行四边形，即可得到答案； （2）根据正方形的定义得到，证明，得到，即可得到结论； （3）过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，先证明，根据点P是的中点，，正方形，得到，， 设，则，求出，故，证明，即可得到； （4）过点作交于点，交延长线于点，过点作，分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 在正方形中，， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点P是的中点，，正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上：的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $