第7章 相交线与平行线（大单元教学设计）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

大单元教学设计 第七章相交线与平行线大单元教学设计 主备人 课型 新授 时间 课程标准 课题 第7章　相交线与平行线 课时 12课时 大单元主题背景分析（教材分析） （一）教材地位与作用 本章是人教版七年级上册的重要几何内容，承接小学阶段对简单图形的认识，是初中几何体系的基础章节，更是培养学生空间观念、几何直观和逻辑推理的关键载体.教材通过“相交线—平行线—平移”的逻辑链条，逐步引导学生从具体情境中抽象几何概念，探究图形位置关系的性质与判定，为后续学习三角形、四边形奠定重要基础.其中，相交线的对顶角、垂线性质，平行线的判定与性质，以及平移变换，不仅是解决几何问题的核心工具，更蕴含着“数形结合”“转化化归”等重要数学思想. （二）新课标衔接与核心素养 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本章聚焦“图形与几何”领域，重点培养学生的“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”.例如，从剪刀、铁轨等生活实例抽象出相交线、平行线模型，体现数学抽象；通过“同位角相等→两直线平行”的推导，强化演绎推理意识；利用平移设计图案，培养几何应用与创新意识.教材内容紧密联系实际，如测量跳远成绩（点到直线的距离）、台球反弹路径（对顶角性质），充分体现“数学源于生活，服务生活”的理念. （三）学情分析 七年级学生已具备简单的几何直观能力，但逻辑推理尚处于起步阶段.教学中需关注： 1.认知难点：三线八角的位置关系辨析（如同位角、内错角的识别）、平行线判定与性质的混淆、几何语言的规范表达. 2.兴趣点：生活中的几何现象（如建筑中的垂直与平行）、动手操作活动（如折纸、木条实验）、开放性问题（如平移设计图案）. 3.易错点：对“在同一平面内”“垂线段最短”等概念的忽略，证明过程中条件与结论的逻辑衔接不严谨. 单元教学的目标 （一）知识与技能 1.概念建构：通过生活实例抽象相交线、平行线、垂线、平移等概念，理解邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义及本质特征. 2.性质探究：掌握对顶角相等、垂线的唯一性与最短性、平行线的判定与性质（同位角/内错角相等、同旁内角互补）、平移的“两不变一对应”性质（形状大小不变、对应点连线平行且相等）. 3.技能提升：能熟练运用三角尺、直尺画垂线和平行线，规范书写几何推理过程，利用平移性质进行图案设计与计算. （二）数学思考 1.抽象与建模：经历“生活原型→几何模型→符号表达”的抽象过程，如将剪刀抽象为相交线模型，铁轨抽象为平行线模型，提升数学抽象能力. 2.推理与论证：通过“观察猜想→实验验证→逻辑证明”的探究路径（如通过木条转动实验猜想平行线判定条件，再用几何语言证明），发展合情推理与演绎推理能力，体会数学思维的严谨性. 3.数形结合：借助图形分析角的位置关系（如用“F”“Z”“U”型识别同位角、内错角、同旁内角），用代数方法解决几何问题（如通过角度计算证明直线平行），感悟数形结合思想. （三）问题解决 1.生活应用：能运用本章知识解决实际问题，如测量点到直线的距离（确定最短路径）、利用平移设计轴对称图案、判断建筑中的垂直与平行关系. 2.几何推理：掌握“条件→结论”的几何问题分析方法，能从复杂图形中分离基本模型（如三线八角），逐步学会写规范的推理过程（如“∵∠1=∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）”）. 3.合作探究：通过小组合作完成剪纸、拼图、几何画板动态演示等活动，共同解决开放性问题（如设计满足条件的平移路径），培养团队协作与语言表达能力. （四）情感态度 1.数学价值：通过“垂线段最短”在灌溉水渠设计中的应用、平移在美术与建筑中的实例，体会数学的实用性与美学价值，激发学习兴趣. 2.学习品质：在“对顶角相等”的证明、平行线判定定理的推导中，感受数学知识的逻辑性与严密性，培养严谨的学习态度. 3.文化意识：了解几何发展历史（如欧几里得《几何原本》中的平行公理），体会数学知识的传承与发展，增强文化自信. 学习活动设计 活动一 相交线 活动二 平行线的概念及其判定 活动三 平行线的性质 活动四 定义、命题、定理 活动五 平移 学习评价设计 （一）过程性评价（40%） 1.课堂表现（20%）：包括参与小组讨论的积极性、几何模型抽象的准确性、课堂提问与回答的逻辑性（如能否清晰区分同位角与内错角的定义）. 2.探究活动（10%）：评价动手操作能力（如用三角尺画垂线的规范性）、实验记录的完整性（如平行线判定实验中能否记录角度变化与直线位置关系）. 3.作业质量（10%）：分层次评价基础题（概念辨析）、综合题（几何推理）、开放题（平移图案设计）的完成情况，关注解题步骤的规范性与创新性. （二）终结性评价（60%） 1.单元测试（80%）： 2.项目化学习（20%）：小组合作完成《生活中的相交线与平行线》调查报告，包含： · 生活实例收集（如桥梁、家具中的几何模型）. · 数学原理分析（如解释电梯平移的性质）. · 创意应用设计（如用平移设计班级文化墙图案）. 反思性教学改进 相交线的教学通过剪刀、栅栏等生活实例引入，学生能快速感知相交线的几何模型，尤其在邻补角与对顶角的概念辨析中，通过动手拼图、标注公共边与反向延长线，多数学生能抓住“位置关系”这一本质特征.但在三线八角的识别中，部分学生因图形复杂度提升出现混淆，暴露出对“截线与被截线”定位的模糊.例如，在复杂图形中识别同位角时，学生常忽略“同侧同旁”的核心要素.后续可增加“动态标注截线”的环节，用不同颜色区分截线与被截线，并设计“快速配对”游戏强化位置关系记忆.此外，对顶角性质的推导中，学生能理解“同角的补角相等”的逻辑，但几何语言书写仍存在步骤跳跃问题，需通过“填空式推理模板”逐步规范. 平行线的判定与性质是本章逻辑推理的核心，但学生常因“因果关系”混淆导致错误，如将“同位角相等”直接作为性质应用于未证明平行的直线.教学中通过“判定（角→线）”与“性质（线→角）”的对比表格，结合木条转动实验与几何画板动态演示，学生能直观理解两者的互逆关系，但在综合应用中（如“已知∠1=∠2，证明AB∥CD”），仍有部分学生无法准确选择判定定理，暴露出对“三线八角”模型的分离能力不足.后续可增加“拆解复杂图形→标注基本模型”的专项训练，如用不同形状的贴纸标记同位角、内错角，强化“先定位截线，再判断位置关系”的分析步骤.此外，平行公理的探究中，学生通过画图归纳“过直线外一点有且只有一条平行线”，但对“在同一平面内”的前提条件理解不深，可结合长方体模型演示空间中不相交也不平行的直线，帮助学生突破平面思维的局限. 定义、命题与定理的教学中，学生对“命题是判断性语句”的理解较为顺利，但在“改写命题为‘如果…那么…’形式”时，常因条件与结论提炼不准确导致错误，如将“垂线段最短”改写为“如果垂线段，那么最短”，忽略“连接直线外一点与直线上各点”的前提条件.对此，可通过“生活命题→数学命题”的对比分析，帮助学生掌握“条件是已知事项，结论是由已知推出的事项”.在真假命题的辨析中，学生能举出“相等的角是对顶角”的反例（如同位角），但对定理的“证明必要性”认识不足，认为“直观正确的命题无需证明”.后续需增加“简单定理的微证明”活动，如小组合作证明“内错角相等，两直线平行”，通过“画图—猜想—推理”的完整过程，让学生体会逻辑证明的严谨性，避免依赖直观经验. 本章大单元设计通过“生活抽象—模型构建—推理应用”的逻辑链条，有效落实了抽象能力、推理意识等核心素养，但在以下方面仍需优化： 分层教学落实：基础薄弱学生在几何语言规范上进步较慢，需增加“一对一推理纠错”环节，用不同颜色笔标注错误步骤并注明依据；能力提升学生可拓展“非欧几何中的平行公理”等数学史内容，满足探究需求. 评价多元化：过程性评价中，除课堂观察外，可增加“几何推理录音日记”，让学生口述解题思路，暴露逻辑漏洞；终结性评价的项目化学习中，可引入“几何应用短视频”创作，提升知识整合能力. 跨学科融合深化：在平移教学中，可结合信息技术课用Python编程实现图形平移，在美术课中用平移设计班徽，真正实现“做中学”“用中学”. 单元教学结构图 教学设计 课题 　相交线与平行线 学习活动设计 教师活动 学生活动 设计意图 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系. 【思考】同一平面内，两条直线的位置关系有哪几种？ 师：我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交或平行两种. 想一下什么叫相交线，什么叫平行线？ 知识点一：邻补角与对顶角的概念 探究1：用剪刀剪开提前准备好的纸，在剪纸过程中，观察其中蕴含的数学知识. 师生活动：教师做示范，提醒学生注意安全.学生动手操作， 教师追问：请将剪刀的构造抽象成几何模型，并观察剪刀夹角的变化. 合作探究： 把四个角两两组合，按照两个角的位置关系将角分类. 师生活动：教师出示几何模型的图片并提问，学生讨论，教师巡堂，预测会发现有不同的组合，教师请他们分别发言说出这么组合的缘由，并整理为板书，预测分组情况如下： ∠1和∠2，∠1和∠4； ∠2和∠3，∠3和∠4. 有一条公共边，另一条边互为反向延长线. ∠1和∠3；∠2和∠4. 顶点相同，角的两边互为反向延长线. 定义总结 师生活动：教师引导学生总结并填空. 教师追问：∠1的邻补角有哪些？ 预测学生能看图回答出来∠2，∠3. 教师追问：∠1的对顶角是哪个角？ 预测学生能根据图答出∠2. 例题精析 例1下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( ) 例2下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是( ) 练习：如图所示，三条直线两两相交，你能说出图中所有的对顶角、邻补角吗？ 师：【画一画】请动手画出两条直线，直线AB和直线CD，交于点O. 思考:观察你所画图形,其中∠1和∠2的位置有什么关系？ 师：直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 思考:图中还有其它的角构成对顶角吗？ 思考:观察你所画图形,其中∠1和∠2的大小有什么关系？为什么？ 师：我们也可以用推理法 因为∠AOB和∠COD都是平角， 所以∠2+∠3=180°，∠1+∠3=180°， 所以∠2=180-∠3，∠1=180-∠3， 所以∠2=∠1. 师：对顶角有什么性质？ 【总结归纳】判断对顶角方法：1.有公共的顶点.2.角的两边互为反向延长线. 理解对顶角需要注意的三点： 1.对顶角是成对出现的，不能单独说一个角是对顶角. 2.对顶角反映两角相等的数量关系. 3.对顶角还反映两角的位置关系. 思考:观察你所画图形,其中∠1和∠3的大小有什么关系？ 师：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 图中还有其他的角也构成互为补角的关系吗？ 【思考】如果两个角的和是90°，那么这两角有什么关系？ 注意： 互余与互补是指两个角之间的数量关 系，与它们的位置无关. 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2. 将上图简化成下图，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. 小组合作交流，解决下列问题： 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ ∠NOD与∠NOC互为补角，∠1与∠AOC互为补角， ∠2与∠BOD互为补角，∠2与∠AOC互为补角， ∠3与∠1互为余角，∠4与∠2互为余角， ∠3与∠2互为余角，∠4与∠1互为余角， 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ ∠AOC=∠BOD 因为∠1=∠2，∠1+∠AOC=180°, ∠2+∠BOD=180°， 所以∠AOC=∠BOD. 你能得到什么结论？ 同角(等角)的补角相等 【总结归纳】 文字语言：同角或等角的余角相等 几何语言： ∵∠1+∠3=90º∠2+∠4=90º 且∠1=∠2∴∠3=∠4 文字语言：同角或等角的补角相等 几何语言： ∵∠1+∠AOC=180º， ∠2+∠DOB=180º，∠1=∠2 ∴∠AOC=∠DOB 思考：紧握这把剪刀的把手去剪纸，就能剪开纸片，在此过程中，剪刀的张角发生了改变，而在改变过程中又有什么是不变的？ 教师追问：如何证明猜想是否成立？ 学生思考并发言说出自己的方法，教师可适时点拨学生：运用量角器测量或几何推导证明. 学生小组合作，分别用这两种方法验证猜想，在教师的指导下填写表格并完成几何推导证明（如下）： 方法一：量角器测量各个角的度数： 方法二：几何推导证明： 因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补 （邻补角的定义）， 所以∠1=∠3（同角的补角相等）. 例3如图所示，直线a，b相交， ∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数. 师生活动： 教师以此例题为例引导学生分析这类题目的解题思路： 思考：相交还会有哪些情况？ 在我们的身边随处可见“直线”的形象,其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系,请同学们观察下面三幅图片,你能找出其中相交的直线吗?它们有什么特殊的位置关系?说说看. 情境1：生活中的直线 情境2：全红婵跳水 我们用直线a表示水平线，用另一条直线b表示运动员入水时人体所在的直线 ( 中国选手 外国选手 外国选手 a b a b a b ) 情境3：取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b，a、b所成的夹角α. 转动木条的同时观察其夹角的变化. 师生活动：教师做示范，这里只让学生拿出事先准备好的木架，保证课堂安全；学生跟随教师一起拨动木架，转动木条的同时观察其夹角的变化. 探究1 (1)当∠α分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？ (2)当∠α为90°的位置关系有几个？此时，木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？ 总结：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另外一条直线的垂线. 记法：AB⊥CD，垂足为O. 符号语言： 因为∠AOC=90°， 所以AB⊥CD. 探究2 (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条? (1)如图，已知直线l，画l的垂线. 追问1问题：这样画l的垂线可以画几条？ (2)如图，已知直线l和l上的一点A，过点A画l的垂线. 追问2问题：这样画l的垂线可以画几条？ (3)如图，已知直线l和l外的一点M，过点M画l的垂线. 追问3问题：这样画l的垂线可以画几条？ 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！ 例4过点P画出射线AB或线段AB的垂线． 思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置. 总结：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 线段PO的长度叫做点到直线的距离. 思考：你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？你能说说其中的道理吗? 因为直线外一点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离. 练习：如图，下列说法正确的是（） A.线段AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫做点A到直线BC的距离 C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离 对三条直线相交分为两种情况： （1） 三条直线交于一点； （2） 两条直线被第三条直线所截． 截线：l被截直线：a，b 若再添加一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了几个角？有什么特点？ 探究1 观察∠1与∠5的位置关系： ①在直线AB、CD的（同一方/上方） ②在直线EF的（同侧/右侧） 自己动手画一画几组同位角. 图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角. 例5下列图形中，∠1和∠2是同位角的有( ) A.(1)，(2) B.(3)，(4) C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3)，(4) 探究2 观察∠3与∠5的位置关系： ①在直线AB、CD（之间） ②在直线EF的（两侧） 自己动手画一画几组内错角. 图形特征：在形如字母“Z”的图形中有内错角. 例6如图，与∠1是内错角的是（ ） A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 探究3 观察∠4与∠5的位置关系： ①在直线AB、CD（之间） ②在直线EF的（同一旁/右侧） 自己动手画一画几组同旁内角. 图形特征：在形如字母“U”的图形中有同旁内角. 例7下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的有（ ） 归纳总结 例8如图，直线DE，BC被直线AB所截. (1)∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么关系的角？ (2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠3互补吗？为什么？ 课堂总结 这节课你学到了什么？ 1.邻补角、对顶角的定义和性质 2余角、补角及其性质 (1)如果两个角的和为90°，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和为180°，那么称这两个角互为补角. (2)性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的补角相等. 3.垂线的定义和性质 4.垂线的画法 5.点到直线的距离 6.同位角、内错角、同旁内角的定义和识别 课后练习 1.下列说法正确的是( D ) A.互补的两个角是邻补角 B.相等的角是对顶角 C.有公共边的两个角互为邻补角 D.两边互为反向延长线的角是对顶角 2.下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是(　B　) 3.如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，则∠1和∠2的关系是(　C　) A．相等 B．互补 C．互余　　 D．无法判断 4.在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等，可以判定两条直线互相垂直的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.如图，下列说法错误的是( ) A.∠2和∠6是同位角 B.∠3和∠4是内错角 C.∠1和∠3是对顶角 D.∠3和∠5是同旁内角 6.如图，直线AB和CD交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为O，∠AOC=40°，则∠EOF=_____. 7.结合下图，请你回答下列问题： （1）∠2和∠5是直线a和直线b被直线___所截得到的一对______角. （2）∠4和∠8是直线__和直线__被直线___所截得到的一对______角. （3）∠6的同位角有______, ∠6的内错角有：_______, ∠6的同旁内角有：_______. （4）直线a、直线b被直线c所截得到的同位角有：_____________,内错角有______________,同旁内角有_________________ 8.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数． 解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°. 又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴设∠B＝x， ∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°， ∴3x＋30°＋x＝90°， 解得x＝15°，故∠B的度数为15°. 9.如图，∠1与∠2、∠3与∠4各是哪两条直线被一条直线所截而形成的什么角？ 10.在下图中，花坛转角（红色标注的角）按图纸要求为135°，施工结束后，要求你检测它是否合格？请你设计检测的方法. 11.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池M点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2)计划把河水引入蓄水池M中，怎样开渠最短并说明根据. 学生看图片回答问题. 两条直线的位置关系有相交和平行. 生：两条直线只有一个公共点，就称这两条直线为相交线. 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线. 生：D 学生举手回答 观察思考 根据教师提示回答 学生先独立思考，然后请学生代表回答，教师引导学生说出判断的理由，并给予恰当评析，帮助他们形成正确认知. 学生先独立思考，然后请学生代表回答，教师引导学生说出判断的理由，并总结：遇到角的辨析，需要抓住定义做题. 学生先独立解答，然后请学生回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 学生画图. 位置关系： 1.∠1和∠2有公共顶点O 2.两边互为反向延长线. 生：∠3与∠4 生：∠1=∠2 1.可以用度量法度量. 学生在教师的引导下总结归纳. 学生思考回答 ∠1+∠3=180° 生：∠2与∠3，∠2与∠4， ∠1与∠4 如果两个角的和是90°， 那么称这两个角互为余角. 学生思考回答问题. ∠3=∠4 因为∠1=∠2，∠1+∠3=90°, ∠2+∠4=90°，所以∠3=∠4. 学生在教师的引导下总结归纳. 学生动手操作，观察并小组讨论，然后小组代表发言，汇报讨论结果.预测学生可得出：∠1=∠3，∠1+∠2=180°. 基于以上证明，教师引导学生总结：对顶角相等. 学生独立思考与解答，学生代表发言，教师根据学生发言完成板书： 解：由邻补角的定义，得 ∠2=180°-∠1=180°-40°=140°； 由对顶角相等，得 ∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°. 学生看图回答 学生观察图片，思考两条直线的位置关系。 师生活动：学生独立思考解答问题(1)； 观察木条位置关系，经过独立思考和小组讨论，选派代表解答问题(2)， 预设：当∠α为90°的位置关系只有一个； 学生在教师的引导下共同总结此时两根木条的位置关系——a与b垂直，记作a⊥b. 教师讲解垂直的概念和数学语言，学生理解。 学生独立思考后，在教师的引导下，学习垂线的画法(把直尺放在直线l的位置，再把直角三角尺的一条直角边靠在直尺上，最后沿着直角三角尺的另一条边画出直线)，作图后回答问题. 学生回答：无数条. 学生回答：一条. 注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 学生回答：一条. 学生动手画图 拓展垂线的画法 学生独立思考并完成作图；对题(2)有困难的学生，教师可适当提示——线段的垂线，垂足可能落在线段的延长线上. 学生在教师的引导下，根据实际问题，转化成点到直线的距离问题；学生独立思考完成画图，并用直尺测量；小组讨论，选代表回答讨论的发现，师生共同完成总结. 预设1：运用直尺测量发现，线段PO的长度最短. 预设2：这样的线段PO只有一条. 分辨距离的概念，学会找点到直线的距离。 学生独立思考，自己完成一遍作图，仔细观察得出结果. 预设：三条线共构成8个角（教师总结，这简称“三线八角”）. 学生独立思考并作答，教师顺势指出，有这类位置关系的两个角，互为同位角； 教师在黑板上画出仅含∠1与∠5的图形，并让学生指出图中的同位角还有哪些； 学生独立思考，小组讨论后，总结答案. 学生独立思考完成作图，选几名学生板书他们认为的同位角，教师从旁指点纠正，顺势引导学生观察这些同位角的共同点. 学生独立思考，选学生回答问题，其他学生判断正误. 学生独立思考回答填空，教师顺势指出，有这类位置关系的两个角，互为内错角； 教师在黑板上画出仅含∠3与∠5的图形，并让学生指出图中的内错角还有哪些； 学生独立思考，小组讨论后，总结答案. 学生独立思考完成作图，选几名学生板书他们认为的同位角，教师从旁指点纠正，顺势引导学生观察这些同位角的共同点. 学生独立思考，选学生回答问题，其他学生判断正误. 学生独立思考回答填空，教师顺势指出，有这类位置关系的两个角，互为同旁内角； 教师在黑板上画出仅含∠4与∠5的图形，并让学生指出图中的同旁内角还有哪些； 学生独立思考，小组讨论后，总结答案. 学生独立思考完成作图，选几名学生板书他们认为的同旁内角，教师从旁指点纠正，顺势引导学生观察这些同位角的共同点. 学生思考回答 学生独立思考，共同完成表格. 学生独立思考解答问题. 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳. 学生认真做课堂练习.通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知. 数学来源于生活，通过引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备. 学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法. 让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，能由实物的形状想象出相交线、平行线的几何图形，使新知识的产生建立在对周围环境的直接感知的基础上，让学生增强对生活中的相交线、平行线的认识，建立直观的、形象化的数学模型. 从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意，同时为得出两条直线相交所成角的关系提供生活背景. 通过动手操作与观察，帮助学生构建相交线的几何模型，握紧把手时，两个把手之间的角不断变化，两条相交线形成的角也在不断变化，但是这些角之间存在不变的位置关系，这就引出了邻补角和对顶角.在学生阐述观点时，引导学生用几何语言规范表达，帮助学生更好的学习概念与运用几何语言. 结合图形描述邻补角和对顶角的概念，这样描述，便于学生在图形中辨认，教学时要引导学生抓住概念的本质，教会学生如何在图形中辨认它们.再通过追问巩固概念，纠正错误. 通过辨别，进一步巩固对顶角的知识，起到查漏补缺的作用. 通过练习，进一步巩固邻补角的知识，总结角的辨析题的做题方法，让学生加深对定义的把握. 通过三条直线相交这种较为复杂的模型，提高学生思维度，加深对顶角、邻补角的概念的理解. 让学生学习补交和余角的概念，同时对两个概念进行辨析，从位置和大小的关系入手. 让学生用自己的语言表达性质，培养学生的归纳能力，最后渗透对几何语言的应用，培养学生的推理能力. 通过生活实例，增强学生的学习兴趣. 进一步理解余角和补角的关系。概括归纳得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.通过生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动，使学生在自主学习的过程中，掌握“同角或者等角的补角相等.”“同角或者等角的余角相等.”并能够用自己的语言说出简单推理.同时发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性，培养学生合情说理的能力. 紧扣本节课主线，让学生熟练的发现剪刀中的数学模型，并经历“观察——猜想——验证——总结”的研究过程，提高学生的探索能力与精神. 让学生了解几何语言的书写要求，综合提升学生对邻补角、对顶角概念的理解，以及对对顶角相等的性质的掌握.通过分析与总结，教会学生方法，帮助学生理清解题思路. 通过动手测量得到数量关系。 通过例题巩固邻补角和对顶角的性质，从而求解。 通过生活实际场景理解两条直线的位置关系。 通过三个情境，引入两条直线相交的位置关系。 让学生用自己的语言表达性质，培养学生的归纳能力，最后渗透对几何语言的应用，培养学生的推理能力. 紧扣本节课主线，让学生作图中，并经历“观察——猜想——验证——总结”的研究过程，提高学生的探索能力和归纳总结能力. 通过解决实际问题，培养学生的抽象能力，感受所学在实际生活中的应用，发展应用意识和实践能力. 这里设置了一些实践问题，探究活动二中相同的问题可以借助不同的工具，不同的方法来解决，让学生的思维得到充分发散，引导学生透过现象看本质．通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示．让学生在经历思考、实践、猜想，动手验证等过程时，不仅加深对“垂直”的理解，而且感受到“做数学“的乐趣，从而享受到成功的喜悦． 通过动手实践，理解垂线的画法和条数，理解垂线段最短的事实。 用数学知识解释生活中的实际问题 对知识进行巩固练习，使学生对知识加深理解，以便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况. 形成对“三线八角”图形的基本认识。 通过画图，进一步巩固对同位角位置关系的理解，并总结出图形特征，提高解题技巧.通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，能更好的关注知识的形成过程，这也是促使学生认真审题的重要策略.比较线段的大小，是学生能轻松解决的问题，他们在动手操作中，很容易得出结论，轻而易举地掌握这一重要性质. 第一个图形：同位角，利用字母F让学生进行形象记忆。 第二个图形：内错角，利用字母Z让学生进行形象记忆。 培养学生自主学习的习惯，在动手实践中得出探究答案；提高作图能力、发展实践能力. 通过画图，进一步巩固对内错角位置关系的理解，并总结出图形特征，提高解题技巧. 第三个图形：同旁内角，利用字母U让学生进行形象记忆。 通过图表，帮助学生梳理同位角、内错角、同旁内角的位置关系及其图形特征 在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构. 对知识进行巩固练习，使学生对知识加深理解，以便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况. 活动一：相交线 活动二：平行线的概念及其判定 观察下列图片，你有什么发现？ 思考：分别将木条a、b与木条c钉在一起，并想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交.在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？ 平行线定义:在木条转动过程中，存在一条直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行，记作“a∥b”.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 思考：下列说法中正确的有： ． (1) 在同一平面内，不相交的两条线段必平行； (2) 在同一平面内，不相交的两条直线必平行； (3) 在同一平面内，不平行的两条线段必相交； (4) 在同一平面内，不平行的两条直线必相交； (5) 在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、相交和垂直. 我们可以借助三角尺和直尺画平行线，如上图，保持直尺不懂，沿直尺推动三角尺，分别画直线a,b，则a∥b. 你能总结以上画图的主要步骤吗？ 放：将三角尺放在直线上 靠：将直尺靠在三角尺上 推：将三角尺紧靠直尺上下推动 画：沿三角尺画出直线 例1.如图，过P点作PQ∥AB交BC于Q，作PM∥AC交AB于M. 思考：过点B画直线a的平行线，你能画出几条？过点C呢？ 过点B画直线a的平行线c，过点C画直线a的平行线d，则直线c与d有什么位置关系？ 一般地，过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上， 不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的， 也是唯一的. 平行公理的推论(平行线的传递性)： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行. 练习1.a，b，c是平面内任意三条直线，交点可以有(　　) A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个 C．1个或2个 D．以上都不对 练习2.过点M画PQ∥AB. 如图,装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁的边缘垂直，那么木条a与墙壁的边缘所夹的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？ 通过转动的木条探究同位角满足什么关系时，可以得出两直线平行的结论. 如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b，c，转动木条a 转动木条a的过程中∠2的大小发生变化，会出现三种状态，分析可以得出结果. 归纳总结 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行. 简称为：同位角相等，两直线平行. 语言和几何语言. 例1.如图所示,已知直线CE,∠1=130°,∠A=50°,求证AB∥CD. 证明:∵CE是一条直线(已知), ∴∠1+∠2=180°(　平角的定义). ∵∠1=130°(已知), ∴∠2=50°(等式的性质). 又∵∠A=50°(已知), ∴∠2=∠A(等量代换). ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 例2.如图所示,∠1和∠D互余,CF⊥DF于F,则AB与CD平行吗?说明理由. 解:AB∥CD. 理由如下:∵CF⊥DF, ∴∠CFD=90°. ∵∠1+∠CFD+∠2=180°, ∴∠1+∠2=90°, ∵∠1与∠D互余, ∴∠1+∠D=90°, ∴∠2=∠D, ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 练习1.如图如果∠1=∠2，那么哪两条直线平行？为什么？ 练习2.已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角, 且∠1与∠2互补.求证:a∥b. 思考：我们可以用右图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗？ 思考：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？ 问题：如图，直线a，b被直线c所截.内错角1与2满足什么条件时，能得出a//b？ 教师再次提出问题，学生思考并解答问题.引导学生说出推理的依据正是判定方法1. 归纳：平行线的判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 几何语言： ∵∠1=∠2(已知)， ∴a∥b(内错角相等，两直线平行). 思考：如图，直线a，b被直线c所截.同旁内角1与3满足什么条件时，能得出a//b？ 追问：还有其他证明方法吗？ 归纳：平行线的判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 几何语言： ∵∠1+∠3=180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行). 思考：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行. 方法一：解:这两条直线平行.理由如下: 如图,∵b⊥a， ∴∠1=90°. 同理∠2=90°， ∴∠1=∠2. 又∠1和∠2是同位角， ∴b∥c(同位角相等，两直线平行). 追问：还有其他证明方法吗？ 例3.如图，下列说法错误的是(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3＋∠4＝180°，则a∥c 解：根据平行线的判定方法进行推理论证．A选项中，若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；B选项中，若∠1＝∠2，则a∥c，利用了“内错角相等，两直线平行”，正确；C选项中，∠3＝∠2，不能判断b∥c，错误；D选项中，若∠3＋∠4＝180°，则a∥c，利用了“同旁内角互补，两直线平行”，正确．故选C. 方法总结：解决此类问题的关键是识别截线和被截线，找准同位角、内错角和同旁内角，从而判断出哪两条直线是平行的． 课堂小结 1. 本节课你学到了什么？ 2. 平行线的定义是什么？ 3. 如何画平行线？ 4. 如何判定两条直线是平行线？ 当堂练习 1.在同一平面内，下列说法中，错误的是( ) A．过两点有且只有一条直线 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( ) A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 3.如图，直线AD、BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( ) A.∠4，∠2B.∠2，∠6 C.∠5，∠4D.∠2，∠4 4.如图所示,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB∥CD的是 (　　) A.∠3=∠4 B.∠D=∠DCE C.∠1=∠2 D.∠D+∠ACD=180° 5.如图所示,已知∠1=70°,要使AB∥CD,则需具备另一个条件 (　　) A. ∠2=70° B.∠2=100° C.∠2=110° D.∠3=110° 6.在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.如图，已知∠2是直角，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角?为什么? 学生观察，思考问题 学生理解平行线的定义和符号语言 解：线段不相交，延长后不一定不相交，(1)错误； 同一平面内，直线只有平行和相交两种位置关系，(2)(4)正确，(5)错误； 线段是有长度的，不平行也可以不相交，(3)错误. 正确的有：（2）（4） 学生根据提示画平行线，并总结出画法. 学生动手画平行线，教师指导 学生解答，教师给予提示，归纳出平行公理推论. 学生回答，教师订正：B 学生思考回答： 当木条a与墙壁的边缘所夹的角为90°时，才能使木条a与木条b平行. 学生活动：学生通过转动手中的教具，感受动态的过程，在动态的过程中进行分析. 学生观察并回答： 当∠1＞∠2时,a和b不平行. 当∠1＝∠2时,a∥b. 当∠1＜∠2时,a和b不平行. 理解平行的判定定理1，学会符号语言的书写。 教师讲解，学生理解 学生解答 注意括号内判定定理的书写 证明:∵∠1与∠2互补(已知), ∴∠1+∠2=180°(互补的定义), ∴∠1=180°-∠2(等式的性质). ∵∠3+∠2=180°(平角的定义), ∴∠3=180°-∠2(等式的性质), ∴∠1=∠3(等量代换), ∴a∥b(同位角相等,两直线平行). 应用格式： ∵∠1+∠2=180°(已知) ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行） 可用上图来表示：∠CFE=45°，∠BEF=45°． 因为∠BEF与∠FEA组成一个平角， 所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB． 解：当1=2时，a//b.理由如下： 如图，∵1=2(已知)， 2=4(对顶角相等)， ∴1=4(等量代换). ∴a//b(同位角相等，两直线平行）. 学生思考并解答问题.引导学生说出推理的依据正是平行线的判定方法1和判定方法2. 答：解：当1与3互补时，a//b. 理由如下： ∵如图，1与3互补(已知)， 4与3互补(邻补角互补)， ∴1=4(同角的补角相等). ∴a//b(同位角相等，两直线平行). 答：当1与3互补时，a//b. 理由如下： ∵如图，1与3互补(已知)， 2与3互补(邻补角互补)， ∴1=2(同角的补角相等). ∴a//b(内错角相等，两直线平行). 教师引导学生先根据条件和结论画出几何图形，学生踊跃回答结论之后，引导学生运用多种方法解决问题的同时，鼓励学生写出像如下的推理过程. 尝试书写证明过程,然后相互交流各自的做法,教师巡视检查,适时点拨,帮助后进学生完成,学生完成后及时点评,再把学生中典型的问题收集投影展示: 方法二： 这两条直线平行.理由如下: 如图,.∵b⊥a， ∴∠1=90°. 同理∠2=90°, ∴∠1+∠2=180°. ∵∠1和∠2是同旁内角, ∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行). 方法三： 这两条直线平行.理由如下: 如图,∵b⊥a， ∴∠1=90°. 同理∠2=90°， ∴∠1=∠2. ∵∠1和∠2是内错角， ∴b∥c(内错角相等，两直线平行). 教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 学生自主解答，教师讲解答案. 答案：B 答案：B 答案：B 答案：C 答案：C 答：解：再度量∠3或∠4或∠5的度数，就可以判断两条钢轨是否平行.理由： 当∠3是直角时，∵∠2=90°，∴∠2+∠3=180°， ∴两条钢轨平行（同旁内角互补，两直线平行）； 当∠4是直角时，∵∠2=90°，∴∠2=∠4， ∴两条钢轨平行（同位角相等，两直线平行）； 当∠5是直角时，∵∠2=90°，∴∠2=∠5， ∴两条钢轨平行（内错角相等，两直线平行）. 通过图片引入，提高学生学习的积极性. 学生通过动手操作，激发学习的积极性，更好的进入课堂. 学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力. 学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力. 充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力 让学生体验学有所用，提高学习的兴趣 让学生体验学有所用，提高学习的兴趣 培养学生解决问题的能力. 让学生体会学有所用，增强其成就感.培养了学生归纳问题的能力. 通过木条的转动，观察∠1和∠2的大小关系，猜想平行的判定方法。 学以致用，理解通过同位角判定直线平行的方法。 锻炼学生的逻辑思维能力以及对于几何证明的书写格式。 理解利用转化思想，将内错角转化为同位角，从而得到平行线的判定定理2. 抛出问题，引导学生合作交流，运用已学的知识去推导出平行线的判定方法二，让学生说出自己的想法，教师指导学生形成数学语言，培养学生的逻辑推理思维. 通过一题多证,多种思路分析事物,培养学生思维的多样性.让学生在这个过程中深刻理解运用转化解决问题的思想,进一步培养学生逻辑推理能力. 本题意渗透简单逻辑推理的思想，可以有效的巩固学生对平行线三种判定方法的认识,增强三种判定方法的联系，让学生在交流中逐步培养学生的逻辑推理能力. 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力. 在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构. 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础.学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标. 活动三：平行线的性质 世界著名的意大利比萨斜塔，建于公元1173年，为８层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成塔高54.5米．目前，它与地面所成的较小的角为∠1=85º，它与地面所成的较大的角是多少度？ 思考：平行线的判定方法是什么？ 1.同位角相等，两直线平行 2.内错角相等，两直线平行 3.同旁内角互补，两直线平行 想一想：反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 如图，直线a与直线b平行. （1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ （2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？ （3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？ （4）换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？ 活动1、先测量角的度数,把结果填入表内. 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 同位角相等，两直线平行反过来你能得到什么？ 两直线平行，同位角相等 你能否发现定理的条件是什么? 两条平行直线被第三条直线所截. 结论是什么? 同位角相等. 证明命题,要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言. 所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为下列形式. 如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图2所示. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH//CD. 又因为AB//CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等． 符号语言： 如图，因为a∥b，(已知) 所以∠1＝∠2.(两直线平行，同位角相等) 两条平行直线被第三条直线所截,同位角是相等的,那么内错角、同旁内角之间有什么关系呢? 怎样利用两直线平行，同位角相等证明内错角相等. 已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角. 求证：∠1=∠2. 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 简称：两直线平行，内错角相等． 符号语言： 如图，因为a∥b(已知)， 所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等). 要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下才有内错角相等． 怎样利用两直线平行，同位角相等证明内错角相等. （1）已知：如图，直线l1//l2，∠2和∠4是直线l1，l2被直线l截出的同旁内角. 求证：∠2+∠4=180°. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补． 符号语言： 如图，因为a∥b(已知)， 所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补). 两类定理的比较 两条直线被第三条直线所截. 典例精析 例1.如图，已知直线a∥b，∠1=46°，求∠2的度数. 例2.如图，AB//CD，BC//AE，∠1=50°，求∠A，∠B，∠C的度数. 课堂总结 这节课你学到了什么？ 从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形的定义既是图形的判定，也是图形的性质； 课后练习 1.如图所示,由AB∥CD能得到∠1=∠2的是 (　B　) 2.如图所示,已知AB∥CD,E是AB上一点,ED平分∠BEC交CD于D,∠BEC=100°,则∠D的度数是 (　D　) A.100° B.80° C.60° D.50° 3.如图所示,AB∥CD,DB⊥BC于B,∠2=50°,则∠1的度数 (　D　) A.40°B.50° C.60° D.140° 4.如图,已知AB∥CD,∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E,BF交CD于点F. (1)求∠1+∠2的度数; (2)若∠2=40°,求∠3的度数. 学生思考回答问题. 学生回答 启发学生思考 学生测量填表，猜想结论 已知:如图所示,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同位角.求证:∠1=∠2. 在完成“两直线平行,同位角相等”的证明后,要求学生自主证明“两直线平行,内错角相等”“两直线平行,同旁内角互补”,然后将学生的证明过程整理出来,与教材中的进行对比,感受证明的过程和规范格式.通过对平行线性质的探索,使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识,认识证明的必要性.引导学生使用符号语言,充分调动学生的主动性和积极性,发展学生的符号感. 引导学生分组探究,并明确平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反.性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”;判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”. 学生自行尝试解答,小组合作探究后,对比不同的解法,并推荐一人回答问题,这样的氛围,激发了学生强烈的学习兴趣. 学生完成证明过程，教师订正 证明：∵l1//l2（已知）， ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∵∠2=∠3（对顶角相等）， ∴∠l=∠2(等量代换）. 证明：∵a∥b(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等). ∵∠1+∠4=180°(邻补角的定义), ∴∠2+∠4=180°(等量代换), 比较三个判定定理的异同，注意符号语言的书写 学生板演 解： ∵a∥b（已知）， ∴∠2=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵∠1=46°（已知）， ∴∠2=46°（等量代换）. 解： 法一：∵AB//CD， ∴∠A=∠1=50°. ∵BC//AE， ∴∠C=∠1=50°， ∠A+∠B=180° ∴∠B=180°-∠A=130°. 法二：∵BC//AE， ∴∠C=∠1=50°. ∵AB//CD， ∴∠A=∠1=50°， ∠C+∠B=180°， ∴∠B=180°-∠C=130°. 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳. 学生独立交流，教师对学生总结的知识点给予重现．及时解答学生困惑． 1．平行线的三个性质： 两直线平行，同位角相等． 两直线平行，内错角相等． 两直线平行，同旁内角互补． 2．平行线的性质与平行线的判定的区别． 判定：角的关系→平行的关系 性质：平行的关系→角的关系 3．①公理的得出需要大胆的猜想多形式的验证（度量法、叠合法、几何证明）.②体会了分类的数学思想. 学生认真做课堂练习.通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知. 解:(1)因为BF,DE分别平分∠ABD和∠BDC, 所以∠ABD=2∠1,∠BDC=2∠2. 因为AB∥CD,所以∠ABD+∠BDC=180°, 即2∠1+2∠2=180°,所以∠1+∠2=90°. (2)因为∠2=40°, 由(1)知∠1+∠2=90°, 所以∠1=90°-∠2=50°. 因为AB∥CD,所以∠1+∠3=180°, 所以∠3=180°-∠1=130°. 通过趣味题导入,激发学生的探究知识的欲望,点燃学生思维的火花,使其进入最佳的学习状态. 学生在自学的过程中,理解平行线的性质,并明确两直线平行的性质定理“两直线平行,同位角相等”是推理论证后面两个性质定理的基础;“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的,是平行线特有的性质.要避免一提到同位角就以为其相等的错误. 在前面复习引入的基础上,通过学生的观察、分析、讨论,此时学生已能够进行推理,在这里教师不必包办代替,而应充分调动学生的主动性和积极性,进而培养学生分析问题的能力,在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣. 在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构. 使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后复习．以及通过对学习过程的反思，掌握学习与研究的方法，学会学习，学会思考． 初步建立平行线的性质定理和判定定理之间的联系,初步感受互逆的思维过程.具体为:在判定中,把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提,角相等或互补是已知,结论是两直线平行,则判定是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”.在性质中,两直线平行是条件,结论是角相等或互补,性质是用来说明两个角相等或互补的,即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”. 对学生中出现的不同解法给予肯定,培养学生的解题能力. 练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学. 活动四：定义、命题、定理 情境引入： 2024年春节期间，DeepSeek遭受国家级网络攻击，服务器多次崩溃或卡顿，妄图盗取数据和隐私，中国红客经过83小时建立稳固防御系统. 甲:360安全响应中心第一时间拉响警报. 乙:岂曰无衣，与子同袍. 丙:DDOS即分布式拒绝服务攻击. 丁:最终以拦截97.2%的美国攻击流量获胜. 戊:我们成功守住了我国AI产业的新高地. 思考：以上句子各有什么特点？ 前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述.例如： (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； (2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解； (3)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线； (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；x=2根据方程的解的定义，可以判断是方程2x=3的解. 定义是交流的基础.定义即具有确定含义的语句，它反映了事物最本质的意义. 思考：下列语句有什么共同点？ 1.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2.等式两边加同一个数，结果仍是等式. 3.对顶角相等. 思考：下列语句有什么共同点？ 1.画线段AB=CD. 2.点P在直线AB外.. 3.对顶角相等吗? 以上语句没有对事情作出“是”或 “不是”的判断，只是对事情进行了描述. 像“对顶角相等”这样判断一件事情的语句，叫做命题. 注意： 1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.如：相等的角是对顶角. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.如：画线段AB=CD. 思考：下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？ 哪些没有对事情作出判断？ 1、对顶角相等； 2、画一个角等于已知角； 3、两直线平行，同位角相等； 4、a、b两条直线平行吗？ 5、温柔的李明明； 6、玫瑰花是动物； 7、若a2＝4，求a的值； 8、若a2＝b2，则a＝b. 思考：观察下列命题，他们有何特征？ 1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 2、如果a﹥b，b﹥c，那么a=c. 3、如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式. “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.”此命题分成两部分： 命题是由题设(或条件)和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 命题一般都写成“如果…，那么…”的形式.“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论. 如命题：熊猫没有翅膀.改写为： 如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀. 注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. 有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立. 如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题.如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题. 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题. 确定一个命题真假的方法： 利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法. 判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×表示. （1）同旁内角互补（） （2）一个角的补角大于这个角（） （3）相等的两个角是对顶角（） （4）两点可以确定一条直线（） （5）两点之间线段最短（） （6）同角的余角相等（） （7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（） 1.真命题必须用推理的方法进行证明. 2.要证明一个假命题，或者说明假命题是错误的，只需要举出一个具有命题的条件，而不具有命题的结论的一个例子，就可以了.简单地说就是举反例. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实. 关于直线的基本事实： 如：两点确定一条直线. 关于线段的基本事实： 如：两点之间，线段最短. 平行公理(基本事实)： 如：经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行. 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理. 定理也可以作为继续推理的依据. 你能举出几个学过的定理吗？ 1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理. 2.公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据. 公理和定理的最大区别就是前者不必证明，后者必须证明. 公理和定理的共同之处： ①都是真命题，②都可以作为证明命题的根据. 典例精析 例1.把下列命题写成“如果…，那么…”的形式： (1)直角都相等. (2)同垂直于一条直线的两条直线平行. (3)同角的余角相等. 例2.判断下列命题的真假性： 1.过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 2.互补的角是邻补角. 3.内错角相等.. 4.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. 这节课你学到了什么？ 课后练习 1.下列命题中真命题是（） A.同位角的平分线互相平行B.内错角的平分线互相平行 C.同旁内角的平分线互相垂直 D.对顶角的平分线互为反向延长线 2.下列关于定理的说法中，正确的是（） A.真命题都是定理B.假命题不是定理 C.真命题不是定理就是公理 D.定理不一定是真命题 3.指出下列命题的题设和结论 （1）如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补. （2）如果a﹥b，b﹥c，那么a=c. （3）如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式. 4.如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB的理由. 学生理解，思考上述语句的特点。 学习定义的含义 以上语句都是对一件事情作出“是”或“不是”的判断. (1)指出命题的条件和结论; (2)命题中哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道它们是不正确的?在学生回答的基础上进行总结,给出真命题、假命题的概念,以及如何判断一个命题是假命题的方法——举出反例. 学生小组讨论并回答问题，然后仔细听其他同学的发言和老师的讲评. 在老师提出问题后，仔细观察，认真思考，并理解互逆命题的相关概念. 学生思考作答 ×××√√√√ 同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等. 对顶角相等. 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 垂线段最短. （1）如果几个角是直角，那么这几个角都相等 （2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 （3）如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳. 学生认真做课堂练习.通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知. D B （1）题设:两条平行线被第三条直线所截，结论:同旁内角互补 （2）题设:a﹥b，b﹥c，结论:a=c （3）题设:等式两边加同一个数，结论:结果仍是等式 让学生初步认识命题,再引导学生以回答问题的形式对命题的定义进行总结,从感性思维上升到理性思维,培养学生自我学习的能力. 通过学生对定义的举例,加强学生对“什么是定义”的理解.让学生从句子特点与形式上观察,认识定义. 通过对命题与非命题的辨析,让学生理解命题的特点,进一步培养学生的能力.教师强化对命题特点的掌握,也为真、假命题的判断打下基础.最后老师提出的问题让学生将本课时所学的两个知识点进行联系与拓广. 对命题的结构进行分析,让学生会区分一个命题的条件和结论.引导学生,当一个命题不好区分条件和结论时,可以先改写成“如果……那么……”的形式;但改写时不要机械地添上“如果”和“那么”,应适当地调整顺序或补充修饰词语,使改写后的语句通顺、完整. 学生在判断命题的正误时主要依据过去的经验,教师可进一步追问,对于一个不正确的命题,还能怎样判断其错误呢?教师应让学生充分表达自己的判断方法,进而引导学生体会:要说明一个命题是假命题,通常举出一个反例就可以了. 通过例题的讲解，强化所学。 在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构. 练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学. 活动五： 平移 情境引入： 观察生活中现象，它们是怎么运动的？ 什么叫做平移？平移有什么特点？ 在同一平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做图形的平移. 平移不改变图形的大小和形状，只是图形的位置发生变化. 讨论：如何判断一个图形变换是不是平移呢？ 思考：判断下面几组图形运动是不是平移： 你还发现生活中的哪些现象是平移运动？ 思考：下面的小船图和金鱼图分别是怎样运动的？ 它们的运动有什么相同点和不同点？ 先数一数小船图向右平移了几格，再和同学说说你是怎样数的. 画出平行四边形向下平移3格后的图形. 典例精析 例1.将图中的平行四边形向下平移3个单位. 总结：在方格纸上画平移图形的方法： （1）找出原图形的关键点（如顶点或端点）.  （2）按要求分别描出各关键点平移后的对应点.   （3）按原图将各对应点顺次连接. （4）图形平移后，位置发生了变化，图形大小、形状和方向没有变化. 例2.如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A，画出平移后的三角形ABC. （1）在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有怎样的关系？ 答案：平行（或在一条直线上）且相等 （2）在图中任意选一组对应角，这两个角之间有怎样的关系？ 答案：相等 （3）线段AE，BF，CG，DH分别是对应点所连成的线段，它们之间有怎样的关系？ 答案：平行（或在一条直线上）且相等 追问：你能说一说平移的性质吗？ 归纳：平移的性质： 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等；对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等. 例3.下面这个图形的面积是多少？ 利用平移，人们可以设计出美丽的图案，许多装饰图案就是利用平移设计的. 课堂总结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点： 1.什么是平移？ 答案：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2.说一说平移的性质？ 答案：（1）一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等；对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等. （2）平移不改变图形的形状和大小. 3.平移的要素有哪些？ 答案：平移方向和平移距离 4.平移作图的步骤有哪些？ 答案：一定方向；二定距离；三找对应点；四连线段 当堂练习 1．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是(　　) A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CF 2．图中的小船通过平移后可以得到的图案是(　　) 3.如图，将△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB//DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移距离为线段BE的长．其中说法正确的有(　　) A．1个B．2个C．3个D．4个 4.如图所示，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D. （1）指出平移的方向和平移的距离； （2）画出平移后的三角形. 学生仔细观察，在老师的引导归纳出平移的定义. 学生根据老师的提问回答问题. 答案：一变三不变 一变：位置改变 三不变：形状、大小、方向都不变． 学生举例说明，教师点评 学生独立完成练习. 小船图平移的距离比金鱼图远一些. 小船图和金鱼图都是向右平移. 选定小船上的一条线段，数一数线段向右平移了9格，所以小船图向右平移了9格. 选定小船上的一个点，数一数这个点向右平移了9格，所以小船向右平移了9格. 学生作图 解：如图，连接AA,过点B作AA的平行线，在线上截取BB=AA，则点B就是点B的对应点.类似地，作出点C的对应点C.最后，连接A、B、C， 得三角形ABC. 学生认真观察，并理解对应点、对应线段、对应角等相关概念. 学生认真操作，并思考，在老师的引导下归纳平移的性质. 学生在老师的引导下完成例题和练习题. 平移后变成一个长方形，面积不变. 6×4=24（平方厘米） 答：这个图形的面积是24平方厘米. 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识. 学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流. 答案：D 答案：B 答案：B 解：（1）如图所示，连接AD，平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度. （2）如图所示，过点B，C分别作线段BE，CF，使得它们与线段AD平行且相等，连接DE，DF，EF，△DEF就是△ABC平移后的图形. 通过生活中的实例，为探究平移的相关知识做好铺垫. 认识平移的定义. 提高学生对平移的理解 理解平移变换中的对应点、对应线段、对应角等概念. 通过例题理解在网格纸中平移作图的方法。 归纳平移的性质. 掌握平移的要素和平移的画图步骤. 帮助学生加强记忆知识. 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识. 单元作业设计 A组 1．下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．两个锐角的和是钝角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题和定理，熟练掌握平行线的性质，对顶角的定义，锐角和的范围，平行公理是解题的关键． 根据平行线的性质，对顶角的定义，锐角和的范围，平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，故A选项命题是假命题，不符合题意； B.对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故B选项命题是假命题，不符合题意； C. 两个锐角的和可能为锐角、直角、钝角，故C选项命题是假命题，不符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项D符合题意； 故选：D． 2．如图，将三角形沿着射线方向平移得到三角形，点，，的对应点分别为点，，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵将三角形沿着射线方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴； 故选B． 3．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，与“垂线段最短”无关，故选项不符合； C、弯河道改直，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，故选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，故选项符合． 故选：D． 4．如图，直线与直线相交于点，过上的一点作．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：D． 5．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，变为，点G在射线上，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ， ． 故选：C． 6．如图，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．由内错角相等两直线平行求得，再由平行线的性质即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，将一个含角的直角三角尺与直尺如图放置，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平角，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题得， ， ， ， 故选：B． 8．如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【答案】C 【分析】本题考查图形变换−平移．根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解． 【详解】解：由图可得， 将先向右平移3格，再向上平移2格得到， 或将先向上平移2格，再向右平移3格得到； 将先向下平移2格，再向左平移3格得到， 或将先向左平移3格，再向下平移2格得到； 综上所述，只有选项C错误，符合题意． 故选：C． 9．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，解题的关键是熟练的掌握对顶角的定义．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此判断即可． 【详解】解：∵两个角没有公共顶点， ∴选项A不正确； ∵有公共顶点，其中一个角的一边不是另一个角的一边的反向延长线， ∴选项B不正确； ∵两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线， ∴选项C正确； ∵有公共顶点，其中一个角的一边不是另一个角的一边的反向延长线， ∴选项D不正确． 故选：C． 10．下列图形中，由，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、如图， ，， ， ，符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，能得到，不能得到，不符合题意； D、由，不能得到，不符合题意； 故选：A． 11．下列命题是假命题的是（   ） A．同角的余角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断真假命题，同角（或等角）的余角相等，平行线的判定，垂线性质，点到直线的距离，根据同角（或等角）的余角相等，平行线的判定，垂线性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，故该选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故该选项不符合题意； D、过点作直线的垂线，垂足为，线段的长度叫作点到直线的距离，原命题是假命题，故该选项符合题意； 故选：D． 12．如图，的同位角是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同位角的定义，正确理解定义及图形特征是解题的关键．在两条直线的同一侧，在截线的同一旁，所得的两个角是同位角，根据定义判断． 【详解】解：根据同位角的定义，图中的同位角是， 故选：D． 13．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形面积，平移．解决问题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，平移性质． 根据平移性质得到绿化区的总长，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：绿化区的面积是， 故答案为：． 15．已知：及内部一点． (1)①过点作直线于点； ②过点作直线交于点； (2)比较线段与线段的大小：______，理由是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线、画平行线、垂线段最短，理解题意正确作出图形是解题的关键． （1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据平行线的定义画出图形即可； （2）利用垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求： ②如图所示，直线即为所求： （2）解：根据垂线段最短可知，． 故答案为：；垂线段最短． 16．如图，点，，分在，，上，且，，下面写出了证明“”的过程，请补充完整（括号内填上推理依据）： 证明：，， ， ．（      ） ， ．（          ） ， ．（    ） ．（               ） ，（            ） ．（      ） 【答案】；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；平角的定义；等量代换 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，， ，．（两直线平行，同位角相等） ， ．（两直线平行，内错角相等） ， ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；平角的定义；等量代换 17．如图，直线，被直线所截，连接，过点作于点，延长交于点，点在线段上，过点作于点，延长交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的定义等知识． （1）根据，，易证，得到，由，等量代换推出，依据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由得，可得，根据角平分线的定义得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 18．如图，，连接，平分交于点，点在上，连接，过点作交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 19．如图，在四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定．根据，可得，进而得到，结合已知条件，通过等量代换，得到，即可证明． 【详解】证明：， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）． 20．在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键． （1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答； （2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答； 【详解】（1）解：由图1可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； （2）解：由图2知： ∵平分， ∴， 设，所以， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴； 21．如图，在四边形中，点E，F分别在，上，，，，G为的延长线上一点，试说明．请将下面的过程补充完整． 解：因为，（已知）， 所以（①______）． 所以②____________（③______）． 因为（已知），， 所以④______（⑤______）． 所以⑥____________（⑦______）． 所以（⑧______）． 所以（⑨______）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（①垂直的定义）． 所以②（③同位角相等，两直线平行）． 因为（已知），， 所以④（⑤同角的补角相等）． 所以⑥（⑦内错角相等，两直线平行）． 所以（⑧平行于同一直线的两直线平行）． 所以（⑨两直线平行，同位角相等）． B组 1．如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解： ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ②正确； ， ， 而 ③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 2．如图（1），已知，与的角平分线相交于点F，下列结论：①；②若，则；③如图（2）中，若，，，则；④如图（2）中，若，，，则．其中正确的是 （填正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．分别过、、作，，，再根据平行线的性质可以得到解答． 【详解】解：分别过、、作，，， ， ， ，， ，即，①正确； ，， ， 与的角平分线相交于点F， ，， ， ，， ，②正确； ，， ， 与的角平分线相交于点F， ，， ，， ，， ， ，， ，③错误； 同理可得：若，，，则，故④正确； 故选：①②④． 3．如图，平面上有两条直线，，，P是平面上这两直线间的一点． 【问题提出】（1）如图1，若，，则的度数为__________． 【问题探究】（2）如图2，__________，写出推理过程． 【问题解决】（3）如图3，若，，，求的度数．（用含x，y，z的式子表示） 【答案】（1）；（2），过程见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行线的性质进行角度的转化与计算． （1）通过过点作，构造平行关系，利用平行线性质求； （2）如图，过点P作，过点Q作，根据平行线同旁内角互补的性质求角度和； （3）过点P作，过点Q作，构造平行关系，依据平行线性质找出角度间的数量关系求解． 【详解】解：（1）过点作， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图，过点P作，过点Q作， ，，， ， ，，， ， 故答案为：； （3）如图，过点P作，过点Q作， ，，， ， ，，， ， 即， ． 4．【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题． 【学以致用】 (1)如图，已知，当，求出的度数． (2)如图1，若，则___________； (3)①如图2，若、分别平分和，直接写出与的数量关系为___________； ②如图3，设，则___________． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理的推论，角平分线的性质及角的和差等知识，作出必要的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，则得；再由，得，有，则由即可求解； （2）过点E作，则得；再由，得，有，则由即可求解； （3）①利用（1）（2）的结论，结合角平分线的性质即可求解； ②利用（1）（2）的结论，结合即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点E作， 则； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点E作， 则， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：； （3）解：①由（2）知，； 由（1）知，； ∵、分别平分和， ∴， ∴， 即， ∴， 即； 故答案为：； ②由（2）知，； 由（1）知，； ∵， ∴， ∴； ∴； ∴； 故答案为：． C组 1．【基础情境】 如图1，已知直线，将一个含角的直角三角尺ABC中角的顶点B放在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E． （1）若，则________； 【探究发现】 （2）如图2，请你写出与之间的数量关系，并说明理由； 【延伸拓展】 （3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，请直接写出的度数． 【答案】（1），（2），（3）或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角． （1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解； （2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解； （3）①过点C作，则，有，求得，利用即可；②过点A作，与交于点，同理有，利用即可． 【详解】解：（1）如图1，过点C作， ， ， ， ，， ； （2）如图2，过点C作， ， ， ， ， ， ； （3）①如图3，过点C作， ， ， ， ，， ， 则； ②如图，过点A作，直线与交于点， ∵与交于， ∴， ， ， ， ， ， 故的度数为或． 2．如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，进而得出，则，即可得证； （2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解； （3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， 设 ∵与的角平分线交于点， 设 如图所示， ∵ 由（1）可得， ∴ ； 如图所示， 由（1）可得， ∴ 如图所示， 由（1）可得， ∴ 综上所述，或或 3．已知直线，直线分别与、相交于、． 【阅读理解】 （1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 （2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 （3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 【答案】（1）角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补 （2）， （3）或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】解：（1）、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ，即． 故答案为：角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 4．综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的读数为或 5．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或60秒或80秒时，与的一边平行． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或60秒或80秒时，与的一边平行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$