8.6.3 平面与平面垂直的性质定理 课件 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第2讲 平面与平面垂直性质定理 8.6.3 平面与平面垂直 学习目标 1.探究、发现平面与平面垂直的性质定理.(重点) 2.平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用.(难点) 刘雨萌 2、平面与平面垂直的判定定理 1、平面与平面垂直的定义 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号表示： b 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 复习回顾 温故知新 刘雨萌 α β E F 思考1 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ (2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 与AD垂直 不一定 新知探究 刘雨萌 思考2 垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？ 为什么？ α β A B D C E 垂直 新知探究 刘雨萌 ∵ , ∴AB⊥BE. 又由题意知AB⊥CD, 且BE CD=B 垂足为B. ∴AB⊥ 则∠ABE就是二面角 的平面角. 证明:在平面 内作BE⊥CD, α β A B D C E 新知探究 刘雨萌 平面与平面垂直的性质定理 符号表示: D C A B 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 知识梳理 刘雨萌 （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线） 面面垂直 线面垂直 作用： ①它能判定线面垂直. ② 它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线. 关键点： ①线在平面内. ②线垂直于交线. D C A B 提升小结 刘雨萌 α β A b a l 解：在α内作垂直于 交线的直线b， ∵ ∴ ∵ ∴a∥b. 又∵ ∴a∥α. 即直线a与平面α平行. 典例分析 教材160页例9 刘雨萌 例2.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC， 求证：BC⊥平面PAB. E P A B C E ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC, ∴PA⊥BC. 故BC⊥平面PAB 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， ∴AE⊥平面PBC. ∵BC 平面PBC,∴AE⊥BC 典例分析 教材160页例10 刘雨萌 1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。 线面垂直 面面垂直 线线垂直 面面垂直 线面垂直 线线垂直 课堂小结 刘雨萌 刘雨萌 例1　设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a⊥b的是 A.a⊂α，b⊥β，α∥β B.a⊥α，b⊥β，α∥β C.a⊥α，b∥β，α⊥β D.a⊂α，b∥β，α⊥β 典例分析 √ 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下： 线线垂直 线面垂直 面面垂直 刘雨萌 跟踪训练1　若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 巩固提升 √ 刘雨萌 典例分析 例2　 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 应用面面垂直的性质定理的策略 (1)应用步骤：面面垂直 　 线面垂直—→线线垂直. (2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作直线与平面所成的角或二面角的平面角. 提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 刘雨萌 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB， AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC， ∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 刘雨萌 16 跟踪训练2　　如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，PA=AB，E，F分别为PC，PB的中点. 证明：平面DEF⊥平面PBC. 巩固提升 刘雨萌 因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，CB⊥AB， CB⊂平面ABCD，所以CB⊥平面PAB， 因为E，F分别为PC，PB的中点， 所以EF∥CB，所以EF⊥平面PAB， 因为PB⊂平面PAB，所以EF⊥PB， 连接AF(图略)，因为EF∥CB∥AD， 所以A，D，E，F四点共面， 因为PA=AB，所以PB⊥AF， 因为AF∩EF=F，AF，EF⊂平面DEF， 所以PB⊥平面DEF，因为PB⊂平面PBC， 所以平面DEF⊥平面PBC. 刘雨萌 18 例3 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 典例分析 刘雨萌 如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. ∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC=AC，DF⊂平面ABC， ∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC， ∴DF⊥PA. 过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA. ∵DG，DF⊂平面ABC，且DG∩DF=D， ∴PA⊥平面ABC. 刘雨萌 20 连接BE并延长交PC于点H. ∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴PC⊥AE. ∵AE∩BE=E，AE，BE⊂平面ABE， ∴PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB. 又PA⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC， ∴PA⊥AB. 刘雨萌 21 ∵PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC， 即△ABC是直角三角形. 刘雨萌 22 巩固提升 跟踪训练3　 如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴转动. (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论. 刘雨萌 如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB， DE⊂平面ADB， 所以DE⊥平面ABC， 又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可得DE=，EC=1. 在Rt△DEC中，CD==2. 刘雨萌 24 当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当点D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当点D不在平面ABC内时， 由(1)知AB⊥DE. 又因为AC=BC，所以AB⊥CE. 又因为DE，CE⊂平面CDE，DE∩CE=E， 所以AB⊥平面CDE. 由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD. 刘雨萌 25 随堂演练 1.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，则BD与CC1 A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直 √ 2.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则 A.DM≠EN，且直线DM，EN是异面直线 B.DM=EN，且直线DM，EN是异面直线 C.DM≠EN，且直线DM，EN是相交直线 D.DM=EN，且直线DM，EN是相交直线 √ 刘雨萌 3.(多选)以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，下列结论正确的是 A.BD⊥AC B.△ABC是等边三角形 C.三棱锥D-ABC是正三棱锥 D.平面ADB⊥平面ABC √ √ √ 4.如图所示，平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，点C∈平面β，若AB=3，BC=4，则AC=　　　　.  5 随堂演练 刘雨萌 本节内容结束 $$