精品解析：青海省西宁市2025年九年级数学一模试卷

2025年青海省西宁市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.） 1. 未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果是正数的是（　　） A. B. C. D. 4. 某超市举办购物抽奖活动，在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸出一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖．小明随机摸出一个球，获得一等奖的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 数学兴趣小组调查某路段私家车与公交车在不同时间段的车流量，并根据调查结果绘制了如图的统计图．根据统计图提供的信息，下列说法正确的是（　　） A. 私家车的车流量比公交车的车流量稳定 B. 私家车的车流量的平均数较大 C. 私家车与公交车的车流量在同一时间段达到最小值 D. 私家车与公交车的车流量的变化趋势相同 6. 小夏在课堂练习中做了以下5道题：①；②；③；④；⑤．其中做对的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，在中， ，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线 ，交对角线 于点O，交 于点E，F，连接．下列说法错误的是（　　） A. B. 的周长等于6 C. D. 四边形是菱形 8. 抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，对称轴是直线，若，则下列结论中：①；②当时，；③若m为任意实数，则；④当时，y有最大值是0．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上．） 9. 的相反数是____________________ ． 10. 分解因式： ________________ ． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 12. 九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品，这种圆锥型工艺品的母线长为 ，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为 __________ cm2． 13. 如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为________． 14. 如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝0.8，BC＝10，边AB的长为_____． 15. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为3和6的两个小正方形，则图中阴影部分的面积是 ________________ ． 16. 如图，点 在反比例函数的图象上，轴，垂足为点 ，点 在轴的正半轴上，且， 的面积为，则的值为_______ ． 17. 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若 是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________ ． 18. 如图，点，，将线段 平移得到线段，若，，则点 的坐标是_____． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20、21、22题每小题8分，第23、24题每小题8分，第25、26题每小题8分，共76分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上．） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）结合图象请直接写出不等式的解集； （3）若点P在y轴上，且的面积为12，请直接写出点P的坐标． 22. 某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩x为整数），并将成绩分为四个组进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分．下面给出了部分信息： 初三甲班20名学生的竞赛成绩为： 61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100． 初三乙班20名学生的竞赛成绩在C组的是： 82，86，86，86，87，88，89，89． 初三甲、乙两班所抽学生的竞赛成绩统计表 班级 初三甲班 初三乙班 平均数 85 85 中位数 88 b 众数 a 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ； （2）该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名满分的学生进行读书心得分享．其中初三甲班满分的两名学生是一男一女，初三乙班满分的三名学生是一男两女，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求出所挑选学生恰好是一名男生一名女生的概率． 23. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价： 元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量： 千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ 年费用年行驶费用年其它费用 24. 如图，是 的外接圆，经过圆心O，且，垂足为点D，与相切，切点为点A，过点D作交于点E，连接． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，，则的半径长为 ． 25. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，顶点为点D，对称轴是直线l． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）求四边形的面积； （3）在线段上是否存在一点M，使 与 相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1， 和都是等边三角形，连接， ．求证： ． 【类比探究】 （2）如图2， 和都是等腰直角三角形， ，连接， ，则 【拓展提升】 （3）如图3，， ，连接， ，若． ①求的值； ②延长 交于点 ，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年青海省西宁市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.） 1. 未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A， 故选：A． 3. 下列运算结果是正数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，负整指数幂，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是负数，不符合题意； B．，是负数，不符合题意； C．，是负数，不符合题意； D．，是正数，符合题意； 故选：D． 4. 某超市举办购物抽奖活动，在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸出一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖．小明随机摸出一个球，获得一等奖的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式，掌握概率的意义是解题的关键．由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种， ∴获得一等奖的概率是． 故选：B． 5. 数学兴趣小组调查某路段私家车与公交车在不同时间段的车流量，并根据调查结果绘制了如图的统计图．根据统计图提供的信息，下列说法正确的是（　　） A. 私家车的车流量比公交车的车流量稳定 B. 私家车的车流量的平均数较大 C. 私家车与公交车的车流量在同一时间段达到最小值 D. 私家车与公交车的车流量的变化趋势相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．也考查了统计量的选择以及平均数的意义．根统计图信息解答即可． 【详解】解：由统计图可知： 公交车的车流量比私家车的车流量稳定，故选项A不符合题意； 私家车的车流量的平均数较大，故选项B符合题意； 私家车与公交车的车流量不在同一时间段达到最小值，故选项C不符合题意； 私家车与公交车的车流量的变化趋势不相同，私家车先升后降再升，公交车呈先升后降趋势，故选项D不符合题意； 故选：B． 6. 小夏在课堂练习中做了以下5道题：①；②；③；④；⑤．其中做对的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘多项式，平方差公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤不正确； 所以，其中做对的有2个， 故选：C． 7. 如图，在中， ，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线 ，交对角线 于点O，交 于点E，F，连接．下列说法错误的是（　　） A. B. 的周长等于6 C. D. 四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， 根据作图可知：垂直平分 ， ∴，故选项A正确； ∴点O为的对称中心， ∴， ∴的周长，故选项B正确； 设的高为h，则的高为h， ∵点O为的对称中心， ∴ 是 中点， ∴， ∵等底，的高为， ∴ 的高为 ， ∴的高为 ， ∵等底， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵在四边形 中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 8. 抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，对称轴是直线，若，则下列结论中：①；②当时，；③若m为任意实数，则；④当时，y有最大值是0．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数性质，可得出a，b，c的正负，即可判断①：根据抛物线的对称轴为直线，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，进而得出时，x的取值范围即可判断②；根据二次函数的最值即可判断③；利用抛物线的性质即可判断④． 【详解】解：由题意可知，抛物线开口向上，与y轴的负半轴相交，对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴．故①正确． ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 又∵抛物线开口向上， ∴当时，，故②正确． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴函数的最小值为， ∴若m为任意实数，则， ∴，故③正确． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线与x轴的交点坐标为， ∴在内，当时，y有最大值是0，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上．） 9. 的相反数是____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 10. 分解因式： ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．首先确定公因式，然后提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式， 解得 ， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 12. 九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品，这种圆锥型工艺品的母线长为 ，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为 __________ cm2． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 13. 如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】先求出，再求出，然后根据平形线的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，直角三角形两锐角互余，以及平行线的性质，解题的关键是掌握折叠的性质． 14. 如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝0.8，BC＝10，边AB的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠ACD＝0.8，BC＝10，可以求得∠ACB与∠ACD的关系，从而可以得到AC的长，进而得到AB的长，本题得以解决． 【详解】解：∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠DCA， ∵AC⊥AB，cos∠ACD＝0.8＝，BC＝10， ∴∠CAB＝90°，cos∠ACB＝ 解得AC＝8， ∴AB＝ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及解直角三角形，掌握平行线的性质及锐角三角函数的应用是解题的关键. 15. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为3和6的两个小正方形，则图中阴影部分的面积是 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的化简是解题的关键．利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为． 故答案为：． 16. 如图，点 在反比例函数的图象上，轴，垂足为点 ，点 在轴的正半轴上，且， 的面积为，则的值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义，如图，连接，由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， 的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ ∴ ， 即的值为． 故答案为：． 17. 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若 是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________ ． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 ．根据新定义，分类讨论，或，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：是准直角三角形， 或， 当， 而， ， ， ， 当， ， ， ， 解得， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 18. 如图，点，，将线段 平移得到线段，若，，则点 的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由平移性质可知 ，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设 ，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解． 【详解】如图，过 作轴于点，则， 由平移性质可知： ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设 ，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点 在第四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20、21、22题每小题8分，第23、24题每小题8分，第25、26题每小题8分，共76分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）结合图象请直接写出不等式的解集； （3）若点P在y轴上，且的面积为12，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）或 ． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及函数图象的交点坐标直接写出不等式解集即可； （3）设，先求出直线 与y轴交点C的坐标，再根据三角形面积公式底高，以为底，A、B横坐标差的绝对值为高来计算的面积，进而求出y的值． 【小问1详解】 解：将代入 ， 得， ∴， 把代入得 ， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 如图所示，一次函数的图象与反比例函数y的图象交于点、，A点为， 把B点代入反比例函数，即， ∴B点坐标为， ∴根据函数图象及函数图象的交点坐标可知，不等式解集为：或； 【小问3详解】 如图所示， 与y轴交于C点， 在中，令 ，得， ∴直线 与y轴交点， 已知，，根据三角形面积公式， ，， ∴， ∴或 ， ∴点P的坐标为或 ． 22. 某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩x为整数），并将成绩分为四个组进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分．下面给出了部分信息： 初三甲班20名学生的竞赛成绩为： 61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100． 初三乙班20名学生的竞赛成绩在C组的是： 82，86，86，86，87，88，89，89． 初三甲、乙两班所抽学生的竞赛成绩统计表 班级 初三甲班 初三乙班 平均数 85 85 中位数 88 b 众数 a 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ； （2）该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名满分的学生进行读书心得分享．其中初三甲班满分的两名学生是一男一女，初三乙班满分的三名学生是一男两女，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求出所挑选学生恰好是一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）79，86.5 （2） 依题意，列表如下： 甲 乙 男 女 男 男男 女男 女 男女 女女 女 男女 女女 ∵共有6种等可能的情况，其中抽到一男一女的有3种结果， ∴．抽到一男一女的概率 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 本题考查了众数和中位数的定义，扇形统计图，概率的意义和概率公式，列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟练掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵初三甲班成绩中79出现的次数最多， ∴初三甲班成绩的众数， 初三乙班成绩在A、B组的人数和为 （人）， 则初三乙班成绩的第10、11个数据分别为86、87， 故初三乙班成绩的中位数为． 故答案为：79、86.5； 【小问2详解】 略 23. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价： 元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量： 千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ 年费用年行驶费用年其它费用 【答案】（1）新能源车的每千米行驶费用为元， （2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 24. 如图，是 的外接圆，经过圆心O，且，垂足为点D，与相切，切点为点A，过点D作交于点E，连接． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，，则的半径长为 ． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵与相切于点A， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）四边形是矩形， 理由如下： ∵，过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂直的定义，圆的切线的性质定理和平行线的判定定理得到，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定定理解答即可； （2）利用垂径定理的推论得到，利用等腰三角形的 性质得到，利用平行四边形的性质得到，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，再利用矩形的判定定理解答即可得出结论； （3）连接 并延长，交于点G，连接 ，利用圆周角定理得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，求得x值后利用勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接 并延长，交于点G，连接 ，如图， 则 为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，平行线四边形的判定与性质，矩形的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的性质定理，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 25. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，顶点为点D，对称轴是直线l． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）求四边形的面积； （3）在线段上是否存在一点M，使 与 相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）9； （3）存在，或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的应用，此题难度偏大，对学生提出较高的要求，综合性比较强． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由，即可求解； （3）当 与 相似时，存在或，则或，即或，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； ∵； ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把 ，代入得: ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当 时 ， ∴与直线l的交点， ∵，， ∴， ∴， 对于，当 时，，解得， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由点A、C的坐标得，， 当 与 相似时，存在或， 则或， 即或， 解得：或， 又直线的解析式为， 设点， 当时，则， 解得：或（舍去）， 当时，同理可得，或（舍去）， 即M的坐标为或． 26. 综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1， 和都是等边三角形，连接， ．求证： ． 【类比探究】 （2）如图2， 和都是等腰直角三角形， ，连接， ，则 【拓展提升】 （3）如图3，， ，连接， ，若． ①求的值； ②延长 交于点 ，则 ． 【答案】 （1）证明：∵ 和是等边三角形， ∴， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 在和 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）；（3）①，②． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到 ，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵ 和都是等腰直角三角形， ， ∴ ， ， ， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设 ，则， ∴ ， ∴． ∵， ， ∴ ，， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴． ②设 ， 交于点 ，如图， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $