精品解析：2025年河南省周口市商水县几校中考一模数学试题

2025年河南省周口市中考模拟考试卷 数学 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列调查方式中，合适的是（ ）． A. 要了解某市百万居民的生活状况，采取普查方式 B. 要了解一批节能灯使用寿命，采用普查方式 C. 要了解某中校学生视力情况，采用普查方式 D. 要了解智能自动驾驶汽车零部件情况，采用抽样调查 3. 如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在延长线上的点处．若，则为（ ）． A. B. C. D. 4. 2024年春节期间，哈尔滨市共接待游客万人次，旅游总收入达亿元．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某几何体的三视图及相关数据，下列四个选项正确的是（ ） A B. C. D. 6. 关于的方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 7. 某班8名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩（单位：次）分别为：38，45，41，37，40，38，40，38．这组数据的众数、中位数分别是（ ）． A. 39，40 B. 38，39 C. 38，38 D. 39，38 8. 某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（ ）元时，每天的利润可得到700元． A. 13 B. 15 C. 13或15 D. 10 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A坐标为，，过D作于P，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第986s时，点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（ ）． A. 8 B. 6 C. 12 D. 14 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于5小于6的无理数：______． 12. 现有正面标有汉字，“诚”“实”“友”“善”的4张卡片，他们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，不放回，再任意抽取一张，这两次抽取的卡片上的汉字能组成词语的概率为______． 13. 已知点，，，平分，交于点E，则直线对应的函数表达式是______． 14. 如图，半圆的直径，，是上一个动点，弦，，交于点．，则图中阴影部分周长的最大值为______． 15. 如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为________． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了提高学生交通安全意识，某校组织全体学生参加“交通安全知识竞赛”，并对该校学生进行了随机抽样调查．根据学生对交通安全知识了解程度由高到低分为A，B，C，D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息完成下列问题： （1）这次被调查的学生共有________人； （2）请你将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中B等对应扇形圆心角的度数； （3）已知该校有1800名学生，估计该校学生对交通安全知识了解程度在B等的学生人数． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，轴于点，轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交于点，并求出点的坐标； （3）是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标． 19. 如图，河南某建筑物上挂着“皇帝故里、天地之中”的宣传条幅，勘测队利用测倾器在斜坡的底部D处测得条幅底部B的仰角为，沿斜坡DE走到E处测得条幅顶部C的仰角为，已知斜坡的坡度，m，m（点A，G，B，C在同一平面内，，测倾器的高度忽略不计），求条幅BC的长度约为多少米？（参考数据：，，，，， 20. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． （1）为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． （2）如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 21. 某校为奖励期末考试成绩优秀的学生，计划购买A，B两种奖品．已知在线下商店购买A种奖品20个，B种奖品15个共需1150元；在线下购买A种奖品11个，B种奖品12个共需745元．经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店A种奖品的单价和线下商店一样，但线上商店B种奖品有优惠活动，线上B种奖品的单价是线下B种奖品的单价的八折． （1）求线下A，B两种奖品单价； （2）学校要求购买奖品总数是100个，购买A种奖品50个，学校在线上商店需要支付多少元？若购买A种奖品70个，学校在线上商店需要支付多少元？ （3）若学校要求购买奖品总数是100个，A种奖品的个数不得少于B种奖品个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的A种奖品和B种奖品才能使得所花费用最少？ 22. 如图1所示，某建筑物侧面视图呈现为一个二次函数的抛物线形状．该建筑物的设计要求如下：抛物线的顶点位于水平地面上方20米处，且位于设施中心线上方．建筑物的底部两端点分别位于中心线两侧，距离中心线的水平距离为15米，且这两点在地面上．为了烘托节假日的热闹氛围，要用多条平行于地面的彩色条纹装饰建筑物的侧面，且每两条相邻条纹的高度之差为米． （1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，使设施底部两端点的坐标分别为和，求出描述该设施侧面形状的二次函数关系式． （2）根据设计要求，计算最多可以画出多少条彩色条纹装饰带（不计装饰带的宽度，）． 23. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现 ①线段与线段之间的数量关系是________； ②直线与直线之间的位置关系是________． （2）探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省周口市中考模拟考试卷 数学 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的性质即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．注意，负数的绝对值等于它的相反数，正数和0的绝对值都等于它本身． 2. 下列调查方式中，合适的是（ ）． A. 要了解某市百万居民的生活状况，采取普查方式 B. 要了解一批节能灯使用寿命，采用普查方式 C. 要了解某中校学生视力情况，采用普查方式 D. 要了解智能自动驾驶汽车零部件情况，采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此进行判断即可． 【详解】解：A、要了解某市百万居民的生活状况，适合采用抽样调查，不符合题意； B、要了解一批节能灯使用寿命，适合采用抽样调查，不符合题意； C、要了解某中校学生视力情况，适合采用普查，符合题意； D、要了解智能自动驾驶汽车零部件情况，适合采用普查，不符合题意； 故选C． 3. 如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是得到． 根据折叠的性质得到，根据平行四边形的性质得到，即可求出． 【详解】解：由折叠可得，， 在中，． 又 ∵． ， ， 故选：A． 4. 2024年春节期间，哈尔滨市共接待游客万人次，旅游总收入达亿元．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿． 故选：C 5. 如图是某几何体的三视图及相关数据，下列四个选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，勾股定理，圆锥的高，母线和底面半径的关系，熟练掌握几何体的三视图，正确的求出几何体的长宽高是解题的关键． 根据几何的三视图判断为圆锥，然后得圆锥的高为b，母线长为c，底面圆的直径为，过主视图中三角形的顶点向底边作垂线可得直角三角形，根据直角三角形两斜边长大于直角边的长度以及勾股定理即可解答． 【详解】解：∵主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆， ∴几何体为圆锥； ∵圆锥的高是b，母线长为c，底面半径为a， 如图：过主视图中三角形的顶点向底边作垂线，则所构成的直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c． ∴，故选项A说法不正确，不符合题意； ，故选项B说法不正确，不符合题意； ，故选项C说法不正确，不符合题意； 选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 6. 关于的方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论． 【详解】解：一元二次方程中， ， ∴， ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 某班8名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩（单位：次）分别为：38，45，41，37，40，38，40，38．这组数据众数、中位数分别是（ ）． A. 39，40 B. 38，39 C. 38，38 D. 39，38 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】解：在这组数据中，38出现的次数最多， 所以这组数据的众数是38， 将这组数据从小到大进行排序为37，38，38，38，40，40，41，45，第4个数和第5个数分别是38和40， 所以这组数据的中位数是， 故选：B． 8. 某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（ ）元时，每天的利润可得到700元． A. 13 B. 15 C. 13或15 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，，过D作于P，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第986s时，点F的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】四边形是菱形，且点A的坐标为，得为等边三角形，进而证得，过F作于M，解直角三角形得，，如图，菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，8次是一循环，第986s时，F的对应点为G，易证，于是得，，故第986s时，点F的坐标为． 【详解】∵四边形是菱形，且点A的坐标为，， ∴． ∴为等边三角形． ∵于F． ∴． ∴ 过F作于M，则，， ∴点F的坐标为． ∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，8次是一循环， 又∵， ∴第986s时，F的对应点为G， ∵， ∴， ∴． ∴，． 第986s时，点F的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查规律探索，菱形性质，全等三角形，解直角三角形，明确循环规律，确定动点位置是解题的关键． 10. 如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（ ）． A. 8 B. 6 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点的函数图象性质的应用，结合图象分析题意是解题关键． 设，证明，列出关系式，结合图象求出值，进而求出矩形面积． 【详解】解：根据图2得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∴， 当时，有最大值， ， ∴矩形的面积为 12 ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于5小于6的无理数：______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】由，可知，进行平方运算后结果在25到36之间的无理数都满足条件，任写一个即可． 【详解】解：∵，， ∴进行平方运算后结果在9到25之间的无理数都满足条件， 故满足条件的数有：，，等， 故答案为：(任写一个满足条件的无理数即可)． 【点睛】本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一． 12. 现有正面标有汉字，“诚”“实”“友”“善”的4张卡片，他们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，不放回，再任意抽取一张，这两次抽取的卡片上的汉字能组成词语的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的汉字能组成词语的结果有4种， ∴两次抽取的卡片上的汉字能组成词语的概率为． 故答案为： 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 13. 已知点，，，平分，交于点E，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求E点坐标，再求直线解析式． 【详解】解：根据勾股定理可得：，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，则， ∴． 设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 则直线对应的函数表达式是：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式和点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要把点的坐标有机的和图形结合起来求解． 14. 如图，半圆的直径，，是上一个动点，弦，，交于点．，则图中阴影部分周长的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出四边形为平行四边形．根据，即可求解． 【详解】解：连接． ， ． ， 四边形为平行四边形． ，． 阴影部分周长为：． 当最长时，阴影部分周长最长， ∴最大值为与重合． ∵， ∴． 周长最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弧长，平行四边形的性质与判定，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求最值问题，圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．解题关键是构造出由性质转换等量关系． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴最小值为的长度， ∴的最小值等于的长度， 在中，， ∴的最小值． 故答案为：． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂及二次根式性质化简，再由乘方运算及有理数减法运算求解即可得到答案； （2）先由完全平方公式、平方差公式及提公因式法因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查实数混合运算及分式化简，涉及负整数指数幂、零指数幂、二次根式性质、乘方运算、有理数减法运算、公式法因式分解、提公因式法因式分解、约分等知识，熟练掌握实数的相关运算法则、分式混合运算法则是解决问题的关键． 17. 为了提高学生交通安全意识，某校组织全体学生参加“交通安全知识竞赛”，并对该校学生进行了随机抽样调查．根据学生对交通安全知识了解程度由高到低分为A，B，C，D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息完成下列问题： （1）这次被调查的学生共有________人； （2）请你将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中B等对应的扇形圆心角的度数； （3）已知该校有1800名学生，估计该校学生对交通安全知识了解程度在B等的学生人数． 【答案】（1）360 （2）见解析， （3）600人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，从两个统计图中获取有用的数据，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键，用样本估计总体是统计中常用的方法． （1）从两个统计图中可得B等级的人数为120人，用，可求出调查人数， （2）由（1）知调查总人数，从而计算出C等级人数，即可补全条形统计图；再利用B等人数所占比例乘以，即可求出B等对应的扇形圆心角的度数； （3）样本估计总体，用样本中B等所占的百分比乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：（人）， 则这次被调查的学生共有360人； 【小问2详解】 解：C等级人数为：（人）， 补全图形，如图所示： B等对应的扇形圆心角为：； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生对交通安全知识了解程度在等的学生有600人． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，轴于点，轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交于点，并求出点的坐标； （3）是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解时解题的关键： （1）均在反比例函数的图象上，列出方程求出的值，进而求出点的坐标和的值，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据尺规作垂线的方法，作出点，求出的中点坐标，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，推出的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标即可； （3）设，根据面积相同，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： 和是反比例函数图象上的点，，解得或（舍去）， ， 点的坐标为，点的坐标为， 反比例函数的解析式为． 把，代入一次函数，得，解得 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 尺规作图如图所示． 由（1）得，， 垂直平分， 为的中点， ，即． 设直线与轴和轴交于点， 当时，，当时，， ∴， ∴，点的中点坐标为：，与点重合， ∴，平分，即为第一象限的角平分线， ∴直线的解析式为：， ， ∴点在直线上， 联立与反比例函数的解析式，可得，解得（负值舍去）； ∴点． 【小问3详解】 如图，连接、，由于点在直线上， 设． ∵，， ∴， 由和的面积相等，得：， 解得； 把代入，得； 点坐标是． 19. 如图，河南某建筑物上挂着“皇帝故里、天地之中”的宣传条幅，勘测队利用测倾器在斜坡的底部D处测得条幅底部B的仰角为，沿斜坡DE走到E处测得条幅顶部C的仰角为，已知斜坡的坡度，m，m（点A，G，B，C在同一平面内，，测倾器的高度忽略不计），求条幅BC的长度约为多少米？（参考数据：，，，，， 【答案】m 【解析】 【分析】先根据斜坡的坡度值，可求出的长，进而得到的长，根据的正切值，可以求出的长； ，根据的长和的正切值，可求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意： 在中，，， ∴，． ∴． 中，∵，， ∴． 在中，∵， ∴． ∴． ∴． ∴．． ∴条幅的长度的为m． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是求解的关键． 20. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． （1）为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． （2）如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用相似的性质即可； （2）利用（1）可知，求出，再证明，利用相似的性质求出，求差即可得到的长． 【小问1详解】 求证：． 证明：连接AC、BD．如图①． ∵，． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵，，．由（1）可知． ∴． ∵，是的直径，，． 连接OD．如图②． ∵为切线． ∴． ∵．． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． 又∵． ∴． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，三角形相似的判定与性质，严格的逻辑思维和严密的书写过程是解题的关键． 21. 某校为奖励期末考试成绩优秀的学生，计划购买A，B两种奖品．已知在线下商店购买A种奖品20个，B种奖品15个共需1150元；在线下购买A种奖品11个，B种奖品12个共需745元．经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店A种奖品的单价和线下商店一样，但线上商店B种奖品有优惠活动，线上B种奖品的单价是线下B种奖品的单价的八折． （1）求线下A，B两种奖品的单价； （2）学校要求购买奖品总数是100个，购买A种奖品50个，学校在线上商店需要支付多少元？若购买A种奖品70个，学校在线上商店需要支付多少元？ （3）若学校要求购买奖品总数是100个，A种奖品的个数不得少于B种奖品个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的A种奖品和B种奖品才能使得所花费用最少？ 【答案】（1）种奖品在线下购买的单价为35元，种奖品在线下购买的单价为30元 （2）当种奖品线上购买50个，种奖品线上购买50个时所需费用为元； 当种奖品线上购买70个，种奖品线上购买30个时所需费用为元 （3）学校在线上购买67个种奖品和33个种奖品才能使得所花费用最少，该费用的最小值为3137元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设种奖品在线下购买的单价为元，种奖品在线下购买的单价为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据总费用等于单价乘以数量，列出算式计算即可； （3）设学校在线上购买种奖品个，线上购买种奖品个，总共需要支付费用为元．根据题意，列出不等式，求出的取值范围，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设种奖品在线下购买的单价为元，种奖品在线下购买的单价为元， 由题意得，，解得 答：种奖品在线下购买的单价为35元，种奖品在线下购买的单价为30元． 【小问2详解】 当种奖品线上购买50个，种奖品线上购买50个时所需费用：（元）； 当种奖品线上购买70个，种奖品线上购买30个时所需费用：（元）． 【小问3详解】 设学校在线上购买种奖品个，线上购买种奖品个，总共需要支付费用为元． 由题可知，，解得：． ∵，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， （元）． 答：学校在线上购买67个种奖品和33个种奖品才能使得所花费用最少，该费用的最小值为3137元． 22. 如图1所示，某建筑物侧面视图呈现为一个二次函数的抛物线形状．该建筑物的设计要求如下：抛物线的顶点位于水平地面上方20米处，且位于设施中心线上方．建筑物的底部两端点分别位于中心线两侧，距离中心线的水平距离为15米，且这两点在地面上．为了烘托节假日的热闹氛围，要用多条平行于地面的彩色条纹装饰建筑物的侧面，且每两条相邻条纹的高度之差为米． （1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，使设施底部两端点的坐标分别为和，求出描述该设施侧面形状的二次函数关系式． （2）根据设计要求，计算最多可以画出多少条彩色条纹装饰带（不计装饰带的宽度，）． 【答案】（1） （2）最多可以画出4条彩色条纹装饰带 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分析题意，先建立合适的平面直角坐标系，再得顶点坐标为，故设解析式为，把代入计算，即可作答． （2）分析题意，设有个间距为的高度差，总高度为，故，算出，结合间距必须是整数，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，以水平地面为轴，中心线为轴，建立平面直角坐标系： 抛物线的顶点位于地面上方20米处， 顶点坐标为， 设，且过点， ， 即， . 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：依题意，设有个间距为的高度差，总高度为， ∵由（1）得顶点坐标为， ∴， . ∵间距必须是整数， ∴有3个间距； 这3个间距之间会有4条彩带（包括顶部和底部），因此实际上最多可以画出4条彩色条纹装饰带． 23. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现 ①线段与线段之间的数量关系是________； ②直线与直线之间的位置关系是________． （2）探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）应用 在（2）情况下，，，当矩形绕点A旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】（1）①；② （2）成立，证明见解析 （3），或 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出两个相似三角形是解题关键． （1）①先根据矩形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得； ②根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）参照（1）的方法，先证出，再根据相似三角形的性质可得，，由此即可得； （3）分两种情况：①当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，②当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，先利用勾股定理求出的长，再求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ②如图，延长，交于点， ∵， ∴， 由（1）①已证：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：（1）中结论还成立，证明如下： 四边形与四边形都为矩形， ， ∴，即， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 如图，延长，交于点，交于点， ， ∴ ， ∴． 【小问3详解】 解：①如图，当点，，在同一条直线上，且点在线段上时， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）已证：， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②如图，当点，，在同一条直线上，且点在线段上时， 同理可得：，， ∴，， 综上，，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$