安徽省黄山市祁门县 2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年下学期期中考试九年级数学试卷 注意事项：1.本卷满分150分，答题时间120分钟」 2.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的， 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中 只有一个是符合题目要求的) 1.一2025的相反数是 1 1 A-2025 B.2025 C.一2025 D.-|2025 2.据统计，2024年中国国内旅游人次56.15亿，比2023年同期增加7.24亿，同比增长14.8%.其中 56.15亿用科学记数法表示为 A.0.5615×1010 B.56.15×1010 C.5.615×109 D.561.5×10 3.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆 柱分别从纵横两个方向嵌人一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是 可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是 单合盖 甲 A B D 4.下列计算正确的是 A.a2十a3=a5 B.a6÷a3=a2 C.(-a)3=a3 D.(a)2=a 5.若扇形AOB的半径为6，弧长为4π，则AB所对圆心角的度数为 A.45 B.60° C.90° D.120° 6.已知正比例函数y=x(k≠0)与二次函数y=x2一2x的图象的交点A的横坐标为3，则k的 值为 A.-3 B.-1 C.1 D.3 7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4,AB=3,△BDE是以BE为斜边 的等腰直角三角形，点D在AC上，则CE的长是 A号 B号 c喘 8.已知实数a,b满足a一b+1=0,0<4a十2b十1<1，则下列判断正确的是 A-2<a<0 B.i<i<1 C1<a+6+1<号 D.-3<4a-26<-3 9.在锐角三角形ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上，连接BE,CD.下列命题中，假命 题的是 A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE C,若BD=CE,则∠DCB=∠EBC D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE C③扫描全能王 门亿人都在用的归播APe 10.如图，已知A,B是反比例函数y=(k>0,x>0)图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C,动 点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动，终点为C,过P作 PM⊥x轴，垂足为点M设△OMP的面积为S,点P运动的时间为t,则S关于L的函数图象 大致为 B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1计算 -√/16= 12.中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，使字形更加美观， 黄金分割在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比 例接近黄金分制.已知黄金分制数为5，则后-1 （填><或-是 13.抛掷一枚质地均匀的硬币，记正面向上为“十1”，反面向上为“一1”.现同时抛掷三枚同样的硬 币，所得结果的积为1的概率是 14.如图1，已知E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE,延长BC至点F,使EF=AE, 连接AF交CD于点G. (1)若∠F=a,则∠BAE= ;(用含有a的代数式表 示) (2)如图2，连接BG,EG,BG交AE于点O.若EG⊥AF,CD EC =2,则AO= 图1 图2 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 4x+3y=24, 15.解方程组： 8x+9y=60. 16.如图，这是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB =AC=3,点D是射线BC上一格点，连接CD,且CD=√2 (1)用无刻度直尺完成作图：以点A为旋转中心，将AD顺时针旋转90 得到AE,点D的对应点为点E; D (2)连接DE,过点A作直线DE的垂线，垂足为点F; (3)求四边形ABED的面积. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）】 17.2025年1月29日大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》正式上映，电影一上映就引起了热烈的反 响，票房一路飙升，从2月6日的约60亿元到2月8日同一节点上升到约72.6亿元，求这两天 电影票房的平均增长率。 CS扫描全能王 门亿人都在用的归播APP 18.教学兴趣小组开展探究活动，探索99×n的数字规律(n为正整数). (1)当2≤n≤10时，记99×n=a9b,a9b表示三位数100×1十90+8，如198=100a+90十b. 猜想：a,b与n的关系，得a= ,b= ;(用含n的代数式表示) (2)证明上述猜想的两个结论的正确性， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)】 19.“运动传递正能量，健康成就新梦想”，为了推动全民健身的发展，如图，A,B,C,D分别是某公 园的四个景点，现在四个景点之间分别修建了BA,AD,BC,CD四条健身步道.经勘测，景点A 在景点B的正北方向且A,B之间的距离为200m,景点D在景点B的东北方向，且在景点A 的北偏东75°方向，景点C在景点B的南偏东75°方向，且在景点D的南偏西15°方向 (参考数据：√2≈1.414，√6≈2.449) (1)求景点A,D之间的距离：（结果精确到个位） 北 (2)周末小明和小颖用相同速度同时从景点B出发去景点D,小明选择路 D西东 :759 线B一A一D,小颖选择路线B一C一D,请通过计算说明小明和小颖 南 谁先到达景点D. 75 20.如图，AB是⊙O的直径，CD垂直平分OB,交OB于点E,交⊙O于点C,D,连接AC,AD (1)求证：△ACD为等边三角形； D (2)作DF⊥CB,垂足为点F,连接OF,若OA=5,求OF的长. 六、（本题满分12分）】 21.综合与实践： 每年夏天“防溺水”安全教育备受社会各界的关注.为了考查学生对“防溺水”安全知识的掌握情 况，某校举办了一次相关知识的测试现从八、九两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（用 x表示，百分制)进行分析，过程如下： 【收集数据】 八年级：817085 8783 589190908965968388679078889091 九年级：7092576888789395785988877388866883547281 【整理数据】 成绩分组 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 八年级 1 2 2 8 7 九年级 3 2 a 3 (说明：测试成绩满足80≤x≤100为优秀，70≤x<80为良好，60≤x<70为合格，50≤x<60 为不合格) C③扫描全能王 3亿人都在用的归播ApP 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示， 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 83 90 90 75% 九年级 77.9 88 d 【应用数据】 (1)a= ,b= ；c= ,d= (2)李明同学说：“这次测试我的成绩是81分，在本年级排名属中游略偏上！”由表中数据可推断 李明同学是 (填“八”或“九”)年级的学生； (3)根据以上数据，你认为本次测试成绩较好的是哪个年级，并说明理由.（至少从两个不同的角 度说明) 七、（本题满分12分）】 22.已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a,b分别表示∠CAB,∠CBA的对边，记△ABC的面积 为S (1)如图1，分别以AC,CB为边向△ABC外部作正方形ACDE和正方形CBFG,记正方形 ACDE的面积为S1,记正方形CBFG的面积为S2,若S1=16,S2=25,求S的值 (2)分别以AC,CB为边向△ABC外部作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形 ACD的面积为S1,记等边三角形CBE的面积为S2: (i)如图2，点G为AB的中点，连接DG,EG分别交AC,CB于点H、点I,连接HI,若HI∥ DC,求证：S1十S2=2S; (i)如图3，以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内)，连接EF,CF,若EF⊥ CF,求证：S:-S1=4S. 图1 图2 图3 八、（本题满分14分) 23.函数y1,y2满足y=y1十y2,则称函数y是y1,y2的“融合函数”.例如，一次函数y1=2x+3 和二次函数y2=一x2+3x-4,则y1,y2的“融合函数”为y=y1十y2=一x2+5x一1. 2 (1)若反比例函数y1=二和一次函数y2=x一3，它们的“融合函数”过点(1,5)，求k的值； (2)若y1=ax2+bx十c为二次函数，且a十b十c=5,在x=t时取得最值，函数y2为一次函 数，且y1,y2的“融合函数”为y=2x2+x一4. (i)用含1的式子表示b和c; (i)当-1≤x≤2时，求函数y1的最小值；（用含（的式子表示） C③扫描全能王 门亿人都在用的归播APe 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D D C B C A A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1.-312.<139 14.1)90-2a(2) 20 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） x=3, 15.解： (8分) y=4, 16.(1)(2)如图所示： (4分) A B (3)10 (8分) 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）】 17.解：设增长率为x 依题意得60(1十x)2=72.6,… (4分) 解得x1=0.1,x2=-2.1(舍)， 答：这两天电影票房的平均增长率为10%. (8分) 18.解：(1)a=n一1，b=10-n.… (4分) (2)证明：100(n-1)+90+10-n=99n 猜想成立… (8分) 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.解：(1)如图，过点A作AH⊥BD于点H, 根据题意得∠EAD=75°，∠ABD=45°，∠CDG=15°，AB= 北 200m, E:75 D西十东 南 ,'∠EAD=∠ABD+∠ADB, G .∠ADB=75°-45°=30° H B 在Rt△ABH中，：∠ABH=45°， AH=8H-号A8 2×200=1002(m). CS扫描全能王 】亿人都在用的目播AP时 在Rt△ADH中，，∠ADH=30°， ∴.AD=2AH=200√2≈283m, 即景点A,D之间的距离为283m.… (5分) (2)如图，根据题意得∠FBC=75°， AB∥DG, ∴.∠BDG=∠ABD=45°， ∴.∠BDC=∠BDG-∠CDG=30° ∠DBC=180°-∠ABD-∠FBC=180°-45°-75°=60°， 而∠BDC=30°， ∴.∠BCD=90 在Rt△ADH中，：∠ADH=30°， ∴.DH=3AH=√3×1002=100√6(m), ∴.BD=BH+DH=(100√2+100√6)m 在Rt△BCD中，，∠BDC=30°， ∴BC=号BD-1002+1005)-(50厄+505)m, ∴.CD=√5BC=√3(502+50√6)=(50√6+150√2)m. ,AB+AD=200+200√2≈483(m), BC+CD=502+50√6+506+150√2=200W2+100√6≈528(m), ∴.AB+AD<BC+CD. ,小明和小颖用相同速度同时从景点B出发去景点D, 小明先到达景点D.…（们0分) 20.解：(1)证明：如图，连接OC, :AB是⊙O的直径且AB⊥CD, ∴.AC=AD, .'AC=AD, ∴.△ACD为等腰三角形 ,CD垂直平分OB, 0E-0B-20c 在Rt△OEC中， sinZOCE-瓷- 0E1 D .∠OCE=30°， ∴.∠E0C=60° 又，OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC=30°， ∴.∠ACD=∠ACO+∠OCE=60°， ,△ACD为等边三角形.… (5分) C③扫描全能王 门亿人都在用的归播APe (2)如图，连接OD, ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠DCF=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°. ,CF⊥DF, ∠CFD=90°， .∠CDF=60 0 OC=OD, .∠ODC=∠OCD=30°， .∠ODF=90° 在Rt△0CE中，0C=5,0E=5 cE-6, .CD=55. 在Rt△DCF中， ∠DCF=30°， DP-5. 在Rt△ODF中， OF=JOD+DF- 7. 5 (10分) 六、（本题满分12分） 21.解：(1)a=5,b=7;c=79.5,d=50%；… (4分) (2)九年级………… (8分) (3)八年级，因为八年级得分的平均数、中位数都比九年级高.…(12分) 七、（本题满分12分） 22.解：(1).S1=16,S2=25, .b=4,a=5. ,∠ACB=90°， s=2b=2×5×4=10. ………（4分) (2)(1)如图，连接CG, .点G为AB的中点，∠ACB=90°， ∴.GB=GC,GA=GC. △ACD与△CBE都是等边三角形， ∴.DA=DC,EC=EB,∠DCA=60°， .DG垂直平分AC,EG垂直平分CB, .点H、点I分别为AC,CB的中点， .HI∥AB CS扫描全能王 门亿人都在用的归播APe .'HI∥DC, ∴.DC∥AB, ∴∠CAB=∠DCA=60°， ÷tan∠CAB-8=tan60=E, 即a=3b. s1=b1 2a6, S+5:= 6+356=56,5=56, 4 4 2 S1十S2=2S.… (8分) (2)(ⅱ)，△ABF和△CBE都是等边三角形， '.AB=FB,CB=EB,∠ABF=∠CBE=60°， '.∠ABF-∠CBF=∠CBE-∠CBF, ·∠ABC=∠FBE. 在△ABC和△FBE中， (AB=FB, ∠ABC=∠FBE, CB=EB, '.△ABC≌△FBE(SAS), ∴.AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°， ∴.∠FEC=90°-60°=30° ,'EF⊥CF,CE=BC=a, EF ,∴.cos∠FEC= CE,即cos3o°2、 6=ac0s30°= 2. 1, s=2ab二22 .△ACD与△CBE都是等边三角形， S,=3 623 S2-s1=4a23 4 反=332工 4(2a 4 4a, 1 S-S1=4S. (12分) 八、（本题满分14分） 23解：1)由题意可得y1y的“融合函数”为y=名十k红一3， 将点(1,5)代入式中， C③扫描全能王 门亿人都在用的归播APe 可得5=2十k一3，解得k=6; (3分) (2)(1),y=y1十y2, ∴.y2=y一y1 =2x2+x-4-ax2-bx-c =(2-a)x2+(1-b)x-4-c. ·y2为一次函数， .2-a=0,即a=2. ,y1=2x2十bx十c在x=t处取得最值， =-及即6=一 ,a+b+c=5, c=5+4t-2=3十4t.……(7分) (i)由(1)得y1=2x2-4tz+3+4t, 对称轴为直线x=t. ①若t≤-1， 则当x=一1时， ymin=5+8t ②若-1<t<2, 则当x=t时， ymin=-2t2+3+4t; ③若t≥2， 则当x=2时， y min=11-4t. (14分) CS扫描全能王 门亿人都在用的归播APe