4.3.2直线与平面垂直的判定定理课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3.2 空间中直线与平面的位置关系 湘教版数学必修第二册 第4章 立体几何初步 4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 （直线与平面垂直的判定定理） 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 复习回顾 直线与平面的位置 线面位置关系 线在面内 线面平行 线面相交 线面斜交 线面垂直 情境思考 问题：阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系？ 旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直. 问题：地面上的直线与旗杆所在直线不相交时，位置关系又如何？ 新知探索 事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。 线垂直的定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的所有直线，那么就称直线l与平面α垂直,记作l⊥α. 平面α的垂线 直线l的垂面 垂足 线垂直的定义 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直； 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 线面垂直的画法 线面垂直的画法 画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 思考：若利用定义来检验直线是否与平面垂直，能做得到吗？能不能寻求容易操作的方法来判断直线与平面垂直？ 新知探索——线面垂直的判定定理 问题：如下图（1）：b,c是平面α内的两条平行直线，直线a⊥b,a⊥c,直线a与平面α垂直吗？ 图(1) 问题：如上图（2）：b∩c=A,a⊥b,a⊥c,直线a与平面α垂直吗？ 图(2) 总结归纳——线面垂直的判定定理 线面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 图形语言 符号语言 线线垂直 线面垂直 典例精析 1. （多选）下列说法中，正确的是（　CD　） A. 若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B. 若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α C. 若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α D. 若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α CD 解析：对于A，B，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能 斜交，也可能在平面内，所以是错误的.C，D是正确的，故选CD. 2. 若三条直线 OA ， OB ， OC 两两垂直，则直线 OA 垂直于（　C　） A. 平面OAB B. 平面OAC C. 平面OBC D. 平面ABC C 解析：由线面垂直的判定定理知 OA 垂直于平面 OBC . 典例精析 3. 正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中与 AD 1垂直的平面是 （　D　） A. 平面DD1C1C B. 平面A1DB C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB1 D 解析：在A中， AD 1与平面 DD 1 C 1 C 相交但不垂直，故A错误；在B中， AD 1与平 面 A 1 DB 相交但不垂直，故B错误；在C中， AD 1与平面 A 1 B 1 C 1 D 1相交但不垂 直，故C错误；在D中， AD 1⊥ A 1 D ， AD 1⊥ A 1 B 1， A 1 D ∩ A 1 B 1＝ A 1， A 1 D ， A 1 B 1⊂平面 A 1 DB 1，所以 AD 1⊥平面 A 1 DB 1，故D正确. 练习巩固 1.拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直。 2.判断下列语句是否正确： 1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. ✓ × 3.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆O上不同于 A，B的任一点，求证： 练习巩固 专项研习--研习1　线面垂直概念的理解 [典例1]　下列命题中，正确的序号是 ⁠. ①若直线 l 与平面α内的无数条直线垂直，则 l ⊥α； ②若直线 l 不垂直于平面α，则α内没有与 l 垂直的直线； ③若直线 l 不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与 l 垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. ③④　 [解析]　当直线 l 与平面α内的无数条直线垂直时， l 与α不一定垂直，所以①不正确； 当 l 与α不垂直时， l 可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过 一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确. 练习巩固 [练习1]　如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边； ③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是 ⁠ （填序号）. 解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中 给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底 边，它们互相平行，不满足定理条件. ①③④　 解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中 给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底 边，它们互相平行，不满足定理条件. 专项研习--研习2　直线与平面垂直的判定 [典例2]　如图所示，Rt△ ABC 所在的平面外一点 S ， SA ＝ SB ＝ SC ，点 D 为斜边 AC 的中点.求证：直线 SD ⊥平面 ABC . [证明]　连接 BD ，由 D 为Rt△ ABC 斜边 AC 的中点可知 BD ＝ DA ，在△ SBD 与△ SDA 中， BD ＝ DA ， SB ＝ SA ， SD ＝ SD . ∴△ SBD ≌△ SAD ，∴∠ SDA ＝∠ SDB . ∵ SC ＝ SA ， D 为 AC 中点.∴ SD ⊥ AC ，∴∠ SDA ＝∠ SDB ＝90°，即 SD ⊥ BD . 又 BD ∩ AC ＝ D ， BD ， AC ⊂平面 ABC ，∴ SD ⊥平面 ABC . 练习巩固 [练习2]　如图所示，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1， M ， N 分别是 A 1 D ， D 1 B 的中点，则（　A　） A. 直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B. 直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C. 直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D. 直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 A 解析：连接 AD 1，由正方体间的垂直、平行关系， 可证 MN ∥ AB ， A 1 D ⊥平面 ABD1，即可得出结论. 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， 因为 M 是 A 1 D 的中点，所以 M 为 AD 1的中点. 因为 AB 不垂直 BD ，所以 MN 不垂直 BD . 则 MN 不垂直平面 BDD 1 B 1，所以选项B，D不正确； 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AD 1⊥ A 1 D ， AB ⊥平面 AA 1 D 1 D ，所以 AB ⊥ A 1 D . 又 AD 1∩ AB ＝ A ， AD 1、 AB ⊂平面 ABD 1，所以 A 1 D ⊥平面 ABD 1. 因为 D 1 B ⊂平面 ABD 1，所以 A 1 D ⊥ D 1 B ， 且直线 A 1 D ， D 1 B 是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选A. 又 N 是 D 1 B 的中点，所以 MN ∥ AB ， 又 MN ⊄平面 ABCD ， AB ⊂平面 ABCD ，所以 MN ∥平面 ABCD . 练习巩固 课堂小结 本节课学习了什么？ 2.两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这一个平面. 线面垂直 线线垂直 线面垂直 线面垂直的定义 线面垂直的判定 1.直线和平面垂直的判定定理 作业布置 157页2题、3题 164页7题 练习册对应章节 $$