4.3.2直线与平面垂直的性质定理课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3.2 空间中直线与平面的位置关系 湘教版数学必修第二册 第4章 立体几何初步 4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 （直线与平面垂直的性质定理） 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 复习回顾 线面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 图形语言 符号语言 线线垂直 线面垂直 情景引入 观察一：我们的教室，是一个形如长方体的空间.如果把教室抽象成一个长方体，如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？ 观察二：我们教室的灯管与地面是平行的关系，如何求灯管离地面的高度呢？ 观察三：在日常学习生活中，很多情境都有直线与平面成一定角度的形象. 如同学们握笔写字时，笔抽象成直线，纸面抽象成平面，则直线与平面成一定角度；地球仪的旋转轴与赤道所在平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画直线与平面所成的角呢？ 情景引入 问题探究——线面垂直的性质定理 已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，则那么直线a，b一定平行吗？ 总结归纳——线面垂直的性质定理 线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言 图形语言 若a⊥,b⊥,则a∥b. 例. 直线 l 与平面α所成的角为70°，直线 l ∥ m ，则 m 与α所成的角等于（　B　） A. 20° B. 70° C. 90° D. 110° B 总结归纳——线面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质 （1） ⇒ l ⊥ b ； （2） ⇒ a ∥ b ； （3） ⇒ b ⊥α. 例. 若直线 n ⊥平面α， n ∥ l ，直线 m ⊂α，则 l ， m 的位置关系是（　D　） A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直 D 解析：由题意可知 l ⊥α， m ⊂α，所以 l ⊥ m .故选D. 练习巩固 1. 若直线 a ⊥直线 b ，且 a ⊥平面α，则（　D　） A. b⊥α B. b⊂α C. b∥α D. b∥α或b⊂α D 解析：当 b ⊂α时， a ⊥α，则 a ⊥ b ；当 b ∥α时， a ⊥α，则 a ⊥ b ；当 b 与α相交 时， a ⊥α，则 a 与 b 不垂直.因为直线 a ⊥ b ，且 a ⊥α，所以 b ∥α或 b ⊂α，故选D. 2. 如图，▱ ADEF 的边 AF ⊥平面 ABCD ，且 AF ＝2， CD ＝3，则 CE ＝（　D　） A. 0 B. 3 C. D. D 解析：因为四边形 ADEF 为平行四边形，所以 AF ∥ DE 且 AF ＝ DE ＝2. 因为 AF ⊥平面 ABCD ，所以 DE ⊥平面 ABCD ，所以 DE ⊥ DC . 又 CD ＝3，所以 CE ＝ ＝ ＝ .故选D. 练习巩固 解析：因为四边形 ADEF 为平行四边形，所以 AF ∥ DE 且 AF ＝ DE ＝2.因为 AF ⊥ 平面 ABCD ，所以 DE ⊥平面 ABCD ，所以 DE ⊥ DC . 又 CD ＝3，所以 CE ＝ ＝ ＝ .故选D. 3. 已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面， PA ≠ AD ， M ， N 分别是 AB ， PC 的中点，则 MN 垂直于（　B　） A. AD B. CD C. PC D. PD B 解析：连接 AC ，取 AC 的中点为 O ，连接 NO ， MO ，如图所示. 因为 N ， O 分别为 PC ， AC 的中点，所以 NO ∥ PA ， 因为 PA ⊥平面 ABCD ，所以 NO ⊥平面 ABCD ， CD ⊂平面 ABCD ，所以 NO ⊥ CD . 又因为 M ， O 分别为 AB ， AC 的中点，所以 MO ∥ BC . 因为 BC ⊥ CD ，所以 MO ⊥ CD ， 因为 NO ∩ MO ＝ O ， NO ， MO ⊂平面 MNO ，所以 CD ⊥平面 MNO ， 所以 CD ⊥ MN . 点到平面的距离 点到平面的距离 过一点S向平面ABC做垂线，垂足为A，则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离. 平面内的点到S所构成线段中，垂线段SA最短 典例精析——线面距离概念 例11.已知：直线l∥平面α. 求证：直线l上各点到平面α的距离相等. 平行于平面的直线到平面的距离的定义： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离。 线面角 一条直线l与一个平面α相交，但不与平面垂直，则直线l称为平面α的一条斜线. 斜线 斜足 平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. 垂足 投影：过斜足A和垂足O的直线 线面角 线面角 线面角的范围 斜线与平面的夹角的取值范围是什么?直线与平面的夹角的取值范围是什么? 斜线与平面的夹角的范围： 几种特殊情况的夹角： 练习巩固 [典例]　在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， （1）直线 A 1 B 与平面 ABCD 所成的角的大小为 ⁠； （2）直线 A 1 B 与平面 ABC 1 D 1所成的角的大小为 ⁠. 45°　 30°　 解析：（1）由线面角定义知，∠ A 1 BA 为 A 1 B 与平面 ABCD 所成的角， ∠ A 1 BA ＝45°. （2）如图，连接 A 1 D ，设 A 1 D ∩ AD 1＝ O ，连接 BO ，则易证 A 1 D ⊥平面 ABC 1D 1， ∴ A 1 B 在平面 ABC 1 D 1内的投影为 OB ， ∴ A 1 B 与平面 ABC 1 D 1所成的角为∠ A 1 BO . ∵ A 1 O ＝ A 1 B ，∴∠ A 1 BO ＝30°. 练习巩固 [练习3]　在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F 分别是 AA 1， A 1 D 1的中点，求： （1） D 1 B 与平面 ABCD 所成角的余弦值； 解：（1）连接 DB ，∵ D 1 D ⊥平面 ABCD ， ∴ DB 是 D 1 B 在平面 ABCD 内的射影， 则∠ D 1 BD 即为 D 1 B 与平面 ABCD 所成的角. ∵ DB ＝ AB ， D 1 B ＝ AB ， ∴ cos ∠ D 1 BD ＝ ＝ ， 即 D 1 B 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 . 练习巩固 解： （2）∵ E 是 A 1 A 的中点， A 1 A ⊥平面 A 1 B 1 C 1 D 1， ∴∠ EFA 1是 EF 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1所成的角， 在Rt△ EA 1 F 中，∵ F 是 A 1 D 1的中点，∴∠ EFA 1＝45°， 即 EF 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1所成的角为45°. （2） EF 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1所成的角. 练习巩固 1. △ ABC 所在的平面为α，直线 l ⊥ AB ， l ⊥ AC ，直线 m ⊥ BC ， m ⊥ AC （直线 l 与 m 不重合），则直线 l ， m 的位置关系是（　C　） A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 不确定 C 解析：∵ l ⊥ AB ， l ⊥ AC ， AB ∩ AC ＝ A ， AB ， AC ⊂平面 ABC ， ∴ l ⊥平面 ABC ，同理 m ⊥平面 ABC ，∴ l ∥ m . 练习巩固 2. 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，直线 l （与直线 BB 1不重合）⊥平面 A 1 C 1，则 （　B　） A. B1B⊥l B. B1B∥l C. B1B与l异面但不垂直 D. B1B与l相交但不垂直 B 解析：因为 B 1 B ⊥平面 A 1 C 1， l ⊥平面 A 1 C 1，所以 l ∥ B 1 B . 故选B. 练习巩固 3. 已知直线 l ∩平面α于点 O ， A ∈ l ， B ∈ l ， A ∉α， B ∉α，且 OA ＝ AB . 若 AC ⊥平面α，垂足为 C ， BD ⊥平面α，垂足为 D ， AC ＝1，则 BD ＝（　A　） A. 2 B. 1 C. D. A 解析：如图，因为 AC ⊥平面α， BD ⊥平面α，所以 AC ∥ BD . 连接 OD ，所以 ＝ .因为 OA ＝ AB ，所以 ＝ . 因为 AC ＝1，所以 BD ＝2.故选A. 练习巩固 4. （多选）已知 m ， n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（　BC　） A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C. 若m⊥α，n∥α，则m⊥n D. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α BC 解析：由题可知，若 m ∥α， n ∥α，则 m 与 n 平行、相交或异面，所以A错误；若 m ⊥α， n ⊂α，则 m ⊥ n ，故B正确；若 m ⊥α， n ∥α，则 m ⊥ n ，故C正确； 若 m ∥α， m ⊥ n ，则 n ∥α或 n ⊥α或 n 与α相交或 n ⊂α，故D错误. 课堂小结 本节课学习了什么？ 2.点面距离与线面距离 1.直线与平面垂直的性质定理 3.直线与平面所成角 若a⊥a,b⊥a,则a∥b. 作业布置 164页7、8、9题 练习册对应章节 $$