4.3 4.3.2 第2课时 直线与平面垂直-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第4章　立体几何初步 4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系 4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 第2课时　直线与平面垂直 (教师独具内容) 课程标准：1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．2．归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理． 教学重点：1．直线与平面垂直的定义．2．直线与平面垂直的判定定理和性质定理．3．直线与平面所成的角的求解． 教学难点：直线与平面垂直的判定定理与性质定理的应用． 核心素养：在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理与性质定理的过程中发展数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　直线与平面垂直的定义及画法 1．定义：如果直线l与平面α相交，并且____________________________，那么就称直线l与平面α垂直，记作______．直线l叫作平面α的______，平面α叫作直线l的垂面，它们的交点叫作______． 2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成 与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图所示． 3．过一点______________直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直． 垂直于这个平面内的所有直线 l⊥α 垂线 垂足 有且只有一条 核心概念掌握 5 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的__________________，那么该直线与此平面垂直． 符号语言：若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，则_______． 知识点三　直线与平面垂直的性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线______． 符号语言：若a⊥α，b⊥α，则______ ． 两条相交直线垂直 l⊥α 平行 a∥b 核心概念掌握 6 知识点四　点到平面的距离 1．如图，过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离． 2．一条直线和一个平面平行，这条直线上__________到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离． 任意一点 核心概念掌握 7 知识点五　直线与平面所成的角 1．定义：_______________________，但__________________，这条直线叫作这个平面的斜线， __________________称为斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面作______，过____________的直线称为斜线在这个平面上的投影．平面的一条斜线与_____________________________，叫作这条直线与这个平面所成的角． 2．当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为0°．当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为90°．故直线与平面所成角的范围是_________ ． 一条直线与一个平面相交 不与这个平面垂直 斜线与平面的交点 垂线 垂足和斜足 它在该平面上的投影所成的锐角 [0°，90°] 核心概念掌握 8 1．利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使这条直线和所找的两条直线垂直． (2)确定这个平面内的所找的两条直线是相交的直线． (3)根据判定定理得出结论． 2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质． 3．三垂线定理：平面内垂直于投影的直线也垂直于斜线． 核心概念掌握 9 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　) (2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．(　　) (3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．(　　) √ × × 核心概念掌握 10 2．做一做 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC (2)过平面外一点作该平面的垂线有_____条． 1 核心概念掌握 11 (3)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况： ①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 其中不能保证该直线与平面垂直的是______(填序号)． (4)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的投影A′B的长为b，则垂线段A′A的长为________． (5)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC， PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为______． ②④ 45° 核心概念掌握 12 核心素养形成 例1　下列命题中正确的个数是(　　) ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l 不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 题型一　直线与平面垂直的定义 解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故①错误；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故②错误；③正确．故选B． 核心素养形成 14 直线与平面垂直的定义的理解 直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法． 核心素养形成 15 [跟踪训练1]　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 解析　对于A，由l⊥m及m⊂α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A错误；由l⊥α，l∥m，可得m⊥α，故B正确；对于C，l与m可能平行或异面，故C错误；对于D，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D错误．故选B． 核心素养形成 16 题型二　直线与平面垂直的判定 例2　如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形， SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证： (1)BC⊥平面SAB； (2)EF⊥SD． 核心素养形成 17 证明　 (1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC． ∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴SA⊥BC． 又SA∩AB＝A，SA⊂平面SAB，AB⊂平面SAB， ∴BC⊥平面SAB． (2)由(1)知BC⊥平面SAB．同理，CD⊥平面SAD． ∵E，F分别是SD，SC的中点， ∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD． 又SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD． 核心素养形成 18 应用线面垂直判定定理的注意事项 (1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的． (2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α．” 核心素养形成 19 [跟踪训练2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1． 核心素养形成 20 证明　如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1． 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a， 易证AE＝CE．因为AO＝OC，所以OE⊥AC． 在正方体中易求出： 核心素养形成 21 核心素养形成 22 题型三　直线与平面垂直的性质定理的应用 例3　如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1． 核心素养形成 23 证明　如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC． 又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD⊂平面BDD1B1， DD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1． 又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1． 同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C． ∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C． 又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C． ∴EF∥BD1． 核心素养形成 24 证明线线平行常用的方法 核心素养形成 25 [跟踪训练3]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC． 求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点． 核心素养形成 26 证明　(1)∵四边形ADD1A1为正方形， ∴AD1⊥A1D． 又CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1， ∴CD⊥AD1． ∵A1D∩CD＝D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，∴AD1⊥平面A1DC． 又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1． 核心素养形成 27 核心素养形成 28 题型四　直线与平面所成的角 例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值． 核心素养形成 29 核心素养形成 30 [条件探究]　在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？ 核心素养形成 31 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的投影，其方法为过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算． 核心素养形成 32 [跟踪训练4]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值； (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角． 核心素养形成 33 核心素养形成 34 核心素养形成 35 核心素养形成 36 利用线面垂直，可以找出点到平面的距离． 因为直线与平面平行时直线与平面的距离是通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离． 核心素养形成 37 核心素养形成 38 核心素养形成 39 随堂水平达标 1．线段AB的长等于它在平面α内的投影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 解析　由题意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1B1∩A1D＝A1，A1B1⊂平面A1DB1，A1D⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1，故选B． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 42 3．(多选)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的是(　　) A．MA∥BD B．MA与BD异面 C．MA与BD相交 D．MA⊥BD 随堂水平达标 1 2 3 4 5 43 解析　由异面直线的判定方法可知MA与BD异面，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥MC．又MC∩AC＝C，MC⊂平面AMC，AC⊂平面AMC，∴BD⊥平面AMC．又MA⊂平面AMC，∴MA⊥BD．故选BD． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 44 4．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝______． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 45 5．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB．求证：a∥l． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 46 证明　因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a． 又因为a⊥AB，AB∩EB＝B，AB⊂平面ABE， EB⊂平面ABE，所以a⊥平面ABE． 因为α∩β＝l，所以l⊂α，l⊂β． 因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l． 又因为EA∩EB＝E，EA⊂平面ABE，EB⊂平面ABE，所以l⊥平面ABE． 所以a∥l． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 47 课后课时精练 一、选择题 1．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b． 其中真命题的序号是(　　) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 49 解析　由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 50 2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆有可能 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1D，BC1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 52 4．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是(　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面ABCD所成的角是∠SAC D．AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 53 解析　对于A，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，A正确；对于B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，B正确；对于C，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD内的射影，∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角，C不正确；对于D，∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，D正确．故选C． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 56 二、填空题 6．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是_______． 解析　将b平移至c，且使a与c相交，则a，c确定一个平面，记作平面α．∵l⊥b，m⊥b，∴l⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l⊥平面α，m⊥平面α，∴l∥m． 平行 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 57 30° 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 58 8．如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径， C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影， 给出下列结论： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC． 其中正确结论的序号是________． 解析　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF．∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB．又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，∵AF⊥平面PBC，∴AF⊥FE．∴AE与EF不垂直，又EF⊂平面PBC，∴AE不垂直于平面PBC．故①②③正确，④不正确． ①②③ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 61 10．如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M，N分别为AB，PC的中点． 求证：MN⊥平面PCD． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 62 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 63 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 64 1．如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC． (1)求证：AM⊥平面EBC； (2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 65 解　(1)证明：∵AE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AE⊥BC． 又AC⊥BC，AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACDE， ∴BC⊥平面ACDE． 又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM． ∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE． 又BC∩CE＝C，BC⊂平面EBC，CE⊂平面EBC， ∴AM⊥平面EBC． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 66 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 67 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 68 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 69 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 70 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 71 　　　　　　　　　　　　　 R eq \r(a2－b2) D1O＝2,1)eq \r(DD＋DO2) ＝eq \r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2)a， OE＝eq \r(BE2＋OB2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)a， D1E＝2,1)eq \r(D1B＋B1E2) ＝eq \r(（\r(2)a）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq \f(3,2)a． 因为D1O2＋OE2＝D1E2，所以D1O⊥OE． 因为D1O∩AC＝O，D1O⊂平面ACD1，AC⊂平面ACD1， 所以OE⊥平面ACD1． (2)连接ON，在△A1DC中，O为A1D的中点，N为A1C的中点， ∴ON綊eq \f(1,2)CD綊eq \f(1,2)AB． ∴ON∥AM．又MN∥OA， ∴四边形AMNO为平行四边形． ∴ON＝AM． ∵ON＝eq \f(1,2)AB，∴AM＝eq \f(1,2)AB． ∴M是AB的中点． 解　如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD． 又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的投影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝eq \r(22＋22＋12)＝3． 于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq \f(EM,BE)＝eq \f(2,3)， 即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为eq \f(2,3)． 解　∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1， ∴BE与平面ABCD所成角与所求角相等． 连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角． 设正方体的棱长为2，则在Rt△BDE中， sin∠EBD＝eq \f(DE,BE)＝eq \f(1,3)， 即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为eq \f(1,3)． 解　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD， ∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角， 设A1A＝1，则AC＝eq \r(2)，∴tan∠A1CA＝eq \f(\r(2),2)． (2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， ∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1， 又BB1∩B1D1＝B1，BB1⊂平面BDD1B1，B1D1⊂平面BDD1B1， ∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O． ∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角， 在Rt△A1BO中，A1O＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°． 即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°． 题型五　点、直线到平面的距离 例5　已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝eq \r(2)．S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝eq \r(5)，点P是SC的中点，则点P到平面ABC的距离为________． eq \f(\r(3),2) 解析　如图，连接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC．分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则EF∥BC，PF∥SA．∴EF⊥AC，PF⊥AC．∵PF∩EF＝F，EF⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，∴AC⊥平面PEF，∵PE⊂平面PEF，∴PE⊥AC．易证△SAC≌△SBC，PA＝PB．又E是AB的中点，∴PE⊥AB．∵AB∩AC＝A，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PE⊥平面ABC．从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．∵P是SC的中点，∴在Rt△APE中，AP＝eq \f(1,2)SC＝eq \f(\r(5),2)，AE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(2),2)，∴PE＝eq \r(AP2－AE2)＝eq \r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq \f(\r(3),2)，即点P到平面ABC的距离为eq \f(\r(3),2)． [跟踪训练5]　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为(　　) A．3 B．eq \r(5) C．eq \f(\r(11),11) D．eq \f(2\r(11),11) 解析　如图，连接AC，BD，且AC，EF交于点M，AC，BD交于点O，因为E，F分别是边AB，AD的中点，所以BD∥EF，因为EF⊂平面EFG，所以BD∥平面EFG，所以点B到平面EFG的距离等于点O到平面EFG的距离，因为GC⊥平面ABCD，所以GC⊥BD，又BD⊥AC，GC∩AC＝C，所以BD⊥平面GMC，因为EF∥BD，所以EF⊥平面GMC，过O作OH⊥GM，垂足为H，则OH⊥EF，因为EF∩GM＝M，EF⊂平面EFG，GM⊂平面EFG，所以OH⊥平面EFG，则OH为点O到平面EFG的距离．易知△GCM∽△OHM，所以eq \f(OH,GC)＝eq \f(OM,GM)，所以OH＝eq \f(GC·OM,GM)．因为正方形ABCD的边长为4，所以GM＝eq \r(GC2＋CM2)＝eq \r(4＋18)＝eq \r(22)，所以OH＝eq \f(2×\r(2),\r(22))＝eq \f(2\r(11),11)．所以点B到平面EFG的距离为eq \f(2\r(11),11)．故选D． 解析　如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的投影，则BC＝eq \f(1,2)AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角．在Rt△ABC中，cos∠ABC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,2)，∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°． 解析　因为AF⊥平面ABCD，AF∥ED，所以ED⊥平面ABCD，因为CD⊂平面ABCD，所以ED⊥CD，所以△EDC为直角三角形，CE＝eq \r(ED2＋CD2)＝eq \r(13)． eq \r(13) 3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(　　) A．eq \r(5) B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．4eq \r(5) 解析　如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD．∵PA⊥平面ABC，CB⊂平面ABC，∴PA⊥CB．∵PD⊥CB，PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC．又AC＝AB，∴D为BC的中点．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4．在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5)． 5．(多选)如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则(　　) A．在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C B．点A到平面DB′C的距离为1 C．当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为eq \f(\r(15),4) D．当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为eq \f(1,2) 解析　因为AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，所以AD⊥平面DB′C，故A正确；点A到平面DB′C的距离为AD＝eq \f(\r(3),2)，故B错误；当∠B′DC＝60°时，△DB′C是等边三角形，设B′C的中点为E，连接AE，DE，则AE⊥B′C，即AE为点A到B′C的距离，AE＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(15),4)，故C正确；当∠B′DC＝90°时，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，则CD就是点C到平面ADB′的距离，CD＝eq \f(1,2)，故D正确． 7．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是______． 解析　连接AC，由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．在Rt△ABC中，∵AB＝1，BC＝eq \r(2)，∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(12＋（\r(2)）2)＝eq \r(3)．在Rt△PAC中，∵tan∠PCA＝eq \f(PA,AC)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°． 三、解答题 9．如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝eq \r(2)． 求证：BD⊥平面ACD． 证明　取CD的中点G，连接EG，FG． ∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD． 又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1． ∵EF＝eq \r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG． ∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD． 又EG∩CD＝G，EG⊂平面ACD，CD⊂平面ACD， ∴BD⊥平面ACD． 证明　取PD的中点E，连接AE，NE， ∵N为PC的中点，∴NE为△PCD的中位线， ∴NE綊eq \f(1,2)CD． 在矩形ABCD中，AB綊CD，又M为AB的中点， ∴AM綊eq \f(1,2)CD． ∴AM綊NE， ∴四边形AMNE为平行四边形，∴AE∥MN． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AB． 又△PAD为等腰三角形，E为PD的中点， ∴AE⊥PD，∴MN⊥PD． 在矩形ABCD中，∵AB⊥AD，又AD∩AE＝A，AD⊂平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD． ∵AE⊂平面PAD，∴AB⊥AE， 又AB∥CD，AE∥MN，∴CD⊥MN． 又CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD． (2)取AB的中点F，连接CF，EF． ∵AE⊥平面ABC，CF⊂平面ABC， ∴EA⊥CF． 又AC＝BC，∴CF⊥AB． ∵EA∩AB＝A，EA⊂平面AEB，AB⊂平面AEB， ∴CF⊥平面AEB， ∴∠CEF为直线EC与平面ABE所成的角． 在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝2，∴AB＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)． ∴CF＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(2)． 在Rt△AEF中，∵AE＝2，AF＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(2)， ∴EF＝eq \r(22＋（\r(2)）2)＝eq \r(6)． 在Rt△CFE中，∵CF＝eq \r(2)，EF＝eq \r(6)， ∴tan∠CEF＝eq \f(\r(2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3)． 2．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． 解　(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点， 所以PO⊥AC，且PO＝2eq \r(3)． 连接OB，因为AB2＋BC2＝AC2，且AB＝BC， 所以△ABC为等腰直角三角形， 所以OB⊥AC，OB＝eq \f(1,2)AC＝2． 所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB． 又因为AC∩OB＝O，AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC， 所以PO⊥平面ABC． (2)如图，作CH⊥OM，垂足为H， 又由(1)可得OP⊥CH，因为OM∩OP＝O，OM⊂平面POM，OP⊂平面POM， 所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知OC＝eq \f(1,2)AC＝2，CM＝eq \f(2,3)BC＝eq \f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°， 所以由余弦定理可得OM＝eq \f(2\r(5),3)， 又S△OCM＝eq \f(1,2)OM·CH＝eq \f(1,2)OC·MCsin∠ACB， 所以CH＝eq \f(OC·MCsin∠ACB,OM)＝eq \f(4\r(5),5)． 所以点C到平面POM的距离为eq \f(4\r(5),5)． $$