4.3.2.4 直线与平面垂直的性质定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第4课时　 直线与平面垂直的性质定理 第4章　4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明. 2.会应用直线与平面垂直的性质定理证明一些空间的简单线面关系. 学习目标 内容索引 一、直线与平面垂直的性质定理 二、空间中的距离问题 课时对点练 三、直线与平面所成的角 随堂演练 直线与平面垂直的性质定理 一 问题1　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？ 提示　平行. 问题2　如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？ 提示　a与b平行. 问题3　你能证明吗？ 提示　如图，假设b与a不平行，设b∩α＝O，显然点O不在直线a上，所以点O与直线a确定一个平面，在该平面内过点O作直线b′∥a，则直线b与b′是相交于点O的两条不同直线，所以直线b与b′可确定平面β，设α∩β＝c， 则O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b′∥a，所以b′⊥c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b′与c垂直，显然不可能.因此b∥a. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 符号语言 若a⊥α，b⊥α，则______ 图形语言   作用 ①线面垂直⇒线线平行，②作平行线 平行 a∥b 知识梳理 8 例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 9 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 10 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点. (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. 反思感悟 11 跟踪训练1　△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是 A.相交 　　　 B.异面 　　　C.平行 　　　 D.不确定 √ ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m. 12 空间中的距离问题 二 问题4　若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？ 提示　相等. 问题5　你能证明吗？ 提示　如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1. ∵AA1⊥α，BB1⊥α， ∴AA1∥BB1， 设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1， ∵l∥α，∴l∥A1B1. ∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1＝BB1. 由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等. 1.点到平面的距离 如图，过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称垂 线段SA的长度为点S到平面ABC的距离. 2.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行，这条直线上 到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离. 任意一点 知识梳理 16 例2　线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为______. 如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1. 则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1， 四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5， MM1为其中位线，所以MM1＝4. 4 17 利用中点转化：如果条件中具有中点条件，则将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离. 反思感悟 18 跟踪训练2　△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为_______. 3 cm 19 如图，过点A，B，C向平面α作垂线，垂足分别为A′，B′，C′， △ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E. 过点E，G向平面α作垂线，垂足分别为E′，G′， 由EE′⊥α，GG′⊥α，CC′⊥α， 知EE′∥GG′∥CC′. 20 直线与平面所成的角 三 问题6　当一支铅笔的一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 提示　铅笔和它在桌面上的投影所成的角. 直线与平面所成的角 (1)斜线：一条直线l与一个平面α ，但不与平面α垂直，则直线l称为平面α的一条斜线. (2)斜足：斜线l与平面α的 称为斜足. (3)投影：过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作 ，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影. (4)直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在该平面上 的投影所成的______，叫作这条直线与这个平面所成的角. (5)直线l与平面α所成角的取值范围：________. 相交 交点A 垂线 锐角 知识梳理 23 例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求直线A1B和平面AA1D1D所成的角； ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B和平面AA1D1D所成的角是45°. 24 (2)求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 25 连接BC1，与B1C相交于点O，连接A1O，如图所示. 设正方体的棱长为a. ∵A1B1⊥平面BCC1B1， ∴A1B1⊥BC1， 又BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， ∴BC1⊥平面A1DCB1， ∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的投影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. ∴∠BA1O＝30°. ∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 延伸探究　本例条件不变，求A1B和平面BB1D1D所成的角. 28 连接A1C1，B1D1，交于点M，连接BM，如图所示. ∵A1M⊥B1D1，BB1⊥A1M，BB1∩B1D1＝B1， BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1M⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BM就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 又∵∠A1MB＝90°， ∴∠A1BM＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角为30°. 求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角. (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角. (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、投影所组成的直角三角形). (4)答. 反思感悟 30 跟踪训练3　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的投影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值. 31 由题意知AB是BM在平面ABC上的投影， ∴MA⊥平面ABC， ∴MC在平面ABC上的投影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面ABC所成的角. 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的性质定理. (2)点到平面的距离、直线到平面的距离. (3)直线与平面所成的角. 2.方法归纳：转化与化归、数形结合. 3.常见误区：距离转化不当导致错误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 2.(多选)直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，则可以使a∥b成立的条件是 A.a和b垂直于正方体的同一个面 B.a和b与正方体的同一个面平行 C.a和b平行于同一条棱 D.a和b与正方体的同一条棱垂直 √ A为直线与平面垂直的性质定理的应用； C为基本事实4的应用. √ 1 2 3 4 3.线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为 A.40 cm B.10 cm C.80 cm D.40 cm或10 cm √ 1 2 3 4 4.若斜线段AB是它在平面α内投影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为_______. 斜线段、垂线段以及投影构成直角三角形. 如图所示，∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角. 60° 所以∠ABO＝60°. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 √ 因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质可得. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线 A.只有一条 B.有无数条 C.是平面内的所有直线 D.不存在 √ 当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a⊂α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上皆有可能 √ 这两条直线平行、相交或异面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为 如图，连接AC，交BD于点E，易知AC⊥平面BDD1B1，所以CE的长即为点C到平面BDD1B1的距离 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图所示，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值等于 √ 由题意，设A1C1交B1D1于点O，连接OB(图略)， ∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4， ∴C1O⊥B1D1， 又C1O⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴C1O⊥平面DBB1D1. ∴∠OBC1为直线BC1和平面DBB1D1所成的角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成的角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________. ∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l， 即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，EA，EB⊂平面EAB， ∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a. 又a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB⊂平面EAB， ∴a⊥平面EAB，∴a∥l. 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的大小为________. 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成角的大小为45°. 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD， DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE； ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥DE， ∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D， ∴AC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求AE与平面BDE所成角的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示. ∵AC⊥平面BDE， ∴EO是直线AE在平面BDE上的投影， ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角. ∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成角的大小为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的 A.外心 　　　 B.内心 　　　 C.垂心 　　　D.重心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC， ∴PO⊥OA，PO⊥OB， PO⊥OC， 又PA＝PB＝PC， ∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC， 则OA＝OB＝OC， ∴O为△ABC的外心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，空间四边形ABCD各条棱都相等，则AB所在直线与平面BCD所成角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为空间四边形ABCD各棱长相等，所以四面体ABCD为正四面体. ∴点A在平面BCD上的投影为正三角形BCD的中心O. 连接AO，BO，如图所示， 则∠ABO为AB所在直线与平面BCD所成的角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成角的大小是________. 如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D， 则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD， 且CD与AB相交于O，AB＝10 cm，AC＝3 cm， BD＝2 cm，则AO＝6 cm，BO＝4 cm， 所以∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°. 30° 拓广探究 15.(多选)如图，一个正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心)P1－AB1C1D和一个正三棱锥(底面为正三角形，且顶点在底面的射影为正三角形的中心)P2－B2C2S所有的棱长都相等，F为棱B1C1的中点，将点P1，P2，点B1，B2，点C1，C2分别对应重合为P，B，C得到组合体.则下列关于该组合体的结论中，正确的有 A.AD⊥SP B.AD⊥SF C.AB⊥SP D.CD⊥SP √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为一个正四棱锥P1－AB1C1D和一个正三棱锥P2－B2C2S所有的棱长都相等， 所以可看作在两个相同的正四棱柱上，上底面中心O1对应正四棱锥的点P，上底面中心O2对应点S，如图. 由图形可知拼成一个三棱柱， 设E为AD的中点，连接EF，由此可知，AD⊥SP. 又因为AD⊥平面PEFS，所以AD⊥SF. 因为EF∥SP，EF∥AB，所以AB∥SP. 又AB∥CD，所以CD∥SP.故A，B正确，C，D错误. 16.从①CD⊥BC，②CD∥平面PAB这两个条件中选一个，补充在下面的问题中，并完成解答. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝CD＝1，PC＝3，______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求证：四边形ABCD是直角梯形； 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选择①：连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC. 因为PA＝2，PC＝3，所以AC2＝PC2－PA2＝5， 因为AB＝2，BC＝1，所以AB2＋BC2＝AC2， 所以AB⊥BC. 因为CD⊥BC，所以AB∥CD， 又AB≠CD，所以四边形ABCD是直角梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选择②：连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥AC. 因为PA＝2，PC＝3，所以AC2＝PC2－PA2＝5， 因为AB＝2，BC＝1，所以AB2＋BC2＝AC2， 所以AB⊥BC. 因为CD∥平面PAB，CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB， 所以AB∥CD，又AB≠CD， 所以四边形ABCD是直角梯形. 16.从①CD⊥BC，②CD∥平面PAB这两个条件中选一个，补充在下面的问题中，并完成解答. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝CD＝1，PC＝3，______. (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选择①：由(1)可知，四边形ABCD是直角梯形，如图， 将四棱锥P－ABCD补成一个长方体ABCE－PFGH， 连接PE，CF， 则PB与平面PCD所成的角即PB与平面PFCE所成的角. 过B作BO⊥CF于O，连接OP，由长方体的性质知，EC⊥平面BCGF，所以EC⊥OB，又CF∩EC＝C， 所以OB⊥平面PFCE，则∠BPO为直线PB与平面PCD所成的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选择②：同选择①. 在梯形AA′B′B中，EE′＝(A′A＋B′B)＝(cm)，CC′＝4 cm，CG∶GE＝2∶1，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3(cm). 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a， ∴BO＝A1B. 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1M＝. ∴sin∠A1BM＝＝，又0°≤∠A1BM≤90°， ∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝. 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3. 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝， 即MC与平面ABC所成角的正弦值为. 1.(多选)下列命题正确的是 A.⇒b⊥α B.⇒b∥α C.⇒a⊥b D.⇒a∥b 因为AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝， 因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，可知AC＝ 2.故CE＝. A.1 B. C.2 D.2 A. B. C. D. ∵在Rt△BOC1中，OC1＝2，BC1＝2， ∴sin∠OBC1＝＝， ∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为. 由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，所以B1B＝AB×tan 60°＝，即正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱长为.又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝. A. 　　　 B.1 　　　 C.2 　　　D. 在Rt△EAD中，EA＝＝2，  AO＝， ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝， A.2 B.7 C. D. 由条件知AC＝4，AB＝8，则BC＝4， 故CM的最小值为＝2， 又PC＝4，则PM的最小值为＝2. A. B. C. D.1 令AB＝a，则BO＝×a＝a， 在Rt△ABO中，cos∠ABO＝＝＝. 在Rt△CBF中，可求得OB＝， 在Rt△PAB中，可求得PB＝2， 所以sin∠BPO＝＝＝. 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. $$