精品解析：2025届江苏省常州市金坛区第一中学高三二模适应性检测数学试题

2025年春学期常州市金坛区第一中学高三二模适应性检测 数学试卷 （检测用时：120分钟 本卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 2. 某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h（t）＝10﹣4.9t2+8t（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.5秒时的瞬时速度为（　 　） A. 9.1米/秒 B. 6.75米/秒 C. 3.1米/秒 D. 2.75米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先的导数，再求得秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度. 【详解】函数关系式是 ， 在秒的瞬时速度为 故选：． 【点睛】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是理解导数的物理意义，即了解函数的导数与瞬时速度的关系．本题是导数在物理的应用，属于容易题． 3. 平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两直线平行求出的值，再由两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 则，也就是， 所以两直线间的距离为. 故选：D 4. 若命题“,”是假命题，则不能等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为命题的否定“,”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得. 故选:C. 5. 有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】先排两个女生，将排法分类再相加，剩下的3个男生为全排列，再根据分步乘法计数原理可得不同的排法总数. 【详解】设5个位置依次为1,2,3,4,5，特殊元素优先考虑，女生甲不在两端，则只能在中间3个位置，两女生不相邻，则 ①甲在位置2，另一个女生只能4或5，2种选择； ②甲在位置3，另一个女生只能1或5，2种选择； ③甲在位置4，另一个女生只能1或2，2种选择， 根据分类加法计数原理，两个女生的排法共有种， 剩余3个男生为全排列种排法， 根据分步乘法计数原理，不同排法总数为. 故选：B. 6. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据推出，设圆柱底面半径为r，再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率求出r即可. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得． 设圆柱底面半径为r， 则，所以， 设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得， 则， 即，所以， 得， 又由勾股定理得，解得，故． 故选：B. 7. 如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】多面体体积为三棱锥与四棱锥体积之和,再利用体积之比与高之比底面积之比的关系解题即可. 【详解】连接， ∵ ∴， ∵， ∴, ∴多面体体积为：. 故选： B. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则化简为，， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故， 则实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，由得，，当时，由得，，可判断 A D；由得，且与同号，即可判断BC. 【详解】由得， 当时，由得，即，可得， 当时，由得，即，所以，故 A D正确；. 由得，且与同号，即， 所以与异号，即与同号，由得，故B错误；故C正确； 故选：ACD. 10. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出展开式的通项，根据题意可得，即可判断A；根据二项式定理的性质即可判断B；令的指数等于零，即可判断C；理由不等式法即可判断D. 【详解】展开式的通项为， 则前3项的系数分别为， 对于A，由题意可得， 即，解得或（舍去）， 所以，故A正确； 对于B，展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中常数项为，故C错误； 对于D，设展开式中第项的系数最大项， 则有，解得或， 所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确. 故选：ABD. 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 存在实数使得 B. 方程有唯一正实数解 C. 方程有唯一负实数解 D. 有负实数解 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导，分析函数的图象与性质，对个选项逐一验证即可. 【详解】因为，. 由， 设，因为函数定义域为，且，， 可知方程一定有实数根，故A正确； 由或. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 且为极大值，为极小值. 做出函数草图如下： 观察图象可知：方程有唯一正实数解，有唯一负实数解， 故BC正确； 又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为______________________. 【答案】或 【解析】 【分析】对直线的斜率分类讨论，再利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出答案. 【详解】①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为． ②当的斜率存在时， 设，即， 由点到直线的距离公式得，，解得， ． 故所求的方程为或． 故答案为：或． 13. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有___________种（用数字作答）. 【答案】288 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得. 【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法； 第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间， 然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法. 所以不同的排法种数有：（种）. 故答案为：288 14. 在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探求点在平面内的投影的轨迹，确定当三棱锥体积最小时点的位置，进而可得并求出外接球半径，求出球的表面积. 【详解】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且， 则，，，于是， 以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 令，由，，得，，， 则，化简得， 因此点在以为圆心，为半径的圆上， 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小， 此时，，，， 因此点在底面上的射影在上，且，又， 显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点， 外接球的半径，表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球半径即可. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案； （2）整理数列通项，利用错位相减法，可得答案. 【小问1详解】 当时，，显然成立； 当时，，，相减可得， 化简可得，由累乘法可得， 显然满足上式，故数列的通项公式. 【小问2详解】 由， 则， ， 两式相减可得 ， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH． （1）求证：； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； （3）求点A到平面PCD的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由中位线定理得EFDC，然后由线面平行判定定理和性质定理得出线线平行，从而证得结论成立； （2）以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角的余弦值． （3）根据向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， 所以EFAB，DCAB，所以EFDC． 又因为EF平面PCD，DC⊂平面PCD， 所以EF平面PCD． 又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH， 所以EFGH，又因为EFAB，所以ABGH. 【小问2详解】 因为，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直． 以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 由，则， 所以，. 设平面PAB的一个法向量为，则可取 设平面PDC的一个法向量为＝(x，y，z)， 由，， 得，取z＝1，得＝(0，2，1)． 所以cos〈〉＝， 所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由点到平面的距离公式可得， 即点A到平面PCD的距离为. 17. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. （1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【解析】 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【小问1详解】 设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. 【小问2详解】 （ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 18. 已知双曲线经过点，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）设为原点，若点为双曲线上的动点，点在直线上，且． （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）判断是否存在定圆与直线相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在定圆 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，求解即可得解； （2）（ⅰ）设，，由，得，表示出面积，结合基本不等式求最值； （ⅱ）由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上，当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为，由此猜想定圆为，进行证明即可. 【小问1详解】 双曲线经过点， 且一条渐近线方程为， 所以，解得， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 设，， （ⅰ）由点双曲线上的动点，则， 由于，则，显然，可得， 且， 所以 ， 则当且仅当时，等号成立，； （ⅱ）由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上， 当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为， 由此猜想定圆为， 下面进行证明： 显然，直线， 即， 点到直线的距离为 ， 所以存在定圆与直线相切. 【点睛】关键点证明：由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上，当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为，由此猜想定圆为，进行证明即可. 19. 已知函数，.（注：是自然对数的底数） （1）若无极值点，求实数的取值范围； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）法一，易知，无变号零点，考虑后参变分离为，原问题等价于的图像与无相交交点；法二，构建，分，，结合根的存在性定理即可求解； （2）法一，式子转化为，即证即可，易知，则，分，， 讨论即可；法二，转化为，求的最大值即可. 【小问1详解】 （方法一）易知，由无极值点可知， 无变号零点，令（*）， 显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意； 故当（*）可变形得， 令，原问题等价于的图像与无相交交点， 又，则，，单调递增； ，，单调递减； 又趋于，趋于；趋于，趋于；. 可得的图象如图： 由图可知，解得， 综上， （方法二）构建，则 ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为，， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，当时恒成立，即无极值点； ③当时，当，；当，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则即. 当时，， 当时，， 设，，故， 故在上为增函数， 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点. 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述： 【小问2详解】 （方法一）由可知，， 即， 令，即证， 易知， 则， 若，即时， 则，，单调递增，，不符合题意； 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 又，故令， 解得，即， 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 故令 ， 记，则恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即， 即对于任意，恒成立， 综上所述， （方法二）①当时，不等式恒成立，可得； ②当时，可得恒成立，设， 则 . 可设，可得， 设，， 由，可得恒成立，可得在上单调递增， 在上单调递增，所以， 即恒成立，即在上单调递增，所以， 再令，可得， 当时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 所以， 所以，综上可得的取值范围是. 【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，可通过构造函数，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期常州市金坛区第一中学高三二模适应性检测 数学试卷 （检测用时：120分钟 本卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 2. 某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h（t）＝10﹣4.9t2+8t（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.5秒时的瞬时速度为（　 　） A. 9.1米/秒 B. 6.75米/秒 C. 3.1米/秒 D. 2.75米/秒 3. 平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 若命题“,”是假命题，则不能等于（ ） A. B. C. D. 5. 有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 144 6. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 7. 如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 存在实数使得 B. 方程有唯一正实数解 C. 方程有唯一负实数解 D. 有负实数解 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为______________________. 13. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有___________种（用数字作答）. 14. 在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 16. 如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH． （1）求证：； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； （3）求点A到平面PCD的距离． 17. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. （1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 18. 已知双曲线经过点，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）设为原点，若点为双曲线上的动点，点在直线上，且． （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）判断是否存在定圆与直线相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由． 19. 已知函数，.（注：是自然对数的底数） （1）若无极值点，求实数的取值范围； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $