精品解析：2025年四川省雅安市石棉县九年级第一次诊断性练习数学试题

2025石棉县九年级数学第一次诊断性练习题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 年天全县参加高中阶段学校招生考试的人数约为人，这一人数用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示数，解题的关键是掌握相关知识．科学记数法的表现形式为，其中，为正整数，的绝对值与原数变为时小数点移动的数位相同，当原数的绝对值时，为正数，当原数的绝对值时，为负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列几何体的主视图为长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见几何体的主视图特征判断即可； 【详解】解：A．主视图为圆，不符合题意； B．主视图为等腰梯形，不符合题意； C．主视图为长方形，符合题意； D．主视图为三角形，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题关键． 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 如图，，于点C，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 将解集表示在数轴上为： 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据此特征即可求得结果． 【详解】点关于y轴的对称点的坐标是 故选：C． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的两个点的坐标的特征，掌握这一特征是本题的关键． 8. 若，且，则的值是（　　） A. 4 B. 2 C. 20 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质得到，结合求得的值，代入求值即可． 【详解】解：由a：b＝3：4知， 所以． 所以由得到：， 解得． 所以． 所以． 故选A． 【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则． 9. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：这此测试成绩的中位数和众数分别为（     ） 成绩 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第8个数解答即可． 【详解】解：根据题意共有个数据， 成绩从小大大排列，第8个数是48，所以中位数为48， 49出现的次数最多，出现了5次，所以众数为49． 故选：C． 10. 如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花，在其余区域内阴影部分种草，测得，，，则种草区域的面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，用大扇形面积减去小扇形面积即可求解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 种草区域的面积为 故选：B． 11. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D． 考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方． 12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确， ∵图象与y轴的交点为正半轴， ∴c＞0，则abc＜0，故①错误， 由图象可知当x=1时，函数取最大值， 将x=1，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0）， 设函数解析式为：， 将交点坐标代入得：， 故化简得：， 将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确， 变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确， 则②③④正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．首先提公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，内接于圆，是圆的直径，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用圆周角定理得出，进而得出答案． 【详解】解：∵内接于圆，是圆的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键． 15. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵一元二次方程的两根分别为m，n ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解． 16. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】已知tan∠BAF=，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC． 【详解】过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD， 由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°， ∵tan∠BAF＝＝，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x， 在Rt△BFM中，由勾股定理得： x2+（4﹣2x）2＝（）2， 解得：x1＝1，x2＝＞2舍去， ∴FM＝1，AM＝BM＝2， ∴FN＝﹣1， 易证△BMF∽△FNE， ∴，即：， 解得：EF＝＝EC． 故答案为． 【点睛】考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共69分． 18. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据绝对值、零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当时，原式． 19. 东坡区某校发起“劳动最光荣，托起中国梦”主题活动．全校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如图不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了 　　名学生，并补全条形统计图． （2）若该校共有1600名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？ （3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率． 【答案】（1）200， 补全条形统计图如下： （2）该校“洗衣服”的学生约有400名； （3）（甲、乙两人同时被抽中）． 【解析】 【分析】（1）由做饭的人数及其所占百分比可得答案；利用总人数减去其他的人数即可求得扫地人数，然后补全统计图即可； （2）用1200乘以洗衣服所占的百分比即可求出答案； （3）画出树状图即可求出甲、乙两人同时被抽中的概率． 【小问1详解】 做饭40人，占百分比为， 调查的总人数为：（人， 故答案为：200； 扫地人数为：（人， 条形统计图略； 【小问2详解】 样本中洗衣服所占百分比为：， 该校共有1600名学生“洗衣服”的学生约有：（名， 答：本次活动中该校“洗衣服”的学生约有400名； 【小问3详解】 画树状图如下： 一共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有2种， （甲、乙两人同时被抽中）． 【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，由样本估计总体，画树状图或列表法求概率，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． 20. 如图，已知，是对角线上两点，． （1）求证：； （2）若交的延长线于点，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）9 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，结合，根据全等三角形的判定定理（）即可得到结论； （2）根据已知条件得到解直角三角形，求得，，，进而可得解直角三角形得，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ 又∵，， ∴，即：， 解得：（负值已舍去）， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积， 【点睛】本题考查了平行四边形性质质，全等三角形的判定，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 21. 在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化； (2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；(2)至少应安排乙工程队绿化32天． 【解析】 【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意列出方程：，解方程即可； (2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：，则，根据题意得出不等式求解即可． 【详解】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； (2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务， 由题意得：，则， 根据题意得：， 解得：， 答：至少应安排乙工程队绿化32天． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识点，掌握方程思想和数形结合是解题的关键． （1）联立求得A的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）求得B、C的坐标，利用求得即可； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：联立，解得， 点坐标为． 将代入，得． ． 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：联立，解得或． ． 在中，令，得． 故直线与轴的交点为． 如图，过、两点分别作轴的垂线，交轴于、两点， 则． 【小问3详解】 解：根据图象：关于的不等式的解集为或． 23. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接 ∵是的切线， ∴， ∵，D为的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可得证； （2）结合（1）可得：，，，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴结合（1）可得：，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径为． 24. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点， （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程） 【答案】（1） （2） （3）有，满足条件的点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标； （2）连接，求出直线的表达式为，过点D作x轴的垂线，交于点G，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （3）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入 则有， 解得 二次函数的解析式为， 令，得到，解得或， ． 【小问2详解】 如图中连接，． 设直线解析式为：， ，， ， 解得，， 直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 面积最大时，； 【小问3详解】 解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点N的横坐标为t， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点N在抛物线上， ∴点N的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点N的坐标为； 综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025石棉县九年级数学第一次诊断性练习题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 年天全县参加高中阶段学校招生考试的人数约为人，这一人数用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 3. 下列几何体的主视图为长方形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，于点C，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则的值是（　　） A. 4 B. 2 C. 20 D. 14 9. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：这此测试成绩的中位数和众数分别为（     ） 成绩 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花，在其余区域内阴影部分种草，测得，，，则种草区域的面积为（     ） A. B. C. D. 11. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 分解因式：_________． 14. 如图，内接于圆，是圆的直径，，则的度数为_____． 15. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 16. 若，则_______． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____． 三、解答题：本题共7小题，共69分． 18. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 19. 东坡区某校发起“劳动最光荣，托起中国梦”主题活动．全校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如图不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了 　　名学生，并补全条形统计图． （2）若该校共有1600名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？ （3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率． 20. 如图，已知，是对角线上两点，． （1）求证：； （2）若交的延长线于点，，求的面积． 21. 在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化； (2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 23. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 24. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点， （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $