2025年安徽中考数学二轮复习专项练习十五一次函数与几何

2025年安徽中考数学二轮复习专项练习十五 一次函数与几何（解析版） 1．平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 2．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P，      则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得， 即； 过点D作轴于点G，    直线与x轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 4．已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 5．综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 6．如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)能， 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，较难的是（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可得； （3）先求出点的坐标为，再求出两个临界位置：①当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上和②当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，利用全等三角形的性质求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． （3）解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 7．如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大 (3)t的值为3或 【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 连接，    由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当时，；    （2）函数图象如图：    当时，y随t的增大而增大； （3）当时，即； 当时，即，解得， 故t的值为3或． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．    (1)的长为 ___________；的面积为 ___________； (2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得； （2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故． 【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时， 当时，，P与B重合， ∴，， ∴的长为4，的面积为， 故答案为：4，； （2）∵A在直线上， ∴， 设， ∴，即， ∴， ∴； 当时，设交于E，如图：    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    设直线解析式为，把，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息． 9．已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点，． (1)如图1，已知经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，求证：直线与相切． (2)如图2，已知直线分别交x轴和y轴于点C、D，N是直线上的一个动点，以N为圆心，为半径画圆，当点N与点C重合时，直线与相切． ①求直线的解析式． ②设与直线相交于P、Q两点，连接、，请问是否存在这样的点N，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由题意可知为等腰直角三角形，则，连接，，可知，则，得为等腰直角三角形， 则， ，即可证得结论； （2）当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，由（1）可知，为等腰直角三角形，进而可知为等腰直角三角形，求得，则，得点的坐标为，再利用待定系数法即可求解； ②求得直线的解析式为，当点在直线，交点下方时， 由是等腰直角三角形，且，可知，即轴，设点的横坐标为，则，，列出方程即可求解；当点在直线，交点下方时，同理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 连接，， ∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴，则， ∴直线与相切； （2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则， 由（1）可知，为等腰直角三角形， ∴，则为等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴点的坐标为， 将其代入直线得，解得：， ∴直线的解析式为； ②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下： 设直线的解析式为， 代入，，得，解得： 直线的解析式为， 当点在直线，交点下方时， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴，即轴， 设点的横坐标为，则，， ∴， 解得：，此时点的坐标为； 当点在直线，交点下方时， 同理可得，此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查一次函数与圆的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，圆的切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识的综合，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”． 例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．    (1)如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标； (2)如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的“伴随点”．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长； (3)如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”．请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，根据新定义得出，根据已知得出，则，即可求解； （2）当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的“伴随点”．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，是等边三角形，且轴，设交于点，则，得出，根据即可求解； （3）由正方形的边长为1，即可求出P到的距离为，从而可得P既在正方形的边上，也在到距离为的直线上，当时，向上平移2个单位长度得，分别求出过A、C时b的值；当时，向下平移2个单位长度得，分别求出过A、C时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，    ∵，，则，点是直线的“伴随点”时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当到轴的距离最小时， ∴点在线段上， 设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的“伴随点”．且点到轴的距离最小，      则的纵坐标为，即， ∵是等边三角形，且轴，设交于点，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴等边三角形的边长为； （3）解：由题意知，正方形的边长为1，所以正方形上任意两点距离的最大值为,即正方形上始终存在点P，P到的距离为.则向上或者向下平移2个单位长度得到直线 ∵与平行，且两直线间的距离为， ∴P既在上，又在正方形的边上， ∴与正方形有交点. 当时，为， 当过A时，，即, 当过C时，，即; ∴； 当时，为， 当过A时，，即, 当过C时，，即; ∴； 综上，当或时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”． 【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，12个， 【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标； （2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可； （3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴，即点A的坐标为， 把代入得， ∴，点D的坐标为； （2）解：过点E作于点H， ∵， ∴，， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当时，有个， 解：∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴点N得坐标为； 当时，有个，如图， 当时，有个，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点与O重合， 故点得坐标为， 综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，对于和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边，上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线对称，则称点P为的“翻折点”． (1)已知点，，点M，N为直线与边，的交点．设点为的“翻折点”． ①当时，写出的坐标：__________； ②连接，则长度的取值范围是__________； (2)直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；若存在以直线为对称轴，且斜边长为4的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据已知条件得出，进而求得坐标，即可求解； ②连接，，，，根据为线段的垂直平分线，当点运动到线段上时，最小，当点运动到点时，最大，根据题意即可求得的范围； （2）根据一次函数得出，，对于中，先固定点，当运动时始终有，进而得出以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的的两圆的公共部分，当以直线为对称轴时，斜边为4的等腰直角三角形边上任意一点都是的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内，进而根据勾股定理，求得的值，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：①当时，直线为， 当时，， 当时，， 点M，N为与边，的交点， ，，， 作点关于直线的对称点，交于点， ，， 即点为线段、的中点， ， ， 故答案为：； ②连接，，，， 当时，， 点M，N为与边，的交点， ，， ， ， ， 点与点关于对称， 为线段的垂直平分线， ，，点在以为圆心，1为半径的弧上， ，， 即， 当点运动到线段上时，最小，， 当点运动到点时，， 综上所述，； （2）解：直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 令，则， 令， 解得， ，， 对于中，先固定点，当运动时始终有． 在运动时，点的轨迹为以为圆心，为半径的一段圆弧上， 临界点分别是M与点与点A重合时， 当点N运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示， 该图形为∶以A为圆心，为半径的与以B为圆心，为半径的的两圆的公共部分， 当以直线为对称轴时，斜边为4的等腰直角三角形边上任第一点都是的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内． 的半径大于的半径， 当等腰直角三角形的斜边刚好在上(即为的弦)时，可得的最小值， ， 设，， 则，，，， ， 即， (负值已舍去)， 则， ． 【点睛】本题考查了几何新定义，折叠的性质，一次函数与直线的交点坐标，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题： (1)求点B的坐标； (2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值； (3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，等腰三角形的个数是8个，，， ， 【分析】（1）解方程得到，的长，从而得到点B的坐标； （2）由，，得．由，是中点，得到点M的坐标，代入直线中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得．过点C作于H，过点N作于K．从而，，进而得到，易证，可得，因此，由可得，，，从而通过解直角三角形在中，得到，在中，，因此求得，最终可得结果； （3）分，，三大类求解，共有8种情况． 【详解】（1）解方程，得，．   ， ，． ； （2）， ． 四边形是平行四边形， ，． 是中点， ． ． 将代入，得． ．   ，． ． 过点C作于H，过点N作于K． ，． ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴在中， 在中， ∴ ∴ （3）解：由（2）知：直线解析式为，， 设，， ①当时， ，， 解得或，或， ∴，，，， 如图，、、、都是以5为腰的等腰三角形， ； ②当时， 由①知：，， ∵， ∴不可能等于5， 如图，，都是以5为腰的等腰三角形， ； ③当时， 由①知：，， 当时，， 解得（舍去），， ∴， 如图， 当时，， 解得（舍去），， ∴， 如图， 综上，等腰三角形的个数是8个， 符合题意的Q坐标为，， ， 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”． (1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”； (2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值： (3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可； （2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，根据直线上存在点P是图形的“延长2分点”，得到直线与有交点，进而得到当过点时，值最小，进行求解即可； （3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，得到与有交点，求出与相切以及与相切，两种情况求出的临近值，即可得出结果． 【详解】（1）解：作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ∵，， ∴，， ∵点是图形的“延长2分点”， ∴点在线段上， ∵在线段上， ∴是图形的“延长2分点”； 故答案为：； （2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图， ∵，， ∴，， ∵直线上存在点P是图形的“延长2分点”， ∴直线与有交点， ∴当过点时，值最小， 把，代入，得：， ∴的最小值为； （3）作以原点为位似中心，位似比为的位似， ∵，，， ∴，，， ∵等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”， ∴当与有交点时，满足题意， 当与相切时，如图，则：或， ∴时，满足题意； 当与相切时，且切点为，连接，则：， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∵，，， ∴轴， ∴， ∵以为圆心，半径为1的， ∴点在直线上，， ∴， ∴， ∴或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年安徽中考数学二轮复习专项练习十五 一次函数与几何（解析版） 1．平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 2．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    3．如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 4．已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 5．综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 6．如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 7．如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．    (1)的长为 ___________；的面积为 ___________； (2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 9．已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点，． (1)如图1，已知经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，求证：直线与相切． (2)如图2，已知直线分别交x轴和y轴于点C、D，N是直线上的一个动点，以N为圆心，为半径画圆，当点N与点C重合时，直线与相切． ①求直线的解析式． ②设与直线相交于P、Q两点，连接、，请问是否存在这样的点N，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”． 例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．    (1)如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标； (2)如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的“伴随点”．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长； (3)如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”．请直接写出的取值范围． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，对于和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边，上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线对称，则称点P为的“翻折点”． (1)已知点，，点M，N为直线与边，的交点．设点为的“翻折点”． ①当时，写出的坐标：__________； ②连接，则长度的取值范围是__________； (2)直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；若存在以直线为对称轴，且斜边长为4的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出b的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题： (1)求点B的坐标； (2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值； (3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”． (1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”； (2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值： (3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$