精品解析：2025年山东省德州市齐河县九年级第一次练兵考试数学试题

2024-2025学年度第一次练兵 数学试题 注意事项 1、本试卷包含I、II两卷 2、第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置 3、第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置 4、答案写在试卷上均无效，不予记分 一、选择题（共12题，共48分） 1. 以下科学防控知识的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000156用科学记数法可表示为1.56×10﹣4． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图不变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图改变，左视图不变 【答案】D 【解析】 【详解】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变． 将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变． 将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变． 故选D． 4. 若抛物线与直线有两个交点，则常数应满足（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断抛物线与直线的交点情况．联立得，根据判别式判断抛物线与直线的交点情况即可得解． 【详解】解：∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：A． 5. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D． 考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方． 6. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数的图像上，若，，则k的值为（　　　）． A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得C点坐标，结合AC长即可得到A点坐标，根点A在反比例函数的图像上，将点A的坐标代入反比例函数解析式中可得k值． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴C为OB中点， ∵， ∴， ∵， ∴A点坐标为（2，3）， 将A点坐标代入反比例函数得，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的性质，等腰三角形的判定和性质．利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键． 7. 如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是( ) A. 2 B. C. 2 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：底面周长为20cm，半圆弧长为10cm， 画展开图形如下： 由题意得：AD＝10cm，CD＝4cm， 根据勾股定理得：AB＝＝＝2（cm）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度． 8. 现在的时间是9点30分，时钟面上的时针与分针的夹角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】30°×3+30÷2=105°. 故选C. 【点睛】本题考查了钟面角的计算，根据分针与时针之间所夹角占的份数计算，每一份为30°，9点30分时，分针的位置在6时，时针的位置在9时与10时的中间，共占着3.5份． 9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2． 【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC=HD， ∵AP=2，BP=6， ∴AB=8， ∴OA=4， ∴OP=OA﹣AP=2， 在Rt△OPH中，∵∠APC=30°， ∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1， 在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1， ∴CH=， ∴CD=2CH=2． 故选C． 【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键 10. 小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间(a≠b)，则谁走完全程所用的时间较少？( ) A. 小明 B. 小刚 C. 时间相同 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】设路程是s，可得小明走完全程用的时间是，设小刚走完全程所用时间是x，可得小刚所用时间是，然后利用作差法比较大小，即可求解． 【详解】解：设路程是s， 小明走完全程用的时间是+=， 设小刚走完全程所用时间是x， ∴， 解得： 即小刚所用时间是， - =>0， 所以小明用的时间多，小刚的少， 选：B． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，根据题意分球两人走完全程用的时间是解题的关键． 11. 如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的图象是解答的关键．设正方形的边数为m，然后割补法求面积得到y、x与m的关系，然后根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为m，则， ∵，则，， ∴， ∴y与x的函数图象开口向上，顶点坐标为， 故y与x的函数图象可能为选项B中图象， 故选：B． 12. 如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键． 二、填空题（共6题，共24分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分解因式．综合提公因式和公式法分解因式是解题关键． 14. 已知关于x的不等式3x - m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先用含m的代数式表示出不等式的解集，再根据最小整数解为2即可求出实数m的取值范围. 【详解】∵3x - m+1>0， ∴3x> m-1， ∴x>, ∵不等式3x - m+1>0最小整数解为2， ∴1≤<3， 解之得 . 故答案为. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，根据最小整数解为2列出关于m的不等式是解答本题的关键. 15. 当x＝2+，y＝2﹣时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先将所给的式子分母有理化，然后再代值求解． 【详解】解：由题意，知：x+y＝4，x﹣y＝2，（x+1）（y+1）＝6； 原式＝ ＝ ＝ ＝＝． 故答案为： 【点睛】此题的关键是正确的对分式进行分母有理化，然后根据化简的结果，代值计算． 16. 如图，半圆的直径，把半圆沿水平方向向右平移个单位后，得半圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】设两个半圈交于点，连接和，作于点，易得等边，然后根据两半圆叠合的，然后根据，求解即可． 【详解】解：如图，设两个半圈交于点，连接和，作于点， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴两半圆叠合部分的面积， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移性质，不规则图形的面积计算，勾股定理，等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答本题的关键． 17. 某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有___________天． 【答案】11 【解析】 【分析】本题是一道关于天气情况方程求解的问题．解题关键在于根据所给的 “早晨下雨则晚上晴天”“晚上下雨则早晨晴天” 以及下雨天数、早晚晴天天数等条件，建立方程来求解总天数． 解法一：设早晨下雨天数为，总天数为． 依据“早晨下雨天数与早晨晴天数关系”以及“晚上下雨天数与晚上晴天数关系”列出方程组．求解方程组得出总天数；解法二：设总天数为，早晨下雨天数为，晚上下雨天数为． 根据“下雨总天”“晚上晴天数”“早晨晴天数”这三个条件列出三元一次方程组， 解方程组即可． 【详解】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天， 根据题意得：， ①+②得：， ． 所以一共有11天； 解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天， 根据题意得：， 解得：． 所以一共有11天． 故答案为：11． 18. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可得出的度数； ②首先根据，，求出；然后在中，根据，即可求出求出的长度； ③根据，，推得，即可作出判定； ④点是的中点，根据折叠可知点和点关于称可得，因此与重合时， ，据此求出的最小值是多少即可． 【详解】解：①如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，， ∴垂直平分，即点是的中点， ∴， ∵过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形． ∴，， 即结论①正确； ②∵，，， ∴， ∴， 即结论②不正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 即结论③正确． ④如图，连接， ∵点是的中点，点是的中点， 又∵过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，即和关于对称， ∴点和点关于对称， ∴， ∴点与点重合时，的值最小，此时， ∵， ∴， ∴的最小值是， 即结论④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，运用了数形结合方法的思想，掌握折叠的性质、锐角三角函数、勾股定理是解题的关键． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 七中育才学校排球活动月即将开始，其中有一项为垫球比赛，体育组为了了解七年级学生的训练情况，随机抽取了七年级部分学生进行1分钟垫球测试，并将这些学生的测试成绩（即1分钟的个数，且这些测试成绩都在60～180范围内）分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在60～90范围内的记为D级，90～120范围内的记为C级，120～150范围内的记为B级，150～180范围内的记为A级．现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中在扇形统计图中A级对应的圆心角为90°，请根据图中的信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，A级所占百分比为　 　； （2）在这次测试中，一共抽取了　 　名学生，并补全频数分布直方图； （3）在（2）中的基础上，在扇形统计图中，求D级对应的圆心角的度数； （4）若A，B，C，D等级的平均成绩分别为165、135、105、75个，你能估算出学校七年级同学的平均水平吗？若能，请计算出来．（保留准确值） 【答案】（1）25％（2）100（3）54°（4）能 【解析】 【分析】（1）根据A级所在扇形的圆心角为90°求得其所占的百分比即可； （2）用A级的人数除以其所占的百分比即可求得总人数； （3）用D级的人数除以总人数乘以周角的度数即可求得对应的圆心角的度数; （4）能,用样本估计整体即可算出. 【详解】（1）∵A级所在扇形的圆心角的度数为90°， ∴A级所占百分比为×100%=25%； 故答案为25%； （2）∵A级有25人，占25%， ∴抽查的总人数为25÷25%=100人， ∴D级有100﹣20﹣40﹣25=15人， 故答案100； 频数分布图为： （3）D类的圆心角为：×360°=54°； （4）能，七年级同学平均水平为：=108.75． 【点睛】本题考查了频数分布直方图及扇形统计图的知识，解题的关键是从统计图中整理出相关的信息，难度不大. 20. 如图，有、、、四个点，根据以下要求画图（保留画图痕迹） （1）画直线； （2）画线段； （3）画射线； （4）若点在点正东方向，那么点在点的 方向； （5）在射线上取线段，使（尺规作图）； （6）在平面上确定一点，使的长度最短，这是根据 原理． 【答案】（1）（2）（3）（5）如图所示；（4）东偏南60°；（6）如图，两点之间线段最短 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接AB，并向两边无限延长即可得到结果； （2）连接BC即可得到结果； （3）连接AP，并向AP方向无限延长即可得到结果； （4）先测量出∠BAD的度数，再根据方位角的定义即可得到结果； （5）先在射线AP上截取AE=AB，再在射线EP上截取ED=BC，即可得到结果； （6）连接AC、BD交于点O，则点O即为所求，其根据是：两点之间线段最短. （1）（2）（3）（5）如图所示； （4）若点在点正东方向，那么点在点的东偏南60°； （6）如图所示，这是根据两点之间线段最短的原理. 考点：本题考查的是基本作图 点评：解答本题的关键是熟练掌握射线有一个端点，可以向一方无限延伸；直线没有端点，可以向两方无限延伸；线段有两个端点. 21. 阅读下面的材料： 解方程x4–7x2+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y，则x4=y2． ∴原方程可化为y2–7y+12=0． ∴a=1，b=–7，c=12． ∴△=b2–4ac=（–7）2–4×1×12=1． ∴y═=–． 解得y1=3，y2=4． 当y=3时，x2=3，x=±． 当y=4时，x2=4，x=±2． ∴原方程有四个根是：x1=，x2=–，x3=2，x4=–2． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2–5（x2+x）+4=0； （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2–3（a2+b2）–10=0，试求a2+b2的值． 【答案】（1）x1=，x2=，x3=，x4=；）；（2）a2+b2=5． 【解析】 【分析】（1）设y=x2+x，则由已知方程得到：y2-5y+4=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程即可； （2）设x=a2+b2，则由已知方程得到：x2-3x-10=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）设y=x2+x，则y2–5y+4=0， 整理，得（y–1）（y–4）=0，解得y1=1，y2=4， 当x2+x=1即x2+x–1=0时，解得x=； 当x2+x=4即x2+x–4=0时，解得x=； 综上所述，原方程的解为：x1=，x2=，x3=，x4=； （2）设x=a2+b2，则x2–3x–10=0， 整理，得（x–5）（x+2）=0， 解得x1=5，x2=–2（舍去）， 故a2+b2=5． 【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 22. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋. 其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. （1）求每副象棋和围棋的单价； （2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于m的函数关系式； （3）若选择方案二购买更合算，求m的取值范围． 【答案】（1）每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函数解析式，解题关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程或不等式． （1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题目给出的优惠方案，列出关系式即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元； 【小问2详解】 解：根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋， 可得； 根据按购买总金额的八折付款， 可得． 【小问3详解】 解：根据题意得， ， 解得，， 所以，m的取值范围． 23. 水车是我国古老的农业灌溉工具，是古人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成． 小明受此启发设计了一个“水车玩具”，设计图如图2，若水轮在动力的作用下将水运送到点A处，水沿水槽流到水池中，与水面交于点B，D，且点D，O，B，C在同一直线上，与相切于点A，连接． 请仅就图2解答下列问题． （1）求证：． （2）若点B到点C的距离为32cm，．请求出水槽的长度． 【答案】（1）见解析 （2）48cm 【解析】 【分析】（1）根据与相切于点A，可得，可得，在根据三角形内角和，即可解答； （2）设的半径为x，根据题意列出方程，即可解答． 【小问1详解】 证明：与相切于点A， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：设的半径为xcm， cm， ， 解得， 经检验，是方程的解， cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正弦的概念，熟知正弦的概念是解题的关键． 24. 如图，在矩形中，，为上一点，且，连结，是中点，连结，以为直径作； （1）用a的代数式表示___________，___________； （2）求证：必过的中点： （3）若与矩形各边所在的直线相切时，求的值； （4）作关于直线的对称点，若落在矩形内部（不包括边界），则的取值范围___________，（直接写出答案） 【答案】（1），； （2）见解析 （3）a的值为或 （4） 【解析】 【分析】本题是圆和四边形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质定理、垂径定理、矩形与折叠问题，第三问和第四问中采用分类讨论的思想，注意不要丢解，第四问有难度，准确画出图形是关键． （1）如图1，根据勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，代入可得结果； （2）如图1，证明四边形是矩形，得，所以必过的中点； （3）因为不可能与边和相切，所以分两种情况：①如图2，当与边相切时，根据中，，列式，求的值；②如图3，当与边相切时，设切点为，根据： 且，列式可得结论； （4）分别计算当最小和最大时，即在边上和边上，作辅助线，根据对称点的连线被对称轴垂直平分，由线段垂直平分线的性质列式可得结论． 【小问1详解】 解：如图1， 四边形是矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 设交于，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：如图1，设交于，连接， 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， 即必过的中点； 【小问3详解】 解：分两种情况： ①如图2，当与边相切时，设切点为，连接、交于，则， 由（2）得，，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ②如图3，当与边相切时，设切点为，连接，则，连接，交于， 同理可得，，， ， 由（1）知： 且， ， 解得， 综上所述，若与矩形各边所在的直线相切时，的值为或； 【小问4详解】 解：如图4，当的对称点恰好在边上时，连接交于，连接、，过作，交于，交于，则， 关于直线的对称点， 是的垂直平分线， ，， 由（1）（2）得：，， ， 由勾股定理得： 即， 解得：（舍，， 当时，落在矩形外部（包括边界）； 如图5，当落在边上时，连接、，设交于，连接，延长交于点， ，， ， 四边形为矩形， ， 关于直线的对称点， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 在中，， 解得（负值舍去）， 的取值范围是：， 故答案为：． 25. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值； （3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可； （2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解； （3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为，即为； （2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有， ∴， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠CAO=∠ACO=45°， ∵， ∴∠AED=∠CAO=45°， ∴∠AED=∠PEF=45°， ∵， ∴△PEF是等腰直角三角形， 过点F作FT⊥PD于点，如图所示： ∴， ∴， ∴要使面积最大则PE的值为最大即可， 设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 设点，则， ∴， ∵-1＜0，开口向下， ∴当时，PE有最大值，即为， ∴△PEF面积的最大值为； （3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线， ∴，∠CAO=∠ADQ=45°， ①当以AC为平行四边形的边时，如图所示： 过点P作PG⊥l于点G， ∵四边形APQC是平行四边形， ∴，AC∥PQ， ∴∠ADQ=∠PQG=45°， ∴△PQG是等腰直角三角形， ∴， ∴点P的横坐标为-4， ∴； ②当以AC为平行四边形的边时，如图所示： 同理①可得点P的横坐标为2， ∴； ③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示： ∵四边形AQCP是平行四边形， ∴， 设点， ∴由中点坐标公式可得：， ∴， ∴； 综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一次练兵 数学试题 注意事项 1、本试卷包含I、II两卷 2、第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置 3、第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置 4、答案写在试卷上均无效，不予记分 一、选择题（共12题，共48分） 1. 以下科学防控知识的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图不变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图改变，左视图不变 4. 若抛物线与直线有两个交点，则常数应满足（　　） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 6. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数的图像上，若，，则k的值为（　　　）． A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 7. 如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是( ) A 2 B. C. 2 D. 14 8. 现在的时间是9点30分，时钟面上的时针与分针的夹角度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A B. 2 C. 2 D. 8 10. 小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间(a≠b)，则谁走完全程所用的时间较少？( ) A. 小明 B. 小刚 C. 时间相同 D. 无法确定 11. 如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（共6题，共24分） 13. 分解因式：______． 14. 已知关于x的不等式3x - m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是___________. 15. 当x＝2+，y＝2﹣时，值为______． 16. 如图，半圆的直径，把半圆沿水平方向向右平移个单位后，得半圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 17. 某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有___________天． 18. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．其中正确结论的序号是______． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 七中育才学校排球活动月即将开始，其中有一项为垫球比赛，体育组为了了解七年级学生的训练情况，随机抽取了七年级部分学生进行1分钟垫球测试，并将这些学生的测试成绩（即1分钟的个数，且这些测试成绩都在60～180范围内）分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在60～90范围内的记为D级，90～120范围内的记为C级，120～150范围内的记为B级，150～180范围内的记为A级．现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中在扇形统计图中A级对应的圆心角为90°，请根据图中的信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，A级所占百分比为　 　； （2）在这次测试中，一共抽取了　 　名学生，并补全频数分布直方图； （3）在（2）中的基础上，在扇形统计图中，求D级对应的圆心角的度数； （4）若A，B，C，D等级的平均成绩分别为165、135、105、75个，你能估算出学校七年级同学的平均水平吗？若能，请计算出来．（保留准确值） 20. 如图，有、、、四个点，根据以下要求画图（保留画图痕迹） （1）画直线； （2）画线段； （3）画射线； （4）若点在点正东方向，那么点在点的 方向； （5）在射线上取线段，使（尺规作图）； （6）在平面上确定一点，使的长度最短，这是根据 原理． 21. 阅读下面的材料： 解方程x4–7x2+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y，则x4=y2． ∴原方程可化为y2–7y+12=0． ∴a=1，b=–7，c=12． ∴△=b2–4ac=（–7）2–4×1×12=1． ∴y═=–． 解得y1=3，y2=4． 当y=3时，x2=3，x=±． 当y=4时，x2=4，x=±2． ∴原方程有四个根是：x1=，x2=–，x3=2，x4=–2． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2–5（x2+x）+4=0； （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2–3（a2+b2）–10=0，试求a2+b2的值． 22. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋. 其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. （1）求每副象棋和围棋的单价； （2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于m的函数关系式； （3）若选择方案二购买更合算，求m的取值范围． 23. 水车是我国古老的农业灌溉工具，是古人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成． 小明受此启发设计了一个“水车玩具”，设计图如图2，若水轮在动力的作用下将水运送到点A处，水沿水槽流到水池中，与水面交于点B，D，且点D，O，B，C在同一直线上，与相切于点A，连接． 请仅就图2解答下列问题． （1）求证：． （2）若点B到点C的距离为32cm，．请求出水槽的长度． 24. 如图，在矩形中，，为上一点，且，连结，中点，连结，以为直径作； （1）用a的代数式表示___________，___________； （2）求证：必过的中点： （3）若与矩形各边所在的直线相切时，求的值； （4）作关于直线对称点，若落在矩形内部（不包括边界），则的取值范围___________，（直接写出答案） 25. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值； （3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$