精品解析：2025年北京市西城区九年级数学中考一模试卷

北京市西城区九年级统一测试试卷 数学 考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．.是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 如图，直线与相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了互余，对顶角相等，角度的和差计算，理解互余，对顶角相等是关键． 根据对顶角相等得到，由角的互余得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴特点判定式子符号，整式的运算，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴特点，整式的运算，确定符号即可求解． 【详解】解：根据图示可得，，则A选项错误，不符合题意； ，则B选项错误，不符合题意； ，则C选项错误，不符合题意； ，则D选项正确，符合题意； 故选：D ． 4. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形， 故选：C． 5. 某创新型科技公司在遭遇到一次大规模网络攻击时及时启动了防御体系，构建了动态加密隧道，成功拦截了大部分恶意流量．假设该公司被攻击的恶意流量为平均每秒字节，若持续被攻击80秒的总流量为m字节，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 6. 在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及摸到一个红球和一个绿球的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个绿球的结果有4种， ∴摸到一个红球和一个绿球的概率为． 故选：A． 7. 下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（ ） A. 点P与点C关于直线l对称 B. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键． 根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】解：根据作图可得，依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点C在线段的垂直平分线上． 故选：D ． 8. 如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】连接、、，根据旋转和等边三角形的性质可证明，得到，，进而证明，得到，即可判断①，根据三角形外接圆的性质可判断②，连接，当时，、、共线，、、共线，，求出，，根据等腰三角形的性质可得，推出，根据勾股定理求出，，即可判断③． 【详解】解：如图，连接、、， 是等边三角形， ，， 由旋转可得：，，，， ，，即， ， ，， ，即， ， ， ， 对任意都有是等边三角形，故①正确； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，的外接圆的圆心到点，，的距离相等，且外接圆的圆心是唯一的， 存在唯一一点（的外接圆的圆心）到点，，的距离相等，故②正确； 如下图，连接，当时，、、共线，、、共线，， ，， ， ， ， ， ， 的周长是，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________． 【答案】x≠-3 【解析】 【分析】根据分式有意义得出x+3≠0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须x+3≠0， 解得：x≠-3． 故答案为：x≠-3． 【点睛】考查了分式有意义的条件，解题关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括提公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用，解题的关键是先提取公因式，再对剩余部分运用平方差公式继续分解． 先观察多项式，发现各项都含有公因式提取公因式后得到再观察括号内的式子它符合平方差公式的形式，其中进而分解得到最终结果． 详解】解： 故答案为： ． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是关键． 根据分式方程的求解方法计算即可． 【详解】解：， ， ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为0， ∴原分式方程的解为， 故答案为： ． 12. 在平面直角坐标系中，若点和都在函数的图象上，则的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的计算，掌握反比例函数求自变量或函数值的计算是关键． 根据点在反比例函数图象上，分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：点和都在函数的图象上， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：0 ． 13. 某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查．在两条生产线的产品中每次各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量（单位：个）如下： A：89 91 92 93 95 B：88 91 92 93 96 则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是______． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，先求出各生产线平均数和方差，然后比较方差即可得出结论． 【详解】解：甲生产线的平均数为， 甲生产线的方差为， 乙生产线的平均数为， 乙生产线的方差为 ∵， ∴质量更为稳定的生产线是A， 故答案为：A． 14. 用一组a，b的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是：______，______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”、“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，判断一个命题是假只需要举出一个反例即可．如，，即可证明原命题是错误的． 【详解】解：例如，，则，满足， 但是，故原命题是错误的， 故答案为：，1（答案不唯一）． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 根据矩形的性质以及勾股定理可得、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 16. 某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是______； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为______元（用含a的式子表示）． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据工作总量计算即可； （2）列代数式，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：景点D：第1-2天，使用5人， 景点C：第1-5天，使用2人， 景点B：第3-6天，使用3人， 景点A：第6-8天，使用4人， 每天的人数安排如下： 第1-2天，D（5人）+C（2人）=7人， 第3-5天，B（3人）+C（2人）=5人， 第6天，B（3人）+A（4人）=7人， 第7-8天，A（4人）=4人， 所有景点在第8天完成，因此 的最小值为8天， 故答案为：8 （2）为了找到支付给工人的工资总额的最小值，需要安排四个景点的修复工作，使得在n天内完成，并且每天所需的工人数m尽可能小，从而使得最小． 每个景点的修复需求如下： 景点A：4人，3天 景点B：3人，4天 景点C：2人，5天 景点D：5人，2天 通过分析，我们可以找到一种最优的安排方式： 景点D在第1-2天进行，需要5人； 景点B在第1-4天进行，需要3人； 景点C在第1-5天进行，需要2人； 景点A在第3-5天进行，需要4人． 这样安排后，每天的工人需求如下： 第1-2天：5（D） + 3（B） + 2（C） = 10人； 第3-4天：3（B） + 4（A） + 2（C） = 9人； 第5天：4（A） + 2（C） = 6人． 总天数n=5天，最大工人数m=10人．因此，工资总额为元． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，先代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，最后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：． ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式组的求解，掌握不等式的组的计算方法，取值方法是关键． 根据不等式的性质求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求分式的值．由已知得到，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整体代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若点F是的中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）先说明，再结合即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即；再结合平行四边形的性质可得，再根据可设，则，即，然后求出k的即可。 【小问1详解】 证明：，于点E， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵在中，，点F是中点， ． , ． ∵在中， ∴． ∵在中，，， ∴设，则，． ． 21. 为设计一类推理型模型，某公司计划投入2200万元购进A、B两种型号的芯片共1000片，其中A型芯片至少800片．已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需6万元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需6.5万元．为了满足基本需求，请判断该公司计划投入的资金是否够用，并说明理由． 【答案】该公司计划投入的资金够用，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．设该公司购进1片A型芯片需x万元，购进1片B型芯片需y万元，根据“购进2片A型芯片和1片B型芯片共需6万元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需6.5万元”，可得二元一次方程组，即可解得A型芯片单价为2.3万元，B型芯片单价为1.4万元，设购进A型芯片m片，则购进B型芯片片，知，可解得投入的资金最多购进A型芯片888片，故该公司计划投入的资金够用． 【详解】解：该公司计划投入的资金够用，理由如下： 设该公司购进1片A型芯片需x万元，购进1片B型芯片需y万元． 由题意可知，， 解得， 设购进A型芯片m片，则购进B型芯片片， ∴， 解得， ∴投入的资金最多购进A型芯片888片， ∵， ∴该公司计划投入的资金够用． 22. 某地区计划通过面试从报名参加文化推广的人员中选出“文化志愿者”．现收集了所有30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．30个数据的频数分布直方图如下（数据分5组：，，，，）； b．30个数据在这一组的是：65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布直方图中m的值是______，这30个数据的中位数是______； （2）本次面试平均成绩约为______（同一组数据用该组的组中值作代表，结果四舍五入取整数）： （3）将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”．若一名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由． 【答案】（1）6，70； （2）69； （3）能被录用，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布的运用，掌握中位数，加权平均数的计算是关键． （1）根据频数可得m的值，根据中位数的计算方法可得中位数； （2）分别求值各组的组中值，再根据加权平均数的计算方法求解即可； （3）根据题意，被录用的应该是9人，根据题意即可求解． 【小问1详解】 解：， 中位数在第15，16两位人员成绩的平均数， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 第一组的组中值为：， 第二组的组中值为：， 第三组的组中值为：， 第四组的组中值为：， 第五组的组中值为：， ∴平均成绩为 故答案：； 【小问3详解】 解：能被录用，理由如下， 成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”， ∴（人）， ∵的有2人，的有6人， ∴中最高分的74能被录到， ∴面试成绩为75分的必然被录用． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F．若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由角平分线的定义以及已知条件可证明可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接．易证可得、，进而得到，易证可得，则、、，根据特殊角的三角函数值可得，则，进而得到，然后求得即可解答． 【小问1详解】 证明：∵平分， ． ， ． ． ，垂足是C， ． ． ∴半径． ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图：连接． ． ， ． ． ，， ， ． ． ， ． ， ． ． ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即的半径为． 25. 在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 【答案】（1）补全表格见解析 （2）图见解析 （3）①0.7；②． 【解析】 【小问1详解】 解：观察表格可知：为定值， ∴当时，； 补全表格如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 故答案为：2.70 【小问2详解】 根据表格数据描点，连线，画图如下： 【小问3详解】 ①由图象可知：当时，， 当时，， ∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为； 故答案为：； ②由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢， ∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大， ∵，且， ∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差； 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． （1）当时，求的值； （2）点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的取值范围是或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）当时，抛物线，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，且．然后分和两种情况，分别根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线． 所以该抛物线的对称轴为，即． 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，且． 当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立； ①若，此时， 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （ⅰ）当时，，成立． （ⅱ）当时， 点关于对称轴的对称点为． ． ． 当时，成立． （ⅲ）当时，不合题意，舍去． ②若，此时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 满足题意． 综上所述，的取值范围是或． 27. 在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． （1）如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）①；②，证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【小问1详解】 解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：同②的方法． 【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 28. 对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“—关联点”． 在平面直角坐标系中． （1）已知点，的半径为2． ①在点，，，中，是点关于的“—关联点”的是______； ②若直线上存在点关于的“—关联点”，则的取值范围是______； （2）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别连接、、、，然后利用网格把它们分别绕、、、旋转，得到对应的点，观察其是否在上或内即可得到答案； （2）设与轴的交点为，过点作，过点作轴，由题意可知，，，，可证为等边三角形，先求得点坐标，表示出，利用勾股定理，可表示出，接着证明以及，得到，由 为上或内存在一点，的半径为2，那么最大值为2，从而求得的最大值； （3）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，故以点为圆心，4为半径画圆，可知在上运动，再以点为圆心，2为半径画圆，有点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，可知和为等边三角形，从而得出四边形是菱形，推出，，，设与相交于点，由和为上或内存在一点，那么，故当、、三点共线时，最大，此时在圆上，，通过勾股定理可求得，此时，， 在上，符合题意，综上所述，可知，最大时，在上，在上，且，最后由，得出的范围． 【小问1详解】 解：①根据题意，分别连接、、、，然后绕、、、旋转，如图所示， 由图可知点、在内， 点、是点关于的“—关联点”， 故答案为：、； ②设与轴的交点为，过点作，过点作轴，如图所示， 由题意可知，，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 时，；当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 为上或内存在一点，的半径为2， 最大值为， 此时，，解得，如下图所示： ， ； 【小问2详解】 解：已知是轴上一动点，点满足，的半径为2， 以点为圆心，4为半径画圆，在上运动， 以点为圆心，2为半径画圆，如图所示： 点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”， ，，，， ，， 和为等边三角形， ，， 四边形是菱形， ，，， 设与相交于点， 和为上或内存在一点， ，即， 当、、三点共线时，最大， 此时在圆上，，如图所示： ， ， ， 中，，， ， 不妨设，那么， ， ， ，， ， ， ， 此时在上，符合题意； 综上所述，可知，最大时，在上，在上，且， 设点的纵坐标为， ， ． 【点睛】本题考查了 “—关联点”，线段的旋转，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，一次函数与坐标轴的交点，解直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，数形结合，画出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区九年级统一测试试卷 数学 考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线与相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 5. 某创新型科技公司在遭遇到一次大规模网络攻击时及时启动了防御体系，构建了动态加密隧道，成功拦截了大部分恶意流量．假设该公司被攻击的恶意流量为平均每秒字节，若持续被攻击80秒的总流量为m字节，则m的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（ ） A. 点P与点C关于直线l对称 B. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 8. 如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________． 10. 分解因式：_________． 11. 方程的解为______． 12. 在平面直角坐标系中，若点和都在函数的图象上，则的值是______． 13. 某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查．在两条生产线的产品中每次各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量（单位：个）如下： A：89 91 92 93 95 B：88 91 92 93 96 则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是______． 14. 用一组a，b的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是：______，______． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为______． 16. 某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是______； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为______元（用含a的式子表示）． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若点F是的中点，，，求的长． 21. 为设计一类推理型模型，某公司计划投入2200万元购进A、B两种型号的芯片共1000片，其中A型芯片至少800片．已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需6万元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需6.5万元．为了满足基本需求，请判断该公司计划投入的资金是否够用，并说明理由． 22. 某地区计划通过面试从报名参加文化推广的人员中选出“文化志愿者”．现收集了所有30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．30个数据的频数分布直方图如下（数据分5组：，，，，）； b．30个数据在这一组的是：65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布直方图中m的值是______，这30个数据的中位数是______； （2）本次面试平均成绩约为______（同一组数据用该组的组中值作代表，结果四舍五入取整数）： （3）将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”．若一名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F．若，，求的半径． 25. 在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． （1）当时，求的值； （2）点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 27. 在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． （1）如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）当时，请直接写出线段之间的数量关系． 28. 对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“—关联点”． 在平面直角坐标系中． （1）已知点，的半径为2． ①在点，，，中，是点关于的“—关联点”的是______； ②若直线上存在点关于的“—关联点”，则的取值范围是______； （2）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $