精品解析：河南省周口市太康县2024-2025学年下学期九年级数学第一次模拟考试试卷

2024-2025学年第二学期九年级第一次综合测评卷数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（母小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列实数：，其中最小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 如图1所示为烽火台实物图，其建筑主体为正四棱台，图2所示几何体为其结构示意图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割得到，则图2所示几何体的俯视图为（　　） A B. C. D. 3. 根据周口市2024年政府工作报告指出全市常住人口为876.5万人，城镇化率达到，数据“876.5万”，用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 4. 计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，变为，点G在射线上，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 计算的结果为（　　） A. 1 B. C. -1 D. 7. “燃动青春，跃享未来”2025春季体育节火热来袭！某班需从以下4个项目中随机选择2个参赛，①极限跳绳挑战赛；②力量拔河争霸赛；③欢乐趣味接力跑；④炫酷篮球技巧赛．则恰好选中极限跳绳挑战赛（　　） A. B. C. D. 8. 在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A. 实验开始时，冰块的温度为 B. 加热后，冰块开始熔化 C. 冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D. 冰块熔化过程持续了 9. 如图，四边形为正方形，边长为6，以为圆心，长为半径画，为四边形内部一点，且，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式−的系数是 _____． 12. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人统计了全班60名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 7 5 11 27 6 4 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量应为______________L． 13. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 14. 如图，点A、、、、都在上，是直径，，，则度数为___________． 15. 如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则___________时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 中国新生代大模型应用横空出世，引发广泛关注．郑州大学第一附属医院信息处第一时间进行大模型学习，经过多次研判，最终确定了符合医院实际情况的面向患者的就医助手——郑小医就医助手，为评估“郑小医就医助手”与传统人工客服的效率，工作人员测试并记录了两组客服一周内每日处理的咨询量（单位：件）的折线统计图如下图所示．两组客服一周内每日处理咨询量的相关统计量情况如下表所示． 平均数 中位数 郑小医就医助手 46 人工客服 18 问题： （1）补全上方表格，其中_________，________； （2）已知“郑小医就医助手”数据的方差为，人工客服数据的方差为，则两者的关系为：_________；（填“>””<“或“=”） （3）①“郑小医就医助手”周四的数据比人工客服高多少百分比？（百分号前保留一位小数） ②结合以上信息，对“郑小医就医助手”和人工客服的工作情况进行评价．（写出一条即可） 18. 如图，在菱形中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 19. 如图，点是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，线段交于点． （1）求的值； （2）求直线的函数解析式； （3）若将所在的直线向下平移个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． 21. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有该影片图案的A，B两种书签．经统计，订购10张A种书签与20张B种书签，成本共计240元；而订购15张A种书签和25张B种书签，则需花费315元． （1）求两种书签每张的进价分别是多少元； （2）该文具店计划购进A，B两种书签共50张，由于B种书签更符合消费者喜好，A种书签购进数量不超过B种书签数量的．已知两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划进货方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 为迎接2026年米兰一科尔蒂纳丹佩佐冬奥会，某市扩建了一座国际标准室内滑雪训练场，该滑雪场采用最新造雪技术，整个赛道长180米，可模拟高山滑雪环境，国家队运动员小明为备战冬奥会，在此进行技术训练．如图，他从赛道顶端处开始下滑，滑行3秒后，教练操控一台无人机从处沿赛道方向保持安全高度跟拍训练过程（安全高度可忽略不计）．训练中心记录了小明离处的滑行距离（单位：以及无人机离处的距离（单位：）随滑行时间（单位：）的变化数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 5 6 滑行距离 0 4 10 18 28 40 54 无人机离处的距离 0 0 0 0 12 24 36 经探究发现，与之间成二次函数关系，与之间成一次函数关系． （1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）小明滑完整个训练赛道需要耗时多久？ （3）分析在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，求出相遇时间；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 23. 【题目背景】 某公园计划在人工湖区域建造一座观景台，设计师需根据灯光效果和几何原理确定最佳位置． 【问题提出】 （1）如图1，已知线段和直线外一点，请描述出所有满足的点的轨迹的形状， 【问题探究】 （2）如图2，在边长为6的正方形内部有一点，当满足时，点到边的最大距离为___________，此时的面积为___________； 【问题解决】 （3）如图3，某露天剧场有三个灯光塔，已知．灯光塔的灯光可能转且速度相同，若三束灯光同时汇聚于一点，且满足，请你找出点的位置，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级第一次综合测评卷数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（母小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列实数：，其中最小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟知正实数大于零，零大于负实数，负数绝对值大的反而小是解题的关键． 根据正实数大于零，零大于负实数，负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 而 ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 2. 如图1所示为烽火台实物图，其建筑主体为正四棱台，图2所示几何体为其结构示意图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割得到，则图2所示几何体的俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图相关知识，关键是看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解． 【详解】解：俯视图为： ， 故选：D． 3. 根据周口市2024年政府工作报告指出全市常住人口876.5万人，城镇化率达到，数据“876.5万”，用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：876.5万， 故选：C． 4. 计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，变为，点G在射线上，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ， ． 故选：C． 6. 计算的结果为（　　） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的加减运算．首先进行通分运算，进而计算得出答案． 【详解】解： ． 故选：B． 7. “燃动青春，跃享未来”2025春季体育节火热来袭！某班需从以下4个项目中随机选择2个参赛，①极限跳绳挑战赛；②力量拔河争霸赛；③欢乐趣味接力跑；④炫酷篮球技巧赛．则恰好选中极限跳绳挑战赛（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，列表如下： ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 由列表可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中极限跳绳挑战赛的结果数有6种， ∴恰好选中极限跳绳挑战赛的概率是， 故选：D． 8. 在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A. 实验开始时，冰块的温度为 B. 加热后，冰块开始熔化 C. 冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D. 冰块熔化过程持续了 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：由图可知，实验开始时，冰块的温度为，故A选项说法错误，不符合题意； ∵冰在熔化过程中，温度不变， ∴由图象知， 加热后，冰块开始熔化，故B选项说法错误，不符合题意； ∵加热后，冰块完全熔化， ∴冰的整个熔化过程持续了，故D选项说法错误，不符合题意； 由图象知，第到，用时4分钟，温度升高，平均每分钟升高态，那么冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到，故C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 9. 如图，四边形为正方形，边长为6，以为圆心，长为半径画，为四边形内部一点，且，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，，得到，，过点E作于点F，根据阴影面积等于扇形面积减去两个三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， 过点E作于点F， ∴， ∴， 故阴影面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握正方形的性质，直角三角形的性质，扇形的面积是解题的关键． 10. 如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（　　） A 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二元一次方程组的应用．设，，，证明和，得到①，②，据此求解即可． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，①， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴②， 解①②得，， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式−的系数是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式的有关概念解答． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为． 【点睛】本题考查代数式的应用，熟练掌握单项式的有关概念是解题关键． 12. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人统计了全班60名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 7 5 11 27 6 4 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量应为______________L． 【答案】29 【解析】 【分析】本题考查了众数．众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，可能有1个，也可能有多个．根据众数的定义求解即可． 【详解】解：出现27次，出现次数最多， ∴众数是， 故答案为：29． 13. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数．先分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可得出结论． 【详解】解：， 由可得：， ∵原不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点A、、、、都在上，是直径，，，则的度数为___________． 【答案】##66度 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理．连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ∵是的直径， ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则___________时，为直角三角形． 【答案】2或6 【解析】 【分析】是直角三角形时，有三种情况，一是，二是，三是，然后进行分类讨论求出的值． 【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 当， ，， ， ， ， ， ， ； 当， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，(舍去)， 当， 由题意知：此情况不存在， 综上所述，为直角三角形时，或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，有一定的综合性． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别求特殊角的三角函数值和进行零指数幂以及化简绝对值计算，再进行加减计算； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式法则展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 中国新生代大模型应用横空出世，引发广泛关注．郑州大学第一附属医院信息处第一时间进行大模型的学习，经过多次研判，最终确定了符合医院实际情况的面向患者的就医助手——郑小医就医助手，为评估“郑小医就医助手”与传统人工客服的效率，工作人员测试并记录了两组客服一周内每日处理的咨询量（单位：件）的折线统计图如下图所示．两组客服一周内每日处理咨询量的相关统计量情况如下表所示． 平均数 中位数 郑小医就医助手 46 人工客服 18 问题： （1）补全上方表格，其中_________，________； （2）已知“郑小医就医助手”数据的方差为，人工客服数据的方差为，则两者的关系为：_________；（填“>””<“或“=”） （3）①“郑小医就医助手”周四的数据比人工客服高多少百分比？（百分号前保留一位小数） ②结合以上信息，对“郑小医就医助手”和人工客服的工作情况进行评价．（写出一条即可） 【答案】（1）47，20 （2） （3）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图的理解，涉及平均数，中位数和方差的求解等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数和平均数的定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解即可比较； （3）①由“郑小医AI就医助手”周四的数据减去人工客服的数据，得到的差，再除以人工客服的数据即可求解百分比；②可以根据平均数，中位数和方差的概念分析即可． 【小问1详解】 解：“郑小医就医助手”一周处理的数据排列为：，则中位数为， ∴； 人工客服一周处理的数据为， ∴平均数为：， ∴， 故答案为：47，20； 【小问2详解】 解：“郑小医就医助手” 数据的方差为； 人工客服数据的方差为 ， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①由题意得：； ②“郑小医就医助手”的平均数大于人工客服数据的平均数，可得“郑小医就医助手”处理咨询的效率更高（答案不唯一）． 18. 如图，在菱形中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图角平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，即所作： 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 19. 如图，点是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，线段交于点． （1）求的值； （2）求直线的函数解析式； （3）若将所在的直线向下平移个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由得到点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）先求出点的坐标，再将，的坐标代入所设的解析式中，求出，的值，再代回所设的解析式中即可； （3）先确定平移后的函数解析式，再和反比例函数联立，转化为一元二次方程，最后根据求得． 【小问1详解】 解：， ， 点的坐标为，点的横坐标为2， 将点代入中，得； 【小问2详解】 由（1）可知， ， 点的横坐标为2， ， 点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， 直线的函数解析式为； 【小问3详解】 将所在的直线向下平移个单位长度后直线的解析式为， 平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点， ，整理得：， ， 解得，， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，以及一元二次方程根的判别式．解题的关键是熟练掌握相关的基础知识． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． 【答案】（1）下折臂的长约为； （2）路灯的高约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ，， ， ． ， 在中，， 答：下折臂的长约为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ，， ， 由题意可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 21. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有该影片图案A，B两种书签．经统计，订购10张A种书签与20张B种书签，成本共计240元；而订购15张A种书签和25张B种书签，则需花费315元． （1）求两种书签每张的进价分别是多少元； （2）该文具店计划购进A，B两种书签共50张，由于B种书签更符合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的．已知两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划进货方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）种书签每张进价6元，种书签每张进价9元； （2）当购买16张种书签、34张种书签时，所获利润最大，最大利润为166元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买种书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设种书签每张进价元，种书签每张进价元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，可以得到所获利润与购买种书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【小问1详解】 解：设种书签每张进价元，种书签每张进价元， 根据题意可得：， 解方程组得：， 答：种书签每张进价6元，种书签每张进价9元； 【小问2详解】 解：设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，所获利润为， 根据题意可得：， 解得：， 文具店在这批书签全部售出后获得利润为: ， ∵， 销售利润随着的增大而增大， 当时，销售利润最大， 最大利润为(元)， (张)， 当购买16张种书签、34张种书签时，所获利润最大，最大利润为166元． 22. 为迎接2026年米兰一科尔蒂纳丹佩佐冬奥会，某市扩建了一座国际标准室内滑雪训练场，该滑雪场采用最新造雪技术，整个赛道长180米，可模拟高山滑雪环境，国家队运动员小明为备战冬奥会，在此进行技术训练．如图，他从赛道顶端处开始下滑，滑行3秒后，教练操控一台无人机从处沿赛道方向保持安全高度跟拍训练过程（安全高度可忽略不计）．训练中心记录了小明离处的滑行距离（单位：以及无人机离处的距离（单位：）随滑行时间（单位：）的变化数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 5 6 滑行距离 0 4 10 18 28 40 54 无人机离处的距离 0 0 0 0 12 24 36 经探究发现，与之间成二次函数关系，与之间成一次函数关系． （1）直接写出关于函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）小明滑完整个训练赛道需要耗时多久？ （3）分析在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，求出相遇时间；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 【答案】（1）关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； （2）小明滑完整个赛道需要耗时； （3）无人机不能追上小明，无人机与小明的最小距离为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法可得；同理求得关于的函数解析式为； （2）在中，令可解得小明滑完整个赛道需要耗时； （3）由可得到解无人机不能追上小明，再利用配方法可求得无人机与小明的最小距离． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 将，，代入得： ， 解得， ； 设关于的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得， ∴， ∴关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令得： ， 解得或（舍去）， 小明滑完整个赛道需要耗时； 【小问3详解】 解：联立得， 整理得， ∵， ∴无人机不能追上小明， 由题意得， ∵， ∴无人机与小明的最小距离为． 23. 【题目背景】 某公园计划在人工湖区域建造一座观景台，设计师需根据灯光效果和几何原理确定最佳位置． 【问题提出】 （1）如图1，已知线段和直线外一点，请描述出所有满足的点的轨迹的形状， 【问题探究】 （2）如图2，在边长为6的正方形内部有一点，当满足时，点到边的最大距离为___________，此时的面积为___________； 【问题解决】 （3）如图3，某露天剧场有三个灯光塔，已知．灯光塔的灯光可能转且速度相同，若三束灯光同时汇聚于一点，且满足，请你找出点的位置，并说明理由． 【答案】（1）点P的轨迹为线段的垂直平分线（与的交点除外）；（2）3，9；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，则，根据线段垂直平分线的判定即可得到轨迹，注意描述轨迹时，与的交点除外； （2）过点M作于点，取中点，连接，则根据直角三角形斜边中线的性质得到，由于，则当点重合时，取得最大值为，即可求解此时的面积； （3）先由勾股定理逆定理证明，由得点一定在线段的垂直平分线上，再以线段为直径作与线段的垂直平分线的交点即为所求，以及以为直径作，与线段的垂直平分线的交点即为所求，根据圆周角定理即可说理． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴点P的轨迹为线段的垂直平分线（与的交点除外）； （2）过点M作于点，取中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点重合时，取得最大值为，如图： 此时，， 故答案为：3，9； （3）∵， ∴， ∴， ∵三束灯光同时汇聚于一点，且满足， 如图1，作线段的垂直平分线，由（1）可得点一定在直线上， 以为直径作，交线段的垂直平分线于点，此时即为满足条件的点，理由如下： 由（1）得， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理点也符合题意； 如图2，作线段的垂直平分线，由（1）可得点一定在直线上， 以为直径作，交线段的垂直平分线于点，此时即为满足条件的点，理由如下： 由（1）得， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点的位置即为所求． 【点睛】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大，解题的关键是理解题意，正确作图． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$