2025年上海市嘉定区中考二模数学试卷

2024 学年第二学期九年级质量调研 数学样卷 （时间 100 分钟，满分 150 分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无 效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算 的主要步骤． 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的 相应位置上】 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（▲）． （A） 2 1 ； （B） 2 ； （C） 2.0 ； （D） 12 ． 2. 下列关于 x 的方程一定有实数解的是 （▲）． （A） 022 =+− xx ； （B） 012 =+x ； （C） 22 2 − = − x x x ； （D） 012 =−−mxx （m 为常数）． 3. 已知正比例函数 xay )2( −= 的图像经过第一、三象限，那么 a 的取值范围是（▲）． （A） 2>a ； （B） 2<a ； （C） 2−>a ； （D） 2−<a ． 4. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（▲）． （A）≌； （B）∽； （C）Σ； （D）∞． 5. 某校在“阅读之星”的评选活动中，5 位评委给小王同学的综合表现打分，分别是： 2.9 、 3.9 、 8.8 、 3.9 、 1.9 ．如果每位评委的打分都提高 0.1，那么比较前后两组数据，统计量一． 定不会．．．发生改变的是（▲）． （A）中位数； （B）众数； （C）方差； （D）平均数. 6. 如果⊙ 1O 与⊙ 2O 内含，圆心距 321 =OO ，⊙ 1O 的半径长是5，那么⊙ 2O 的半径长 r 的取 值范围是（▲）． （A） 20 << r ； （B） 82 << r ； （C） 20 << r 或 8>r ； （D） 8>r ． 第 1 页 共 6 页 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 4 1 的倒数是 ▲ ． 8. 因式分解： =−92x ▲ ． 9. 不等式组     > >− 2 3 1 53 x x 的解集是 ▲ ． 10. 方程 xx =+ 32 的解是 ▲ ． 11. 如果反比例函数 x ky 1+= 的图像在其所在的每个象限内， y 的值随 x 的值增大而增大，那么 k 的取值范围是 ▲ ． 12. 如果一次函数的图像经过点 )3,1(− ，且与直线 12 += xy 平行，那么这个一次函数的解析 式是 ▲ ． 13. 如果一个正多边形的外角和与内角和的比为 2:1 ，那么这个多边形是正 ▲ 边形． 14. 十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对 中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”4 张 邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2 张，那么乙同学随 机抽到的 2 张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是 ▲ ． 15. 为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了 200 名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果 绘制成扇形统计图（如图 1 所示）．如果该校学生共有800人，请估计全校一分钟跳绳次 数不低于．．．180 个的学生有 ▲ 人． 类别 跳绳次数 x A 200≥x B 200180 <≤ x C 180160 <≤ x D 160140 <≤ x E 140<x 图 1 第 2 页 共 6 页 16. 某二次函数一部分自变量 x 和函数值 y 的对应情况如右表 所示．如果将这个二次函数的图像向右平移 )0( >mm 个单位 后，图像经过原点，那么m 的值是 ▲ ． 17. 如图 2，已知点G 是△ ABC 的重心，如果向量 aAB = ， bAC = ，那么向量 =BG ▲ ．（结 果用 a 、b 表示） 18. 如图 3，在正方形纸片 ABCD中，点 E 是边 AD 的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使 点C 与点 E 重合，边 BC 翻折至 B E' 的位置，B E' 与 AB 交于点 P ，那么 PB AP 的值是 ▲ ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19. （本题满分 10 分） 计算： 01 )π14.3(2345cos412 −−−+++ − ）（ ． 20. （本题满分 10 分，其中第（1）题 4 分，第（2）题 6 分） 已知分式方程 1 4 4 2 1 2 =− − − xx ．甲同学的解答过程如下： （1）甲同学的解答过程是从第 ▲ 步开始出现错误的，请简要说明错误的原因： ______________________________________________________________________ （2）请写出正确且完整的解答过程． x … 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … 解：（第①步）去分母，得： 142 =−+x ， （第②步）解这个整式方程，得： 3=x ， （第③步）检验：当 3=x 时， 042 ≠−x ， （第④步）所以，原方程的根是 3=x ． 图 3 图 2 第 3 页 共 6 页 第 4 页 共 6 页 21. （本题满分 10 分，其中第（1）题 5 分，第（2）题 5 分） 如图 4，已知 AD 是半圆O 的直径，半径OB 垂直于弦 AC ，垂足为点 E ，联结 AB ，  2CD AB= ． （1）求 AOB∠ 的度数； （2）求 tan BAC∠ 的值． 22. （本题满分 10 分） 已知正五边形 ABCDE ，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．作图，并完成相应的任务（保留作图痕 迹，不写作法）． 【初步感知】如图 5，请直接写出 ABE∠ 的度数； 【实践探究】请在图 5 中作出以 BE 为对角线的菱形 ABME ，并证明你的结论； 【拓展延伸】请在图 6 正五边形 ABCDE 的基础上再设计一个新的正五边形 11111 EDCBA . （不需要证明） 图 5 图 6 图 4 第 5 页 共 6 页 图 7 23. （本题满分 12 分，其中第（1）题 7 分，第（2）题 5 分） 如图 7，平行四边形 ABCD中，已知 ABAD 2= ，M 是边 AD 的中点，联结MC ． ABCE ⊥ ，垂足 E 在边 AB 上，联结 EM 并延长，交CD延长线于点 F ． （1）求证： DMCEMC ∠=∠ 2 ； （2）求证： CFABCM ⋅=2 ． 24. （本题满分 12 分，其中第（1）题 4 分，第（2）题 4 分，第（3）题 4 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1： 2 2 3y ax ax a= + − （ 0a < ）与 x 轴相交于 A、B 两 点，且点 A在点 B 左侧，与 y 轴交于点C ，顶点为点 D ． （1）求线段 AB 的长； （2）把抛物线 C1 向右平移3个单位，再向上平移 4 个单位，平移后得到抛物线 C2，抛物 线 C2的顶点为点 E ．如果点 A、 D 、 E 在同一直线上，求抛物线 C1的表达式； （3）当四边形 ABCD的面积为9时，若点 P 是 x 轴上一点（点 P 不与点 B 重合），且 △ ACP 与△ ABC 相似，求点 P 的坐标． -5 -5 O x y 1 2 -3 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -1 -2 -4 3 25. （本题满分 14 分，其中第（1）题 5 分，第（2）题 5 分，第（3）题 4 分） △ ABC 为⊙O的内接等腰三角形， ACAB = ．联结 BO并延长，交 AC 于点 D ，交⊙O 于点 E ，过点 B 作 ACBF ⊥ ，垂足为点 F （点 F 不与点 A重合）． （1）如图 8，如果 20=∠CBF ，求 DBF∠ 的大小； （2）如图 9，联结OC ，如果 xACB =∠sin ， ABF OBC S y S =△ △ ，求 y 关于 x 的函数解析式（不 用写自变量的取值范围）； （3）如果点 D 是线段OE 的黄金分割点，求 BAC∠cos 的值． 图 8 图 9 备用图 第 6 页 共 6 页 2024学年第二学期九年级质量调研 数学样卷 （时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（▲）． （A）； （B）； （C）； （D）． 2. 下列关于的方程一定有实数解的是 （▲）． （A）； （B）； （C）； （D）（为常数）． 3. 已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（▲）． （A）； （B）； （C）； （D）． 4. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（▲）． （A）≌； （B）∽； （C）Σ； （D）∞． 5. 某校在“阅读之星”的评选活动中，5位评委给小王同学的综合表现打分，分别是：、、、、．如果每位评委的打分都提高0.1，那么比较前后两组数据，统计量一定不会发生改变的是（▲）． （A）中位数； （B）众数； （C）方差； （D）平均数. 6. 如果⊙与⊙内含，圆心距，⊙的半径长是，那么⊙的半径长的取值范围是（▲）． （A）； （B）； （C）或； （D）． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 的倒数是　▲　． 8. 因式分解：　▲　． 9. 不等式组的解集是　▲　． 10. 方程的解是　▲　． 11. 如果反比例函数的图像在其所在的每个象限内，的值随的值增大而增大，那么的取值范围是　▲　． 12. 如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是　▲　． 13. 如果一个正多边形的外角和与内角和的比为，那么这个多边形是正　▲　边形． 14. 十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取张，那么乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是　▲　． 15. 为了解学生的体育技能水平，某校随机抽取了名学生开展一分钟跳绳测试，并将结果绘制成扇形统计图（如图1所示）．如果该校学生共有人，请估计全校一分钟跳绳次数不低于180个的学生有　▲　人． 类别 跳绳次数 A B C D E 图1 … … … … 16. 某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示．如果将这个二次函数的图像向右平移个单位后，图像经过原点，那么的值是　▲ ． 17. 如图2，已知点是△的重心，如果向量，，那么向量　▲　．（结果用、表示） 18. 如图3，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是 ▲　． 图2 图3 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分） 计算：． 20. （本题满分10分，其中第（1）题4分，第（2）题6分） 已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． （1） 甲同学的解答过程是从第　▲　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因： ______________________________________________________________________ （2） 请写出正确且完整的解答过程． 21. （本题满分10分，其中第（1）题5分，第（2）题5分） 如图4，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． （1） 求的度数； （2） 求tan的值． 图4 22. （本题满分10分） 已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】如图5，请直接写出的度数； 【实践探究】请在图5中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】请在图6正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明）图6 图5 23. （本题满分12分，其中第（1）题7分，第（2）题5分） 如图7，平行四边形中，已知，是边的中点，联结． ，垂足在边上，联结并延长，交延长线于点．图7 （1）求证：； （2）求证：． 24. （本题满分12分，其中第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． （1）求线段的长； （2）把抛物线C1向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线C1的表达式； （3）当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且 △与△相似，求点的坐标． -5 -5 O x y 1 2 -3 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -1 -2 -4 3 25. （本题满分14分，其中第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题4分） △为⊙的内接等腰三角形，．联结并延长，交于点，交⊙于点，过点作，垂足为点（点不与点重合）． （1） 如图8，如果，求的大小； （2） 如图9，联结，如果，，求关于的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； （3）如果点是线段的黄金分割点，求的值． 图8 图9 备用图 第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉定区2024学年第二学期九年级学业质量调研 数学试卷参考答案 一、1.B；2. D；3. A；4. D；5.C；6.C . 二、7.；8.；9. ；10.；11.；12.；13.六； 14.；15. ；16. ；17.；18.. 三、19．解： 20.（1）解： ①， 理由略 （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 21. 解：（1）∵半径垂直于弦，∴， ∵，∴， ∴， ∵是半圆的直径，∴， ∴ （2） ∵半径垂直于弦， ∴在中， 图1 设，则 ∵，∴ ∴ 在中，tan 22.【初步感知】（1） 【实践探究】（2）如图1所示，联结相交于点，菱形为所求图形 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等. 可得≌，从而 ∵，，∴，从而. ∴ 从而：，∴， 同理可证：.∴四边形为平行四边形， 又，∴四边形为菱形. 【拓展延伸】（3）参考图形有：图2或图3，设计一种即可 图3 图2 23. 证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴//，， ∵//，∴ ∵是边的中点，∴ ∴ ∵，∴， ∵//，∴， 在中，∵是斜边的中点，∴， ∴ ∵，，是边的中点， ∴，∴， ∵， ∴； （2）∵，，∴， 又∵，∴∽， ∴， 即， ∵，∴． 24. 解：（1）令，即， ∵ ，∴，解得：，， 由于点在点左侧，可得，， 从而：． （2）由，可得：， 平移后的点， 方法1：设直线AD表达式：，把A、D坐标代入，解得 ∴直线AD表达式：． 当点、、在同一直线时，把点代入直线AD表达式，解得：． ∴抛物线C1的表达式：． 方法2：借助图形，利用三角比或者相似，求出. （3）由（1）、（2）可知：，， ， 设对称轴直线与轴的交点为点F， ，可得． 从而点，可得： 当△与△相似时，又点P在x轴上，只能是点P在A点右侧，∴ 当时，点P与点B重合，不合题意. 当时，即，解得：． ∴点P的坐标为（，0）． 25. 解：（1）联结并延长，交于点， 在圆中，∵，∴， 又∵过圆心，∴，， ∴， ∵，∴，∵，∴， ……（1分） ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴． （2）在中，，， ∵，∴， ∵，，∴， 又∵，∴∽， ∴， ∵，∴； （3）联结，∵为直径，∴， 又∵，∴是的中位线，∴，//， ∴，∵点是线段的黄金分割点，∴或， ①当时，∵，∴， ∵，∴在中，， ∴； ②当时，同理可得， ∴， 综上所述，． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$■ 选些各置日修图（发内作许，左丝苦色以容边探限金场修校主见数 情丝各区日首四区拔内竹答，星抓黑色岁服边伊限金区城的管室无为 2024学年第二学期九年级质量调研 ).()甲学解答过程是从第事开的出现指误的，读商发说附指 22.解1 数学答题纸 议伯岗： 姓名 【安线择光】 (g)N1 学校 任对 第形码化脑区 拉级： 下零填涂 注 河中清片卡拉问，车认可春科 意 俯桃垃控 1级e多能上津性*为净温杆àe满电州属凸于心球家 品留晋 飞某车（口弹韩，不利快州的笔，月号：二车字体二然，七发请可 土销产特性程怎号在+姓型台船H山韩养图.起有时上纯利的日心 缺：☐ 地五W点.区各上.号音本题： 一，选择裹 1.可m回m 2回回回m1mm向回 21，解 4.D▣回回 5四回国① 6四国四回 二，填空题 【折展足律】 11 12. 13. 14 15 里4 16. 17. 18 三、解答题 替作齐题日的若随以城内作告，想由国色冠我边区统的各米无效 ■ ■ 请在名碧月们的随城峡内作梦，稻山可色为形边起雅过X的的案太数 时作各老日们咨划城内作梦，稻山对色知形边起州比区市答案十效 站在名墙日们容脑城城内作梦，稻山对包知形功鼎比的好茶七装 ■ 23.附： 24,解 25制 3 博7 0. 名用屑 第2页片2面 ■ ■1 图 1 嘉定区 2024学年第二学期九年级学业质量调研 数学试卷参考答案 一、1.B；2. D；3.A；4. D；5.C；6.C . 二、7. 4；8. )3)(3(  xx ；9. 8x ；10. 3x ；11. 1k ；12. 52  xy ；13.六； 14. 6 1 ；15. 240；16. 1；17. ab 3 2 3 1  ；18. 2 . 三、19．解： 01 )π14.3(2345cos412   ）（ 132 2 24 12 1    ）（ 1322212  323  20.（1）解： ①， 理由略 （2）解：去分母，得： 442 2  xx ， 整理，得： 022  xx ， 解得： 21 21  xx ， ， 检验：当 11 x 时， 04 2 x ；当 22 x 时， 04 2 x ， 可知 22 x 是增根，舍去. 所以，原方程的根是 1x ． 21. 解：（1）∵半径OB垂直于弦 AC，∴ AB BC ， ∵ 2CD AB ，∴ 1 3 AB BD ， ∴ BODAOB  3 1 ， ∵ AD是半圆O的直径，∴  180BODAOB ， ∴  45AOB （2）∵半径OB垂直于弦 AC，  45AOB ∴在 AEORt△ 中， AOEOAE 2 2  设 kEOAE  ，则 kAO 2 ∵ BOAO  ，∴ kBO 2 ∴ kBE )12(  在 BAERt△ 中，tan 12 BAC 22.【初步感知】（1）  36ABE 【实践探究】（2）如图 1所示，联结 CEBD、 相交于点M ，菱形 ABME为所求图形 证明：在正五边形 ABCDE 中，每个内角都相等且等于 108 ，每条边都相等. 可得 ABE△ ≌ CBD△ ，从而 CBDABE  ∵ ABAE  ，  108BAE ，∴  36AEBABE ，从而  36CBD . ∴  363636108CBDABEABCDBE 2 从而： DBEAEB  ，∴ BDAE∥ ， 同理可证： CEAB∥ .∴四边形 ABME为平行四边形， 又 ABAE  ，∴四边形 ABME为菱形. 【拓展延伸】（3）参考图形有：图 2或图 3，设计一种即可 23. 证明：（1）∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB //CD， AB CD ， ∵ AB //CD，∴ AM EM DM FM  ∵M 是边 AD的中点，∴ AM DM ∴EM MF ∵CE AB ，∴ 90CEB  ， ∵ AB //CD，∴ 90ECD CEB    ， 在 Rt ECF 中，∵M 是斜边EF 的中点，∴ 1 2 MC EF MF  ， ∴ F MCF   ∵ 2AD AB ， AB CD ，M 是边 AD的中点， ∴DM DC ，∴ DCM DMC   ， ∵ 2EMC F MCF F      ， ∴ 2EMC DMC   ； （2）∵ DCM DMC   ， F MCF   ，∴ F DMC   ， 又∵ DCM MCF   ，∴ CDM ∽ CMF ， ∴ CD CM CM CF  ， 即 2CM CD CF  ， ∵ AB CD ，∴ 2CM AB CF  ． 24. 解：（1）令 0y ，即 0322  aaxaxy ， ∵ 0a ，∴ 0322  xx ，解得： 11 x ， 32 x ， 由于点 A在点 B左侧，可得 )0,3(A ， )0,1(B ， 从而： 4AB ． （2）由 axaaaxaxy 4)1(32 22  ，可得： )3,0( aC  ， )4,1( aD  平移后的点 )44,2(  aE ， 方法 1：设直线 AD表达式： bkxy  ，把 A、D坐标代入      abk bk 4 03 ，解得      ab ak 6 2 ∴直线 AD表达式： aaxy 62  ． 当点 A、D、 E在同一直线时，把点 )44,2(  aE 代入直线 AD表达式 aaxy 62  ， 图 3图 2 3 解得： 3 2 a ． ∴抛物线 C1的表达式： 2 3 4 3 2 2  xxy ． 方法 2：借助图形，利用三角比或者相似，求出 3 2 a . （3）由（1）、（2）可知： )0,3(A ， )0,1(B ， )3,0( aC  ， )4,1( aD  设对称轴直线 1x 与 x轴的交点为点 F， 99SSSS  aCOBDFOCADFABCD △四边形△四边形 ，可得 1a ． 从而点 )3,0(C ，可得： 23AC 当△ ACP与△ ABC相似时，又点 P在 x轴上，只能是点 P在 A点右侧，∴ PACBAC  当 AC AC AB AP  时，点 P与点 B重合，不合题意. 当 AB AC AC AP  时，即 4 23 23  AP ，解得： 2 9 AP ． ∴点 P的坐标为（ 3 2 ，0）． 25. 解：（1）联结 AO并延长，交 BC于点H ， 在圆O中，∵ AB AC ，∴ AB AC ， 又∵ AH 过圆心O，∴ AH BC ，BH CH ， ∴ 1 2 BAH CAH BAC     ， ∵ BF AC ，∴ 90BFC  ，∵ 20CBF  ，∴ 70C  ， ……（1分） ∵ AB AC ，∴ 70ABC C    ， ∵ 180ABC C BAC    ，∴ 40BAC  ， ∴ 20BAO  ， ∵OA OB ，∴ 20BAO ABO    ， ∴ 70 20 20 30DBF ABC ABO CBF           ． （2）在 Rt BCF 中， 90BFC  ， sin BFACB x BC    ， 4 ∵ 2BC BH ，∴ 2 BF x BH  ， ∵ BOH OAB OBA    ， BAC OAB OAC    ，∴ BOH BAC   ， 又∵ AFB OHB   ，∴ AFB ∽ OHB ， ∴   2 22ABF OBH S BF x S BH         ， ∵ 2OBC OHBS S  ，∴ 22y x ； （3）联结 EC，∵BE为 O 直径，∴ BO OE ， 又∵ BH CH ，∴OH 是 BEC 的中位线，∴ 1 2 OH EC ，OH //CE， ∴ OD AO DE EC  ，∵点D是线段OE的黄金分割点，∴ 5 1 2 OD DE   或 5 1 2 DE OD   ， ①当 5 1 2 OD DE   时，∵OA OB ，∴ 2 2 5 1OB AO OD OH EC DE     ， ∵ BOH BAC   ，∴在 Rt OHB 中， 90OHB  ， ∴ 1 5 1cos cos 45 1 OHBAC BOH OB         ； ②当 5 1 2 OD DE   时，同理可得 5 1 2 2 4 OH EC DE OB AO OD     ， ∴ 5 1cos cos 4 OHBAC BOH OB       ， 综上所述， 5 1cos 4 BAC   ．