精品解析：2025年湖北省宜昌市兴山县中考一模数学试卷

2025年九年级4月模拟考试数学试题 本试卷共3大题24小题，满分120分，考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项：本试卷分试题卷和答题卷两部分，其中试题卷4页，答题卷4页；请将答案写在答题卷上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列有理数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图是由个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 计算：3x2·5x3的结果为（） A. 3x6 B. 15x6 C. 5x5 D. 15x5 5. 一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 打开电视正在播放新闻联播 C. 明天必定下雨 D. 李民的跳高成绩是10米 7. 我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．同马、牛各价几何？”设马价两，牛价两，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作交于点，连接，．则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 20 9. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线（a、c是常数且，）经过点．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 抛物线一定经过 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知，则锐角______ 12. 《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某校拟从这4部著作中选择1部作为校本课程学习内容，选中《周髀算经》的概率为_____． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当时，，那么当时，_____A． 14. 计算的结果是__________． 15. 在矩形ABCD（AB＜ BC）的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若∠CBE＝15°，则＝ ________； （2）如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，＝_________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 如图，在平行四边形中，点在上，且．求证：． 18. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上． 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用 测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角． 说明 A，B，C，D，E，R均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果精确到．参考数据：） 19. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图．分组：，，，． （1）组的人数为______： （2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 21. 如图，内接于为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． （1）直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 23. 如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______． （2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 24. 已知抛物线G：过点和点，直线l：过点，交线段于点D，记的周长为，的周长为，且． （1）求抛物线G的对称轴； （2）求直线l的解析式； （3）直线l绕点C以每秒的速度顺时针旋转t秒后得到直线，当时，直线交抛物线G于E，F两点． ①当第一次与平行时，求t的值； ②设的面积为S，若对于任意的，均有成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级4月模拟考试数学试题 本试卷共3大题24小题，满分120分，考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项：本试卷分试题卷和答题卷两部分，其中试题卷4页，答题卷4页；请将答案写在答题卷上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列有理数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小． 2. 如图是由个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左看行，找最大，即可得出答案． 【详解】解：左视图是从左边看到的平面图形，发现从左面看一共有两列，左边一列有个正方形，右边一列有个正方形， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 3. 如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平角的性质，利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：C． 4. 计算：3x2·5x3的结果为（） A. 3x6 B. 15x6 C. 5x5 D. 15x5 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式与单项式的乘法法则计算即可. 【详解】3x2·5x3= 15x5. 故选D. 【点睛】本题考查了单项式的乘法.单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 5. 一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照去括号，移项、合并同类项、化系数为1的步骤，即可求出x的取值范围，再把x的取值范围在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴数轴表示如下所示： 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 6. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 打开电视正在播放新闻联播 C. 明天必定下雨 D. 李民的跳高成绩是10米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类：必然事件、不可能事件和随机事件，熟记各个事件的定义，在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件；在一定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，根据三种事件的定义逐项验证即可得到答案，熟记必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，是必然事件，符合题意； B、打开电视正在播放新闻联播，是随机事件，不是必然事件，不符合题意； C、明天必定下雨，是随机事件，不是必然事件，不符合题意； D、李民的跳高成绩是10米，是不可能事件，不是必然事件，不符合题意； 故选：A． 7. 我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．同马、牛各价几何？”设马价两，牛价两，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“总价等于单价乘以数量”，结合“马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：设马价两，牛价两， 依题意得： 故选：A 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作交于点，连接，．则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由根据题意得是的垂直平分线，即可得，，然后由，可证得，继而证得四边形是菱形，根据勾股定理逆定理可得，所以，可得是的中位线，再根据三角形中位线定理求出，进而求出菱形的周长． 【详解】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，等边等对角，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理． 9. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即， 故选：A． 10. 抛物线（a、c是常数且，）经过点．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 抛物线一定经过 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性及性质可进行排除选项． 【详解】解：由抛物线可知：对称轴为直线，且抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另外一个交点横坐标为，即坐标为，故D正确； ∴，故C错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴，故A正确； 故选C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知，则锐角______ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角函数值求角的度数．根据特殊角的三角函数值，，且为锐角，因此． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴． 故答案为：． 12. 《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某校拟从这4部著作中选择1部作为校本课程学习内容，选中《周髀算经》的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键；因此此题可根据概率公式直接进行求解． 【详解】解：从这4部著作中选择1部作为校本课程学习内容，共有4种可能性，所以选中《周髀算经》的概率为； 故答案为． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当时，，那么当时，_____A． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设，把时，代入得：， ∴， 把代入得：； 故答案为2． 14. 计算的结果是__________． 【答案】1 【解析】 【详解】分析：利用同分母分式的减法法则计算，分子整理后分解因式，约分即可得到结果． 详解：原式 故答案为1. 点睛：本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 15. 在矩形ABCD（AB＜ BC）的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若∠CBE＝15°，则＝ ________； （2）如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，＝_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得BF=BC，∠AFB=2∠CBE=30°，从而可得BC=2AB，即可得结果； （2）过N作NG⊥BF于点G，则易得AN=GN，AB=BG，△NFG∽△BFA，由对应边成比例可得BG=2NG，设AN=a，FD=b，则在Rt△NFG中，由勾股定理可得a，b的关系，从而可求得结果． 【详解】（1）根据折叠的性质，得BF=BC，∠FBE=∠CBE=15° ∴∠FBC=∠FBE+∠CBE=30° ∵四边形ABCD是矩形 ∴BC∥AD ∴∠AFB=∠FBC=30° ∵∠A=90° ∴BF=2AB ∴BC=2AB ∴ 故答案为： （2）过N作NG⊥BF于点G，如图 ∵BM平分∠ABF，AD⊥AB，NG⊥BF ∴AN=GN ∵BN=BN ∴Rt△ABN≌Rt△GBN ∴BG=AB ∵∠NGF=∠A=90°，∠NFG=∠BFA ∴△NGF∽△BAF ∴ ∵NF=AN+FD ∴AD=BC=2NF ∴AB=2GN 设AN=GN=a，FD=b，则NF=a+b，AB=2a，AD=BF=BC=2a+2b ∴FG=BF-BG=2b 在Rt△NFG中，由勾股定理得： 即 即 ∴BC= ∴ 故答案为:． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质及折叠的性质是解决本题的关键所在． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在平行四边形中，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，证明，，进而证明，根据即可证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定及性质，解题的关键是综合利用平行四边形的性质和三角形全等来解决线段相等的证明． 18. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上． 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用 测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角． 说明 A，B，C，D，E，R均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解直角三角形的应用，理解题意，弄清线段间的数量关系，直角三角形中的边角关系是解题的关键． 方案一：可利用，利用相似三角形的性质求出，进而求出； 方案二：在中求出，在中求出，进而求出． 【详解】解：方案一：由题意，， ， ， 解得 ， 答：教学楼的高约为； 方案二：由题意，可知， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 答：教学楼的高约为； 19. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图．分组：，，，． （1）组的人数为______： （2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 【答案】（1）12 （2）180 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）先根据C组人数除以所占百分比求出总人数，再减去B，C，D组人数即可得A的人数； （2）求出C，D组人数在样本中所占百分比，再乘以400即可得答案； （3）根据众数、中位数、平均数的意义进行解答即可． 【小问1详解】 解：（人）， A组人数为：（人）， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人； 【小问3详解】 解：从A，B，C，D组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B组， 说明B组靠后的成绩处于中等水平； 由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）解集是或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得m、a、b值，进而利用待定系数法求解即可； （2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数与x轴相交于点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴，， ∴，， ∵点在反比例函数图象上的点， ∴， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， ∴不等式的解集是或． 21. 如图，内接于为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，先证明，再由旋转性质及平行线性质得到，由切线的判定即可得证； （2）由等腰直角三角形的判定与性质求出相关角度与边长，间接表示出不规则的图形面积，最后由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ， ， ， ∵将沿所在的直线翻折，得到， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， 由（1）知， ， 则， 即为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂直定义、等腰三角形性质、翻折性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、不规则面积的求法、扇形面积公式等知识，熟记圆的相关性质、基本几何性质是解决问题的关键． 22. 九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． （1）直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1） （2）能， （3）时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． 【小问3详解】 解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 23. 如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______． （2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 【答案】（1）12 （2）猜想：，理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得△ABE≌△ADM， 易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．则可得MN+CM+CN=2BC，从而可求得正方形的边长； （2）过点D作DP⊥DF，且DP=BE，连接PF、AP，可证明△APD≌△AEB，则可得AP=AE，∠EAP=90°；再证明△APF≌△AEF，可得EF=FP，在Rt△PDF中，由勾股定理即可得三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系； （3）把矩形ABCD补成正方形AEFD，延长AN交EF于G，连接GN．由△ABN∽△AEG，可求得EG、FG的长，设DM=x，则可得FM，由（1）的证明知，GM=EG+DM，由勾股定理建立方程即可求得x的值，即DM的长． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°． 由旋转得：△ABE≌△ADM， ∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠EAB=∠MAD． ∴∠ABE+∠ABC=180°． ∴E、B、N在同一直线上． ∵∠MAN=45°，∠BAD=90°， ∴∠BAN+∠MAD=45°． ∴∠BAN+∠EAB=45°． 即∠EAN=45°． ∴∠EAN=∠MAN． 在△ANM与△ANE中 ， ∴△ANM≌△ANE． ∴MN=EN． ∵EN=BE+BN=DM+BN， ∴MN=DM+BN． ∴MN+CM+CN=DM+BN+CM+CN=CD+BC=2BC． 在Rt△CMN中，由勾股定理得：， ∴10+8+6=2BC． ∴BC=12． 故答案为：12． 【小问2详解】 三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系为； 理由如下： 如图②，过点D作DP⊥DF，且DP=BE，连接PF、AP．　 则∠PDA+∠ADF=∠ADF+∠NDM=90°． ∴∠PDA=∠NDM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BN∥DM． ∵BN=DM， ∴四边形BNDM是平行四边形． ∴∠EBA=∠NDM． ∴∠PDA=∠EBA． 在△APD与△AEB中 ， ∴△APD≌△AEB． ∴AP=AE，∠PAD=∠EAB． ∵∠EAP=∠EAD+∠PAD=∠EAD+∠EAB=∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠PAF=∠EAF=45°． 在△APF与△AEF中 ， ∴△APF≌△AEF． ∴EF=FP． 在Rt△PDF中，由勾股定理得：， 即． 【小问3详解】 如图③，把矩形ABCD补成正方形AEFD，延长AN交EF于G，连接GN，则AE=EF=DF=AD=8． ∵四边形ABCD是矩形， ∴BN∥EG． ∴△ABN∽△AEG． ∴． ∴． ∴． 设DM=x，则FM=DF−DM=8−x， ∵四边形AEFD是正方形，∠GAM=45°， ∴由（1）的证明知，． 在Rt△GMF中，勾股定理得：， 即， 解得：x=4 即DM的长为4． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，综合性较强，证明三角形全等及由勾股定理得出方程是关键． 24. 已知抛物线G：过点和点，直线l：过点，交线段于点D，记的周长为，的周长为，且． （1）求抛物线G的对称轴； （2）求直线l的解析式； （3）直线l绕点C以每秒的速度顺时针旋转t秒后得到直线，当时，直线交抛物线G于E，F两点． ①当第一次与平行时，求t的值； ②设的面积为S，若对于任意的，均有成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式． 【答案】（1） （2） （3）①9秒；②， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解析式及对称轴公式可进行求解； （2）设抛物线对称轴与直线交于点H，由题意易得，则有，然后可得，则，然后问题可求解； （3）①由题意可知该直线和x轴的夹角为，然后根据旋转的性质可进行求解； ②由题意可得，，设点E、F的横坐标为p，q，即是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，然后根据配方法可进行求最值，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：由抛物线可得： 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：如图，设抛物线对称轴与直线交于点H， 由题意可知：点A、B关于对称轴对称， ∴， 直线l：过点，则有①， ∵， 即，，即， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴②， 联立①②可得：， ∴直线l的解析式为的； 【小问3详解】 解：由（2）可知：当时，一次函数的表达式为：， ①当时，则有，当时，， ∴该一次函数与x轴、y轴的交点坐标分别为， ∴该直线与x轴、y轴所围成的三角形是等腰直角三角形， ∴该直线和x轴的夹角为， ∴当第一次与平行时，如图， ∴(秒)； ②则， 由， 即， 设点E、F的横坐标为p，q，即是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 则， ∴，当且仅当时，等号成立， 若对于任意的，均有成立， ∴k的最大值为：， 此时， ∴抛物线的表达式为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数的对称性及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的对称性及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $