精品解析：甘肃省靖远县第二中学2025届高三下学期高考模拟测试数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法求解即可. 【详解】，解得. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次不等式求解及三次函数值域，由交集运算即可求解. 【详解】， ， 所以. 故选：D 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为向量，则， 则. 故选：A. 4. 已知两个不同的平面，一条直线，下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由空间线面位置关系及向量法逐个判断即可. 【详解】设平面的法向量分别为，直线的方向向量为， 对于A：若，则或，错误； 对于B：若，则，所以，所以，正确； 对于C：由，可得，所以，所以，正确； 对于D：由，可得：，，所以，所以，正确， 故选：A 5. 已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将图分为八部分，通过切割的思想即可得结果. 【详解】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 7. 已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆和双曲线的基本性质，并利用离心率定义列出关系式，利用函数求出最值即可. 【详解】设椭圆的焦点为，双曲线的焦点为， 根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知， 两曲线位于第一象限的公共点为， 则， 所以， 所以， 即， 当且仅当时取等号. 故选：A 8. 设函数，则的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成函数和函数在上交点个数，在同一坐标系中作出图象，数列结合，即可求解. 【详解】因为，易知定义域为， 显然当时，，所以时，无零点， 故只需考虑的情况，由，得， 即，且， 由，得到，即， 又，得， 令，， 如图，在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象， 由图知，两个函数的图象在上有三个公共点，所以有三个零点， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某汽车公司为了宣传两款新能源汽车，邀请8名业内人士试驾，就新款汽车的驾乘感受进行评分，最高分数为10分.试驾结束后，评分如下表： A 9.9 9.5 9.6 9.4 9.7 9.8 9.9 9.7 B 9.7 9.5 9.8 9.7 9.7 9.9 9.8 9.6 下列说法正确的是（ ） A. A，B两款汽车评分数据的众数相同 B. A，B两款汽车评分数据的中位数相同 C. 若将评分数据乘以10，则新数据的方差为原数据的方差的10倍 D. A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差小于原数据的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】由众数、中位数、方差、极差的计算公式逐个判断即可. 【详解】对于A选项，易知B款汽车评分数据的众数为， A款汽车评分数据众数为，所以A错误； 对于B选项，易得两组数据的中位数均为9.7，所以B正确； 对于C选项，由方差计算性质，新数据的方差为原数据的方差的100倍，所以C错误； 对于D选项，A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 在区间上单调递减 C. 的图象上不存在关于对称的两点 D. 当的极小值大于时，的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，确定函数的单调区间，进而可判断ABD，由解方程可判断C. 【详解】令，因为， 所以有两个不同实数解，不妨假设，则. 易知的单调增区间是，减区间是 对于A选项，由单调性可知为极大值点，为极小值点，所以A正确； 对于B选项，由， 的解集为，其中， 所以当时，，所以在区间上单调递减，所以B正确； 对于C选项，令，即，解得，故存在关于对称的点，所以C错误； 对于D选项，由的极小值大于和， 由其单调性可知：在上恒成立， 则， 令， 则， 令，可得， 由其单调性已知：时，在单调递减， 当时，在单调递增， 所以， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 11. 某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D. 当点的坐标为时，随着的增大而增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用定义以及解关于的不等式即可；B 找特殊位置即时；C利用基本不等式求证，若点不在坐标轴上时，即可结合椭圆定义判断；D先得，再利用化简，令，即可化简为关于的方程，再构造函数，通过求导，研究其单调性即可. 【详解】对于A选项，由题意可知，则， 因，所以， 解得，故A正确； 对于B选项，当时，，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立， 所以若点不在坐标轴上时，，此时点在椭圆的外部， 故C正确； 对于D选项，由，得， 因，， 则，即， 所以， 即， 令， 则， 令，则， 则当增大时，中也增大，即随着的增大而增大，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆台，其上底面圆的直径为2，下底面圆的直径为8，母线长为5，则该圆台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出圆台的高，再利用圆台的体积计算公式计算即可. 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 13. 某公司有5名员工要去参加三项工作，每项工作都至少需要一人参加，且每人的精力只够参加一项工作，一共有__________种不同的安排方案. 【答案】150 【解析】 【分析】排列组合中的分组分配问题，5名员工分成三组只能是或，然后由排列组合的计数方法求解即可. 【详解】根据题意按每项工作人数分类，则只能是或， 这是一个部分均分问题，所以总的安排方案种数为. 故答案为： 14. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将替换成，再让两式相减可得，对条件进行平行后两式相加即可求的值. 【详解】因为①， 所以 由题意可化简②， ①-②可得，所以. 又③，④， ③+④可得，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：. （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设正方体的棱长为2， 则， 可得， 由 ， 所以，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量，结合 ，即可证得； （2）由（1）知：向量，再求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 则，故直线与平面所成角的余弦值为. 【点睛】 16. 已知的内角的对边分别为. （1）求； （2）求的面积； （3）求的值. 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系及正弦定理计算求解； （2）应用余弦定理计算得出，再根据面积公式计算； （3）应用两角和正弦公式计算得出，再根据同角三角函数关系得出余弦值最后根据两角差余弦公式计算. 【小问1详解】 在中，因为，所以， 由正弦定理，得. 【小问2详解】 由余弦定理，及， 得，解得， 故的面积为. 【小问3详解】 在中，因为，所以为钝角，为锐角， 所以， 所以， ， 则. 17. 已知抛物线为上一动点，且点与点之间的最小距离为. （1）求抛物线的方程； （2）连接并延长交抛物线于另一点，若（是原点），求点的横坐标. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设，由两点间距离公式结合二次函数最值计算可求解； （2）设，联立抛物线方程，结合韦达定理得到，进而可求解. 【小问1详解】 设点，则 令， 若，则恒成立，，舍去； 若，则当时，，解得或（舍去）. 综上，可知抛物线的方程为. 【小问2详解】 由题意可设，联立抛物线方程， 消去可得：， 设点的坐标为的坐标为， 则，则， 所以，所以. 又，由， 所以， 由， 得， 故点的横坐标为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在上单调递增，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3） 因为，所以要证， 只需证， 令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令， 则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数.再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）由，将问题转化成，构造函数，确定其在上单调递增.进而转化成恒成立，进而可求证. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令， 则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以只需，又， 故. 【小问3详解】 略 19. 设数列的前项和为，若存在实数，使得点位于平面直角坐标系上以原点为圆心，半径为的圆内（含边界），则称数列具有“圆性质”. （1）设数列是首项与公比均为的等比数列，证明：数列具有“圆性质”. （2）若各项均为非负整数的数列具有“圆性质”，证明：数列中非零的项数不超过. （3）设随机变量等可能地取，且不同的的取值是相互独立的.对于正整数，定义数列：前项为，从第项起各项均为0.记数列具有“圆性质”的概率为，证明：对任意正整数. 【答案】（1） 由题意，， 所以，所以数列具有“圆性质”. （2） 因为具有“圆性质”，所以. 设数列中有项是非零的，记为. 因为中各项均为非负整数，所以， 所以， 所以，从而，因此，数列中非零的项数不超过. （3） 当各项均为整数的数列具有“圆性质”时，，则. 设，记事件表示数列具有“圆性质”且. 因为为互斥事件，所以 并且， ， ， 由题意得，其中， 所以，① ，② .③ 由②得. 当时，数列一定具有“圆性质”，于是，且. 由①②③得，所以. 当时，将①②③相加可得 . 由于，所以当时，. 当时，由和，知上式也成立. 从而当时，. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列求和公式计算证明即可； （2）应用新定义计算证明； （3）结合函数新定义数列具有“圆性质计算证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个不同的平面，一条直线，下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 设函数，则的零点个数为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某汽车公司为了宣传两款新能源汽车，邀请8名业内人士试驾，就新款汽车的驾乘感受进行评分，最高分数为10分.试驾结束后，评分如下表： A 9.9 9.5 9.6 9.4 9.7 9.8 9.9 9.7 B 9.7 9.5 9.8 9.7 9.7 9.9 9.8 9.6 下列说法正确的是（ ） A. A，B两款汽车评分数据的众数相同 B. A，B两款汽车评分数据的中位数相同 C. 若将评分数据乘以10，则新数据的方差为原数据的方差的10倍 D. A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差小于原数据的极差 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 在区间上单调递减 C. 的图象上不存在关于对称的两点 D. 当的极小值大于时，的取值范围为 11. 某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D. 当点的坐标为时，随着的增大而增大 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆台，其上底面圆的直径为2，下底面圆的直径为8，母线长为5，则该圆台的体积为__________. 13. 某公司有5名员工要去参加三项工作，每项工作都至少需要一人参加，且每人的精力只够参加一项工作，一共有__________种不同的安排方案. 14. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：. （2）求直线与平面所成角的余弦值. 16. 已知的内角的对边分别为. （1）求； （2）求的面积； （3）求的值. 17. 已知抛物线为上一动点，且点与点之间的最小距离为. （1）求抛物线的方程； （2）连接并延长交抛物线于另一点，若（是原点），求点的横坐标. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在上单调递增，求的取值范围； （3）证明：当时，. 19. 设数列的前项和为，若存在实数，使得点位于平面直角坐标系上以原点为圆心，半径为的圆内（含边界），则称数列具有“圆性质”. （1）设数列是首项与公比均为的等比数列，证明：数列具有“圆性质”. （2）若各项均为非负整数的数列具有“圆性质”，证明：数列中非零的项数不超过. （3）设随机变量等可能地取，且不同的的取值是相互独立的.对于正整数，定义数列：前项为，从第项起各项均为0.记数列具有“圆性质”的概率为，证明：对任意正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $