精品解析：2025年天津市滨海新区中考一模数学试题

2025年滨海新区九年级数学学业质量调查试卷（一） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 8 C. D. 6 2. 估计的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 3. 2025年3月21日发布的《2024年天津市国民经济和社会发展统计公报》显示我市人均地区生产总值132143元，将数据132143用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 在一些美术字中，有汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连接AD，当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ） A. ∠ABC=∠DCE B. CB=CD C. DE+DC=BC D. AC⊥CD 11. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 12. 不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 13. 计算（－2a3）2的结果等于_____ 14. 计算结果等于_______． 15. 若一次函数（为常数）的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是__________．（写出一个即可）． 16. 如图，正方形的边长为6，点M为边上一点，过点M作交于点N，且，连接． （1）长为________； （2）若点F为的中点，连接，则的长为________． 17. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，O为格点，经过格点A． （1）半径的长为________； （2）在如图所示网格中，B，C为上两点，P为一格点，请利用无刻度直尺，确定点P，B，C的位置，使四边形为菱形，且满足，并简要说明点P，B，C的位置是如何确定的（不要求证明）________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 18. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________： （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 19. 浓情端午浸润书香，某校为了了解学生每天课余阅读时长（单位：），随机抽查了该校a名学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为________，图①中m的值为________； （2）求统计的这组学生阅读时长数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，若该校共有学生1200名，估计该校学生中阅读时长不少于的学生人数约为多少？ 20. 已知，为的直径，弦，连接，，． （1）如图①，求和的度数； （2）如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长． 21. 综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学知识要测量一把椅子的高度．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面示意图，椅子高为，椅面宽为，椅脚高为，点A，B，C依次在同一条直线上，且，，，从点A测得点D，E的俯角分别为和．已知，求椅子的高度（结果取整数）．参考数据：，． 22. 已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 86 （2）填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________； （3）当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式． 23. 在平面直角坐标系中，O原点，四边形中，且，，点，点E在y轴正半轴上，且． （1）填空：如图①，点E的坐标为________，点B的坐标为________； （2）将沿x轴水平方向向右平移，得到，点D，O，E的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与交于点G，边与交于点H，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． （1）若． ①求点P和点B的坐标； ②点D为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标； （2）点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年滨海新区九年级数学学业质量调查试卷（一） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2. 估计的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】找到与接近的两个连续的有理数，进而分析得出答案． 【详解】解：∵，即：， ∴的值在4和5之间， 故选C． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，正确得出与无理数接近的两个连续的整数是解决此类型题目的关键，“无限逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法． 3. 2025年3月21日发布的《2024年天津市国民经济和社会发展统计公报》显示我市人均地区生产总值132143元，将数据132143用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将132143写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解： ． 故选B． 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，立体图形的主视图为：第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形． 故选：D． 5. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：选项A、B、C不是轴对称图形，选项D是轴对称图形． 故选D． 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的运算，掌握常见特殊角的三角函数值成为解题的关键． 将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象上分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 点在第四象限，， 点，在第二象限，且， ∴， ∴， 故选：A． 9. 若，是方程两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后再运用分式的加减运算法则计算，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程两个根， ∴， ∴． 故选A． 10. 如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连接AD，当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ） A. ∠ABC=∠DCE B. CB=CD C. DE+DC=BC D. AC⊥CD 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，△ABC≌△DEC， ∴∠ABC=∠DEC， 在△DEC中，∠DEC不一定等于∠DCE， ∴∠ABC=∠DCE不一定正确；选项A不符合题意； 由旋转知CB=CE， 在△DEC中，CE＞DE+CD， ∴CB=CE＞CD，选项B不符合题意； ∴BC＞DE+DC，选项C不符合题意； ∵∠EDC=∠BAC=135°，且A、D、E三点在同一直线上， ∴∠ADC=45°， 由旋转的性质知CA=CD， ∴∠CAD=∠ADC=45°， ∴△ADC中，∠ACD=180°-45°-45°=90°， ∴AC⊥CD，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的三边关系以及等腰三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题关键． 11. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别求出时的的值，时的的值以及二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； ∴此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；故①正确； 当时，，解得：或； ∴此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；故②正确； ∵， ∴当时，有最大值为：；故③错误； 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 12. 不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的公式，根据概率=所求情况数与总情况数之比即可求得答案． 【详解】解：∵不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个绿球， ∴从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是． 故答案为：． 13. 计算（－2a3）2的结果等于_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方公式即可计算. 【详解】（－2a3）2= 【点睛】此题主要考查积的乘方公式，解题的关键是熟知积的乘方公式. 14. 计算的结果等于_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得． 详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查二次根式的混合运算． 15. 若一次函数（为常数）的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是__________．（写出一个即可）． 【答案】2（b＞0的任意实数） 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， k＝−2， ∴b＞0， ∴b＞0的任意实数． 故答案为：2．（b＞0的任意实数） 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数与坐标轴的交点特点及其增减性是解答此题的关键． 16. 如图，正方形的边长为6，点M为边上一点，过点M作交于点N，且，连接． （1）的长为________； （2）若点F为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据正方形的性质，得到为等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的长即可； （2）过点作，易得为等腰直角三角形，求出和的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：； （2）过点作，则：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 17. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，O为格点，经过格点A． （1）半径的长为________； （2）在如图所示网格中，B，C为上两点，P为一格点，请利用无刻度直尺，确定点P，B，C的位置，使四边形为菱形，且满足，并简要说明点P，B，C的位置是如何确定的（不要求证明）________． 【答案】 ①. ②. 取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足 【解析】 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）如图：取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足． 【详解】解：（1）：如图：； （2）如图，取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足． 由作图可知：为的中点，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故四边形即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、 菱形的判定、圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 18. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________： （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集、根据数轴确定不等式组的解集等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据移项、合并同类项即可解答； （2）先根据移项、合并同类项，再根据不等式的性质系数化为1即可解答； （3）将（1）（2）所的到的解集表示到数轴上即可； （4）根据（3）的数轴直接写出不等式组的解集即可 ． 【小问1详解】 解：， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 【小问4详解】 解：由（3）可得：该不等式组的解集为． 19. 浓情端午浸润书香，某校为了了解学生每天课余阅读时长（单位：），随机抽查了该校a名学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为________，图①中m的值为________； （2）求统计的这组学生阅读时长数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，若该校共有学生1200名，估计该校学生中阅读时长不少于的学生人数约为多少？ 【答案】（1）75，16 （2）40，50，40 （3）768人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、众数、中位数、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）用阅读20的学生数除以其所占的百分比即可解答；求出阅读20所占的百分比即可解答； （2）根据平均数、众数、中位数的定义求解即可； （3）用学生乘以、所占的百分比的和即可解答． 【小问1详解】 解：a的值为， 阅读所占的百分比为：，即． 故答案为：75，16． 【小问2详解】 解：观察条形统计图． 这组学生阅读时长数据的平均数； 在这组数据中，50出现了24次，出现的次数最多， 这组数据的众数是50． 将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的数是40． 这组数据的中位数是40． 故答案为：40，50，40． 【小问3详解】 解： ． 答：估计该校学生中每天课余阅读时长不少于的人数约为768人． 20. 已知，为的直径，弦，连接，，． （1）如图①，求和的度数； （2）如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）在中，为直径，，则，，由三角形外角的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）连接，可得，，在中，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：在中，为直径，， ∴， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图②，连接， 由（1）得，， 为的切线， ， ， 为的直径， 在中，， ， 在中，， ， ． 21. 综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学知识要测量一把椅子的高度．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面示意图，椅子高为，椅面宽为，椅脚高为，点A，B，C依次在同一条直线上，且，，，从点A测得点D，E的俯角分别为和．已知，求椅子的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，先证明四边形是矩形，得到，，分别解和，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：， ． ， ． ， ． 四边形是矩形． ，． 在中，由题意，得：， ∴， ． 在中，， ． ∵， ∴， 解得：． 答：椅子高度约为． 22. 已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 86 （2）填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________； （3）当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式． 【答案】（1）100，86 （2）64，2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，从图像中获得所需信息是解题关键． （1）先求出小张前的速度，然后求出小张时，离B地的距离，最后根据图像得出时，离B地的距离，即可获得答案； （2）根据图像求出A地到汽修厂的距离即可；根据图像求出小张从汽修厂出发到B地的速度即可； （3）根据函数图像，分两种情况：当时，当时，分别求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，小张前的速度为： ， 则时，小张离B地的距离为： ； 由图像可知，当小张离开A地时，距离B地， 填表如下： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 100 86 86 【小问2详解】解：根据图像得：A地到汽修厂的距离为； 小张从汽修厂出发到B地的速度为： ； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知：当时，小张离B地的距离为， 因此当时，； 当时， 设小张离B地的距离关于时间的函数解析式为， 将点、代入， 可得， 解得， ∴此时． 综上所述，小张离B地的距离关于时间的函数解析式为： ； 23. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形中，且，，点，点E在y轴正半轴上，且． （1）填空：如图①，点E的坐标为________，点B的坐标为________； （2）将沿x轴水平方向向右平移，得到，点D，O，E的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与交于点G，边与交于点H，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数可得，可得，如图，过作于，过作于，而，证明四边形为矩形，进一步解答可得； （2）①如图，过作于，过作于，而，求解，，证明四边形为平行四边形；求解， ；再进一步可得答案； ②分情况讨论：当时，重叠部分的面积如图所示；当时，重叠部分的面积如图所示：当时，重叠部分如图②，当时，重叠部分的面积如图所示：再进一步的利用数形结合的方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵点，点E在y轴正半轴上，且， ∴， ∴； 如图，过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，过作于，过作于，而， 同理可得：，， 在中，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； ②当时，重叠部分的面积如图所示； 结合（1）可得：， ∴， ∵， ∴； 当时，重叠部分的面积如图所示： 同理：，而， ∴是的中点，而， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，重叠部分如图②， 由①可知，； 对称轴为直线， 此时随的增大而减小； 当时，，当时，， ∴； 当时，重叠部分的面积如图所示： ∵， ∴为等边三角形， 此时， ∴， 过作于， ∴，， ∴， 当时，，当时，， ∴； 综上：； 【点睛】本题考查动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 24. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． （1）若． ①求点P和点B的坐标； ②点D为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标； （2）点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①根据的值，求出的值，待定系数法求出函数解析式，进而求出点P和点B的坐标即可；②求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点E为，F为，分别求出，将转化为二次函数求最值即可； （2）作轴于点H，轴于点N，取点，连接，证明，得到点M在直线上运动，证明，得到，进而得到则的最小值即是的最小值，作点G关于直线的对称点，得到当P，M、三点共线时，的值最小，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ， 则抛物线的解析式为， 把代入上式得， ， 则点P的坐标为． 令，解得，， 点B的坐标为． ②， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， 直线的解析式为 设点D的坐标为，则点E为，F为， 则，， ， ， ，则， ∴当时，取最大值， 故当取最大值时，点D横坐标为． 【小问2详解】 作轴于点H，轴于点N，取点，连接． ，， ， ，， ； ，， ． 点M在直线上运动， ，，， ， ， 则的最小值即是的最小值． 作点G关于直线的对称点． 当P，M、三点共线时，的值最小． 即 ， 顶点P为， 则，解得，（舍）， 则． 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线解析式为，令，则， ， ． 综上：， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $