专题11.8 一元一次不等式（组）的应用（2大知识点3大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.8 一元一次不等式（组）的应用（2大知识点3大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】列一元一次不等式解应用题的一般步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题中的关键字眼，如 “大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多”“超过”“不足” 等； 设：设出适当的未知数，一般求什么就设什么为，但有时也可以间接设未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式，求出不等式的解集； 验：检验所得的解集是否符合题意，是否符合实际情况； 答：写出答案，包括单位名称。 【知识点2】列一元一次不等式组解应用题的一般步骤 审：分析题目中的已知条件和问题，找出其中的不等关系。 设：设未知数，可直接设或间接设。 列：根据不等关系列出不等式组，一般有几个不等关系就列几个不等式。 解：分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共解集。 验：检验解集是否符合实际意义，比如人数不能为负数、商品数量应为整数等。 答：写出答案，注意回答要完整、准确。 【题型目录】 【考点一】一元一次不等式的应用 【题型1】列一元一次不等式...............................................................2 【题型2】用一元一次不等式解决实际问题...................................................4 【题型3】用一元一次不等式解决几何问题...................................................5 【考点二】一元一次不等式组的应用 【题型4】不等式组的行程问题.............................................................8 【题型5】不等式组的工程问题............................................................10 【题型6】不等式组的经济问题............................................................12 【题型7】不等式组的分配问题............................................................14 【题型8】不等式组的方案选择问题........................................................16 【题型9】不等式组的阶梯收费问题........................................................19 【题型10】一元一次不等式组的其他应用...................................................21 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型11】链接中考.....................................................................23 【题型12】拓展延伸.....................................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】一元次不等式的应用 【题型1】列一元一次不等式 【例1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜、负（没有平场），甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？设甲队胜了x场，则下列不等式正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元／件，售价为400元／件，现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于的情况下，打折，则下列说法正确的是（    ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款羽绒服可以打7.5折 D．该款羽绒服最多打7.7折 【变式2】（23-24七年级下·吉林四平·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则下列说法中正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④杯子中仅放入8个小玻璃球，水一定不会溢出． 【题型2】用一元一次不等式解决实际问题 【例2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分旧城区进行改造，在改造施工现场有大量的建筑垃圾需要运输出去，某车队有载重量为7吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则购进载重量为10吨的卡车至少多少辆？    【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某商品进价为350元，出售时标价为550元，由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（    ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是 ． 【题型3】用一元一次不等式解决几何问题 【例3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． （1） ．（用含m的代数式表示） （2）当时，求m的最小值． 【变式1】（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【考点二】一元次不等式组的应用 【题型4】不等式组的行程问题 【例4】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ． 【变式1】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图1的标志表示机动车驶入前方道路之后的最低时速限制，即要求在前方路况良好的情况下，机动车最低时速不得低于50千米/小时；如图2的标志表示机动车驶入前方道路之后的最高时速限制，即机动车行驶的最高时速不得超过70千来/小时．若在公路上同时看到上述两个标志，且前方路况良好的情况下，机动车行驶速度（v）的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过 秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 【题型5】不等式组的工程问题 【例5】（22-23七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． （1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ （2）已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【变式1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． （1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ （2）已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【题型6】不等式组的经济问题 【例6】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． （1）求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 【题型7】不等式组的分配问题 【例7】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【题型8】不等式组的方案选择问题 【例8】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件． （1）求A、B型号衣服进价各是多少元？ （2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． （1）有哪几种加工方案？ （2）如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元． （1）求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？ （2）经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你规划一下有哪几种购买方案？ 【题型9】不等式组的阶梯收费问题 【例9】（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … （1）小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； （2）小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 【变式1】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x干米，则x的范围是 ． 【变式2】（21-22七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 （1）该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? （2）刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【题型10】一元一次不等式组的其他应用 【例10】（24-25八年级下·山东青岛·期中）某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高米，气温下降，现测得山脚下的气温为，问该植物种在山上的哪一部分为宜如果设该植物种植在海拔高度为米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带瓶，则剩余瓶；若每人带瓶，则有个人带了矿泉水，但不足瓶．这家人参加登山的人数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【考点三】一元次不等式组的应用 【题型11】链接中考 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【例2】（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【题型12】拓展延伸 【例1】（22-23八年级下·重庆江北·期中）某工厂为扩大生产规模，决定分三批采购A，B，C三种型号的设备，以加大生产力度，已知B型设备的单价是A型设备单价的2倍．第一批购进A，B，C三种设备的数量分别为10台，10台，15台，第二批购进A，B，C三种设备的数量分别比第一批对应数量增加了，采购总价比第一批采购总价提高了，第三批购进三种设备的总数量是第一批的倍，其中采购C型设备的数量最多，采购A型设备的数量最少，同时第三批的采购总价是第二批采购总价的倍，则该工厂第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是 ． 【例2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.8 一元一次不等式（组）的应用（2大知识点3大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】列一元一次不等式解应用题的一般步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题中的关键字眼，如 “大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多”“超过”“不足” 等； 设：设出适当的未知数，一般求什么就设什么为，但有时也可以间接设未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式，求出不等式的解集； 验：检验所得的解集是否符合题意，是否符合实际情况； 答：写出答案，包括单位名称。 【知识点2】列一元一次不等式组解应用题的一般步骤 审：分析题目中的已知条件和问题，找出其中的不等关系。 设：设未知数，可直接设或间接设。 列：根据不等关系列出不等式组，一般有几个不等关系就列几个不等式。 解：分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共解集。 验：检验解集是否符合实际意义，比如人数不能为负数、商品数量应为整数等。 答：写出答案，注意回答要完整、准确。 【题型目录】 【考点一】一元一次不等式的应用 【题型1】列一元一次不等式...............................................................2 【题型2】用一元一次不等式解决实际问题...................................................4 【题型3】用一元一次不等式解决几何问题...................................................5 【考点二】一元一次不等式组的应用 【题型4】不等式组的行程问题.............................................................8 【题型5】不等式组的工程问题............................................................10 【题型6】不等式组的经济问题............................................................12 【题型7】不等式组的分配问题............................................................14 【题型8】不等式组的方案选择问题........................................................16 【题型9】不等式组的阶梯收费问题........................................................19 【题型10】一元一次不等式组的其他应用...................................................21 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型11】链接中考.....................................................................23 【题型12】拓展延伸.....................................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】一元次不等式的应用 【题型1】列一元一次不等式 【例1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜、负（没有平场），甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？设甲队胜了x场，则下列不等式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出不等关系，列出不等式求解．设甲队胜了x场，根据题意列出不等式即可． 解：设甲队胜了x场， 则， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元／件，售价为400元／件，现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于的情况下，打折，则下列说法正确的是（    ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款羽绒服可以打7.5折 D．该款羽绒服最多打7.7折 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据保证利润率（利润率）不低于的情况下，打折，列出不等式进行求解即可． 解：由题意，得：． 解不等式得， 最多打7.7折． 故选D． 【变式2】（23-24七年级下·吉林四平·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则下列说法中正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④杯子中仅放入8个小玻璃球，水一定不会溢出． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查的是一元一次方程及一元一次不等式的应用，解此类题目的关键是读懂图意，找出相等关系和不等关系列方程及不等式．由体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，得，判断①；由装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，得从而，判断②和③；由，可判断④． 解：∵体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，故①错误； ∴， ∵装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为， ∴， ∴ ∴，故②错误，③正确； ∵ ∴ ∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出；故④正确； 故答案为：③④． 【题型2】用一元一次不等式解决实际问题 【例2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分旧城区进行改造，在改造施工现场有大量的建筑垃圾需要运输出去，某车队有载重量为7吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则购进载重量为10吨的卡车至少多少辆？    【答案】购进载重量为10吨的卡车至少5辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设购进载重量为10吨的卡车辆，购进载重量为7吨的卡车辆，再结合该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，新购进这两种卡车共6辆，进行列式计算，即可作答． 解：设购进载重量为10吨的卡车辆， 则购进载重量为7吨的卡车辆， 根据题意可列不等式为：， 解得：， 取正整数， 的最小值为5． 答：购进载重量为10吨的卡车至少5辆． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某商品进价为350元，出售时标价为550元，由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（    ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意正确的列不等式是解题的关键．设可打折，依题意得，计算求解然后作答即可． 解：设可打折， 依题意得，， 解得，， ∴至多可打七折， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据题意找出题目中的不等关系，列出不等式，是解题的关键． 设某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，根据不等关系，列出不等式，解不等式即可． 解：设某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，根据题意可得： ， 解得：， ∴的最大值为8， 故答案为：8． 【题型3】用一元一次不等式解决几何问题 【例3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． （1） ．（用含m的代数式表示） （2）当时，求m的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 解：（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 【变式1】（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 解：根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点拨】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【变式2】（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 解：根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 【考点二】一元次不等式组的应用 【题型4】不等式组的行程问题 【例4】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值即可． 解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，根据题意，得， 解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是15， 故答案为：15． 【变式1】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图1的标志表示机动车驶入前方道路之后的最低时速限制，即要求在前方路况良好的情况下，机动车最低时速不得低于50千米/小时；如图2的标志表示机动车驶入前方道路之后的最高时速限制，即机动车行驶的最高时速不得超过70千来/小时．若在公路上同时看到上述两个标志，且前方路况良好的情况下，机动车行驶速度（v）的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查生活中不等式的应用，正确理解图示的含义是解题的关键，根据标志的意义，得出不等式组即可解答． 解：由图1得，由图2得， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过 秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 【答案】70 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设运动时间为t秒，根据题意可得，解得，当时，此时第一次两动点相距100米，当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米，据此可得答案． 解：设运动时间为t秒， 由题意得，， 解得， 当时，此时第一次两动点相距100米，此时甲、乙位置如图所示， 当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米， ∴此时两动点都在上， ∴经过70秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 故答案为：70． 【题型5】不等式组的工程问题 【例5】（22-23七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． （1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ （2）已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【答案】（1）甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里；（2）甲队4个月，乙队9个月； 【分析】（1）设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，根据题意列式求解即可得到答案； （2）根据总费用不超过万元列式求解即可得到答案； 解：（1）解：设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，由题意可得， ， 解得：， 答：甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里； （2）解：由题意可得， 且、均为正整数， 解得， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴最低的施工方案是：甲队4个月，乙队9个月； 【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意得到等量关系式列式． 【变式1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． （1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ （2）已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【答案】（1）甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里；（2）甲队4个月，乙队9个月； 【分析】（1）设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，根据题意列式求解即可得到答案； （2）根据总费用不超过万元列式求解即可得到答案； 解：（1）解：设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，由题意可得， ， 解得：， 答：甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里； （2）解：由题意可得， 且、均为正整数， 解得， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴最低的施工方案是：甲队4个月，乙队9个月； 【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意得到等量关系式列式． 【题型6】不等式组的经济问题 【例6】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． （1）求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】（1）采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元；（2）该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 解：（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，根据题意列出不等组，求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 解：设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围为． 【题型7】不等式组的分配问题 【例7】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】（1）A型50元，B型100元；（2）A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 解：（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 解：根据题意可得： ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【题型8】不等式组的方案选择问题 【例8】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件． （1）求A、B型号衣服进价各是多少元？ （2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？ 【答案】（1）型号衣服每件90元，型号衣服每件100元；（2）有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键； （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据等量关系：A种型号衣服9件进价B种型号衣服10件进价，A种型号衣服12件进价B种型号衣服8件进价建立方程组求解即可； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可． 解：（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得 解得 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或，当时，，当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件. 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． （1）有哪几种加工方案？ （2）如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒；（2）元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 解：（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元． （1）求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？ （2）经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你规划一下有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元；（2）见分析 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元，根据“购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m顶帽子，则购买双手套，根据“团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，且需要帽子的成员不足30人”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 解：（1）解：设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元； （2）解：设购买m顶帽子，则购买双手套， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为27，28，29， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27顶帽子，23双手套； 方案2：购买28顶帽子，22双手套； 方案3：购买29顶帽子，21双手套． 【题型9】不等式组的阶梯收费问题 【例9】（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … （1）小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； （2）小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 【答案】（1）；（2）a的最大值为300． 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用； （1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解． 解：（1）解：当时，（元）， ∵， ∴． ∵， ∴． 答：该月小李家的用电量为120度． （2）当时，，符合题意． 当时， ∴， ∴ ∴， ∴a的最大值为300． 【变式1】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x干米，则x的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 设甲地到乙地的路程为千米，根据题意列出一元一次不等式组，并求解即可获得答案． 解：设甲地到乙地的路程为千米， 根据题意，可得， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（21-22七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 （1）该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? （2）刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】（1）该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度．；（2）他家最大用电量为300度． 【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度，根据刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘先生6月份用电量为度，根据刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 解：（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度， 依题意得：， 解得：． 答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度． （2）解：设刘先生6月份用电量为度， 依题意得：， 解得：． 答：他家最大用电量为300度． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【题型10】一元一次不等式组的其他应用 【例10】（24-25八年级下·山东青岛·期中）某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高米，气温下降，现测得山脚下的气温为，问该植物种在山上的哪一部分为宜如果设该植物种植在海拔高度为米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式组的应用，解题的关键在于逐步分析题意，能够正确书写不等式． 由山区海拔每升高米，气温下降，则山区海拔每升高米，气温下降，根据题意列出不等式组即可． 解：∵山区海拔每升高米，气温下降， ∴山区海拔每升高米，气温下降， ∴海拔高度为米的山区较适宜的温度应为， 故选：． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带瓶，则剩余瓶；若每人带瓶，则有个人带了矿泉水，但不足瓶．这家人参加登山的人数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式组的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出一元一次不等式组． 设登山人数为人，则矿泉水有瓶，根据题意列出不等式组，解不等式组后确定整数解即可． 解：设登山人数为人，则矿泉水有瓶， 依题得：， 解得， 人数应为整数， ， 即这家人参加登山的人数为人． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 【考点三】一元次不等式组的应用 【题型11】链接中考 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 【例2】（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【答案】（1）A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元；（2）至少应购买B款纪念品30个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解． 解：（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元． （2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个， 由题意得，， 解得，， 答：至少应购买B款纪念品30个． 【题型12】拓展延伸 【例1】（22-23八年级下·重庆江北·期中）某工厂为扩大生产规模，决定分三批采购A，B，C三种型号的设备，以加大生产力度，已知B型设备的单价是A型设备单价的2倍．第一批购进A，B，C三种设备的数量分别为10台，10台，15台，第二批购进A，B，C三种设备的数量分别比第一批对应数量增加了，采购总价比第一批采购总价提高了，第三批购进三种设备的总数量是第一批的倍，其中采购C型设备的数量最多，采购A型设备的数量最少，同时第三批的采购总价是第二批采购总价的倍，则该工厂第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三元一次方程及不等式组的应用，设A型设备的单价为x，C型设备的单价为y，则B型设备的单价为，根据题意列出方程得出，设第三批购进a台A型设备，b台B型设备，c台C型设备，列出方程组及不等式组求解即可，理解题意，分析清楚各个变量之间的关系是解题关键． 解：设A型设备的单价为x，C型设备的单价为y，则B型设备的单价为， 根据题意得： ， ∴， 设第三批购进a台A型设备，b台B型设备，c台C型设备， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵a，b，c均为正整数， ∴，b，均为正整数， ∴， ∴， ∴第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是， 故答案为：． 【例2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元； 任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案； 任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式． 任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可； 任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为人，根据题意列不等式组解答即可； 任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品份，根据题意列出不等式组，解得关于m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案． 解：任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得： 解得： 答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元． 任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得 解得：， a为正整数， a可取的值有11，12，13． 答：此次购买A奖品共有3种购买方案． 任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份， 则B奖品份数为：，依题意得： ， 解得：，即， m、n均为正整数， 可以取的值有：，，，，，，，，，，， 当时，，即，无解 当时，，即，所以 ，，此时奖品人数最多 方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意． 故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$