专题11.5 一元一次不等式组（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.5 一元一次不等式组（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一元一次不等式组 1. 定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 特别说明：一元一次不等式组必须同时满足两个条件， （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数. 2. 表示方式：不等式组可以用“{”表示，也可以用形如的方式表示. 特别说明：1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个；2.未知数的个数必须唯一. 【知识点2】一元一次不等式组的解集 1. 定义：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 特别解读： “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的不分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 不等式组的解集中的每一个解都满足不等式组中的每一个不等式. 【知识点3】解一元一次不等式组 1.定义 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.一元一次不等式组解集的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集. 【要点提示】 解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分. 考点与题型目录 【考点一】概念与定义的理解巩固 【题型1】一元一次不等式组的定义..............................................2 【考点二】解一元一次不等式组 【题型2】求不等式组的解集....................................................3 【题型3】解特殊不等式组......................................................4 【题型4】求一元一次不等式组的整数解..........................................4 【考点三】一元一次不等式组中的参数 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数......................................4 【题型6】由不等式组解集的情况求参数..........................................5 【题型7】不等式组和方程组结合的问题..........................................5 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接............................................................6 【题型9】拓展延伸............................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念与定义的理解巩固 【题型1】一元一次不等式组的定义 【例1】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ 【考点二】解一元一次不等式组 【题型2】求不等式组的解集 【例2】（24-25八年级下·山西太原·期中）（1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 去分母，得·············第一步 去括号，得··················第二步 移项，得·····················第三步 合并同类项，得···························第四步 两边都除以7，得··························第五步 任务一：以上解题过程中，第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ． 【题型3】解特殊不等式组 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 【变式1】（2023七年级下·江苏·专题练习）已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【题型4】求一元一次不等式组的整数解 【例4】（2025·陕西宝鸡·二模）解不等式组：，并写出满足条件的正整数x的所有值． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）不等式组的所有整数解的和是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）不等式的整数解为 ． 【考点三】一元一次不等式组中的参数 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷含（原创二））若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【题型6】由不等式组解集的情况求参数 【例6】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【题型7】不等式组和方程组结合的问题 【例7】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m得取值范围． （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接 【例1】（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.5 一元一次不等式组（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一元一次不等式组 1. 定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 特别说明：一元一次不等式组必须同时满足两个条件， （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数. 2. 表示方式：不等式组可以用“{”表示，也可以用形如的方式表示. 特别说明：1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个；2.未知数的个数必须唯一. 【知识点2】一元一次不等式组的解集 1. 定义：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 特别解读： “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的不分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 不等式组的解集中的每一个解都满足不等式组中的每一个不等式. 【知识点3】解一元一次不等式组 1.定义 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.一元一次不等式组解集的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集. 【要点提示】 解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分. 考点与题型目录 【考点一】概念与定义的理解巩固 【题型1】一元一次不等式组的定义..............................................2 【考点二】解一元一次不等式组 【题型2】求不等式组的解集....................................................4 【题型3】解特殊不等式组......................................................6 【题型4】求一元一次不等式组的整数解..........................................8 【考点三】一元一次不等式组中的参数 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数......................................9 【题型6】由不等式组解集的情况求参数.........................................11 【题型7】不等式组和方程组结合的问题.........................................12 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接...........................................................15 【题型9】拓展延伸...........................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念与定义的理解巩固 【题型1】一元一次不等式组的定义 【例1】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 【变式1】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式组，根据题意列出不等式组是解题的关键． 解：t的变化范围是， 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【考点二】解一元一次不等式组 【题型2】求不等式组的解集 【例2】（24-25八年级下·山西太原·期中）（1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 去分母，得·············第一步 去括号，得··················第二步 移项，得·····················第三步 合并同类项，得···························第四步 两边都除以7，得··························第五步 任务一：以上解题过程中，第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 【答案】（1）任务一：一；去分母时，常数项1漏乘10；任务二：，见分析；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）任务一：根据运算法则求解即可； 任务二：根据运算法则求解并在数轴上表示即可． （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分即可确定不等式组的解集． 解：（1）任务一：一；去分母时，常数项1漏乘10； 任务二： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得， 解集在数轴上表示如图 （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 解： ， 得， 解得：， 代入①得， 解得：， ∴， 因为， 所以， 解得：， 所以． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式组解实际问题，正确理解程序，列出不等式组是解题关键． 根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得： 解得：． 故答案是：． 【题型3】解特殊不等式组 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 解：①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 【变式1】（2023七年级下·江苏·专题练习）已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点拨】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 【题型4】求一元一次不等式组的整数解 【例4】（2025·陕西宝鸡·二模）解不等式组：，并写出满足条件的正整数x的所有值． 【答案】，满足条件的x值有：1，2 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式，②，得， ∴不等式组的解集为， ∴正整数解为． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）不等式组的所有整数解的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定对应的整数解，再把所有的整数解求和即可得到答案． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解有， ∴不等式组的所有整数解的和是， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）不等式的整数解为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出不等式组的解集，再求出整数解即可． 解： ， 不等式的整数解为，，， 故答案为：，，． 【考点三】一元一次不等式组中的参数 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况可得关于的方程，解方程即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴，， ∴，． 【变式1】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的求法，已知不等式解集反过来求m的范围． 先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围． 解： 由①得，， 由②得，， 根据已知条件，不等式组解集是， 根据“同大取大”原则． 故选：A． 【变式2】（2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷含（原创二））若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6】由不等式组解集的情况求参数 【例6】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查由一元一次不等式组的解集求参数，正确计算是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式即可求解． 解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组有解进行求解即可． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据有三个整数解列不等式组求解即可． 解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又不等式组有三个整数解， ∴不等式组的整数解为， ， 解得：． 实数a的取值范围为． 【题型7】不等式组和方程组结合的问题 【例7】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m得取值范围． （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 解：（1）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接 【例1】（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答． 解：， 解得：， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 【答案】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值． 解：，解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴ ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得：， 又∵，且其结果不含二次项， ∴的系数为零 ∴ ∴ 解得：或 又∵ ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，绝对值，多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$