专题10.2 解二元一次方程（4大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题10.2 解二元一次方程（4大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 【知识点2】代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 【要点提示】 （1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． （2）代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程．则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 【知识点3】加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 【要点提示】用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点4】选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 考点与题型目录 【考点一】代入法 【题型1】直接代入消元法......................................................2 【题型2】变形后代入消元法....................................................2 【题型3】整体（思想）代换消元法..............................................3 【考点二】加减法 【题型4】直接加减消元法......................................................3 【题型5】变形后加减消元法....................................................4 【题型6】整体思想代换消元法..................................................4 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考............................................................5 【题型8】拓展延伸............................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】代入法 【题型1】直接代入消元法 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）解方程：． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）已知，则的值为 ． 【题型2】变形后代入消元法 【例2】（24-25七年级上·湖南永州·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【变式1】（22-23七年级下·吉林白山·期中）由方程组可得到与的关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【题型3】整体（思想）代换消元法 【例3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， （1）请直接写出方程组的解为________． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【变式1】（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知方程组的解是，现给出另个方程组，则它的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组中的的值为 ． 【考点二】加减法 【题型4】直接加减消元法 【例4】（24-25八年级上·福建三明·期末）解方程组：． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若 则 ； 【题型5】变形后加减消元法 【例5】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）解二元一次方程组 （1） （2） 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解方程组下列解法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【题型6】整体思想加减消元法 【例6】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解决下列问题，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组我们利用加减消元法，可以求得此方程组得解为______． （2）如何解方程组呢？我们可以把分别看成一个整体，设，请写出剩余过程，求出原方程组的解． （3）已知关于、的方程组则方程组得解为多少？请写出求解过程． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如果两数满足，那么 ． 【变式2】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A． B． C． D． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型7】链接中考 【例1】（2020·青海·中考真题）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 ． 【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知满足，我们把青蛙从开始，经次跳动的位置依次记作． （1）写出一个，使其，且； （2）若，求的值； （3）对于整数，如果存在一个能同时满足如下两个条件： ①； ②． 求证：． 【例2】（23-24七年级下·湖南·期中）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 解二元一次方程（4大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 【知识点2】代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 【要点提示】 （1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． （2）代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程．则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 【知识点3】加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 【要点提示】用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点4】选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 考点与题型目录 【考点一】代入法 【题型1】直接代入消元法......................................................2 【题型2】变形后代入消元法....................................................3 【题型3】整体（思想）代换消元法..............................................5 【考点二】加减法 【题型4】直接加减消元法......................................................8 【题型5】变形后加减消元法....................................................9 【题型6】整体思想代换消元法.................................................11 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考...........................................................13 【题型8】拓展延伸...........................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】代入法 【题型1】直接代入消元法 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法是解答本题的关键． 直接把代入求出的值，再把的值代入求出的值即可． 解：将代入，得， 解得， 将代入，得， 原方程组的解是． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想． 根据消元的思想解答即可． 解：将代入，消去后所得到的方程是， 去括号，得， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，求代数式的值，利用代入消元法解二元一次方程组得出，代入计算即可得出答案． 解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， ∴原方程组的解为， ∴， 故答案为：． 【题型2】变形后代入消元法 【例2】（24-25七年级上·湖南永州·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组解法，根据未知数系数的特点，选择合适的方法． （1）运用代入消元法求解即可； （2）先将方程组整理后，再运用代入法求解即可． 解：（1）解：， 由②得，， 把③代入①得，， ∴ 把代入③得，， 所以原方程组的解为； （2）解：， 由①得，， 由②得，， 由④得 ， 将⑤代入③得，， ∴， 把代入⑤，得， ∴所以原方程组的解为． 【变式1】（22-23七年级下·吉林白山·期中）由方程组可得到与的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用代入法即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 解：， 把代入得，， 整理得，， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案． 解：∵，， ∴， 解得：， 则． 故答案为：3． 【题型3】整体（思想）代换消元法 【例3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， （1）请直接写出方程组的解为________． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． （2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x值，即可确定出方程组的解． 此题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解：（1）由①得：③， 将③代入②得：，即， 将代入③得：， 则方程组的解为 ． 故答案为 ． （2）由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为 【变式1】（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知方程组的解是，现给出另个方程组，则它的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据题意被求方程组中即相当于原方程组中的值，被求方程组中即相当于原方程组中的的值，据此可得关于的新方程组，解之可得，掌握整体代入的思想是解题关键． 解：∵方程组的解是， ∴由可得， 解得：， 故选：． 【变式2】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组中的的值为 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组解的定义求出的值，再代入方程组得到一个关于的二元一次方程组，求出的值，再代入计算即可． 解：关于的二元一次方程组的解为， ， 解得：， 将代入得， 解得， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提． 【考点二】加减法 【题型4】直接加减消元法 【例4】（24-25八年级上·福建三明·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键． 用加减消元法求出方程组的解． 解：， 由①+②， 得， 解得， 把代入②， 得， 解得， ∴方程组的解为． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①＋②得，，求出，代入①得，，即可得到答案． 解： ①＋②得，， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴ 故选：A 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若 则 ； 【答案】 【分析】该题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，根据非负性求出，再代入求解即可． 解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【题型5】变形后加减消元法 【例5】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）解二元一次方程组 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）利用加减消元法即可求解； （2）先将①两边乘以，得到③，然后利用加减消元法即可求解． 解：（1）解： 得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： （2）解： 由①得，③ 得， 解得： 将代入②得， 解得： ∴原方程组的解为： 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解方程组下列解法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键． 根据整式的加减运算逐项判断能否消元即可解答． 解：A． 得，没有消元，不符合题意；     B． 得，消去x，符合题意； C． 得，没有消元，不符合题意； D． 得，没有消元，不符合题意． 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，先利用加减法求出方程组的解，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 解：， 得，， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6】整体思想加减消元法 【例6】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解决下列问题，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组我们利用加减消元法，可以求得此方程组得解为______． （2）如何解方程组呢？我们可以把分别看成一个整体，设，请写出剩余过程，求出原方程组的解． （3）已知关于、的方程组则方程组得解为多少？请写出求解过程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，关键是整体代换法的熟练应用． （1）用加减消元法即可； （2）把分别看成一个整体，设，即可解题； （3）设即可解题． 解：（1）解：， ，得：，即， 把代入①，得：， 解得，， 故此方程组的解为； 故答案为：； （2）解：设，则原方程组变形为： ， 解得，， ∴， 解得：； （3）解：设则有： ，解得， ∴， 解得， 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如果两数满足，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出，，再利用平方差公式得，再代入求值即可． 解：， ①②，得， ∴， ②①，得， 则， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和整体思想． 两个方程相加，可得，即可求出的值． 解：， ，得； 即； 故选：A 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型7】链接中考 【例1】（2020·青海·中考真题）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案． 解：将，代入一元二次方程得， 解得：， ∵小明看错了一次项， ∴c的值为6， 将，代入一元二次方程得， 解得：， ∵小刚看错了常数项， ∴b=-5， ∴一元二次方程为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知满足，我们把青蛙从开始，经次跳动的位置依次记作． （1）写出一个，使其，且； （2）若，求的值； （3）对于整数，如果存在一个能同时满足如下两个条件： ①； ②． 求证：． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）3011；（3）见分析 【分析】（1）根据4次跳动后回到初始位置可得结果； （2）从经2024步到达，设向右跳了步，向左跳了步，可得，解方程组得出跳动方式，从而可得答案； （3）设向右跳了步，向左跳了步，经过步到达，则，可得，进一步分析可得结论． 解：（1）解：∵，，， 则4次跳动后回到初始位置， 这样的跳动之一是：0，1，2，1，0（也可以是 0，1，0，1，0）； （2）解：从经2024步到达，设向右跳了步，向左跳了步， 则， 解得， ∴青蛙一直往右跳，没有往左跳， ． （3）解：设向右跳了步，向左跳了步，经过步到达， 则， ， ， ，即． 【点拨】本题考查了数的整除，数轴，以及整式的运算，二元一次方程组的应用，难度较大，解题的关键是要充分理解题意，将向右跳动的步数与向左跳动的步数用字母表示，便于运算． 【例2】（23-24七年级下·湖南·期中）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 【答案】甲把看成了，乙把看成了，原方程组的正确解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，把代入方程可得的错误值，把代入方程可得的错误值，再把代入方程可得的正确值，把代入方程可得的正确值，即可得到方程组，再解方程组即可求出正确解，理解题意是解题的关键． 解：把代入方程得，， ∴， ∴甲把看成了； 把代入方程得，， ∴， ∴乙把看成了； 把代入方程得，， ∴， 把代入方程得，， ∴， ∴方程组为， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的正确解为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$