辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期高考模拟（一）数学试题

姓 名 准考证号 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学(一) 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知z=1-2i,则 A. B.2 C. D.5 2.已知集合若A∪B=A，则a的取值构成的集合为 A.{0} B.{0,1} D. 3.已知平面向量a，b满足 则a在b上的投影向量为 A. b C. b D.2b 4.函数的图象可看作是由函数 的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为 5.甲、乙、丙、丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲、乙被派驻到同一个村的概率为 A. B. C. D. 6.已知定义在 R上的函数 的图象关于直线对称，且在(-∞,0)上单调递减.设 ),则 7.已知不过原点的直线l与抛物线C:交于A,B两点,且|AB|=5p，则弦AB的中点到y 轴距离的最小值为 A. p B.2p C. D.3p 8.将边长为2 的正方形 ABCD沿着对角线BD 折起，使点 A 到达点 P 的位置,得到三棱锥 P--BCD,点 M∈平面 BCD,且 若 则点 M 的轨迹长度为 B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比(与上一年同期相比)增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法正确的是 A.折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台 B.折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台 C.与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D.2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 10.已知函数 则 A. 的图象关于直线 对称 B. 图象的对称中心为 C. 在区间 上的值域为[-1,1] D. 在区间 上恰有3个极值点 11.若函数在其图象上两个不同点A，B处的切线完全重合，则称直线AB为曲线的“自公切线”,为“自公切线函数”,则 A.函数 是“自公切线函数” B.函数. 是“自公切线函数” C.曲线. 的“自公切线”方程为y=1 D.曲线 的“自公切线”方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记等差数列{an}的前n项和为 Sn,若 则 13.若α∈(0,π),且,则 14.过原点的直线与双曲线 交于A，B两点，且点A在第二象限，过点 A 作AB 的垂线AD 与C 交于点D，过点 A 作x轴的垂线与C交于点G，与直线BD交于点E，若 则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为,已知b=6, sin A=2 sin C. (1)若,求 cos B; (2)当 cos C取最小值时,求. 16.(本小题满分15分) 电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程、非接触式诈骗的犯罪行为.为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣传，并取得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联表所示. 性别 是否熟悉“反诈”知识 合计 不熟悉 熟悉 男 24 16 40 女 12 48 60 合计 36 64 100 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关? (2)为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩 X 近似服从正态分布N(86，9)，若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩； (3)为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每道题的概率均为 ，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为Y元，求Y的期望E(Y)和方差D(Y). 参考公式 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据:若随机变量X~N(μ,σ²),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 17.(本小题满分15分) 已知椭圆 的右焦点为 F(1,0),A为C 上一点,|AF|的最小值为1. (1)求C的方程; (2)设点 M(4,0),斜率不为0的直线 AM与C交于另一点B. (i)若弦 AB 中点的纵坐标为 求直线 AB的斜率； (ii)若D为C上一点,且点 D与点A 关于x轴对称,证明:B,D,F三点共线. 18.(本小题满分17分) 已知函数 (1)若b=1,讨论 的单调性; (2)若a=2，且关于x的方程恰有两个不等实根，求b的取值范围； (3)若,数列{an}的前n项和为 Sn,且 证明： 19.(本小题满分17分) 如图,在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,平面ABC⊥平面 ABB₁A₁,M,N分别为棱AB,AA₁的中点,BC=AC=3. (1)若四边形 ABB₁A₁为菱形,证明:AB₁⊥平面CMN; (2)若 (j)求平面 ACC₁A₁ 与平面 BCC₁B₁夹角的余弦值； (ii)若斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁内存在两个体积相等且相切的球，且每个球都与该三棱柱的一个底面及三个侧面相切，求点 A₁到平面ABC的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$参考答案及解析 数学（一） 一、选择题 选A 1.C【解桥】因为x=1-2i,所以兰-一21-中 6.D【解析】因为f(x一1)的图象关于直线x=1对 称，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶 -2-i所以-V=5,故选C 函数，又f(x)在(-∞，0)上单调递减，所以 f(x)在(0，十∞)上单调递增.由题得c= 2.D【解析】由题得A={2,3},因为AUB=A,所以 B二A.当a=0时，B=心，满足BSA:当a≠0时， f(lg司）=f(-1g9)=flg9),又0<1g9<1,1oga3 B={侣}，因为8CA,所以名-2或名=3，解得a= >n3>1,所以f(lg9)<fn3)<flog3),即c<b <a.故选D 1或a=号综上，a的取值狗成的集合为o,1号》 7,B【解析】设弦AB的中点为M,抛物线C的准线为 ,焦点为F,如图，过点A作AE⊥L于点E,过点M 故选D 作MH⊥I于点H,过点B作BG⊥L于点G, 3.A【解桥】因为la=1,lb1=√3,12a+b|=√T, 4 所以4a2十4a·b+b=11,解得a·b=1,所以a在b 上的授影向量为6-吉私放选A D,【解折】因为g():头 无品斗所以了)计其定义为， 且1-)-2=所以 f(x)为偶函数，故排除C,又f)~希=号， 则IMH=zu十专=号(AE|+|BGl),连接 AF,BF,由抛物线的定义可得|AE|+|BG= f2)-8-音，所以f(1)>(2),放排除A故 4 |AF|+|BF|≥|AB|=5p,当直线AB过点F时 选D. 取等号，所以w十多>号，则xw≥2p,所以弦AB的 5.A【解析】法一：记事件E表示甲被派驻到A村，事 中点到y轴距离的最小值为2p.故选B 件F表示甲、乙被派驻到同一个村，则P(E)一子 8.C【解析】如图，取棱BD的中点O,连接PO,CO,易 由题意可知将甲、乙、丙、丁四人分为3组，再将这3 得PO⊥BD,CO⊥BD,PO=CO=√2，又PO∩CO= 组分配给A,B,C三个村，则蒸本事件的总数为 O,PO,COC平面POC,所以BD⊥平面POC.在 n(2)=CA=36,若事件E,F同时发生，则甲、乙均 △POC中，PC=√5，则由余弦定理得cos∠POC= 被派驻到A村，派驻方法有A是=2种，所以 P0+C0-PC-2+2-5=-1 P(EP)=器-希=所以P(PIE)- 2P0·CO 2X√2X√2 ，所以∠POC 器-品×8=合故选A 为纯角，且i∠POC=压过点P作PN⊥CO交 CO的延长线于点N,则PN⊥BD,又BD∩CO=O, 法二：记事件E表示甲被派驻到A村，事件F表示 BD,COC平面BCD,所以PN⊥平面BCD,连接 甲，乙被派驻到同一个村，由题意可知甲被派驻到A MN,又MNC平面BCD,所以PN⊥MN.在 村有两种情况，①被派驻到A村的只有甲一人，派驻 Rt△PNO中，PW=POsin∠PON=POsin∠POC= 方法有CA最=6种，此时甲、乙不在同一个村：②被 派驻到A村的有两人，其中一人是甲，派驻方法有 2X压=，在Rt△PMN中，PM=尽，则 CA=6种，其中甲、乙在同一个村的派驻方法有 AN=2种，所以P(FE)=器=写千6一吉放 2 MN=√PM一P=3正，所以点M的轨迹是以N 4 n(E) ▣ 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 数学（一） 参考答案及解析 为圆心，3平为半径的圆，则点M的锁蓬长度为2xX (一1,1)和点(1,1)处的切线均为y=1,所以曲线 f(x)■一x2+2|x|的“自公切线"方程为y=1,故 C正确：对于D,因为f(x)■+15，x≠0，所以 4 x f(x)=32-9x≠0，则f(-z)=(x),所以 广(x)为(-o∞，0)U(0,+∞)上的偶函数，令 Ae)=3-兰x0,则N()=6x+号，当2>0 时，h(x)>0,当x<0时，(x)<0,所以a(x).即 f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，+o∞)上单圆 递增，所以必存在x,工2，且x1≠x≠0，使得 二、选择题 f()=f(x),且十1=0，不妨设两切点分别 9.ABD【解析】折叠屏手机季度出货量的极差为 为A(西国+碧》，（网+）国为f(红)= 2771一1857=914千台，即91.4万台，故A正确：将 各季度折叠屏手机出货量（千台）从小到大排列为 2+盟≠0，则(-x)=-f(x),所以f(x)为 1857,2233,2505,2571,2771,故中位数为2505千 奇函数，又1十x1=0,所以点A,B关于原点对 台，即250.5万台，故B正确：同比是指与上一年同期 相比，故折登屏手机2024年第三季度的出货量比 称，则切线的斜率=了（马）=0=ko,又 2023年第三季度的出货量增加13.7%，故C错误：由 +6-0 图可知，2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长 f()=3对-16， 。成+所 工1 率均为正数，故D正确.故选ABD 10.AB【解折】对于A,因为f(x)=2si血(3红-若)， 以3时-是=+整理得4=16，解得=2 或x1=一2，取A(2,16),B(-2,-16),则k=8, 所以f(5）)=2in(3×5-若）=2si如受-2，所 所以曲线了（✉）=+9的自公切线”方程为y 以f代x)的图象关于直线x=号对称，故A正确：对 8x,故D正确，故选BCD 三、填空题 于B,令3x-晋-kx(∈z0,得x=管+著∈Z⑦ 12.2【解析】由题意得S4=14(a十4心=7(a,十a4) 2 所以f()图象的对称中心为（弩+资0）∈2)， =14,所以a十a6=2. 故B正确：对于C,当xe[0,音]时，3z-音∈ 13.√万【解析】由2cos2a-co3a=1,得4cos2a-oosa [-吾，]，则f(x)∈[-1,2]，故c错误：对于 一3=0，解得co8a=1或c0sa=-3 又ae D当x(-需)时，3-音∈(-，受)结 (0,x,所以cosa=一是，所以sima=V个-oea 合y=sinx的图象可知，此时f(x)恰有2个极值 s 点，故D错误，故选AB. ,所以an受= 11.BCD【解析】对于A,若f(x)为“自公切线函数" 则∫(x)在某区间内不单调，由f(x)=十，得 f(x)一2x+e,f(x)在R上单调递增，枚 49 【解析】设A(x4,少)，<0，%>0，D(加，)， f(x)-x十c不是“自公切线函数”，故A错误；对 m≠，则G(,-为)，B(-0,-为)，由AG= 于B,因为f(x)=x一c08x,所以f(x)=1十 2GE,得E(x,-2m).因为点A,D均在双曲线C 6inx,当x=2kx(k∈Z)时，f(2kπ)=1，f(2kr)= 2x-1,所以∫(x)在点(2kx,2kπ一1)(k∈Z)处的 上，所以手-浮-1，号--1，阿式相 切线方程为y一2x十1=x一2π（∈Z),即y=x 1,所以f(x)=x一c04x是“自公切线函数”，故B正 过-二连，则加k加可”二业·时头= m一xo 确：对于C,当x≥0时，∫(x)=-x十2x,则 了(x)=-2x十2，当x<0时，f(x)--x2-2.x,则 哥二登-告因为ADLAB,.所以oa-1汉 f(x)=-2x-2,所以f(1)=f(-1)=0, f(1)=f(-1)=1,所以曲线y=∫(x)在点 k的=kEs, 020 ·2 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 一ka,所以ok=ko·（一）= c=1 17.解：(1)由题意得a一c=1 兰，故双曲线C的离心率=√十号- a2-=c2 解得a■2，b=√3，c=1, (3分) 所以C的方程为号+号=1. (4分) (2)由题可知直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB:x一my十4，m≠0，A(x,),B(x, ),则D(,一1)， 联立/x一my+4 3x+4y=12'得(3m+4)y+24my+36 四、解答题 =0, 15.解：(1)因为sinA=2snC, 则△=(24m)-4X36(3m3+4)>0,解得m2>4, 所以由正弦定理得a=2c, (2分) 一24m 36 因为c=4,所以a=8, 所以为十为=3m十=3m+ (7分) 又b=6, ()因为弦AB中点的数坐标为一票。 所以由余弦定理得cOsB= a2+c2- 2ac 64+16-36_11 所以必专空=罕一7 -12m36 2 (6分》 2X8×4161 解得m-3或号（会。 (2)由(1)可得a=2c, 所以由余弦定理得cosC=g+-正 所以直线AB的斜率为宁 (10分) 2ab ()由题得F范=(x-1,为)，Fi=(x1-1,-), 0-=是+≥2√层·音- 24c (11分) 当且仅当是-言，即c-25时等号成立，《10分) 因为(x8-1)(-当)-为(x一1)=(my2+4-1) ·(-h)-(m9十4-1) 所以当cosC取最小值时，c=2及，a=2c=43 -2为一3n+加)0-祭-0， 一72m (13分) 16.解：(1)零假设为H。:该社区市民是否熟悉“反作”知 所以FB∥FD, (14分) 识与性别无关， 又FB与FD有公共点F,所以B,D,F三点共线. 100×(24×48-12×16)2-0 (15分) 经计算得才= 40X60×36×64 18.解：(1)若6=1，则f(x)=alnx+x+1,x>0, 16.667>10.828=xm.1, (3分) 所以f(x)=A+1=十4 1分) 所以依据小概率值：=0.001的独立性检验，推断 H弘不成立，即可以认为该社区市民是否熟悉“反诈 当a≥0时，f(x)>0, 知识与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 则f(x)在(0，十o)上单调递增： (2分) 0.001. (4分) 当a<0时，令f(x)>0,得x>-a (2)因为P(X<一)= 1 2 -P(4≤X≤十a） 令f(x)<0,得0<x<一a, 2 所以f(x)在(0，一4)上单调递减，在(-a,+s)上 ≈0.15865， 单调递增 (3分) 又：的近似值为86，a的近似值为3， 综上，当a≥0时，八x)在(0，十∞)上单调递增； 所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86一3 当a<0时，f(x)在(0，一a)上单调递减，在 83分 (8分) (一4，十∞)上单调递增. (4分) (3)记小王答对题的数量为Z,则Y=30Z, (2)若a=2,则f(x)=2lnx十x十1，x>0, 由慝意得2~B(3,子)）， (10分) 由f代x)1,得b=m2n (5分) 则E(2)=3×号-2，D2-8x号×号-号， 1 、2 令h(x=-2n严，>0，则(x)=2血山， (12分) 当0<x<e时，h'(x)<0,(x)单调递减， 所以E(Y)=30E(Z)=30×2=60, 当x>e时，h(x)>0,h(x)单调递增， Dm=90D(2)=90×号=60， (15分) 所以h(x)≥h(e)=-名 ·3 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 且当x趋向于0时，h(x)趋向于十o,当x趋向于 十o∞时，(x)趋向于0， (8分) 因为关于x的方程f(x)=1恰有两个不等实根， 所以直线y=b与h(x)的图象有两个交点， 所以-2<b0, 所以6的取值范围为(-名，0)。 (10分) (3)当a=b=1时，f(x)-lnx十x+1,x>0, 8(x)=f(z)-2x-Inx-x+1,x>0, (1)在△ABC中，AB=35,AC=BC=3, 则g(x)=1-1=1-」 则∠BAC=∠ABC=30°， x 所以AC的一个方向向量为a=(√3,1,0)，BC的 令g(x)>0,得0<x<1: 令g(x)<0,得x>1, 个方向向量为b=(-√3,1,0)， 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调 由s∠BAA=2华，得如∠BAA:=号 递减， 3 (13分)》 所以g(x)≤g(1)=0,即f(x)≤2x, 所以AA1,BB1的一个方向向量为c=(22,0,1): 所以a+1=f(a.)≤2am,且a,>0, (6分) 设平面ACCA1的法向量为n=(x知1，力，1)， 所以+中≤2 (15分) a. 则{m·a=3十为=0 所以a≤41·2-1=2-1， ln·c=22x1+x1=0 所以8<号-2-1 (17分) 取x=-1,得1=√3,1=2√2， 19.解：(1)如图，连接A1B, 所以m=(-1W3,22), C 设平面BCCB的法向量为m=(,,), 则m·b-5+为=0 m·c=223十=0 取=1，得=√5,2=一2√2， 所以m=(1,5,-2√2) (8分) 设平面ACCA1与平面BCC1B1的夹角为B, 则os=osm,=损d 因为四边形ABB1A,为菱形， 1-1+3-8 = 所以A1B⊥AB, 1+3+8×1千3+8立， 因为M,N分别为棱AB,AA1的中点， 所以平面ACC1A:与平面BCCB1夹角的余弦值为 所以MN∥A,B,所以MN⊥AB1. (2分) 1 因为BC=AC, (10分) 所以CM⊥AB, (1)设与平面ABC相切的球的球心为O,与平而 因为平面ABB1A1⊥平面ABC,平面ABB1A:∩平 AB,C相切的球的球心为O, 面ABC=AB,CMC平面ABC 由题意知球O,O均与平面ABB1A,相切， 所以CM⊥平面ABB,A:, 设切点分别为D,E,连接O,O2,DE, 又AB1C平面ABBA1,所以CM⊥AB1, 则O1O∥DE,OO=DE, 又MN∩CM=M,MN,CMC平面CMN, 因为球O,,O,均与平面ACCA1相切， 所以AB,⊥平面CMN. (4分) 所以OO∥平面ACC,A:, (2)由(1)可知CM⊥平面ABB1A,, 因为DE过平面ACC1A1, 以A为原点，AB所在直线为x轴，以过点A且与 所以DE∥平面ACCA, CM平行的直线为y轴，平面ABBA!内过点A且 又DEC平面ABB1A1,平面ABB1A,∩平面 与AB垂直的直线为g轴，建立如图所示的空间直 ACCA,=AA, 角坐标系. 所以DE∥AA1. (12.分) 设球O的半径为r,球心D(x,r,r), AO=(x,rr),BO=(x-33r, 因为AC=BC, 所以点C到平面ABB:A:的距离等于等腰△ABC 4 ▣ 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 底边AB上的高子， 代人-x+W5+22)川=23，解得一号， 期0CK号 (13分) (15分) 所以DE=0,02=2r=1, 由Adn-,=BG,m， 则线段DE在x轴上的投影为DEi如∠BAA=子， n m 得|-x+W3+2W2)xl=25r=x-33+(W3 所以斜三棱柱ABC一A1B,C的高为2：+ 2√2)r, DEn∠BA,=1+号-÷ 由|-x+(w3+2②)r=|x-3V5+(W3-2W2)rl, 所以点A,到平面ABC的距离为专 (17分) 得x-3+2Er 5 O夸克扫描王 极速扫描，就是高效