10.1 二元一次方程组的概念 教案-2024-2025学年人教版数学七年级下册

10.1 二元一次方程组的概念 【教学目标】 数学抽象:从实际问题中抽象出二元一次方程及方程组的概念,理解含两个未知数、次数为 1 的方程特征。 逻辑推理:通过分析方程结构,推导二元一次方程组解的意义,明确 “公共解” 的逻辑内涵。 数学建模:将实际问题(如数量关系、分配问题)转化为二元一次方程组,建立数学模型。 直观想象:借助数轴或坐标直观理解二元一次方程的解的几何意义,感知方程与解的对应关系。 【教学重难点】 重点:掌握二元一次方程及方程组的定义,能判断方程是否符合概念;理解方程组解的含义。 难点:从实际情境中准确提取等量关系并构建方程组,区分 “解” 与 “公共解” 的概念差异。 【教学过程】 同学们好!在之前的学习中,我们已经对一元一次方程有了深入的了解。现在老师来考考大家,什么是一元一次方程呢?(停顿,等待学生举手回答) 好,请这位同学回答。 学生:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是 1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程。 非常棒,请坐。看来大家对一元一次方程的定义掌握得很牢固。那老师再问一个问题,比如方程 3x + 5 = 14,它的解是多少,怎么求解呢? 学生:首先,方程两边同时减去 5,得到 3x = 14 - 5,即 3x = 9。然后,方程两边同时除以 3,解得 x = 3。 完全正确。大家对一元一次方程的知识掌握得很扎实。其实,在我们的生活中,很多问题仅仅用一个未知数来表示是不够的,需要同时考虑两个或多个未知数。今天我们就来学习一个新的内容 —— 二元一次方程组。接下来,让我们一起探究《二元一次方程组的概念》。 讲授新课 创设情境,引入新课 老师先给大家讲一个生活中的例子。新疆是我国棉花的主要产地之一,近年来,机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。有一个种棉大户,他租用了 6 台大、小两种型号的采棉机,1 小时就完成了 8 hm 棉田的采摘。已知大型采棉机 1 小时能完成 2 hm 棉田的采摘,小型采棉机 1 小时能完成 1 hm 棉田的采摘。那现在老师问大家,这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台呢? 大家先思考一下,我们要解决这个问题,列方程的话,首先要找到相等关系,那这个问题中包含了哪些必须同时满足的相等关系呢?(停顿,引导学生思考) 好,那位同学举手了,你来回答。 学生:问题中包含两个必须同时满足的相等关系,大型采棉机台数 + 小型采棉机台数 = 总台数,大型采棉机 1 小时采摘面积 + 小型采棉机 1 小时采摘面积 = 1 小时采摘总面积。 非常好,请坐。那我们根据这两个相等关系来设未知数并列方程。我们设大型采棉机有 x 台,小型采棉机有 y 台,那第一个相等关系 “大型采棉机台数 + 小型采棉机台数 = 总台数” 可以写成什么方程呢? 学生:x + y = 6。 没错。那第二个相等关系 “大型采棉机 1 小时采摘面积 + 小型采棉机 1 小时采摘面积 = 1 小时采摘总面积” 又可以写成什么方程呢? 学生:2x + y = 8。 非常正确。大家看,我们通过这个实际问题,列出了两个方程 x + y = 6 和 2x + y = 8。 二元一次方程的概念 现在请同学们仔细观察这两个方程,它们和我们之前学过的一元一次方程有什么不同呢?大家可以先在小组内交流一下。(学生小组交流,教师巡视) 好,哪个小组来分享一下你们讨论的结果? 学生:一元一次方程只含有一个未知数,而这两个方程都含有两个未知数。 说得很对,还有补充吗? 学生:这两个方程中,含有未知数的式子都是整式,而且含有未知数的项的次数都是 1。 非常棒,两个小组总结得很全面。像这样,含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。大家再看一下方程 x + y = 6 和 2x + y = 8,它们都满足二元一次方程的定义。 那现在老师来考考大家,判断一下下面这些方程,哪些是二元一次方程: (1)x + 2y = 3; (2)x + y = 5; (3)3x - y = 0。(让学生举手回答,并说明理由) 好,请这位同学回答。 学生:方程(1)和(4)是二元一次方程,因为它们都含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1,等号两边都是整式;方程(2)中未知数 x 的次数是 2,不满足二元一次方程的定义; 回答得非常准确,看来大家已经能够准确地判断二元一次方程了。 这里老师要强调一下,判断一个方程是否为二元一次方程,要从三个方面看:第一,方程中只含有 2 个未知数;第二,含未知数的项的最高次数均为一次;第三,方程是整式方程。这三个条件缺一不可。 二元一次方程组的概念 我们继续来看刚才得到的两个方程 x + y = 6 和 2x + y = 8。在这个实际问题中,我们需要同时考虑这两个方程,因为它们共同描述了大型采棉机和小型采棉机数量与采摘面积之间的关系。像这样,把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。 一般地,含有两个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是 1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组。比如 {x + y = 6 ,2x + y = 8} 就是一个二元一次方程组。 那同学们思考一下,二元一次方程组中的两个方程,未知数必须是相同的吗? 学生:必须是相同的。 对啦,如果两个方程中的未知数不一样,那就不能组成二元一次方程组来解决同一个实际问题了。大家理解了吗? 理解了的话,老师再出个例子考考大家。{ x + y = 10 ,2x - z = 5 } 这个是二元一次方程组吗? 学生:不是,因为第二个方程含有三个未知数了。 完全正确。那 { x + y = 10 ,x - y = 5 } 这个呢? 学生:也不是,因为第二个方程中含未知数的项 x 次数是 2,不满足二元一次方程的条件,所以整个就不是二元一次方程组。 非常好,看来大家对二元一次方程组的概念掌握得很扎实。 二元一次方程的解的概念 我们已经知道了二元一次方程的概念,那什么样的数才是二元一次方程的解呢?大家看方程 x + y = 6,如果我们把 x = 1,y = 5 代入方程左边,得到 1 + 5 = 6,方程右边也是 6,左右两边的值相等,所以 x = 1,y = 5 就是方程 x + y = 6 的一组解。 一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。二元一次方程的解通常用 {x = a ,y = b} 的形式来表示,其中 a 和 b 分别是两个未知数的值。 那方程 x + y = 6 除了 x = 1,y = 5 这一组解,还有其他解吗?大家想一想,然后在练习本上写一写。(学生思考、书写,教师巡视) 好,谁来说说你找到的其他解? 学生:x = 2,y = 4;x = 3,y = 3 等等。 非常好,大家找到了很多组解。实际上,二元一次方程有无数组解。因为只要给定 x 一个值,就可以根据方程算出对应的 y 的值,使方程成立。 二元一次方程组的解的概念 我们知道了二元一次方程的解,那二元一次方程组的解又是什么呢?对于方程组 {x + y = 6 ,2x + y = 8},我们把 x = 2,y = 4 代入第一个方程 x + y = 6 中,左边 2 + 4 = 6,右边也是 6,方程成立;再把 x = 2,y = 4 代入第二个方程 2x + y = 8 中,左边 2 2 + 4 = 8,右边也是 8,方程也成立。也就是说,x = 2,y = 4 能同时使方程组中的两个方程左右两边的值都相等。 一般地,使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。 大家要注意,二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程,和二元一次方程的解有区别哦。二元一次方程的解有无数组,而二元一次方程组的解一般只有一组。当然,有些特殊的二元一次方程组可能无解或者有无数组解,这是我们后面会进一步学习的内容。 那现在老师给出一个方程组 { 2x + y = 8 ,x - y = 1 },然后给出两组数,第一组 { x = 3 ,y = 2 },第二组 { x = 2 ,y = 4 },大家判断一下哪一组是这个方程组的解呢?请同学们在练习本上进行检验。(学生检验,教师巡视) 好,哪位同学来说说你的判断结果和检验过程? 学生:把 { x = 3 ,y = 2 } 代入方程组,对于方程 2x + y = 8,左边 2 3 + 2 = 8,右边是 8,方程成立;对于方程 x - y = 1,左边 3 - 2 = 1,右边是 1,方程也成立,所以 { x = 3 ,y = 2 } 是方程组的解。把 { x = 2 ,y = 4 } 代入方程组,对于方程 2x + y = 8,左边 2 2 + 4 = 8,右边是 8,方程成立,但是对于方程 x - y = 1,左边 2 - 4 = -2,右边是 1,方程不成立,所以 { x = 2 ,y = 4 } 不是方程组的解。 回答得非常完整和准确。通过这个例子,大家一定要清楚如何检验一组数是不是二元一次方程组的解,就是要把这组数分别代入方程组中的两个方程,看是否都能使方程左右两边的值相等。 课堂练习 下面让我们来做几道练习题巩固一下今天所学的知识。首先,判断下列方程哪些是二元一次方程: (1)3x - 2y = 5; (2)xy = 3; (3)x - y = 1; (4)2x + 3y = 0。(请几位同学依次回答) 课堂小结 好啦,同学们,今天这节课我们学习了很多重要的知识。首先,我们了解了二元一次方程的定义,即含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。然后,我们学习了二元一次方程组的概念,把两个二元一次方程合在一起就组成了二元一次方程组。接着,我们知道了二元一次方程的解是使方程两边的值相等的两个未知数的值,并且二元一次方程有无数组解;而二元一次方程组的解是使方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,一般情况下二元一次方程组的解只有一组。最后,我们还通过做练习巩固了这些知识。大家在课后要认真复习,多做一些相关的练习题,加深对二元一次方程组概念的理解和掌握。 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$