精品解析：2025年北京市第二中学九年级数学中考零模试卷

北京二中教育集团2024～2025学年度第二学期 初三数学一模模拟考试试卷 命题人：初三数学备课组 审核人：初三数学备课组 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷5页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分．） 1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图和左视图确定为矩形判断出是柱体，根据俯视图判断出这个几何体是三棱柱，即可得． 【详解】解：∵主视图和左视图是矩形 ∴该几何体是柱体， ∵俯视图是三角形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，解题的关键是根据三视图还原几何体． 2. 据某网站统计，截至2024年10月8日，电影《志愿军2》票房达到约800000000元．若平均每张电影票的票价为40元，则观影人数用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，有理数除法运算的应用，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据题意列出算式，进行计算，并用科学记数法表示结果即可． 【详解】解：观影人数为：（人）． 故选：A． 3. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题实数与数轴，实数的运算，不等式的性质，根据点在数轴上的位置，判断数的大小，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ， ∴，故选项D正确； 故选D． 4. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选D． 5. 如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图： 由勾股定理得：，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解． 6. 小颖、小亮玩掷硬币游戏，约定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为(正，反)，如此类推．若出现(正，正)小颖赢，若出现(反，反)小亮赢，那么在这个游戏中小颖赢的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率，按照利用树状图求概率的一般步骤求解即可． 【详解】画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中出现(正，正)的结果有1种， ∴出现(正，正)的概率为， 故选小颖赢的概率是． 故选：A． 7. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，全等三角形的判判定，根据作图得到，，利用得到，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：，， ∴； 故选B． 8. 如图，在中，，，M为的中点，O为的外心，将绕点O顺时针旋转，点A，B，C，M的对应点分别为，，，．交于点D，交于点E．在旋转过程中，给出下面三个结论： ①对于任意的，点O到，距离相等； ②存在唯一的，使得； ③有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，作的外接圆，设半径为r，根据题意可得分别是圆内接正六边形的一条边，根据正六边形的性质即可判断①，进而证明当时，则，即可判断②，根据题意可得当有最大值时，点在的延长线上，进而得到此时旋转角为，即可判断③，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的外接圆，设半径为r， ∵，， ∴是分别是圆内接正六边形的一条边， 当将绕点O顺时针旋转，是圆内接正六边形的一条边， ∴点O到，距离相等，故①正确； 如图，连接，， ∵是分别是圆内接正六边形的一条边， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 同理四边形是菱形， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴存在唯一的，使得，故②正确； 如图， ∵点M是的中点，四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴点M在以点O为圆心，为半径的圆上运动，且与其相切， ∴， 当有最大值时，点在的延长线上，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴点与点C重合，此时旋转角为， ∴当旋转角为时，没有最大值，故③错误． 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 如果式子有意义，那么x的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：； 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，合理的选择因式分解的方法是解题的关键．利用提取公因式法和公式法直接因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根； 故答案为： 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据题意可得，解方程即可，注意不等于0的情况是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 根据一元二次方程的定义， 且， 则整数k 的最小值为， 故答案为：． 13. 如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键． 根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的800名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理成表，请你估计这800名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是__________． 节水量/ 0.5 1 1.5 2 人数 2 3 4 1 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，熟练掌握加权平均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键． 先根据统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这名同学的家庭一个月节约用水的总量 ． 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为 这800名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，正方形的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，进而得出四边形是正方形；设正方形的边长为，利用，得到，得出比例式，列出方程即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设这个正方形的边长为， 则， ， ， ， ， ． ，， ． 解得：． 正方形的边长为． ， 故答案为：． 16. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息，________，小奕同学第三轮的得分为________分． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 a a 27 小地 a b c 11 小奕 c b 10 【答案】 ①. 5 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查方程的解逻辑推理能力，根据三位同学的最后得分情况列出关于的等量关系式，然后结合且均为正整数确定的值，从而确定小奕同学第三轮的得分，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键， 【详解】由题意可得：， ∴， ∵均为正整数， 若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为， ∴a必大于4， 又∵， ∴最小取3， ∴， ∴，，， ∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二； 小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三； 又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三， ∴第二轮比赛中小恩第二， ∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二， ∴小奕的第三轮比赛得2分， 故答案为：5，2． 三、解答题（共68分，其中第17～22题每题5分，第23～26题每题6分，第27～28题每题7分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式①得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，关键是熟练掌握分式的运算法则．先将分式进行化简，再将变形后，代入进行求解． 【详解】解： ， ， ， ， 原式． 20. 如图，菱形的对角线，交于点O，点F是的中点，连接并延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可得证； （2）证明为等边三角形，进而得到，进而求出的长，根据菱形的面积公式，对角线乘积的一半，进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线，交于点O， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵菱形的对角线，交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； （2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【答案】（1）400 （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据体积等于水流速度乘以时间，列出算式进行计算即可； （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，即可作答． 【小问1详解】 解：； 故答案为：400； 【小问2详解】 解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为， 则， 解得， ， ∴嘉琪同学的接水时间为． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象在直线处相交． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，得一次函数与函数的图象交于一点，再运用待定系数法求出一次函数的解析式，即可作答．； （2）画出函数图象，根据图象求出m的临界值即可． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，且与函数的图象在直线处相交． ∴把代入，得， 故一次函数与函数的图象交于一点， 把和分别代入， 得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得， 当时，， 把代入，得 ， 解得， 当直线与直线平行时，， 由图象可知，当时，当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值． 23. 某校初三年级两个班要举行团体操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：），数据整理如下： ．每班名选手的具体身高 班：； 班：； ．每班名选手身高的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 班 班 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______． （2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在班和班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“”或“”）； （3）班的位首发选手的身高分别为，，，，，．如果班已经选出位首发选手，身高分别为，，，，，要使得班位首发选手的平均身高不低于班位首发选手的平均身高，且比较整齐，则第六位选手的身高是______． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据中位数和众缴的定义求解即可； （）根据方差定义求解即可； （）先求出班位首发选手的平均身高，再求出班第位首发选手的身高取值范围，再根据题意和方差的意义即可确定第六位选手的身高； 本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记平均数的计算公式以及方差的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由班数据可得，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然． 因为班的身高分布于，班的身高分布于, 从中可以看出，班的数据较班的数据波动较小，更加稳定， 所以班的选手身高比较整齐， 故答案为：； 【小问3详解】 解：班的位首发选手的平均身高为厘米， 设班第六位选手的身高为厘米， 则， ∴， ∴第六位可选的人员身高为， 若为时，班的身高数据分布于， 若为时，班的身高数据分布于， 从中可以看出当身高为时的数据波动更小，更加稳定， 所以第六位选手的身高应该是厘米， 故答案为：． 24. 如图，是的直径，与相切于B，C为上点，，与相交于点E，交于F． （1）求证：与相切； （2），，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明是线段垂直平分线，推出，推出，由，推出，推出，由是切线，推出，推出，推出，即可解决问题； （2）由，得，设，则，，，，，，，在中，根据，列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 证明：如图，连接，与交于点， ， ，即垂直平分线段， ， ， ， ， ， 是切线， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：是直径， ， ， ， ，, ， 设，则，， , ， ， ，，， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15 25 35 45 55 65 y 0 （1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）44 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象； （2）结合函数图象找到时，的值即可； （3）结合函数图象找到时，的值，再作差即可； 【小问1详解】 解：函数图象如下： 【小问2详解】 解：根据（1）中图象可得：当时，， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：根据（1）中图象可得：当时，或， ， 故答案为：（答案不唯一）； 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据函数解析式确定对称轴即可； （2）根据题意得出，再分两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵点，是抛物线上的两点，， ， 又 ∵， ， 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ， ； 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ∴； 综上所述，a的取值范围是或． 27. 在中，，，于点D．点M，N分别是，上的动点，且满足．连接，交于点E，过点M作，交于点F，垂足为H． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，结合，可得，再进一步的分别求解，即可得到结论； （2）如图，连接，，证明，，可得，，证明，可得三点共线，延长至，使，而，，可得，，，再证明，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， 延长至，使，而，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边，上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线对称，则称点P为的“翻折点”． （1）已知点，，点M，N为直线与边，的交点．设点为的“翻折点”． ①当时，写出的坐标：__________； ②连接，则长度的取值范围是__________； （2）直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；若存在以直线为对称轴，且斜边长为4的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据已知条件得出，进而求得坐标，即可求解； ②连接，，，，根据为线段的垂直平分线，当点运动到线段上时，最小，当点运动到点时，最大，根据题意即可求得的范围； （2）根据一次函数得出，，对于中，先固定点，当运动时始终有，进而得出以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的的两圆的公共部分，当以直线为对称轴时，斜边为4的等腰直角三角形边上任意一点都是的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内，进而根据勾股定理，求得的值，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，直线为， 当时，， 当时，， 点M，N为与边，的交点， ，，， 作点关于直线的对称点，交于点， ，， 即点为线段、的中点， ， ， 故答案为：； ②连接，，，， 当时，， 点M，N为与边，的交点， ，， ， ， ， 点与点关于对称， 为线段的垂直平分线， ，，点在以为圆心，1为半径的弧上， ，， 即， 当点运动到线段上时，最小，， 当点运动到点时，， 综上所述，； 【小问2详解】 解：直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 令，则， 令， 解得， ，， 对于中，先固定点，当运动时始终有． 在运动时，点的轨迹为以为圆心，为半径的一段圆弧上， 临界点分别是M与点与点A重合时， 当点N运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示， 该图形为∶以A为圆心，为半径的与以B为圆心，为半径的的两圆的公共部分， 当以直线为对称轴时，斜边为4的等腰直角三角形边上任第一点都是的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内． 半径大于的半径， 当等腰直角三角形的斜边刚好在上(即为的弦)时，可得的最小值， ， 设，， 则，，，， ， 即， (负值已舍去)， 则， ． 【点睛】本题考查了几何新定义，折叠的性质，一次函数与直线的交点坐标，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京二中教育集团2024～2025学年度第二学期 初三数学一模模拟考试试卷 命题人：初三数学备课组 审核人：初三数学备课组 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷5页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分．） 1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体 2. 据某网站统计，截至2024年10月8日，电影《志愿军2》票房达到约800000000元．若平均每张电影票的票价为40元，则观影人数用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 小颖、小亮玩掷硬币游戏，约定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为(正，反)，如此类推．若出现(正，正)小颖赢，若出现(反，反)小亮赢，那么在这个游戏中小颖赢的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1～图3其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，M为的中点，O为的外心，将绕点O顺时针旋转，点A，B，C，M的对应点分别为，，，．交于点D，交于点E．在旋转过程中，给出下面三个结论： ①对于任意的，点O到，距离相等； ②存在唯一的，使得； ③有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）． A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 如果式子有意义，那么x的取值范围是____________ 10. 因式分解：______． 11. 分式方程的解为__________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是_______． 13. 如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为________． 14. 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的800名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理成表，请你估计这800名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是__________． 节水量/ 0.5 1 1.5 2 人数 2 3 4 1 15. 如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为__________． 16. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息，________，小奕同学第三轮的得分为________分． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 a a 27 小地 a b c 11 小奕 c b 10 三、解答题（共68分，其中第17～22题每题5分，第23～26题每题6分，第27～28题每题7分．） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，菱形的对角线，交于点O，点F是的中点，连接并延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； （2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象在直线处相交． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围． 23. 某校初三年级两个班要举行团体操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：），数据整理如下： ．每班名选手具体身高 班：； 班：； ．每班名选手身高的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 班 班 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______． （2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在班和班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“”或“”）； （3）班的位首发选手的身高分别为，，，，，．如果班已经选出位首发选手，身高分别为，，，，，要使得班位首发选手的平均身高不低于班位首发选手的平均身高，且比较整齐，则第六位选手的身高是______． 24. 如图，是直径，与相切于B，C为上点，，与相交于点E，交于F． （1）求证：与相切； （2），，求的长． 25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15 25 35 45 55 65 y 0 （1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a取值范围． 27. 在中，，，于点D．点M，N分别是，上的动点，且满足．连接，交于点E，过点M作，交于点F，垂足为H． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边，上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线对称，则称点P为的“翻折点”． （1）已知点，，点M，N为直线与边，的交点．设点为的“翻折点”． ①当时，写出的坐标：__________； ②连接，则长度的取值范围是__________； （2）直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；若存在以直线为对称轴，且斜边长为4的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$