精品解析：江西省赣州市于都县2025年中考数学第一次模拟考试试卷

于都县2025年摸底考试数学试卷 （本试卷6页，六个大题，23个小题，满分120分．考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 一套《辞海》大约有23500000个字，其中数23500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在水平的桌面上放置着如图所示的实物，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，平分，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，，，点E在矩形的边上，则当的一个内角度数为时，符合条件的点E的个数共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 绝对值是________． 8. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 9. 如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______． 10. 古印度数学家所著的《算法本原》一本中记载了一个有趣的猴群问题：一群猴子在树林中玩耍，总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫，设这群猴子共有x只，根据题意，可列方程为______． 11. 如图，中，，D为的中点，延长至E，使，若，则的度数为______． 12. 在平面直角坐标系中，已知A，B，点P在x轴上，把绕点P顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形时，则点P的横坐标为____________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，，平分，交于点，求证． 14. 如图正六边形．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图1中，以为直角边，作一个直角三角形； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 15. 某地爱心驿站招募志愿者3人，共有20人报名，小李和小王两男同学报了名．由于报名者都符合条件，故采取抽签的方式决定，所招募的3个志愿者中要求两女一男，于是共做20个签，其中两个写有的“女”的签、一个写有“男”的签，17个未写任何字的空签，每个签从外观上无任何差别． （1）若小李先抽，正好抽到的是“男”签概率为______； （2）若小李和小王两人分别在第17和18个抽，此时只有四个签，其中只有一个“女”签和一个“男”签，另两个为空签，求小李或小王抽到“男”签概率． 16. 计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 （1）第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． （2）计算：． 17. 如图，点A反比例函数的图象上，点C在x轴上，轴，垂足为B，，，，交反比例函数的图象于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元． （1）求篮球和排球的单价； （2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 20. 如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． ． （1）求显示屏所在部分的宽度； （2）求镜头A到地面的距离． （参考数据：，，，结果保留一位小数） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为了有效提升学生综合素质，同时减轻学生课业负担，决定在全校开展丰富多彩学生课外活动，经研究确定课外活动类型为体育、社会实践、文化艺术、科技创新和读书共五类项目，并在组织活动前进行了初步调查，调查要求在以上五类项目中只能选一项最感兴趣的一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的统计图，请解答下列问题： （1）求m的值； （2）补全条形统计图； （3）求“社会实践”所对扇形圆心角的度数； （4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢读书活动的学生数，根据统计图中的数据，请你针对课外活动提出一条合理化建议． 22. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点都是“相反点”． （1）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式：_________； （2）小芳在研究抛物线时，发现它图象上有且只有一个“相反点”．请你帮她求出a，b的值． （3）在（2）的条件下将抛物线向上平移1个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，（其中）．当时，直接写出中y的最大值与最小值的差． 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 于都县2025年摸底考试数学试卷 （本试卷6页，六个大题，23个小题，满分120分．考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵， ∴下列各数中，最大的数是． 故选：B． 2. 一套《辞海》大约有23500000个字，其中数23500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示一个较大的数．用科学记数法表示一个数就是把一个数写成的形式，其中，当这个数比较大时，小数点向左移动几位就是几．据此解答即可． 【详解】解： 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、单项式除法、单项式乘多项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. 根据合并同类项、积的乘方、单项式除法、单项式乘多项式逐项判断即可. 【详解】解：A.和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. ，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意. 故选D. 4. 在水平的桌面上放置着如图所示的实物，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 根据图形及三视图可直接进行排除选项． 【详解】解：由图形可知其左视图为； 故选：C． 5. 如图，，平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质可得，由平分，得，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】，， ， 平分， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，矩形中，，，点E在矩形的边上，则当的一个内角度数为时，符合条件的点E的个数共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质及勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理及解三角形，根据题意，分三种情况分析，即可求解，根据题意作出相应图形是解题关键． 【详解】解：如图所示，当时，如图所示： ， ∴， 设，则， ∴即， 解得：， ∴对应的存在点满足条件； 当点E在上时，如图所示： 当时，则， ∴， 设，则， ∴即， 解得：，符合题意； 同理对应的点也符合题意； 当时，点E在以O为圆心，长为半径的圆与的交点上，如图所示： 过点O作于点F，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点O作， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点E符合题意； ∴在线段上存在一个点和，满足条件， 综上可得：符合条件的点E的个数共有6个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的绝对值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题关键． 根据的绝对值为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的绝对值为， 故答案为：2． 8. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， 则，解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系． 9. 如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键． 如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵, ∴，即入射光线与反射光线的夹角的度数为． 故答案为：． 10. 古印度数学家所著的《算法本原》一本中记载了一个有趣的猴群问题：一群猴子在树林中玩耍，总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫，设这群猴子共有x只，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，理解题意找到等量关系成为解题的关键． 利用猴子总数为欢乐地蹦跳和在啼叫猴子数之和，据此得出关于x的方程即可． 【详解】解：设这群猴子的总数是x只，则在欢乐地蹦跳是只， 由题意可得：，即． 故答案为：． 11. 如图，中，，D为的中点，延长至E，使，若，则的度数为______． 【答案】##21度 【解析】 【分析】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质，等边对等角及三角形外角的性质，连接，根据题意得出，再由等边对等角确定，，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知A，B，点P在x轴上，把绕点P顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形时，则点P的横坐标为____________________． 【答案】2或或 【解析】 【分析】根据题意，分①当点P在x轴的正半轴上，且时、②如图，当点P在x轴的正半轴上，且、③如图，当点P在x轴的负半轴上，则情况，利用全等三角形和坐标与图形性质分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 设点， ∵点P、B都在x轴上， ∴点P不能为直角顶点， ①如图，当点P在x轴的正半轴上，且时， 由旋转可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为2； ②如图，当点P在x轴的正半轴上，且， 过点作于点D，则， 由旋转可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，则， 解得：，（不合题意，舍去） ∴点P的横坐标为； ③如图，当点P在x轴的负半轴上，则，则， 过点作于点D， 同理可得， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去） ∴点P的横坐标为； 综上所述，点P的横坐标为2或或， 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、解一元二次方程等知识，添加辅助线构造全等三角形，利用分类讨论和数形结合思想求解是解答的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，，平分，交于点，求证． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了绝对值，角平分线和全等三角形的判定与性质，做题的关键是掌握角平分线和全等三角形的判定定理． 利用负数的绝对值是它的相反数，负数的三次幂是负数，最后进行计算即可． （2）根据平分，可得，由于，，可得，最后可得 ． 【详解】（1）由于负数的绝对值是它的相反数，故，负数的三次幂是负数，故． 故原式， ， ． （2）证明：平分， ， ，， ， ． 14. 如图正六边形．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图1中，以为直角边，作一个直角三角形； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查正多边形的性及直角三角形，菱形的性质，熟练掌握基本的知识点进行作图是解题关键 （1）连接，根据题意，得出，再由各角之间的关系即可证明； （2）连接，根据正六边形的性质得出，然后利用菱形的判定即可证明 【小问1详解】 解：如图所示，为直角三角形， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 小问2详解】 如图所示，四边形为菱形， ∵正六边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 15. 某地爱心驿站招募志愿者3人，共有20人报名，小李和小王两男同学报了名．由于报名者都符合条件，故采取抽签的方式决定，所招募的3个志愿者中要求两女一男，于是共做20个签，其中两个写有的“女”的签、一个写有“男”的签，17个未写任何字的空签，每个签从外观上无任何差别． （1）若小李先抽，正好抽到的是“男”签概率为______； （2）若小李和小王两人分别在第17和18个抽，此时只有四个签，其中只有一个“女”签和一个“男”签，另两个为空签，求小李或小王抽到“男”签的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式和运用画树状图法或列表法求概率： （1）根据共有20个签，只有1个男签，利用概率公式计算即可得到答案； （2）画树状图共有12种等可能的结果数，抽到男签的有2种结果，根据概率公式计算即可得到答案 【小问1详解】 解：∵共有20个签，只有1个男签， ∴小李先抽，正好抽到的是“男”签概率为， 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，而小李或小王抽到“男”签的共有6种， 所以，小李或小王抽到“男”签的概率为： 16. 计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 （1）第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． （2）计算：． 【答案】（1）；； （2）1． 【解析】 【分析】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分式的基本性质，通分即可得出结果； （2）先把分子分母因式分解，约分，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，点A反比例函数的图象上，点C在x轴上，轴，垂足为B，，，，交反比例函数的图象于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，包括确定反比例函数及一次函数解析式，勾股定理解三角形，函数交点问题等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，设，根据勾股定理得出，确定，代入即可确定反比例函数解析式； （2）利用待定系数法确定一次函数解析式，然后联立两个函数求交点即可． 【小问1详解】 解：∵轴，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得：， ∴； 【小问2详解】 设直线的解析式为，将点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立两个函数， 解得：或， ∴点D的坐标为 ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元． （1）求篮球和排球的单价； （2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率． 【答案】（1）篮球的单价为48元，排球的单价为56元 （2）排球的最大损耗率为10% 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式． （1）设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，根据购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率，得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 设篮球的单价为x元，排球的单价为y元， 根据题意，得 解得 答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元； 【小问2详解】 设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率， 根据题意，得， 解得， 即排球的最大损耗率10%． 答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元，排球的最大损耗率为． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 20. 如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． ． （1）求显示屏所在部分的宽度； （2）求镜头A到地面的距离． （参考数据：，，，结果保留一位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出，从而可证四边形是矩形，进而可得，，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ，与水平地面所成的角的度数为， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为． 过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则． ， ， 【小问2详解】 解：如图，连接，作垂直反向延长线于点， ，为的中点， ． ，， ． ，， 四边形为矩形，． ， ． ． ， 镜头到地面的距离为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为了有效提升学生综合素质，同时减轻学生课业负担，决定在全校开展丰富多彩的学生课外活动，经研究确定课外活动类型为体育、社会实践、文化艺术、科技创新和读书共五类项目，并在组织活动前进行了初步调查，调查要求在以上五类项目中只能选一项最感兴趣的一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的统计图，请解答下列问题： （1）求m的值； （2）补全条形统计图； （3）求“社会实践”所对扇形圆心角的度数； （4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢读书活动的学生数，根据统计图中的数据，请你针对课外活动提出一条合理化建议． 【答案】（1）150 （2）见解析 （3） （4）360人；建议见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体． （1）用最喜欢读书的人数除以它占的百分比得到m的值； （2）先计算出“社会实践”的人数，然后补全条形统计图； （3）用“社会实践”人数所占的百分比乘以即可得出所对应扇形的圆心角的度数； （4）利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢读书活动的学生数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：根据题意：． 【小问2详解】 “社会实践”的人数为：． 补全图形如下： 【小问3详解】 所对应扇形的圆心角的度数为：． 【小问4详解】 估计该校最喜欢读书活动的学生数：人． 建议：学校鼓励学生多参加体育活动，强身健体． 22. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点都是“相反点”． （1）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式：_________； （2）小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”．请你帮她求出a，b的值． （3）在（2）的条件下将抛物线向上平移1个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，（其中）．当时，直接写出中y的最大值与最小值的差． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，结合题意将点，代入，利用待定系数法求解即可； （2）由点在抛物线上，可得，可知，即由，根据抛物线的图像上有且只有一个“相反点”，结合一元二次方程的根的判别式求解即可； （3）先得出平移后的抛物线的解析式为，再根据“相反点”求得，，根结合二次函数的图像与性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 结合题意，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴，即， ∵抛物线的图像上有且只有一个“相反点”， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：将抛物线向上平移1个单位得到抛物线， ∴的解析式为， 当时，可有， 整理可得，解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值为， ∴中y的最大值为， 当时，y有最小值为， ∴中的最大值与最小值的差为：． 【点睛】本题主要考查了相反数、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数平移问题、二次函数与一元二次方程综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）①证明见解答；②． 【解析】 【分析】（1）如图 2 ，作辅助线构建平行四边形，根据，可得矩形，所以，即可解答； （2）如图3，由（1）同理得，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，同理得：，即可解答； （ 3 ）①如图 4 ，连接，根据证明，可得，根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论； ②如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于，由（2）可得：，根据，得，证明，列比例式可得和的长，设，则，由勾股定理列方程可得的长，计算的长，根据菱形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图 2 ，延长到，使，连接， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图3，∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案：； （3）①证明：如图4，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵是的中点， ， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴为菱形； ②解：如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵是的中点， ∴（2）可得：， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：（舍），， ， ， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$