精品解析：四川省内江市威远县凤翔中学2024－2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题

凤翔中学2025届初三毕业班第一次模拟检测数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2022 C. D. 2. 被命名为新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米，将0.00000009用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，立体图形左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 如图，与正六边形的边分别交于点F，G，则弧对的圆周角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某班七个合作学习小组人数如下：4、5、5、x、6、7、8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是【 】 A 5 B. 5.5 C. 6 D. 7 9. 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2022次输出的结果为（　　） A. 5 B. 25 C. 1 D. 125 10. 已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ） A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边上的一个动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，的垂直平分线与反比例函数的图象交于点E，与交于点D，与x轴交于点C．连接并延长，交于点F．若，且，则k的值为（　　） A. 7 B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 分解因式：=____________． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，以为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为________． 15. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 16. 如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第2022个黄金三角形的周长______________ 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数． 19. 由于2020年新型冠状病毒袭击，不得不推迟开学，但停课不停学，各地都开展了网课．某中学为了解学生上网课情况，开学后从全校七年级学生中随机抽取部分学生进行了数学科目的测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：合格；D级：不合格），并将测试记录绘成如下两幅完全不同的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试学生数是 （2）图1中A级扇形的圆心角α的度数是 ，并把图2中的条形统计图补充完成； （3）该中学七年级共有1200名学生，如果全部参加这次数学科目测试，请估计不合格的人数是 （4）若此次测试有2个女生和2个男生满分，现从中随机抽取2人参加竞赛，请用画树状图或列表方法求出恰好抽到2个男生的概率． 20. 周末，小涛想用所学的数学知识测量一斜坡上松树的高度（松树与地面垂直），测量时，他先选择在水平地面的F处垂直于地面放置测角仪．从E点测得松树顶端A的仰角为，松树底部B的仰角为，已知斜坡上松树底部B到坡底C的距离米，米，坡角，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，求松树的高度（参考数据：，，） 21. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． （1）求花园的面积S与x的函数关系式； （2）在P处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内；（含边界，不考虑树的粗细） ①若花园的面积为，求x的值； ②求花园面积S的最大值． B卷（共60分） 一、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 设，是方程的两根，则的值为_________； 23. 已知直线AB的解析式为：y=kx+m，且经过点A（a，a），B（b，8b）（a＞0，b＞0）．当是整数时，满足条件的整数k的值为　　． 24. 如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则的最大值是___． 25. 如图，已知▱ABCD中，AB＝16，AD＝10，sinA＝，点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB，交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处，当△CDE为直角三角形时，AM的长为_____． 三、解答题：（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 阅读理解：对于任意正实数a、b，∵， ∴， ∴，只有当时，等号成立． 结论：在（a、b均为正实数）中，若为定值p，则，只有当时，有最小值． （1）根据上述内容，填空：若，只有当 时，有最小值，最小值为 ． （2）探索应用：如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． （3）实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共490元；二是燃油费，每千米为元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为．设该汽车运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低平均每千米的运输成本是多少？ 27. 如图，是的直径，点C是上一点，过点C作弦于E，点F是上一点，交于点H，过点F作一条直线交的延长线于M，交的延长线于G，． （1）求证：是的切线； （2）若，试探究之间的关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 28. 如图，二次函数交轴于点，交轴于点C，顶点为D，对称轴与交于点E，动直线垂直于轴，交线段于点F，交抛物线于点P，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到B点． （1）求二次函数的解析式； （2）当四边形为平行四边形时，求点P的坐标； （3）连接，在直线移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 凤翔中学2025届初三毕业班第一次模拟检测数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2022 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是倒数，解答本题的关键是熟练掌握倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数． 根据倒数的定义依次分析即可得到结果． 【详解】解：， 的倒数是， 故答案为：C． 2. 被命名为新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米，将0.00000009用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000009=9×10-8． 故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则及同底数幂除法法则依次计算判断． 【详解】解：A、a2与a4不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、2a与3b不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、，正确，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的计算法则，正确掌握合并同类项法则，幂的乘方法则及同底数幂除法法则是解题的关键． 4. 如图，立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：从左面看易得图形呈：“日“字形．故选A． 考点：简单组合体的三视图． 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：第1个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； 第2个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； 第3个图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不正确； 第4个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确． 故符合题意的有3个． 故选：B． 6. 如图，与正六边形的边分别交于点F，G，则弧对的圆周角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形内角与外角．首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，即， ∴． 故选：B． 7. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式即可求解． 【详解】解：根据题意可列不等式组， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于或等于0，分母不得0． 8. 某班七个合作学习小组人数如下：4、5、5、x、6、7、8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是【 】 A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】∵4、5、5、x、6、7、8的平均数是6， ∴（4+5+5+x+6+7+8）÷7=6， 解得：x=7． 中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为4、5、5、6、7、7、8， ∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：6． 故选C． 考点：平均数，中位数． 9. 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2022次输出的结果为（　　） A. 5 B. 25 C. 1 D. 125 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：当x＝125时，x＝25， 当x＝25时，x＝5， 当x＝5时，x＝1， 当x＝1时，x+4＝5， 当x＝5时，x＝1， 当x＝1时，x+4＝5， 当x＝5时，x＝1， … 从第二次输出的结果开始，5，1，5，1……，每两个一循环 （2022﹣1）÷2＝1010……1， 即输出的结果是5， 故选A． 【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 10. 已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ） A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0可判断⑤． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a<0， ∵对称轴x==1>0， ∴b=-2a， ∴b>0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，①错误； ∵b=-2a， ∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误； 由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误； 当x=1时，y有最大值，y=a+b+c， 当x=n时，y=an2+bn+c， a+b+c>an2+bn+c， 即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确； 当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0， ∵b=-2a，即a=， 代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0， +c<0， -3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的关系是解题关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边上的一个动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——路径最短问题，勾股定理，解直角三角形．作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，则此时的值最小，求出，进而得到，求出、，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，则此时的值最小， ， ， 顶点B的坐标为， ，， 则，， ，， 由三角形的面积公式得：， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 点坐标为， ， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为， 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，的垂直平分线与反比例函数的图象交于点E，与交于点D，与x轴交于点C．连接并延长，交于点F．若，且，则k的值为（　　） A. 7 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由是的垂直平分线可得是的中位线，结合，可得，即．易证，所以，则，设，则，则，，，求出x的值，则可求出点E的坐标，进而可求出k的值． 【详解】解：如图，连接OD， 由题意可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，即点D为的中点． ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， 则，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的相关运算等知识，解题的关键是根据面积之间的关系得出方程． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 分解因式：=____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=， 故答案：． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，以为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去的面积即可得． 【详解】四边形ABCD是菱形，，， ， ， 则阴影部分的面积为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 15. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x，然后根据分式方程的解为正数，结合分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得：， 解得． ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 16. 如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第2022个黄金三角形的周长______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割、图形变化的规律及等腰三角形的性质．根据题意，依次表示出黄金三角形的周长，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个黄金三角形的周长为：； 第2个黄金三角形的周长为：； 第3个黄金三角形的周长为：； …， 所以第n个黄金三角形的周长为（n为正整数）． 当时， 第2022个黄金三角形的周长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算．根据特殊三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、去绝对值的法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数． 【答案】（1）见解析 （2）62° 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，从而得到∠E=∠D CF，∠EAF=∠D，可证得△AEF≌△DCF，进而得到AE=CD，即可求证； （2）根据AB＝AE，可得BE=2AE，从而得到BC=BE，进而得到∠BCE=∠E＝31°，进而得到∠ABC=118°，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴BE∥CD， ∴∠E=∠D CF，∠EAF=∠D， ∵点F是AD中点， ∴AF=DF， ∴△AEF≌△DCF， ∴AE=CD， ∴AB=AE； 【小问2详解】 解：∵AB=AE， ∴BE=2AE， ∵BC＝2AE， ∴BC=BE， ∴∠BCE=∠E＝31°， ∴∠ABC=180°-∠E-∠BCE=118°， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∴∠DAB=62°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 19. 由于2020年新型冠状病毒的袭击，不得不推迟开学，但停课不停学，各地都开展了网课．某中学为了解学生上网课情况，开学后从全校七年级学生中随机抽取部分学生进行了数学科目的测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：合格；D级：不合格），并将测试记录绘成如下两幅完全不同的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生数是 （2）图1中A级扇形的圆心角α的度数是 ，并把图2中的条形统计图补充完成； （3）该中学七年级共有1200名学生，如果全部参加这次数学科目测试，请估计不合格的人数是 （4）若此次测试有2个女生和2个男生满分，现从中随机抽取2人参加竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到2个男生的概率． 【答案】（1）40 （2）；图见解析 （3）60； （4）恰好抽到2个男生的概率是． 【解析】 【分析】本题考查了列表法和树状图法求概率，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体． （1）根据B级的人数与所占的百分比进行求解； （2）将A级所占的百分比乘以即可求出∠α的度数，结合（1）求出C级的人数，补全条形统计图即可； （3）将1200乘以D级所占的百分比即为所求； （4）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【小问1详解】 解：本次抽样测试的学生数（人）； 故答案为：40； 小问2详解】 解：， C级调查人数（人）， 补全条形统计图： 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 所以不合格的人数为60人； 故答案为：60； 【小问4详解】 解：所列树状图为： 共有种等可能结果，其中恰好抽到2个男生的结果有2种， 答：恰好抽到2个男生的概率是． 20. 周末，小涛想用所学的数学知识测量一斜坡上松树的高度（松树与地面垂直），测量时，他先选择在水平地面的F处垂直于地面放置测角仪．从E点测得松树顶端A的仰角为，松树底部B的仰角为，已知斜坡上松树底部B到坡底C的距离米，米，坡角，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，求松树的高度（参考数据：，，） 【答案】树高米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题．首先在中求得的长，然后求得的长，进而求得的长，然后在中即可求得的长，从而求得树高． 【详解】解：延长交地面于点，作于点，如图， 则四边形为矩形， 由题意得：，，，，． 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 树高米． 21. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． （1）求花园的面积S与x的函数关系式； （2）在P处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内；（含边界，不考虑树的粗细） ①若花园的面积为，求x的值； ②求花园面积S的最大值． 【答案】（1） （2）①x的值为12；②花园面积S的最大值为195平方米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数实际应用，一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）设米，则米，再根据矩形的面积公式即可得出S与x的函数关系式； （2）①根据要将这棵树围在花园内，且含边界，不考虑树的粗细，可求出x的取值范围为，再根据花园的面积为，即可列出关于x的一元二次方程，解出x，再结合x的取值范围取值即可；②根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设米，则米， ∴； 【小问2详解】 解：①∵要将这棵树围在花园内，且含边界，不考虑树的粗细， ∴，， ∴， 解得：． ∵花园的面积为， ∴， 解得：（舍）， ∴x的值为12； ②∵， 又∵，， ∴当时，S最大，最大值为平方米， ∴花园面积S的最大值为195平方米． B卷（共60分） 一、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 设，是方程的两根，则的值为_________； 【答案】24 【解析】 【分析】代入两个根并利用韦达定理得到，计算求解即可． 【详解】∵，是方程的两根， ∴， ∴ 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的运用及韦达定理的运用，能够熟练利用根进行降次计算是解题关键． 23. 已知直线AB的解析式为：y=kx+m，且经过点A（a，a），B（b，8b）（a＞0，b＞0）．当是整数时，满足条件的整数k的值为　　． 【答案】9或15． 【解析】 【详解】把A（a，a），B（b，8b）代入y=kx+m得： ， 解得：k==+1=+1， ∵是整数，k是整数， ∴1﹣=或， 解得：b=2a或b=8a， 则k=15或k=9， 故答案为9或15． 24. 如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则的最大值是___． 【答案】6 【解析】 【分析】连接AC，OD，DE，根据圆周角定理的推论，推出AC是⊙D的直径，设E（x，y），利用勾股定理分别求出求出，得到 与的关系，推出当最大时，最大，根据圆中直径最长，即可求出的最大值． 【详解】解：连接AC，OD，DE， 设E（x，y）， ∵， ∴AC是⊙D的直径， ∵AO＝BO＝CO＝1， ∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0）， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴当OE为⊙D的直径时，OE最大，的值最大， ∴， ∴的最大值， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 如图，已知▱ABCD中，AB＝16，AD＝10，sinA＝，点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB，交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处，当△CDE为直角三角形时，AM的长为_____． 【答案】4或8﹣ 【解析】 【分析】①当∠CDE＝90°，如图1，根据折叠的性质得到MN⊥AB，AM＝EM，得到AN＝DN＝AD＝5，设MN＝3x，AN＝5x＝5，于是得到AM＝4；②当∠DEC＝90°，如图2，过D作DH⊥AB于H，根据相似三角形的性质得到，由sinA＝，AD＝10，得到DH＝6，AH＝8，设HE＝x，根据勾股定理求出x的值，继而求得AE的值，从而得到AM的值，即可得到结论． 【详解】当△CDE为直角三角形时， ①当∠CDE＝90°，如图1， ∵在▱ABCD中，AB∥CD， ∴DE⊥AB， ∵将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处， ∴MN⊥AB，AM＝EM， ∴MN∥DE， ∴AN＝DN＝AD＝5， ∵sinA＝， ∴设MN＝3x，AN＝5x＝5， ∴MN＝3， ∴AM＝4； ②当∠DEC＝90°，如图2， 过D作DH⊥AB于H， ∵AB∥CD， ∴∠HDC＝90°， ∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠HDE＝∠DCE， ∴△DHE∽△CED， ∴， ∵sinA＝，AD＝10， ∴DH＝6， ∴AH＝8， 设HE＝x， ∴DE＝， ∵DH2+HE2＝DE2， ∴62+x2＝16x， ∴x＝8﹣2，x＝8+2(不合题意舍去)， ∴AE＝AH+HE＝16﹣2， ∴AM＝AE＝8﹣， 综上所述，AM的长为4或8﹣， 故答案为4或8﹣． 【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 阅读理解：对于任意正实数a、b，∵， ∴， ∴，只有当时，等号成立． 结论：在（a、b均为正实数）中，若为定值p，则，只有当时，有最小值． （1）根据上述内容，填空：若，只有当 时，有最小值，最小值为 ． （2）探索应用：如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． （3）实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共490元；二是燃油费，每千米为元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为．设该汽车运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低平均每千米的运输成本是多少？ 【答案】（1）2；4 （2）四边形面积的最小值为12，此时四边形为菱形 （3）当时，该汽车平均每千米的运输成本最低，且最低平均每千米的运输成本为元． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的结论，可知当，即时，有最小值； （2）若设，则，利用题目给出的结论，可知当，即时，有最小值，可求出点P，C，D的坐标，从而判断四边形的形状； （3）根据题意得出该汽车平均每千米的运输成本为： ，再利用题目给出的结论，求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 即， 当时，有最小值4， 即， 解得：或（舍去）， 即当时，有最小值4． 【小问2详解】 解：设，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴有最小值4， 此时有最小值12． ∵只有当时，即时，等号成立． ∴四边形面积的最小值为12． 此时，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：设该汽车运输的路程为x千米，则该汽车平均每千米的运输成本为： ， ∵， ∴， 即， 只有当时，等号成立， 此时， 解得：，负值舍去， ∴当时，的最小值为， ∴当时，该汽车平均每千米的运输成本最小，且最小值为（元）． 【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力与分析、解决实际问题的能力，是近几年中考的热点．涉及到的知识有菱形的判定，二次根式的应用，反比例函数的图象和性质，透彻理解及灵活运用题目给出的结论是解决本题的关键． 27. 如图，是的直径，点C是上一点，过点C作弦于E，点F是上一点，交于点H，过点F作一条直线交的延长线于M，交的延长线于G，． （1）求证：是的切线； （2）若，试探究之间的关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，可得，再由，可得，即可求证； （2）连接，证明，可得，即可解答； （3）连接，根据题意可设，则，在中，利用勾股定理可得 ，从而得到，设半径为r，则，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接，如图： ∵， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 设半径为r，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆切线的判定、相似三角形性质和判定、勾股定理、圆中的有关计算及三角函数等知识，解题的关键是求出圆的半径． 28. 如图，二次函数交轴于点，交轴于点C，顶点为D，对称轴与交于点E，动直线垂直于轴，交线段于点F，交抛物线于点P，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到B点． （1）求二次函数的解析式； （2）当四边形为平行四边形时，求点P的坐标； （3）连接，在直线移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似，此时点P的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式为； （2）证，只要，四边形即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线的解析式求出点E的坐标，则，设点P的横坐标为t，则P的坐标为，F的坐标为，由得出方程，解方程进而得出答案； （3）由平行线的性质得出，当时，，则，得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴把，代入得， ， 解之得，， ∴抛物线解析式； 【小问2详解】 解：①对于，令，则， ∴， 设所在直线的表达式为：， 将、代入， 得： ， 解得：， ∴所在直线的表达式为：； ∵轴，轴， ∴， 只要，四边形即为平行四边形， ∵， ∴点D的坐标为：， 将代入，即， ∴点E的坐标为：， ∴， 设点P的横坐标为t， 则P的坐标为：，F的坐标为：， ∴， 由得：， 解得：（不合题意舍去），， 当时，， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：存在点P，使得以点P，C，F为顶点三角形与相似． 理由如下：如图2所示： 由（2）得：， ∴， 又∵与有共同的顶点C，且在的内部， ∴， ∴只有时，， ∴， ∵、， ∴， 由（2）得：，，F的坐标为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴点P的坐标为：． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$