精品解析：2025年江苏省扬州市梅岭集团中考一模数学试题

梅岭中学教育集团2024-2025学年初三第一次模拟考试试卷 数学学科 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可． 【详解】解：∵气温升高时，气温变化记作， ∴气温下降时，气温变化记作． 故选：B． 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三棱柱的展开图的特点作答． 【详解】解：A、是三棱柱的平面展开图； B、是三棱锥的展开图，故不是； C、是四棱锥的展开图，故不是； D、两底在同一侧，也不符合题意． 故选：A． 【点睛】熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 4. 能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制（　　） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 直方图 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图的特点解答． 【详解】解：能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制折线统计图， 故选：C． 【点睛】此题考查了统计图的特点，条形统计图能够直观地反映各变量数量的差异，折线图能直观反映各变量的变化趋势，扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中所占的百分比，直方图体现个体的数量，熟记每种统计图的特点是解题的关键． 5. 如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理求得，得到，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、乘方运算、合并同类项、完全平方公式，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意； B.，故正确，符合题意； C.，故错误，不合题意； D.，故错误，不合题意； 故选：B． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 8. 如图，四边形的对角线，相交于点O，分别记，，，的面积为，，，，若，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，同底等高的两个三角形面积相等，高相等的两个三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据同底等高的两个三角形面积相等可判断A；根据高相等的两个三角形的面积比等于底边的比得到，，进而可判断B和C；将代入即可判断D． 【详解】解：∵ ∴（同底等高的两个三角形面积相等） ∴ ∴，故A正确； ∵点A，O，C共线 ∴点B到的距离等于点B到的距离 ∴，即 同理可得，，即 ∴ ∵和不一定相等 ∴和不一定相等，故B正确； ∴，故C正确； ∴ ∴ ∴，故D正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：∵实数范围内有意义，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：=， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数小于1时，n是负整数，等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式．先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，其侧面展开图的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积计算公式是解题关键． 根据视图的意义得知此圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形的面积公式为，为扇形的弧长，为扇形的半径，即扇形的母线长，分别代入即可求解． 【详解】解：根据题意，得：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的半径为，底面圆的周常即弧长为， 这个圆锥的侧面展开图的面积为． 故答案为：． 13. 一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】从小到大假设黑球的个数，探讨所有的等可能结果，做出判断． 【详解】若，根据实验方法，摸出两个球，则至少有一个白球； 若，根据实验方法，摸出两个球，则存在可能结果：摸出两个黑球，不符合题意． 故答案为：1． 【点睛】本题考查必然事件定义，根据实验方法探讨不同情况下所有等可能结果是解题的关键． 14. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举个反例，得出它是错误的即可． 【详解】解：假设，则满足， 但， 因此，这个命题是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握举反例得出一个命题为假命题是解题的关键．判断一个命题为真需要经过证明，但判断一个命题为假，只需要找到一个反例即可． 15. 已知是直线上的两点，若，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 当时，，可知随着的增大而增大，即，计算求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴随着的增大而增大， ， 解得，， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则__ °． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点， ， ， ， ， ， 故答案为： 24 ． 17. 如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是截图关键． 连接交于点，通过直角三角形的性质得，结合折叠的性质证得，可得，即可求解． 详解】解：如图，连接交于点， 点为的中点，， ， ， ， ， 将沿着折叠，使点落在边的中点处， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则__． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于C，过作轴于，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，证明得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：过作轴于C，过作轴于，则， ∵点坐标是， ， 在中，，则， 由旋转性质得，点在第一象限中， ，又， ， ， ， ∵的坐标是，且在第一象限， ， ， ∵在函数的图象上， ，且， ， ， ， （负舍）， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及旋转性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、完全平方公式等知识，熟练掌握旋转性质和相似三角形的性质是解答的关键． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算；特殊角的三角函数值，解题的关键是： （1）先计算零指数幂、负整数指数幂及特殊角三角函数值，再计算加减即可； （2）先计算括号里，再将除法转化为乘法进行分式的约分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，该不等式组的整数解为0，1，2，3． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的整数解为0，1，2，3． 21. 寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组观看视频课时长频数分布表 组别 频数 A 5 B 12 C m D 15 E 8 请根据以上信息回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ； （2）A组数据的众数是 ，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是 ； （3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数． 【答案】（1）60 （2）0.2； （3）该校学生观看视频课时长超过的人数约有690人 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图，频数分布表，读懂统计图，看懂分布表，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）利用样本估计总体计算即可； （）利用众数的定义计算，利用扇形的知识计算求解可得到结论； （）利用项目的人数除以其所占的百分比即可得到结论， 【小问1详解】 解：∵组占，频数为， ∴本次调查的样本容量是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵组的数据分别为：，，，，，出现次数最多， ∴众数为， 组的数据有（人）； ∴扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生观看视频课时长超过人数为人． 22. 某班举行“红领巾寻访”展示活动，活动设计的项目及要求如下：A-讲一讲革命故事，B-说一说家乡变化，C-写一写美好愿望，D-画一画宏伟蓝图．人人参加，每人从中任意选一项．为公平起见，班委会制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-讲一讲革命故事”的概率是_____________； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 将圆形转盘四等分并标上字母、、、， 任意转动转盘一次，选到“、讲一讲革命故事”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图知，共有16种等可能的结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种， 甲和乙选到不同活动项目的概率为． 23. 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 【答案】每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为，根据数量、总金额与单价的关系，找到等量关系，列分式方程求解，并检验作答． 【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为元． 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元． 24. 如图①，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图②．连接，若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可证明得到，再由直角三角形的性质证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是正方形，得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，则． 【小问1详解】 证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵， 且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴， 设 ， 则， ∵，， ∴， 解得 （负根已经舍弃）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的判定定理是解题的关键． 25. 如图，中，． （1）尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，过点P作于点D，根据特殊角的三角函数值得出，再根据角平分线的定义知，再根据圆周角定理得，然后根据解直角三角形的知识得，最后根据直径弦围成的封闭图形的面积为即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，先作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，再作的平分线，交于点P， 则点P即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴． 由（1）知，，为的平分线， ， ∴， ， ∴直径、弦、围成的封闭图形的面积为：． 【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，线段垂直平分线，扇形的面积公式，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 26. 某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． （1）根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； （2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】（1）3016；5625 （2）①详见解析；②99 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）根据上述的运算规律计算，即可求解； （2）①根据题意可得这两个两位数分别为，，从而得到这个运算规律为，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：，可得新的两个两位数分别为，，进而得到，然后计算出，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ； 【小问2详解】 解：①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴另一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴这两个两位数分别为，， 根据题意得：这个运算规律为， 证明：左边 右边， ∴左边右边； ②由①得：， ∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘， ∴新的两个两位数分别为，， ∴ ， ∴ ， ， ∵a，b为正整数， ∴为整数， ∴能被99整除， ∴这个两位数的最大值为． 27. 若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． （1）如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． （2）如图2，点P是矩形边的“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． （3）当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 【答案】（1）详见解析 （2）①或； ② （3）对角互补 【解析】 【分析】（1）由，可证明，可得，即可证明结论； （2）过点作直线交于于，连结，①结合“等距点”定义可知点在矩形边和的垂直平分线上，先证明四边形是矩形，结合其性质证明，得，设，则，列出方程即可求解； ②根据正切造的定义得，可得，即，设，则，得，由二次函数的性质即可求解． （3）根据“等距点”的定义得出，四边形是圆P的内接四边形，再根据圆内接四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：∵于点， ， 又 ∵，则， ， ∴点是边的“等距点”； 【小问2详解】 解：过点作直线交于于，连结， ∵点是矩形边“等距点”， ， 又 ∵直线， ∴直线是矩形边的中垂线， ∴点在矩形边和的垂直平分线上， ， ∵矩形中，， ， ， 交于于， ， 又 ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴的值为或； ②∵于， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，有最大值 25， ∴有最大值， ∴当时，的最大值是． 【小问3详解】 解：∵该四边形的四条边的“等距点”交于一点， ∴“等距点”点P到点四点距离相等， ∴四边形是圆P的内接四边形， ∴四边形的对角互补， 故当四边形满足对角互补时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点， 故答案为：对角互补． 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正切的定义，二次函数，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 28. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用． （1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点． ∴直线的表达式为， ∴设， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形， ∴，， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），，， 当时，点E在H右侧，如图2所示，，， ∴； ②L关于m函数图象如图所示， 当时，， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梅岭中学教育集团2024-2025学年初三第一次模拟考试试卷 数学学科 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ） A. B. C. D. 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 4. 能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制（　　） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 直方图 5. 如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形的对角线，相交于点O，分别记，，，的面积为，，，，若，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x取值范围是_______． 10. 华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为_________． 11. 因式分解：__________． 12. 一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，其侧面展开图的面积是__． 13. 一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n＝_____． 14. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）． 15. 已知是直线上的两点，若，则k的取值范围是______． 16. 如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则__ °． 17. 如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为__． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则__． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）化简：． 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 21. 寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组观看视频课时长频数分布表 组别 频数 A 5 B 12 C m D 15 E 8 请根据以上信息回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ； （2）A组数据的众数是 ，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是 ； （3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数． 22. 某班举行“红领巾寻访”展示活动，活动设计的项目及要求如下：A-讲一讲革命故事，B-说一说家乡变化，C-写一写美好愿望，D-画一画宏伟蓝图．人人参加，每人从中任意选一项．为公平起见，班委会制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-讲一讲革命故事”的概率是_____________； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 23. 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 24. 如图①，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图②．连接，若，求的长． 25. 如图，中，． （1）尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 26. 某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． （1）根据上述运算规律，直接写出结果： ； ； （2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 27. 若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． （1）如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． （2）如图2，点P是矩形边“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． （3）当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 28. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$