福建省泉州市南安市区四校联盟2024-2025 学年 初中毕业班数学综合卷

2024-2025 学年南安市区“四校联盟”初中毕业班 数学综合卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．） 1．的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 2．如图，一个由6个相同小正方体组成的几何体，则从正面看到的几何体的形状图是（     ） A． B． C． D． 3．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然 语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、 大算力，其技术底座有着多达175000000000个模型参数， 数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．用两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（    ） A．的木条 B．的木条 C．两根都可以 D．两根都不行 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在年植树造林亩，计划年植树造林亩，设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（       ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹， 判断下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．某校为落实五项管理工作的有关要求，随机抽查了部分学生 一周平均每天的睡眠时间，制作如下统计图，则所抽查的学 生每天睡眠时间的众数、中位数分别是（    ） A．7，8 B．7，10 C．8，8.5 D．8，8 9．如图是双曲线和双曲线 的图象，设点在上，轴于点，交于点， 轴于点，交于点，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．我国伟大数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若收入550元记作元，则支出450元记作 元． 12．如图，□的对角线，相交于点，且，第13题 若的周长为14，则的长为 ．第12题 13．如图，菱形中，，，于点，且与交于，则 ． 14．化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气），小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率是 ． 15．已知，满足，则的值为 ． 16．平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A 作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 86 分．） 17．（本题8分）计算： 18． （本题8分）解不等式组：． 19．（本题8分）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 20．（本题8分）先化简分式，其中． 21．（本题8分）如图，、分别与相切于点、，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 22．（本题10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 23. （本题10分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计遮阳棚 问题背景 为使冬天温暖的阳光射入室内，又能遮挡夏天炎热的阳光，请你为餐馆的窗户设计一个遮阳棚． 实验操作 综合实践小组设计直角形遮阳棚，，如图1，窗户的高度记为．一年中的正午时刻，太阳光线与地平面的最大夹角为，太阳光线与地平面的最小夹角为．其中，经计算得①． 方案改进 为防止雨水聚积遮阳棚，综合实践小组又把直角形遮阳棚进行升级改造成圆弧形遮阳棚，如图2． 反思优化 综合实践小组考虑到当餐馆没有顾客时，能够收缩遮阳棚让更多阳光照进来．经改造设计成以点B为圆心，长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚，如图3． 图3 任务一 如图1，请你完成式子①的证明； 任务二 如图3，在圆弧形遮阳棚点M处牵引绳子（其中点M是的中点），绳子由图中和两部分组成，，其中，，． 综合实践小组已经购买5米长的绳子，问绳长是否足够？请说明理由． 24．（本题12分）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25．（本题14分）已知抛物线：（为常数）与轴有且只有一个交点． (1)求的值； (2)将抛物线平移后得到抛物线： ①若抛物线经过原点，点是抛物线在第四象限内任意一点，连接并延长，交抛物线于点．设点的横坐标为，点的横坐标为，求证：为定值； ②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．抛物线的顶点为点， 外接圆的圆心为点．当时，如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点，的纵坐标相等，求长的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年南安市区“四校联盟”初中毕业班数学综合卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D A C D C B 10.解：如图2，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接， ， ， ∴圆心O在上， ∵点G为的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 作交于点I，则， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 12． 13． 14． 15．2 16． 16.解：令，则， ∴， ∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，则点B纵坐标为1， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∵，当点C在线段上时，如图1： ∴，∴， 当点C在线段延长线上时，如图2： ∴，∴， ∵，∴， 设直线解析式为，把代入，得， ∴； 把代入，得，解得：， 把代入，得，解得：； 综上，a的值为或， 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 86 分．） 17．（本题8分）解：原式…………………………………………6分 …………………………………………………8分 18．（本题8分）解： 解不等式①，得，…………………………………………………………2分 解不等式②，得， …………………………………………………………4分 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： …………………………………………………6分 所以不等式的解集为 ………………………………………………8分 19．（本题8分）证明：∵， ∴， ∴，…………………………………………………………………2分 ∵， ∴，…………………………………………………………………4分 ∵， ∴， 即，…………………………………………………………………6分 在和中， ， ∴，…………………………………………………7分 ∴．…………………………………………………………………8分 20．（本题8分）解： ………………………………………2分 ………………………………………4分 ，   ………………………………………………6分            当时，原式………………………………8分    21．（本题8分） （1）证明：连接， 、分别与相切于点、， ，，………………1分 在和中， ， ……………………………2分 ，……………………………………3分 ， ； ……………………………………4分 （2）解：过作于，………………………5分 ，， ， ， ，…………………………………………………………………6分 由勾股定理得：， ，………………………………………………7分 在中，．………………………………8分 22．（本题10分） （1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： ……………………………………………2分 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，…………3分 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为；………………4分 （2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元），……………………6分 ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元），………………………………………………………………………………8分 ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．………………………………10分 23. （本题10分）（1）证明：在中，．………………1分 在中，．………………2分 ∴．………………3分 即．…………………………………4分 （2）连接． ∵，， ∴，． ∴，．……………………………………………5分 ∵点M为的中点， ∴．…………………………………………………………6分 在中，， ∴，…………………………………………………………………7分 ∴． ……………………………………………8分 ∵， ∴．……………………………………9分 ∴绳长足够．………………………………………………………………10分 24．（本题12分）（1） 解：由题意得：，， ，， ，， ，………………………………………………………………1分 ， ，即，…………………………………………2分 解得：， 当时，．……………………………………………3分 （2）解：存在某一时刻，使得的面积等于6， 理由如下： 过点作于，作于，如图1， 则， ， ， …………………………………………………………4分 ，， ， ， ， ， ……………………………………………………5分 ， ，即， 解得：，，……………………………………………6分 ， ， 当时，的面积等于6．………………………………7分 （3）解：存在，使得． 理由如下： (解法一)如图2，过点作于，于，交于，过点作于，……………………………………………8分 则 由（2）可知，，， 是的中点， ，，， ， 在中，， ， ， ，………………………………9分 在中，， ，， ，…………………………………10分 ，即， ，， ，………………………11分 ,， ， ，即，解得：； 存在，使得．……………………………………………12分 (解法二) 以BC所在的直线为轴，BC的垂直平分线为轴建立直角坐标系，原点为G，则点B的坐标为（，），点A的坐标为（，），点E的坐标为（，）, 设直线BC为，则 ……………………………………………8分 解得 ∴直线BC的函数解析式为：……………………………………9分 过点A作AF⊥BE交BC于点F， 又∵点A的坐标为（，） ∴直线AF的函数解析式为：……………………………………10分 当时，由得 ∵⊥,AF⊥BE ∴∥ ∴……………………………………………………………………11分 ∵，，, ∴，解得 存在，使得．…………………………………………12分 25．（本题14分） （1）解：抛物线：（为常数）与轴有且只有一个交点， 一元二次方程只有一个实数根，……………………………1分 即，………………………………………………………2分 解得．………………………………………………………………………3分 （2）①证：由（1）得，抛物线：， 则点的坐标为，，…………………………………4分 设直线的解析式为， 将点坐标代入可得，， 即直线的解析式为， …………………………………5分 抛物线经过原点， ，解得， ， ，…………………………………………………………………………6分 即抛物线：， 点为延长线和抛物线的交点， ，解得，，……………………7分 点在的延长线上， 不符合题意， ，即， 故为定值得证． ……………………………………………………8分 ②解：，两点是抛物线与轴的交点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点， ，， 解得，， 即，，，，……………………9分 要使时，抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使点，的纵坐标相等，满足题意有种临界情况： （i）当抛物线过点（,）如图3 此时，时，， 解得或（舍）……10分 （ii）当抛物线过点（,）如图4 此时，时，，图4 图3 解得或（舍）………………11分 综上所述， 如图5，由圆的性质可知，点E、F在 线段AB的垂直平分线上 设， ……………………12分 图5 ，∵， ，即 ， 即………………………13分 ……………………………………14分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年南安市区“四校联盟” 初中毕业班数学综合卷答题卡 学校 1.答题前，务必先认真核对条码信息，并填写考生信息； 2.填涂时用2B铅笔将选项涂满涂黑，修改时用橡皮擦干净，请注意题号顺序； 3.在指示的答题区域内作答，要求字体工整，笔迹清晰；4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁做任何标记，严禁使用涂改液和修正带。 条形码粘贴区 班级 初 年 班 姓名 一、选择题（40分） 二、填空题（24分） 三、解答题（86分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17．计算： 18．解不等式组： 19． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 20．先化简分式，其中． 请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21． 22. 　23． 23. 　　 请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 图3 请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24. 请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25. 　 请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $$