信息必刷卷05（河北专用，2025新题型）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（河北专用） 考情速递 中考·新动向：题型结构变为选择题12题，填空4题，解答题8题； 中考·新情境：延续河北命题的原创性和创新性，增加题目背景，加强跨学科融合，适当题目阅读量； 命题·大预测：本套试卷选题延续河北往年中考基础题和中档题降低难度，解答题增加情境及应用问题，压轴题各小问低起点，较难小问增加区分度，增强选拔性． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某天，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（  ） 城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 上海 气温/ 10 5 0 A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．上海 2．下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是（   ） （   ） A．坚 B．持 C．并 D．举 4．若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 5．如图，将绕点顺时针旋转，得（与为对应点），若点刚好落在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（　　） A．3 B． C． D．3 7．如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 8．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 10．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 11．如图，直线于点，射线在内部，射线平分，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与互余 D．与互补 12．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．写出一个大小在和之间的整数是 ． 14．有四张完全一样正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ． 中 考 必 胜 中 （中，中） （中，考） （中，必） （中，胜） 考 （考，中） （考，考） （考，必） （考，胜） 必 （必，中） （必，考） （必，必） （必，胜） 胜 （胜，中） （胜，考） （胜，必） （胜，胜） 15．如图，点，是抛物线：上的两点，将抛物线向左平移得到抛物线，且曲线段AB扫过的阴影部分面积为5，则抛物线的解析式为 ．    16．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°．现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为 m． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ． (1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； (2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值． 18．（8分）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 19．（8分）为了解甲、乙两校九年级学生英语人机对话的学习情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生的成续进行了整理和分析． 信息一： 绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：A组：，B组：，C组：，组：） 信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是：80，，，85，，89，，，85． 信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表： 平均数 中位数 众数 甲校 a 乙校 81 80 根据以上信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中D组所在的圆心角度数为______，乙校学生的测试成绩位于D组的人数为______人，表格中______，在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？并说明理由； (2)假设甲校学生共有800人参加此次测试，估计甲校成绩超过86分的人数． 20．（8分）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 21．（9分）甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： (1)求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； (2)若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； (3)在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 22．（9分）小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘得更高！” (1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点O与地面的距离的长度； (2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，说明理由． (3)如果小李想把小王翘高到1米25，试说明你的方法． 23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 24．（12分）如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题： (1)当为何值时四边形是平行四边形？ (2)当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？ (3)求的面积与的关系式； (4)运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 试卷第2页，共25页 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（河北专用） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C B D C A B B D A D B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13． 14． 15． 16．（2+2）． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）由题意，得：， ∴， ∴． 18．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的， ∴， 化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 19．（8分） 【答案】(1)；；；小华的成绩更靠前，理由见解析； (2)估计甲校成绩超过86分的人数有人． 【详解】（1）解：D组所在的圆心角度数为：， 乙校学生的测试成绩位于D组的人数为：（人）， 将甲校的名学生的成绩从小到大排列处在中间的两个数为：， ∴中位数， 小华的成绩更靠前，理由如下： 小明的成绩为分，在甲校中位数分以下，而小华的成绩分，在乙校中位数分之上，因此小华的成绩排名在前， 故答案为：，，； （2）解：（人）， ∴估计甲校成绩超过86分的人数有人． 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ∵， ∴， 由（1），得， ， ，即， ， 解得：， 的长为． 21．（9分） 【答案】(1) (2) (3)乙距离甲1.6米时可以拦截成功 【详解】（1）设抛物线顶点式为， ∵将顶点坐标和点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵新顶点坐标， ∴设新抛物线顶点式为， ∵将点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （3）由（2）求得的函数解析式，当时， 解得（犯规，应舍去），， ∴乙距离甲米时可以拦截成功． 22．（9分） 【答案】(1)米；(2)小李的话不对，见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示， 是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，是地面． ， ， ， 又此跷跷板是标准跷跷板，， ，而米， 得米； （2）解：小李的话不对． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米．如图2所示， 米，米 ∵， ∴，即． ∴，同理可得∽， ∴，由米，得米． 综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高； （3）解：①方案一：如图3所示， 保持长度不变．将延长一半至E，即只将小王一边伸长一半． 使，则， 由∽，得， ∴米． ②方案二：如图4所示，只将支架升高0.125米． ∵，， 又米， ∴， ∴米． 23．（11分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，，点为平面镜的中点， ， 将，坐标分别代入中得， ， 解得， 所在直线的表达式为； （2）解：当入射光线经过、时， 有， 解得， 当入射光线经过，时， 有， 解得， 入射光线与平面镜有公共点， 的取值范围：； （3）解：作出点关于对称点，则，作直线、分别交轴于，， 同理可得直线的表达式为，直线的直线表达式为， 反射光线与轴相交于点， 点纵坐标的取值范围为， 整点有：，共个． 24．（12分） 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， (4)不存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， 即， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （2）解：当点M在的垂直平分线上时，， 如图，过Q点作于H点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 得（不合题意，舍去），， ∴当时，点M在的垂直平分线上； （3）解：①当时，点M在上，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②当时，点M在上，如图， 由①得， 又∵， ∴， ∴， 综上，当时，；当时，； （4）解：不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意， ∴不存在某一时刻t,使三点在同一条直线上． 试卷第2页，共25页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（河北专用） 考情速递 中考·新动向：题型结构变为选择题12题，填空4题，解答题8题； 中考·新情境：延续河北命题的原创性和创新性，增加题目背景，加强跨学科融合，适当题目阅读量； 命题·大预测：本套试卷选题延续河北往年中考基础题和中档题降低难度，解答题增加情境及应用问题，压轴题各小问低起点，较难小问增加区分度，增强选拔性． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某天，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（  ） 城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 上海 气温/ 10 5 0 A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．上海 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算及大小的比较，解题的关键是准确比较有理数的大小． 根据题意得出每个城市与北京气温差的绝对值，然后利用有理数大小比较的方法进行比较即可． 【详解】解：， ∴ ∴与北京气温最接近的城市是哈尔滨． 故选：A． 2．下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算、负整数指数幂运算、化简多重符号、化简绝对值，负数定义，先根据相关性质内容进行化简，再与0比较，小于0即为负数，进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 3．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是（   ） （   ） A．坚 B．持 C．并 D．举 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可得出答案． 【详解】解：原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是持， 故选：B． 4．若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 5．如图，将绕点顺时针旋转，得（与为对应点），若点刚好落在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，，则可得，进而可得答案． 【详解】解：由旋转得，，，， ， ． 故选：C． 6．计算的结果是（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算．根据乘法的定义：m个3    相加表示为    ，根据乘方的定义：    n    个4相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，     故的结果是． 故选：A． 7．如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比等于位似比可得四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心是， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为， 故选：． 8．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，然后可进行排除选项． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， 故选B． 9．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 10．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程或方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程组和解方程是解题的关键． 【详解】解：设如图所示位置上的数分别是m，n，根据题意，得 ， 解得， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 11．如图，直线于点，射线在内部，射线平分，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与互余 D．与互补 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，从而可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而可得与不互余，再利用邻补角定义可得，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， 射线平分， ， ， ， ， 与不互余， ， ， 与互补， 故A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，余角和补角，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．写出一个大小在和之间的整数是 ． 【答案】（答案不唯一，5,6都可以） 【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．求出，估算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴符合题意的整数是：或或， 故答案为：． 14．有四张完全一样正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的汉字相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下， 中 考 必 胜 中 （中，中） （中，考） （中，必） （中，胜） 考 （考，中） （考，考） （考，必） （考，胜） 必 （必，中） （必，考） （必，必） （必，胜） 胜 （胜，中） （胜，考） （胜，必） （胜，胜） 由表可知：共有种等可能的结果出现，其中两张卡片上的汉字相同的情况有种， 两张卡片上的汉字相同的概率是． 故答案为：． 15．如图，点，是抛物线：上的两点，将抛物线向左平移得到抛物线，且曲线段AB扫过的阴影部分面积为5，则抛物线的解析式为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移、二次函数的综合题等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由题意知，图中阴影部分的面积是平行四边形的面积，根据点A、B的坐标求得该平行四边形的一高为1，结合平行四边形的面积公式求得底边长为5，即平移距离是5，然后结合平移规律解答即可． 【详解】解：如图：∵曲线段扫过的面积为5（图中的阴影部分），点，， ∴平行四边形的高为， ∵曲线段AB扫过的阴影部分面积为5， ∴，即， 即将函数的图象沿x轴向左平移5个单位长度得到一条新函数的图象， ∴抛物线的解析式是，即． 故答案为：．    16．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°．现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为 m． 【答案】（2+2）． 【分析】利用勾股定理先求出圆弧的半径，然后分析出h取得最大值时为OB与地面垂直时，从而可解． 【详解】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q， 如图1，AB，AD的长分别是2m和4m，圆心角∠COD＝120°， ∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝， ∴OD＝2，PQ＝5， 当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时 h＝， 如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和， 易知，OQ≤OB， 而h＝OP+OQ＝2+OQ， ∴当点Q与点B重合时，h取得最大值， 由图1可知，OQ＝3，BQ＝，则OB＝， h的最大值为OP+OB，即2+． 故答案为（2+）． 【点睛】本题属于最值问题的求解，结合图形，分析出取得最大值的位置至关重要，否则难以求解． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ． (1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； (2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用立方根解方程，理解并掌握对应的法则，是解题的关键： （1）根据对应的法则列出算式进行计算即可； （2）根据对应的法则列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意，得：， ∴， ∴． 18．（8分）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键． （1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论； （2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值． 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的， ∴， 化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 19．（8分）为了解甲、乙两校九年级学生英语人机对话的学习情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生的成续进行了整理和分析． 信息一： 绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：A组：，B组：，C组：，组：） 信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是：80，，，85，，89，，，85． 信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表： 平均数 中位数 众数 甲校 a 乙校 81 80 根据以上信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中D组所在的圆心角度数为______，乙校学生的测试成绩位于D组的人数为______人，表格中______，在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？并说明理由； (2)假设甲校学生共有800人参加此次测试，估计甲校成绩超过86分的人数． 【答案】(1)；；；小华的成绩更靠前，理由见解析； (2)估计甲校成绩超过86分的人数有人． 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）用乘以D组所占的百分比即可求出圆心角的度数，用乘以D组所占的百分比可得D组人数，将甲校的名学生的成绩从小到大排列处在中间的两个数为：，可求出，根据两人的成绩与所在学校的中位数比较可得答案； （2）用总人数乘以超过86分的人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：D组所在的圆心角度数为：， 乙校学生的测试成绩位于D组的人数为：（人）， 将甲校的名学生的成绩从小到大排列处在中间的两个数为：， ∴中位数， 小华的成绩更靠前，理由如下： 小明的成绩为分，在甲校中位数分以下，而小华的成绩分，在乙校中位数分之上，因此小华的成绩排名在前， 故答案为：，，； （2）解：（人）， ∴估计甲校成绩超过86分的人数有人． 20．（8分）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案； （2）根据已知得出，根据，设，则，根据，得出，从而证明，得出，即，即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ∵， ∴， 由（1），得， ， ，即， ， 解得：， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 21．（9分）甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： (1)求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； (2)若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； (3)在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 【答案】(1) (2) (3)乙距离甲1.6米时可以拦截成功 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）设抛物线顶点式为，将顶点坐标和点代入即可求解； （2）由题意可知新顶点坐标，设新抛物线顶点式为，将点代入即可求解； （3）由（2）求得的函数解析式，当时，求得的值求解． 【详解】（1）设抛物线顶点式为， ∵将顶点坐标和点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵新顶点坐标， ∴设新抛物线顶点式为， ∵将点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （3）由（2）求得的函数解析式，当时， 解得（犯规，应舍去），， ∴乙距离甲米时可以拦截成功． 22．（9分）小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘得更高！” (1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点O与地面的距离的长度； (2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，说明理由． (3)如果小李想把小王翘高到1米25，试说明你的方法． 【答案】(1)米； (2)小李的话不对，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用； （1）小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，可知B在地面上时，A距离地面1米，利用是三角形的中位线可知米； （2）若将两端同时都再伸长相同的长度，依然是三角形的中位线，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍即为1米，所以不可能翘得更高； （3）①方案一：保持长度不变．将延长一半至E，即只将小王一边伸长一半．利用相似三角形的性质求解即可； ②方案二：只将支架升高0.125米．同样利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示， 是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，是地面． ， ， ， 又此跷跷板是标准跷跷板，， ，而米， 得米； （2）解：小李的话不对． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米．如图2所示， 米，米 ∵， ∴，即． ∴，同理可得∽， ∴，由米，得米． 综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高； （3）解：①方案一：如图3所示， 保持长度不变．将延长一半至E，即只将小王一边伸长一半． 使，则， 由∽，得， ∴米． ②方案二：如图4所示，只将支架升高0.125米． ∵，， 又米， ∴， ∴米． 23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先求出线段中点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）先求出直线解析式，再求出直线解析式，即可求出本题答案； （）作出点关于对称点，可知的坐标，作直线，分别求出这两条直线与轴交点，则点坐标即在范围内，即可得到整数点的个数； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，，点为平面镜的中点， ， 将，坐标分别代入中得， ， 解得， 所在直线的表达式为； （2）解：当入射光线经过、时， 有， 解得， 当入射光线经过，时， 有， 解得， 入射光线与平面镜有公共点， 的取值范围：； （3）解：作出点关于对称点，则，作直线、分别交轴于，， 同理可得直线的表达式为，直线的直线表达式为， 反射光线与轴相交于点， 点纵坐标的取值范围为， 整点有：，共个． 24．（12分）如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题： (1)当为何值时四边形是平行四边形？ (2)当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？ (3)求的面积与的关系式； (4)运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， (4)不存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上 【分析】（1）根据平行四边形的性质，列方程求解即可； （2）当点M在的垂直平分线上时，，过Q点作于H点，则四边形为矩形，利用勾股定理，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，点M在上；②当时，点M在上，利用相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，即可解答； （4）根据相似三角形的判定与性质，得到当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，利用旋转的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， 即， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （2）解：当点M在的垂直平分线上时，， 如图，过Q点作于H点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 得（不合题意，舍去），， ∴当时，点M在的垂直平分线上； （3）解：①当时，点M在上，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②当时，点M在上，如图， 由①得， 又∵， ∴， ∴， 综上，当时，；当时，； （4）解：不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意， ∴不存在某一时刻t,使三点在同一条直线上． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 试卷第2页，共25页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$