精品解析：上海市奉贤区2024-2025学年下学期八年级数学学科期中练习卷

2024学年第二学期八年级数学学科期中练习卷 （时间100分钟，满分100分） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列函数中是一次函数的是（ ） A. （k、b是常数） B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是二元二次方程 B. 是二项方程 C. 是分式方程 D. 是无理方程 3. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象不经过第一象限，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 方程的根是__________． 8. 方程的解是_____． 9. 如果，那么关于的方程的解为________． 10. 已知直线平行于直线，且在轴上的截距为3，那么这条直线的解析式是________________. 11. 七边形的内角和是________度． 12. 在方程中，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是__________． 13. 若，是一次函数的图象上的不同的两点，如果，那么__________0．(填“>”，“=”“﹤”) 14. 已知平行四边形中，已知，则__________度． 15. 在平行四边形中，，，与的平分线分别交于，则的长为__________． 16. 如图，在菱形中，，，则边上的高的长是______． 17. 一个一次函数的图像经过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则一次函数解析式是__________________． 18. 如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为__________． 三、简答题：（本大题共3题，满分18分） 19. 解方程：． 20. 解方程：． 21. 解方程组： 四、解答题：（本大题共4题，第22题，23题每题7分，第24，25每题8分，满分30分） 22. 已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围． 23. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为______； （2）请解释图中的点的实际意义； （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 24. 杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 25. 如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 五、综合题：（本题满分10分，第（1）（3）小题各3分，第（2）小题4分） 26. 如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． （1）求点、坐标和度数； （2）点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； （3）若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级数学学科期中练习卷 （时间100分钟，满分100分） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列函数中是一次函数的是（ ） A. （k、b是常数） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（k、b是常数且）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：由一次函数的定义可知，四个选项中，只有B选项中的函数是一次函数， A选项，当时，不是一次函数，不符合题意； C选项，分母中含有自变量，不是一次函数，不符合题意； D选项，含有二次项，不是一次函数，不符合题意； 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是二元二次方程 B. 是二项方程 C. 是分式方程 D. 是无理方程 【答案】A 【解析】 【分析】利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是，故是二元二次方程，故正确； B、是二次方程，故错误； C、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误； D、被开方数不含未知数，不是无理方程，故错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义． 3. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解无理方程，解分式方程，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质可得，据此可判断A；根据二次根式有意义的条件可得，则，据此可判断B；解分式方程可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； B、∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴去分母得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、∵， ∴去分母得：， ∴， 解得， 经检验，当是原方程的解， ∴原方程有实数根，符合题意， 故选：D． 4. 函数的图象不经过第一象限，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质，注意用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象不经过第一象限，可知，即可求解． 【详解】∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴， 故选：D． 5. 四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到，，进而由等面积法确定，再由菱形的判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形为矩形， ，， 过作对角线的垂线，过作对角线的垂线， ， 如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A． 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 方程的根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了高次方程运算，先把常数项移到方程右边，再根据，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，解题的关键是将无理方程转化为有理方程；根据用乘法中两数相乘为0，则至少其一为0这一性质．将无理方程转化为有理方程，分两种情况：或，然后再根据平方根有意义的条件，解得，满足条件， 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， ∵， ∴； （舍去） ∴当时，原方程成立． ∴方程的解是． 故答案为：． 9. 如果，那么关于的方程的解为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，因式分解；根据已知方程找到参数之间的关系是解决此题的关键．根据题意得出，又，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 10. 已知直线平行于直线，且在轴上的截距为3，那么这条直线的解析式是________________. 【答案】y=3x-3或y=3x+3 【解析】 【分析】根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k,根据“在y轴上的截距为3"计算求出b值,即可得解 【详解】∵直线y=kx+b平行于直线y=3x-4 ∴k=3. 又∵直线y=kx+b在y轴上的截距为3 ∴b=±3 ∴这条直线的解析式是y=3x-3或y=3x+3 故答案是:y=3x-3或y=3x+3 【点睛】此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于确定k的值 11. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 12. 在方程中，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程中移项，化为分式方程，再变形为整式方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴ ∴原方程可化为关于y的整式方程是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，再将分式方程化为整式方程． 13. 若，是一次函数的图象上的不同的两点，如果，那么__________0．(填“>”，“=”“﹤”) 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合 即，可得出 即)． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又，是一次函数图象上的不同的两点，， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知平行四边形中，已知，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 15. 在平行四边形中，，，与的平分线分别交于，则的长为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与的平分线分别交于， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：1． 16. 如图，在菱形中，，，则边上的高的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】由对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题．本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，交于点， 为直角三角形 ∵，， 则．， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， 解得：， 故答案为：9.6． 17. 一个一次函数的图像经过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则一次函数解析式是__________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：∵一次函数y=kx+b(k≠0)图象过点(0,2)， ∴b=2， 设一次函数与x轴的交点是(a,0)， 则 解得：a=4或−4. 把(4,0)代入y=kx+2，解得：，则函数的解析式是 把(−4,0)代入y=kx+2，得，则函数的解析式是 故答案是：或 18. 如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为__________． 【答案】(4,14) 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，通过构造全等，求出点的纵坐标（即的长）是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，则，由为等腰直角三角形，可得出，，利用等角的余角相等，可得出，由，利用平行线的性质，可得出，即，进而可证出，利用全等三角形的性质，可求出的长，结合的长，可得出的长，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，则，如图所示， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在矩形中，， ， ， 在和中， ， ，，， 当时，， 解得：， 点的坐标是． 故答案为：． 三、简答题：（本大题共3题，满分18分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母后化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：，即， 解得或， 当时，，则是原方程的解； 当时，，则不是原方程的解； ∴原方程的解为． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式和乘方的性质，得一元二次方程、一元一次不等式，通过求解即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ∴，且， ∴，， ∴，，， ∴为方程的解． 【点睛】本题考查了二次根式、乘方、一元二次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、乘方、一元二次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 21. 解方程组： 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方根的性质，将二元二次方程组变换为二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】∵ ∴或 原方程组的解集为，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，涉及完全平方公式、平方根、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、二元一次方程组的性质，从而完成求解． 四、解答题：（本大题共4题，第22题，23题每题7分，第24，25每题8分，满分30分） 22. 已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一元一次不等式的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键． （1）将代入得出，进而待定系数法求解析式，即可求解． （2）依题意，，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得：， ∴， 将，代入， 得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：依题意，， 解得：． 23. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为______； （2）请解释图中的点的实际意义； （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）1200 （2）点的实际意义是慢车行驶时，慢车和快车相遇 （3）快车的速度为，慢车的速度为 （4），自变量的取值范围是 【解析】 【分析】（1）由函数图象可以直接求出甲乙两地之间的距离； （2）由函数图象的数据就即可得出； （3）由函数图象的数据，根据速度＝路程÷时间就可以得出慢车的速度，由相遇问题求出速度和就可以求出快车的速度进而得出结论； （4）由快车的速度求出快车走完全程的时间就可以求出点C的横坐标，由两车的距离＝速度和×时间就可以求出C点的纵坐标，由待定系数法就可以求出结论． 【小问1详解】 由图象得：甲、乙两地之间的距为1200km． 故答案为：1200； 【小问2详解】 根据题意知：点B的实际意义是慢车行驶4h时，慢车和快车相遇； 【小问3详解】 由题意得：快车与慢车的速度和为：1200÷4＝300（km/h）， 慢车的速度为：1200÷12＝100（km/h）， 快车的速度为：300﹣100＝200 （km/h）． 答：快车的速度为200km/h，慢车的速度为100km/h； 【小问4详解】 由题意，得快车走完全程的时间为：1200÷200＝6（h）， 6h时两车之间的距离为：300×（6﹣4）＝600km． ∴C（6，600）， 设线段BC的解析式为y＝kx+b，由题意得： ， 解得：， ∴y＝300x﹣1200，自变量x的取值范围是4≤x≤6． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间＝速度的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 24. 杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 【答案】在大桥的现有条件下还可以再提高限速 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时，根据提速后汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟建立方程求出提速前的限速即可得到结论． 【详解】解：设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵， ∴在大桥的现有条件下还可以再提高限速． 25. 如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理，矩形的判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，再由三角形中线的定义得到，则可根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论； （2）连接交于H，可证明四边形是平行四边形，得到，则，进而证明，得到，则可证明，进而可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， ， ， 又， ， ， 又是的中线， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接交于H， 由（1）可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 五、综合题：（本题满分10分，第（1）（3）小题各3分，第（2）小题4分） 26. 如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． （1）求点、坐标和度数； （2）点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； （3）若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】（1）点的坐标为；点的坐标为， （2） （3）当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【小问1详解】 解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， 【小问2详解】 在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， 【小问3详解】 解：∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $