精品解析：山东省日照市2024-2025学年高三下学期第二次校际联合考试数学试卷

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2022级高三校际联合考试 数 学 2025.4 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合B，再求交集即可. 【详解】易知，解之得，即， 所以. 故选：A 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以. 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性和条件的判断方法进行判断. 【详解】因为函数在单调递增， 所以等价于， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 4. 已知一组样本数据，，，，恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及平均值求法得均值为，再应用方差公式求方差即可. 【详解】由题设， 所以 故选：C 5. 如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合图形，易得，且，设，求出，由的两种表示式整理得到，从而建立不等式，解之即得. 【详解】设依题意，， 因点P落在阴影部分（不含边界），且，易得，且， 由，可得， 由， 又， 故可得：， 即，因， 则，即， 由，可得，整理得：， 因，故得，即； 由，可得，整理得：显然成立. 综上分析，可得. 故选：C. 6. 将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 180种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理和组合数计算. 【详解】先从5名志愿者选2名参加卫生项目，有种， 再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有种， 剩下的1名志愿者参加审计项目， 所以共有种分配方案. 故选：A 7. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，单调递增，所以值域为，由分段函数的值域为，所以当时，的取值包含的每一个取值，求解参数a的取值范围即可. 【详解】因为函数， 当时，单调递增，所以值域为， 要使得分段函数的值域为， 则当时，的取值包含的每一个取值， 所以，解得， 故选：D 8. 已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列举出的项，再根据数列构成求、，即可得. 【详解】由题设，数列各项依次为， 当时，， 当时，， 所以成立的n的最小值为21. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本空间，其中每个样本点出现的可能性相等，事件，，，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件B与事件C相互独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知及互斥事件定义判断A；由已知得、，根据独立事件的判定、条件概率公式判断B、C、D. 【详解】由，即不是互斥事件，A错； 由，则且，故，B对； 由，则，且，显然，C错； 由，则，故，D对. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是π C. 的值域为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断A；由奇偶对称性，只需写出上解析式，画出部分图象分析判断B、C、D即可. 【详解】函数的定义域为R，且， 所以是偶函数，A对； 在上，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 函数部分图象如下(注意偶函数的对称性)， 由图知，所以的最小正周期为，值域为，B错、C对； 由且，结合图知在上不单调，D错. 故选：AC. 11. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，，P为其表面上一点，记点与四个顶点的距离分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 该三棱锥的外接球的表面积为 B. 若，，则点P存且唯一 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：通过正方体外接球即可判断；B：找出线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点即可；C：确定满足的点的轨迹是以为焦点的椭球面与三棱锥的表面的截线，然后判定线段与椭球面必有交点，即可得到最小值为，从而判断C正确；D：建立空间坐标系，设，确定满足的条件，用可以表示四个距离的平方和，由对称性只需讨论点在面内和在面内两种情况，利用配方法和不等式方法可求最小值，然后比较得到总得最小值，从而判定D正确. 【详解】 由，△ABC是边长为的正三角形， 结合勾股定理易知两两垂直， 所以该三棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，易知球的直径为， 所以外接球的表面积为，A正确； 因，则为线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点，如图， 有两个点，故B错误； 对于C：取的中点，易得, 设点面上，， 故点在以为焦点，2为长轴长的椭圆上，. 而，故点在椭圆外， 在空间中将该椭圆绕旋转一周得到椭球面，则椭球面上任一点都， 由于点必须是三棱锥的表面上的一点，所以点的轨迹是上述椭球面与该三棱锥的表面的截线. 而，故点在椭球面内， 因为，所以也在椭球面外， 因此线段与椭球面必有2个不同交点， 两点中的任意一点到的距离之和都等于， 根据两点之间线段距离最短，其余的点到的距离之和都大于， 故的最小值为，故C正确； 如图建立空间直角坐标系，则， 设，则. ①若点在坐标平面上，由对称性，不妨设平面，则，，此时， 当且仅当时取等号； ②若点平面，平面的法向量为， 由得，且，消去整理得 因， 则， 当且仅当时取等号. 综上，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：或，． 考点：（1）同角三角函数的基本关系（2）二倍角公式 13. 已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为. 故答案为：8 14. 定义在区间D上函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出在区间的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K的取值范围，即可求出K的最小值. 【详解】因为， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以在上恒成立， 所以，则在上单调递增， 设，所以， 若函数在区间上满足K-条件 因此对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则对任意恒成立， 令，所以在上单调递减， 在恒成立，所以， 又因为在上单调递减，. 所以，所以K的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）设的中点为，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可； （2）利用和和向量数量积的运算律联立解出和，再根据三角形的面积公式求解即可. 小问1详解】 因为的内角的对边分别为， ， 所以由正弦定理边化角可得①， 又因为中，所以②， 将②式代入①式可得， 因为，， 所以，即， 因为，所以，. 【小问2详解】 因为为中点，， 所以③， ④， ③④联立解得，， 所以，的面积. 16. 如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，应用线面垂直的判定证明面，再由面面垂直的判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，根据线面角的正弦值及向量法求得，进而确定相关向量的具体坐标，最后应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 在中，，，则， 所以，则， 由，都在面内，则面， 又面，所以面面； 【小问2详解】 由（1）及，即两两垂直， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图示， 设，由（1），则， 所以， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设直线与面所成角为，则， 所以，则， 在中，则， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设面与面所成角为，则. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，的定义域为， 所以，， 又因为，所以切点为， 所以曲线在点处的切线方程为：， 化简可得：. 【小问2详解】 令， 函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，设函数，， 当时，，即对任意的恒成立，即， 所以函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意； 当时，因为，所以方程有两个实数根、， 且满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点，方程有3个不同的实数解， 综上，的取值范围为． 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）存在，4条. 【解析】 【分析】（1）根据已知有点在抛物线上，代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设，，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，导数的几何意义求点处切线方程，且，进而得到、，易得，即可证； （ii）连接，由（i）得，则有四边形为平行四边形，再由且，结合已知及导数研究根的个数，即可得. 【小问1详解】 当直线轴时，则点在抛物线上，故， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 （i）由题设，直线的斜率存在且不为0，设，则斜率， 若，，联立，得， 所以，， 由，则，故点处切线斜率为， 所以对应切线方程为， 令，故， 由，令，则，故， 所以， 所以，即，所以； （ii）连接，由（i）得，，则， 又，所以轴，即四边形为平行四边形， 所以 ， 若四边形的面积为，则，整理得， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以使， 在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增， 而，，存在使， 所以在上有两个零点，为和，即在上有2个不同根， 由对称性，四边形的面积为的直线共有4条. 19. 设，数对按照如下方式生成：①规定；②抛掷一枚质地均匀的硬币，当硬币正面朝上时，，；当硬币反面朝上时，， （1）写出数对的所有可能结果； （2）当时，记的概率为． （ⅰ）求及的最大值； （ⅱ）设的数学期望为，求． 【答案】（1）答案见解析； （2）①，最大值为；②. 【解析】 【分析】（1）写出所有抛掷结果即可得到答案； （2）①分析计算得，再构造等比数列即可得到和其最值； ②分析得，再分类讨论和的情况即可. 【小问1详解】 当抛郑两次硬币结果为（正，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，． 【小问2详解】 易知当时，；当时，； 由题知，，当，即时， 若掷出反面，则，此时； 当，即时，若掷出正面，则，此时； 当时，无论抛出正面还是反面，， 所以， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． 当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以，的最大值为． ②显然，． 由题分析得，与的概率相等，均设为， 则由①知，， 若，当下次投掷硬币为正面朝上时，； 当下次投郑硬币为反面朝上时，； 若，当下次投掷硬币为正面朝上时，； 当下次投郑硬币为反面朝上时，； 若，当下次投掷硬币为正面朝上时，； 当下次投郑硬币为反面朝上时，． 所以当时，概率为，此时期望不变； 当时，概率为，此时期望加1； 所以． 故 经检验，当时也成立．. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2022级高三校际联合考试 数 学 2025.4 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一组样本数据，，，，恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 5. 如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 180种 7. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本空间，其中每个样本点出现可能性相等，事件，，，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件B与事件C相互独立 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是π C. 的值域为 D. 在上单调递增 11. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，，P为其表面上一点，记点与四个顶点的距离分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 该三棱锥的外接球的表面积为 B. 若，，则点P存在且唯一 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为________． 14. 定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）设中点为，若，求的面积． 16. 如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围． 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 19. 设，数对按照如下方式生成：①规定；②抛掷一枚质地均匀的硬币，当硬币正面朝上时，，；当硬币反面朝上时，， （1）写出数对所有可能结果； （2）当时，记的概率为． （ⅰ）求及的最大值； （ⅱ）设的数学期望为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$