精品解析：2025年广东省中山市博文学校中考数学一模试卷

2025年广东省中山市博文学校中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 4. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A是外一点，分别与相切于点B、C，点D在上、已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 电影《志愿军：雄兵出击》于年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达万元，设平均每天票房的增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 10. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 求值：________． 12. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 13. 以原点为旋转中心，将点旋转得到点，则点坐标为______． 14. 如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为_________． 15. 如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为___________． 三、解答题（一），本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，， （1）利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，并求的值． 18. 如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为，，，，求该平底烧瓶的高度． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 20. 如图，在中，点D在边上，，的角平分线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长度． 21. 综合与实线 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【观察想知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F． （1）求证：AE=BF； （2）连接GB，EF，求证：GB∥EF； （3）若AE=1，EB=2，求DG的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省中山市博文学校中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是中心对称图形，故符合题意； C．该图不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可判断． 【详解】解：可变形为：， 再变形可得：， 所以方程的左边一定是，选项中符合题意得只有D选项， 故选：D． 3. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 4. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4， 所以这个几何体的侧面展开图的面积=． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 5. 如图，点A是外一点，分别与相切于点B、C，点D在上、已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 如图：连接，由切线的性质得，进而由四边形的内角和得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵分别与相切于点B，C， ∴， ∵， ∴， ∵点D在上， ∴． 故选：C． 6. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 8. 电影《志愿军：雄兵出击》于年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达万元，设平均每天票房的增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一天为：万元， 第二天为：万元， 第三天为：万元， 三天累计为： 故选：C． 9. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 10. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 求值：________． 【答案】1 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可. 【详解】解：原式=()2+()2 =+ =1. 故答案为1. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，识记是关键. 12. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 13. 以原点为旋转中心，将点旋转得到点，则点坐标为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的判定与性质即可解决问题，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：当逆时针旋转时，如图所示， 分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和， 则， 由旋转可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， 如图， 同理可得，当顺时针旋转时， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 14. 如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，将不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键． 根据进行计算即可解答． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴，， 由题意得， ， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键． 设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，轴，， ∴，， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一），本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， ∴， ∴， 则或， ∴，． 17. 如图，在中，，， （1）利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，并求的值． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，勾股定理以及求余弦值． （1）作线段的垂直平分线交边于点即可； （2）由垂直平分，得到，设，则，利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，记的垂直平分线与交点为点， 垂直平分， ， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得， ， 解得， 则， ． 18. 如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为，，，，求该平底烧瓶的高度． 【答案】该烧瓶的高度为． 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用．连接，，过点作，交于点，交于点，由垂径定理得出，的长，再根据勾股定理得出，的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接，，过点作，交于点，交于点， ， ， 平分，， ，， ，， 的半径为，， 在和中，， 由勾股定理得， ， 该烧瓶的高度为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 【答案】（1） （2）两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数， ∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 故答案为：. 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种， ∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为. 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20. 如图，在中，点D在边上，，的角平分线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、线段的和差等知识点，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由线段长度可得 ，即可得； （2）由（1）的结论得，由相似三角形的判定可证可得，再由角平分线的性质得，再由相似三角形的判定可证， （3）根据，利用相似三角形的性质可得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 21. 综合与实线 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【观察想知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）利用“一线三垂直”证即可得证； （2）先证得、，再证可求长度，然后即可求出的面积； （3）如图，过N作于点M，即、，易证和，从而建立关于的方程，求出的长度，再证明，利用相似三角形的性质求值，根据即可解答． 【小问1详解】 解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ，， ， ， ∴， ∴， ，即，解得：， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过N作于点M，即， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ． 故答案为：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F． （1）求证：AE=BF； （2）连接GB，EF，求证：GB∥EF； （3）若AE=1，EB=2，求DG的长． 【答案】 （1）证明：连接BD， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠A=∠C=45°， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°，即BD⊥AC， ∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°， ∴∠A=∠FBD， ∵DF⊥DG， ∴∠FDG=90°， ∴∠FDB+∠BDG=90°， ∵∠EDA+∠BDG=90°， ∴∠EDA=∠FDB， 在△AED和△BFD中， ∠A=∠FBD，AD=BD，∠EDA=∠FDB， ∴△AED≌△BFD（ASA）， ∴AE=BF； （2）证明：连接EF，BG， ∵△AED≌△BFD， ∴DE=DF， ∵∠EDF=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°， ∵∠G=∠A=45°， ∴∠G=∠DEF， ∴GB∥EF； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； （3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵AE=BF，AE=1， ∴BF=1， 在Rt△EBF中，∠EBF=90°， ∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2， ∵EB=2，BF=1， ∴EF=， ∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°， ∴cos∠DEF=， ∵EF=， ∴DE=×， ∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED， ∴△GEB∽△AED， ∴，即GE•ED=AE•EB， ∴•GE=2，即GE=， 则GD=GE+ED=． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； 【小问3详解】 解：如图1， 当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4， 当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $