专题05：平面向量及加减运算（五大题型） 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期同步培优课程

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题05 平面向量及其加减运算 知识点一：平面向量的概念 1．有向线段。规定了方向的线段叫做有向线段． 2．向量 既有大小又有方向的量叫做向量． 向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模） 3．向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示 （2）常见的表示方法 ①向量，长度记为； ②向量、、，长度记为、、． 4．相等的向量。方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量． 5．相反的向量。方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量． 6．平行向量。方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 知识点二：向量的加法 1．向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法． 2．零向量 长度为零的向量叫做零向量，记作．规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；． 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：． 对于任意向量，都有，． 3．向量的加法满足交换律：． 4．向量的加法满足结合律：． 5．向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量． 6．向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量． 知识点三:向量的减法 1．向量的减法 已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法． 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：． 2．向量减法的三角形法则 在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． 3．向量加法的平行四边形法则 如果，是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与，相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是，的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则． 4．另外一个对角线向量，即是，的差向量，这个差向量与被减向量共终点． 题型1：向量的相关概念 【例1】下列各量中是向量的是（ ） A．时间 B．速度 C．面积 D．长度 【例2】下列关于向量说法错误的是　　 A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模 C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的 【例3】如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【例4】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【例5】以下描述和的关系不正确的是　　 A．方向相反 B．模相等 C．平行 D．相等． 【例6】如果是非零向量，那么下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 【例7】如果点是线段的中点，那么下列结论中错误的是　　 A．与是相反向量 B．与是相等向量 C．与是平行向量 D． 【例8】根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解． 【例9】如图，在中，对角线、相交于点，下列结论中错误的是　　 A．与是相等的向量 B．与是相等的向量 C．与是相反的向量 D．与是平行的向量． 【例10】已知四边形是矩形，点是对角线与的交点．下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4． 【例11】下列说法正确的有（  ） ①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量共线；④零向量只能与零向量共线． A．个 B．个 C．个 D．以上都不对 【例12】下列等式中错误的是　　 A． B． C． D． 题型2：向量的加法 【例13】　　． 【例14】化简（ ） A． B． C． D． 【例15】如图是平行四边形，则在向量（ ） A． B． C． D． 【例16】在中，点是边的中点，，，那么　　（用、表示）． 【例17】如图，已知梯形，，点在底边上，．如果设那么_____（用向量的式子表示）． 【例18】下列判断中，不正确的是　　 A． B． C．如果，那么 D． 题型3：向量的减法 【例19】化简 是　　 A． B． C．0 D． 【例20】下列关于向量的等式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【例21】在平行四边形中，，则　　． 【例22】在□ABCD中，O是对角线的交点，那么____． 题型4：向量的画法 【例23】已知向量； 求作：（1） （2） 【例24】如图，已知向量、、、，分别画出下列向量： （1） （2） 【例25】如图，已知向量、、； 求作：（1） ，（2）． 题型5：综合提升 【例26】已知：如图矩形中，和相交于点，设，． （1）填空：　　；（用、的式子表示） （2）在图中求作． （不要求写出作法，只需写出结论即可． 【例27】如图，四边形和四边形都是平行四边形， （1）填空：　　；　 　； （2）求作：． 【例28】如图，在四边形中，，，在上，． （1）写出图中的所有相反向量； （2）如果，求； （3）写出． 一、选择题 1．（2023春•奉贤区期末）下列关于向量说法错误的是　　 A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模 C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的 2.(2023闵行区八年级期末）下列各式中正确的有 ( 　 ) （1）如果，则;　 （2） （3） （4） 　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（2024黄浦区八年级期末）下列说法中错误的是（ 　 ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 4.（2023大同中学八年级期末）如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，ABED是平行四边形.下列结论中正确的是（　　　　） A.与是相等的向量； B.； C．与不是平行向量； D. 5.（2024市北中学期末）已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为( ) A.0 B.3 C. D.2 6.（2023实验西校期末）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O ，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7．（2023嘉定区春季期末）化简：＝___． 8.（2024松江区春季期末）在四边形ABCD中，向量、、的和向量是 . 9.（2024金山区春季期末）向量(+)+(+)+化简后等于 10.（2023建平中学月考）＝“向东走4km”，＝“向南走3km”,则｜+｜= . 11.（2023建平中学月考）已知=,=, =,=,=,则+++= . 12. （2023建平中学月考）已知，则 13. 如图，B、D在□AECF的对角线上，且有EB=DF中，设，则：______；______． 14.在平行四边形ABCD中，. 15.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量= 16.如图,已知梯形ABCD中,AB∥DC,点E在AB上,EC∥AD. 在图中指出下列几个向量的和向量: (1).(2). 17.已知，若A、B、C三点构成三角形，则 18.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，，如果用向量表示向量，那么=　 　． 三、解答题 19.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示 20.如图，已知中，点为边的中点，设，， （1）试用向量，表示下列向量：　　；　　； （2）求作：、． （保留作图痕迹，不要求写作法，写出结果）． 21．如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB = DF． （1）填空：=________；=_________； ． （2）求作：．A E C F B D 22．已知□ABCD，点E是 BC边的中点，请回答下列问题： （1）在图中求作与的和向量： = ； （2）在图中求作与的差向量： = ； （3）如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与互为相反向量的向量是 ； （4） ． A B C D E 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题05 平面向量及加减运算 知识点一：平面向量的概念 1．有向线段。规定了方向的线段叫做有向线段． 2．向量 既有大小又有方向的量叫做向量． 向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模） 3．向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示 （2）常见的表示方法 ①向量，长度记为； ②向量、、，长度记为、、． 4．相等的向量。方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量． 5．相反的向量。方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量． 6．平行向量。方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 知识点二：向量的加法 1．向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法． 2．零向量 长度为零的向量叫做零向量，记作．规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；． 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：． 对于任意向量，都有，． 3．向量的加法满足交换律：． 4．向量的加法满足结合律：． 5．向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量． 6．向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量． 知识点三:向量的减法 1．向量的减法 已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法． 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：． 2．向量减法的三角形法则 在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． 3．向量加法的平行四边形法则 如果，是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与，相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是，的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则． 4．另外一个对角线向量，即是，的差向量，这个差向量与被减向量共终点． 题型1：向量的相关概念 【例1】下列各量中是向量的是（ ） A．时间 B．速度 C．面积 D．长度 【答案】B 【详解】根据向量的概念进行判断即可. 解：既有大小，又有方向的量叫做向量； 时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量． 而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量． 故选：． 此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意数学知识与实际生活之间的联系． 【例2】下列关于向量说法错误的是　　 A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模 C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的 【分析】根据平面向量的定义逐一判断即可． 【解答】解：、既有大小，又有方向的量叫做向量，故原说法正确； 、向量的大小叫做向量的模，故原说法正确； 、长度为零的向量叫做零向量，故圆说法正确； 、零向量是有方向的，故原说法错误， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义是解题的关键． 【例3】如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】D 【详解】解：点、在线段上，， ． A、与方向相反，，故本选项错误； B、与方向相反，，故本选项错误； C、相反向量是方向相反，模相等的两向量，而，与不是相反向量，故本选项错误； D、与共线，与是平行向量，故本选项正确． 故选：． 由点、在线段上，，可得，然后根据相等向量、相反向量与平行向量的定义，即可求得答案．注意排除法的应用． 此题考查了平面向量的知识．解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量的定义与数形结合思想的应用． 【例4】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 【例5】以下描述和的关系不正确的是　　 A．方向相反 B．模相等 C．平行 D．相等． 【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可． 【解答】解：、和的关系是方向相反，正确； 、和的关系是模相等，正确； 、和的关系是平行，正确； 、和的关系不相等，错误； 故选：． 【点评】此题考查平面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用． 【例6】如果是非零向量，那么下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果． 【解答】解：是非零向量， ． 故选：． 【点评】本题考查的是非零向量的长度及方向的性质，注意熟练掌握平面向量这一概念． 【例7】如果点是线段的中点，那么下列结论中错误的是　　 A．与是相反向量 B．与是相等向量 C．与是平行向量 D． 【例8】根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解． 【解答】解：点是线段的中点， 与是相反量，与是相等向量，与是平行向量，， 选项、、正确，选项错误， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键． 【例9】如图，在中，对角线、相交于点，下列结论中错误的是　　 A．与是相等的向量 B．与是相等的向量 C．与是相反的向量 D．与是平行的向量． 【分析】根据平行四边形的性质结合平面向量的相关定义求解即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， 与是相等的向量，与是相反的量，与是平行的向量， 故、、正确； 与方向不同且大小也不等， 与不是相等的向量， 故错误， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平面向量相关定义，熟练掌握平行四边形的性质，平面向量是解题的关键． 【例10】已知四边形是矩形，点是对角线与的交点．下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4． 【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可． 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ①向量与向量是相等的向量，正确． ②向量与向量是互为相反的向量，正确． ③向量与向量是相等的向量，错误． ④向量与向量是平行向量，正确． 故选：． 【点评】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例11】下列说法正确的有（  ） ①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量共线；④零向量只能与零向量共线． A．个 B．个 C．个 D．以上都不对 【答案】B 【详解】本题考查零向量的定义以及性质，关键是掌握零向量的有关性质根据题意，依次分析选项：对于、零向量有方向，故可得A错误；对于、符合零向量的定义，B正确；对于、符合零向量的性质，C正确；D错误；综合可得答案 解：根据题意，依次分析选项： 对于、零向量有方向，且其方向是任意的，故A错误； 对于、零向量的方向是任意的，符合零向量的定义，B正确； 对于、零向量与任一向量共线，C正确； 对于、零向量与任一向量共线，D错误． 故选B． 【例12】下列等式中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平面向量的加法法则一一判断即可． 【解答】解：、，正确．本选项不符合题意； 、，正确．本选项不符合题意； 、，错误，本选项符合题意； 、，正确，本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型． 题型2：向量的加法 【例13】　　． 【分析】根据共线向量和向量的模解答． 【解答】解： ． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向． 【例14】化简（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量加法法则，求即可. ， 故选：C 【例15】如图是平行四边形，则在向量（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，进而根据向量加法的三角形法则求解即可. 解：因为在平行四边形中，， 所以 故选：D 【例16】在中，点是边的中点，，，那么　　（用、表示）． 【考点】平面向量 【分析】延长到，使得，连接．首先证明，，利用三角形法则求出即可解决问题； 【解答】解：延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查平面向量、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形法则等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【例17】如图，已知梯形，，点在底边上，．如果设那么_____（用向量的式子表示）． 【答案】． 【考点】平面向量 【分析】先证明四边形是平行四边形，得出，再根据平面向量三角形运算法则求解即可． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面向量的三角形运算法则是解题的关键． 【例18】下列判断中，不正确的是　　 A． B． C．如果，那么 D． 【答案】 【考点】平面向量 【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可． 【解答】解：，，， 、、正确， ， 或， 故错误， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键． 题型3：向量的减法 【例19】化简 是　　 A． B． C．0 D． 【答案】 【考点】平面向量 【分析】根据平面向量的加减运算法则化简即可求解． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的加减运算，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【例20】下列关于向量的等式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平面向量的加减运算法则逐一判断即可． 【解答】解：、， 、， 、， 、， 选项、、错误，选项正确， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【例21】在平行四边形中，，则　　． 【答案】． 【考点】平面向量；平行四边形的性质 【分析】在中，利用三角形法则求得；然后由平行四边形的对边平行且相等的性质推知． 【解答】解：在中，，则． 在平行四边形中，，，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面向量和平行四边形，注意：向量既有大小又有方向． 【例22】在□ABCD中，O是对角线的交点，那么____． 【答案】 【分析】由向量的平行四边形法则及相等向量的概念可得答案． 【详解】解：因为：□ABCD， 所以，， 所以：． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，掌握向量的平行四边形法则是解题的关键． 题型4：向量的画法 【例23】已知向量； 求作：（1） （2） 答案：略 （课堂上教师教学生画图及其必要步骤） 【例24】如图，已知向量、、、，分别画出下列向量： （1） （2） 参考答案：图略。 【例25】如图，已知向量、、； 求作：（1） ，（2）． 参考答案：图略。 题型5：综合题 【例26】已知：如图矩形中，和相交于点，设，． （1）填空：　　；（用、的式子表示） （2）在图中求作． （不要求写出作法，只需写出结论即可． 【分析】（1）先将用，表示后，即可得出结果； （2）延长到，使，由，，得出． 【解答】解：（1），，， ， 故答案为：； （2）如图所示，即为所求； 【点评】本题考查了平面向量，矩形的性质，解题的关键是掌握平面向量三角形计算法则． 【例27】如图，四边形和四边形都是平行四边形， （1）填空：　　；　 　； （2）求作：． 【分析】（1）直接根据三角形法则即可求解，其中是平行四边形，则； （2），利用平行四边形法则求解． 【解答】解：（1）填空：；； （2），或． 所画图形如下所示： ． 【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及三角形和平行四边形法则的熟练掌握． 【例28】如图，在四边形中，，，在上，． （1）写出图中的所有相反向量； （2）如果，求； （3）写出． 【答案】（1），． （2）． （3）． 【考点】平面向量 【分析】（1）根据相反向量的定义即可直接求解． （2）根据已知条件可知，即可求出． （3）根据平面向量的运算法则即可直接求解． 【解答】解：（1）图中所有的相反向量为，． （2），， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． （3）四边形为平行四边形， ． ． 【点评】本题主要考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的运算的法则是解决本题的关键． 一、选择题 1．（2023春•奉贤区期末）下列关于向量说法错误的是　　 A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模 C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的 【答案】 【考点】平面向量 【分析】根据平面向量的定义逐一判断即可． 【解答】解：、既有大小，又有方向的量叫做向量，故原说法正确； 、向量的大小叫做向量的模，故原说法正确； 、长度为零的向量叫做零向量，故圆说法正确； 、零向量是有方向的，故原说法错误， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义是解题的关键 2.(2023闵行区八年级期末）下列各式中正确的有 ( 　 ) （1）如果，则;　 （2） （3） （4） 　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C． 3.（2024黄浦区八年级期末）下列说法中错误的是（ 　 ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 解题分析：注意零向量长度为0，方向是任意的. 答案：A. 4.（2023大同中学八年级期末）如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，ABED是平行四边形.下列结论中正确的是（　　　　） A.与是相等的向量； B.； C．与不是平行向量； D. 解题分析：A选项与是相反向量，B选项，C选项与是平行向量 答案：D. 5.（2024市北中学期末）已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为( ) A.0 B.3 C. D.2 解题分析：++=2，因为=2，++=2=2，故选D 答案：D. 6.（2023实验西校期末）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O ，下列等式成立的是（ C ） A. B. C. D. 二、填空题 7．（2023嘉定区春季期末）化简：＝___． 【答案】 【分析】先去括号，再按照向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是向量的线性运算，向量的加，减，数乘运算统称为向量的线性运算，掌握向量的线性运算法则是解题的关键. 8.（2024松江区春季期末）在四边形ABCD中，向量、、的和向量是 . 【答案】 9.（2024金山区春季期末）向量(+)+(+)+化简后等于 【答案】 10.（2023建平中学月考）＝“向东走4km”，＝“向南走3km”,则｜+｜= . 答案5km 11.（2023建平中学月考）已知=,=, =,=,=,则+++= . 【答案】 12. （2023建平中学月考）已知，则 【答案】 13. 如图，B、D在□AECF的对角线上，且有EB=DF中，设，则：______；______． 【答案】、. 14.在平行四边形ABCD中，. 【答案】； 15.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量= 【答案】； 【解析】，. 16.如图,已知梯形ABCD中,AB∥DC,点E在AB上,EC∥AD. 在图中指出下列几个向量的和向量: (1). (2). 【答案】(1) (2) 17.已知，若A、B、C三点构成三角形，则 【答案】； 18.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，，如果用向量表示向量，那么=　 　． 【答案】． 【解析】解：∵向量，，， ∴， ∵AD是边BC上的中线， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示 【思路点拨】 利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成. 【答案与解析】 解：在中 【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 20.如图，已知中，点为边的中点，设，， （1）试用向量，表示下列向量：　　；　　； （2）求作：、． （保留作图痕迹，不要求写作法，写出结果）． 【考点】平面向量 【分析】（1）根据三角形法则，由即可求得的值，由点为边的中点，与即可求得的值； （2）如图1，首先过点作，且使，连接，向量；同理作，且，则． 【解答】解：（1），（2分） ，（2分） （2）作图（各2分） 如图，如图． 【点评】此题考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力．解题的关键是三角形法则的应用． 21．如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB = DF． （1）填空：=________；=_________； ． （2）求作：．A E C F B D （1）； （2）略； 22．已知□ABCD，点E是 BC边的中点，请回答下列问题： （1）在图中求作与的和向量： = ； （2）在图中求作与的差向量： = ； （3）如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与互为相反向量的向量是 ； （4） ． A B C D E （1）； （2）； （3）、； （4）； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$