第23讲 平面向量及其加减运算(三类知识点+七大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第23讲 平面向量及其加减运算(七大题型） 学习目标 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和相等的向量、互为相反向量、平行向量的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点： （1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量). 规定:与任一向量共线. 要点： （1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 二、平面向量的加法运算 1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法. 2. 运算法则： （1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：Ａ Ｂ Ｃ （2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则. （3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图： 　　　　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 　　　　　　 要点： 1.两个向量的和是一个向量，规定. 2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则. 4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题. 3.运算律： （1）交换律：； （2）结合律： 三、向量的减法运算 1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法. 2.运算法则： 在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则. 要点： （1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题. （2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定. （3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即. 【即学即练1】下列说法正确的个数为（ ） ①面积、压强、速度、路程这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【即学即练2】如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【即学即练3】下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 【即学即练4】如图，已知向量，那么下列结论正确的是 A． B． C． D． 【即学即练5】在平行四边形中，如果，，那么 ， ．（用、表示） A．0 B．2 C．3 D．4 题型1:平面向量 【典例1】．下列各量中是向量的是（ ） A．时间 B．速度 C．面积 D．长度 【典例2】．在下列说法中正确的有（ ） ①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ； ④平面上的数轴都是向量. A．个 B．个 C．个 D．个 题型2:相等向量、相反向量、平行向量 【典例3】．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【典例4】．如果，那么下列结论正确的是（  ） A．； B．； C．； D．． 【典例5】．如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【典例6】．如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（    ） A．与是相等向量 B．与是平行向量 C．与是相反向量 D．与是相等向量 【典例7】．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（    ）． A．与是相等向量； B．与是相等向量； C．与是相反向量； D．与是平行向量． 【典例8】．已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例9】．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 题型3:零向量、单位向量 【典例10】．下列说法正确的有（  ） ①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量共线；④零向量只能与零向量共线． A．个 B．个 C．个 D．以上都不对 【典例11】．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（    ）． ①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【典例12】．下列说法正确的是（　　） A．若两个向量相等则起点相同，终点相同 B．零向量只有大小，没有方向 C．如果四边形ABCD是平行四边形，那么＝ D．在平行四边形ABCD中，﹣＝ 题型4:平面向量的加减运算 【典例13】．已知向量、、，求作向量，使 【典例14】．已知向量 、 求作：． 【典例15】．如图，已知，，求作．    【典例16】．如果与是互为相反向量，那么= ． 【典例17】．下列四式不能化简为的是(    ) A．( +)+ B．( +)+( +) C． D．-+ 【典例18】．如图，在正六边形中，等于（       ） A． B． C． D． 题型5:平面向量的加减运算在（特殊）平行四边形中的应用 【典例19】．在□ABCD中，O是对角线的交点，那么 ． 【典例20】．点是平行四边形的两条对角线的交点，等于（ ） A． B． C． D． 【典例21】．如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 【典例22】．如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 【典例23】．如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则= . 题型6:平面向量的模及其应用 【典例24】．在矩形ABCD中，如果模长为, 模长为1，则向量（++） 的长度为（  ） A．2 B．4 C． D． 【典例25】．下列判断中，不正确的是（　　） A． B．如果，则 C． D． 【典例26】．已知正方形的边长为1，如果将向量的运算结果记为向量，那么向量的长度为 【典例27】．已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于 . 【典例28】．下列命题中，真命题的个数为(    ) ①方向相同        ②方向相反 ③有相等的模        ④方向相同 A．0 B．1 C．2 D．3 题型7:解答综合题 【典例29】．如图，已知△ABC中，点D为边AC的中点，设，. (1)试用向量，表示下列向量：　 , 　 ． (2)求作：，. 【典例30】．如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 【典例31】．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 一、单选题 1．计算：（  ） A．； B．； C．； D．0． 2．下列关于向量的等式中，不正确的是(　　) A． B． C． D． 3．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．如图，对角线与相交于点，如果，，那么下列选项中，与向量相等的向量是（    ）. A． B． C． D． 5．分别以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则(        ) A．｜2｜＞｜-2｜ B．｜2｜＜｜-2｜ C．｜2｜＞｜2-｜ D．｜2｜＜｜2-｜ 二、填空题 7．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ． 8．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O, BO=2, BC=3,则 三、解答题 9．如图，在中，点是边的中点，设 （1）试用向量表示向量，则 ； （2）在图中求作:. （保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果） 10．如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量． 11．如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB． (1)求∠ACB的度数； (2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模． 12．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF (1)在图中画出向量的差向量并填空: . (2)图中与平行的向量是 . (3)若,用 表示= 13．材料一，在平面里有两点，，若为起点，为终点，则把有方向且有长度的线段叫做向量，记为：，并且可用坐标表示这个向量，表示方法为： ，向量的长度可以表示成 例如：，则， 即所以 材料二：若，，则 若时，则． 根据材料解决下列问题： 已知中，，， （1）________           ___________ （2）当时，求证：是直角三角形． （3）若，，求使恒成立的的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 平面向量及其加减运算(七大题型） 学习目标 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和相等的向量、互为相反向量、平行向量的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点： （1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量). 规定:与任一向量共线. 要点： （1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 二、平面向量的加法运算 1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法. 2. 运算法则： （1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：Ａ Ｂ Ｃ （2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则. （3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图： 　　　　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 　　　　　　 要点： 1.两个向量的和是一个向量，规定. 2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则. 4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题. 3.运算律： （1）交换律：； （2）结合律： 三、向量的减法运算 1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法. 2.运算法则： 在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则. 要点： （1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题. （2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定. （3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即. 【即学即练1】下列说法正确的个数为（ ） ①面积、压强、速度、路程这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. ①错误，只有速度是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 【即学即练2】如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】D 【解析】解：点、在线段上，， ． A、与方向相反，，故本选项错误； B、与方向相反，，故本选项错误； C、相反向量是方向相反，模相等的两向量，而，与不是相反向量，故本选项错误； D、与共线，与是平行向量，故本选项正确． 故选：． 由点、在线段上，，可得，然后根据相等向量、相反向量与平行向量的定义，即可求得答案．注意排除法的应用． 此题考查了平面向量的知识．解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量的定义与数形结合思想的应用． 【即学即练3】下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 【答案】D 【分析】本题考查了向量的基本知识，向量的减法运算，根据向量的概念、运算及相关知识即可完成． 【解析】解：A、，故说法错误； B、是一个向量，是一个既有大小又有方向的量，而是向量的模，是一个只有大小的量，两者不相等，故说法错误； C、，故说法错误； D、与平行，故说法正确； 故选：D． 【即学即练4】如图，已知向量，那么下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加法的三角形法则，向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，与向量反向且相等，所以.故选择B. 5．在平行四边形中，如果，，那么 ， ．（用、表示） 【答案】 【分析】根据向量的性质求解即可． 【解析】∵， ∴， 故答案为：， ． 【点睛】本题考查了向量的问题，掌握向量的性质是解题的关键． 题型1:平面向量 【典例1】．下列各量中是向量的是（ ） A．时间 B．速度 C．面积 D．长度 【答案】B 【解析】根据向量的概念进行判断即可. 解：既有大小，又有方向的量叫做向量； 时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量． 而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量． 故选：． 此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意数学知识与实际生活之间的联系． 【典例2】．在下列说法中正确的有（ ） ①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ； ④平面上的数轴都是向量. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】利用向量的定义可判断②④的正误，利用共线向量的定义可判断①③的正误. 解：既有大小，又有方向的量统称为向量， 结合向量的定义可知仅有②④错误， 结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确， 故选：B. 题型2:相等向量、相反向量、平行向量 【典例3】．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】B 【解析】解：四边形是平行四边形， ，， 与是等向量． 故选：． 根据等向量的定义判断即可． 本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【典例4】．如果，那么下列结论正确的是（  ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【解析】本题考查了平行四边形的性质和相等向量的定义．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由，可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可作出判断． 解：， 四边形是平行四边形， A.长度相等，方向相反，不相等，故本选项错误； B.长度相等且方向相同，相等，正确； C.长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误； D.长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误． 故选B． 【典例5】．如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】D 【解析】解：点、在线段上，， ． A、与方向相反，，故本选项错误； B、与方向相反，，故本选项错误； C、相反向量是方向相反，模相等的两向量，而，与不是相反向量，故本选项错误； D、与共线，与是平行向量，故本选项正确． 故选：． 由点、在线段上，，可得，然后根据相等向量、相反向量与平行向量的定义，即可求得答案．注意排除法的应用． 此题考查了平面向量的知识．解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量的定义与数形结合思想的应用． 【典例6】．如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（    ） A．与是相等向量 B．与是平行向量 C．与是相反向量 D．与是相等向量 【答案】B 【分析】由AC=BD，可得AD=BD，即可得与是平行向量，，继而证得结论． 【解析】A、∵AC=BD， ∴，该选项错误； B、∵点C、D是线段AB上的两个点， ∴与是平行向量，该选项正确； C、∵AC=BC， ∴AD≠BD， ∴与不是相反向量，该选项错误； D、∵AC=BD， ∴AD=BC， ∴，该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键． 【典例7】．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（    ）． A．与是相等向量； B．与是相等向量； C．与是相反向量； D．与是平行向量． 【答案】D 【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可． 【解析】解：A、AB=CD，但AB不平行于CD，≠，故本选项错误； B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，≠，故本选项错误； C、AD//BC，与不一定是相反向量，故本选项错误； D、AD//BC，与是平行向量，故本选项正确． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解答本题的关键． 【典例8】．已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可． 【解析】解：如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD， ∴①向量与向量是相等的向量，正确． ②向量与向量是互为相反的向量，正确． ③向量与向量是相等的向量；错误． ④向量与向量是平行向量．正确． 故选：C． 【点睛】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量． 【典例9】．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 题型3:零向量、单位向量 【典例10】．下列说法正确的有（  ） ①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量共线；④零向量只能与零向量共线． A．个 B．个 C．个 D．以上都不对 【答案】B 【解析】本题考查零向量的定义以及性质，关键是掌握零向量的有关性质根据题意，依次分析选项：对于、零向量有方向，故可得A错误；对于、符合零向量的定义，B正确；对于、符合零向量的性质，C正确；D错误；综合可得答案 解：根据题意，依次分析选项： 对于、零向量有方向，且其方向是任意的，故A错误； 对于、零向量的方向是任意的，符合零向量的定义，B正确； 对于、零向量与任一向量共线，C正确； 对于、零向量与任一向量共线，D错误． 故选B． 【典例11】．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（    ）． ①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【解析】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误； ②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键. 【典例12】．下列说法正确的是（　　） A．若两个向量相等则起点相同，终点相同 B．零向量只有大小，没有方向 C．如果四边形ABCD是平行四边形，那么＝ D．在平行四边形ABCD中，﹣＝ 【答案】C 【分析】根据平面向量的性质即可判断． 【解析】A、错误．两个向量相等还可以平行的； B、错误．向量是有方向的； C、正确．平行四边形的对边平行且相等； D、错误．应该是，+＝； 故选C． 【点睛】本题考查平面向量、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型4:平面向量的加减运算 【典例13】．已知向量、、，求作向量，使 【答案】详见解析 【分析】根据向量的性质求解即可． 【解析】如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了向量的问题，掌握向量的性质是解题的关键． 【典例14】．已知向量 、 求作：． 【答案】见解析 【分析】在平面内任取一点，分别作出，，利用向量运算的平行四边形法则即可得到答案． 【解析】解：在平面内任取一点，作，作 ，则即为所求．如下图． 【点睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量． 【典例15】．如图，已知，，求作．    【答案】见解析 【分析】根据向量的意义即可画出与，再由平行四边形法则，即可画出即可． 【解析】解：如图，作向量，向量，则即为所求作的向量．    【点睛】本题主要考查了向量的知识，解题的关键是利用平行四边形法则作图． 【典例16】．如果与是互为相反向量，那么= ． 【答案】 【解析】根据互为相反向量的知识，即可求得+=． 解：∵与是互为相反向量， ∴+=． 故答案为． 【典例17】．下列四式不能化简为的是(    ) A．( +)+ B．( +)+( +) C． D．-+ 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算法则，对选项中的算式进行化简与运算即可． 【解析】对于A， (+)+ = ，不满足题意； 对于B，( +)+( +)= ，不满足题意； 对于C， ，满足题意； 对于D, -+= ，不满足题意． 故选C. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握其运算法则. 【典例18】．如图，在正六边形中，等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可. ，. 故选：A. 题型5:平面向量的加减运算在（特殊）平行四边形中的应用 【典例19】．在□ABCD中，O是对角线的交点，那么 ． 【答案】 【分析】由向量的平行四边形法则及相等向量的概念可得答案． 【解析】解：因为：□ABCD， 所以，， 所以：． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，掌握向量的平行四边形法则是解题的关键． 【典例20】．点是平行四边形的两条对角线的交点，等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据几何图形，结合向量线性运算的几何含义，即可知所表示的向量. 由题意，如上图示，又， ∴. 故选：A 【典例21】．如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 故选B. 【典例22】．如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可知，， 故选：． 根据向量减法的三角形法则可得答案． 本题主要考查的是向量的减法及其几何意义，掌握向量减法的三角形法则是解题的关键． 【典例23】．如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则= . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论. 【解析】解：∵如图： ∴. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，在用三角形法则做减法时，牢记连接两向量的终点，箭头指向被减数是关键. 题型6:平面向量的模及其应用 【典例24】．在矩形ABCD中，如果模长为, 模长为1，则向量（++） 的长度为（  ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后，利用勾股定理即可计算出向量（++）的长度为 【解析】 故选B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则. 【典例25】．下列判断中，不正确的是（　　） A． B．如果，则 C． D． 【答案】A 【解析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、应为，故本选项错误； B、，则向量与的方向相同，大小相等，∴，故本选项正确； 根据向量的加法满足所有的加法运算定律， C、是向量的加法交换律，故本选项正确； D、是向量的加法结合律，故本选项正确． 故选A． 【典例26】．已知正方形的边长为1，如果将向量的运算结果记为向量，那么向量的长度为 【答案】1 【分析】利用向量的三角形法则直接求得答案． 【解析】如图： ∵-==且||=1， ∴||=1． 故答案为1． 【点睛】此题考查了平面向量，属于基础题，熟记三角形法则即可解答． 【典例27】．已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于 . 【答案】 【分析】本题考查向量和的模的知识，只要学生先求出向量的和，再求的模即可 【解析】 解：如图： ∴ 又∵ ∴. 【点睛】本题属于基础题，主要考查向量和模的运算，运用三角形法则求向量的和是解题的关键. 【典例28】．下列命题中，真命题的个数为(    ) ①方向相同        ②方向相反 ③有相等的模        ④方向相同 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【解析】解：对于①，若，则方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题. 题型7:解答综合题 【典例29】．如图，已知△ABC中，点D为边AC的中点，设，. (1)试用向量，表示下列向量：　 , 　 ． (2)求作：，. 【答案】(1) －,;(2)见解析 【分析】（1）根据三角形法则，由即可求得其值，由点D为边AC的中点，由即可求得其的值； （2）如图1，首先过点C作CE∥BD，且使CE=BD，连接BE，向量，同理作CF∥BD，且CF=BD，则. 【解析】（1）∵，， ∴＝－；＝； （2）如图所示： 【点睛】考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力．解题的关键是三角形法则的应用． 【典例30】．如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 【答案】(1) ，；(2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则即可解决问题． （2）如图，作CF∥DE，且CF＝DE，连接DF，则即为所求． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【典例31】．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 【答案】（1）；；（或）；（2）图见解析， ． 【分析】（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出； （2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出． 【解析】（1）． ∵，， ∴， ∴． ； （2）作图如下： ∵，为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键． 一、单选题 1．计算：（  ） A．； B．； C．； D．0． 【答案】C 【分析】根据零向量的定义即可判断． 【解析】． 故选C． 2．下列关于向量的等式中，不正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的加法法则判定即可． 【解析】A、，正确，本选项不符合题意； B、，错误，本选项符合题意； C、，正确，本选项不符合题意； D、，正确，本选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】模长为1的向量称为单位向量，它的方向是不确定的，所以只有D选项符合题意. 【解析】∵向量和都是单位向量，但它们的方向不确定， ∴A、B、C不正确，D正确. 故选D. 【点睛】本题考查了单位向量的意义，同时也考查了向量的相等与和差计算，掌握单位向量的意义是解答本题的关键. 4．如图，对角线与相交于点，如果，，那么下列选项中，与向量相等的向量是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形ABCD是平行四边形根据平行四边形法则，可求得，然后由三角形法则，求得与，继而求得答案． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴＝，， ∴， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键． 5．分别以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】本题考查了相等向量的定义，向量的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．本题考查了相等向量的定义，向量的几何意义，考查了计算能力，属于基础题． 可画出图形，然后写出以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量，然后即可得出正确的选项． 解：如图，以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为： ，共个． 故选： 6．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则(        ) A．｜2｜＞｜-2｜ B．｜2｜＜｜-2｜ C．｜2｜＞｜2-｜ D．｜2｜＜｜2-｜ 【答案】A 【分析】对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A、C满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C，进而解答本题. 【解析】解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足； 若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC； 令， ，则， ∴且； 又BA+BC>AC ∴ ∴. 故选A. 【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键. 二、填空题 7．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ． 【答案】+ 【分析】如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题． 【解析】解：如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE． ∵AD＝DE，BD＝CD， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：+． 【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型． 8．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O, BO=2, BC=3,则 【答案】 【分析】首先利用矩形的性质和勾股定理求出CD的长度，然后根据即可得出结果. 【解析】解：在矩形ABCD中，BO=2, BC=3， ∴BD=4， ∴， ∴=， 故答案为. 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理及向量的运算，熟练掌握向量的运算法则是解题关键. 三、解答题 9．如图，在中，点是边的中点，设 （1）试用向量表示向量，则 ； （2）在图中求作:. （保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果） 【答案】(1) ;(2)图见解析. 【分析】（1）利用平行四边形的性质，三角形法则即可解决问题． （2）根据三角形法则解决问题即可． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC， ∵，，. ∴； （2）如图： ，， 向量，向量即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量． 【答案】与平行的向量有、、、、、． 【分析】根据中位线的性质和平行向量的定义即可写出与平行的向量. 【解析】解：∵、分别为等边三角形的边、的中点， ∴EF∥BC ∴与平行的向量有、、、、、． 【点睛】此题考查的是三角形的中位线的性质和平行向量，掌握三角形的中位线平行于第三边和平行向量的定义是解决此题的关键. 11．如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB． (1)求∠ACB的度数； (2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模． 【答案】(1)∠ACB＝90°；(2)模分别为1和2． 【分析】（1）证明四边形ABCD是等腰梯形即可解决问题；（2）求出线段CD、AB的长度即可； 【解析】(1)∵CD∥AB，AD＝BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAB＝30°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∴∠ACB＝90°． (2)∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°， ∴AD＝CD＝BC＝1， 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴AB＝2BC＝2， ∵， ∴向量和向量的模分别为1和2． 【点睛】本题考查平面向量、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF (1)在图中画出向量的差向量并填空: . (2)图中与平行的向量是 . (3)若,用 表示= 【答案】（1）图见解析，；（2），；（3）. 【分析】（1）首先计算出，然后在图中画出即可； （2）根据题意不难证明四边形AECF是平行四边形，可得AE∥CF，问题得解； （3）根据，，代入计算即可. 【解析】解：（1）， 画出向量的差如图： （2）连接AC交BD于点O， 在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴与平行的向量是：，， 故答案为，； （3）∵， ∴，即. 故答案为. 【点睛】本题考查了平面向量，平行四边形的判定和性质，平面向量问题，熟记平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 13．材料一，在平面里有两点，，若为起点，为终点，则把有方向且有长度的线段叫做向量，记为：，并且可用坐标表示这个向量，表示方法为： ，向量的长度可以表示成 例如：，则， 即所以 材料二：若，，则 若时，则． 根据材料解决下列问题： 已知中，，， （1）________           ___________ （2）当时，求证：是直角三角形． （3）若，，求使恒成立的的取值范围． 【答案】（1）(11,1)，；（2）证明见解析；（3）m<2 【分析】（1）利用向量的定义和向量的长度的计算公式解答； （2）利用两点间的距离公式和勾股定理逆定理进行证明； （3）利用向量的乘法法则求得a、b的值；然后代入不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【解析】（1）∵A(−3，3)，B(8，4)， ∴AB=(8−(−3)，4−3)，即AB=(11，1)， |AB|= 故答案为：(11，1)； （2）当x=2时，A(−3，3)，B(8，4)，C(2，−2) 此时AB2=(−3−8)2+(4−3)2=122， AC2=(−3−2)2+[3−(−2)]2=50，BC2=(2−8)2+(−2−4)2=72． 得AB2=AC2+BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A(−3，3)，B(8，4)，C(x，−x) ∴AB=(11，1)，AC=(x+3，−x−3)，BC=(x−8，−x−4) ∴a=AB⋅AC=11x+33−x−3=10x+30 b=AC⋅BC=x2−5x−24+x2+7x+12=2x2+2x−12 ∴a+b=10x+30+2x2+2x−12=2x2+12x+18 ∴由a+b>m−2得到：2x2+12x+18>m−2 即：m<2x2+12x+20 ∴m<2(x+3)2+2 ∵2(x+3)2+2⩾2． ∴m<2 ∴使a+b>m−2恒成立的m的取值范围是：m<2 故答案为：m<2 【点睛】本题考查了向量的定义、向量的长度的计算公式、两点间的距离公式、向量的乘法法则和勾股定理逆定理． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$