第11讲 平面向量及其加减运算（1个知识清单+3类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第11讲 平面向量及其加减运算 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01平面向量..........................................................................................................................................................................1 题型02平面向量的加法............................................................................................................................................................5 题型03平面向量的减法............................................................................................................................................................10 分层练习.........................................................................................................................................................................................15 夯实基础.........................................................................................................................................................................................15 能力提升.........................................................................................................................................................................................31 知识点．*平面向量 平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示． 题型01平面向量 1．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 2．（八年级下·上海·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（八年级下·上海·课后作业）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 4．（八年级下·上海·课后作业）如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 5．（2022八年级·上海·专题练习）式子化简结果是（ ） A． B． C． D． 6．（2022八年级·上海·专题练习）如图，已知向量，那么下列结论正确的是 A． B． C． D． 题型02平面向量的加法 7．（2022八年级·上海·专题练习）如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 8．（2022八年级·上海·专题练习）已知正六边形，则（ ） A． B． C． D． 9．（2022八年级·上海·专题练习）向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 10．（八年级下·上海·期末）在□ABCD中，O是对角线的交点，那么 ． 11．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 12．（八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 题型03平面向量的减法 13．（八年级下·上海·课后作业）已知向量，若与共线，则(   ) A． B． C． D．或 14．（八年级下·上海徐汇·期中）在矩形ABCD中，如果模长为, 模长为1，则向量（++） 的长度为（  ） A．2 B．4 C． D． 15．（上海奉贤·二模）如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设，，那么＝ 16．（八年级下·上海徐汇·期中）已知在平行四边形ABCD中，设，,那么用向量、表示向量= ． 17．（八年级下·上海·课后作业）设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是 . 18．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，求作．    19．（八年级下·上海松江·期末）如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 20．（八年级下·上海浦东新·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，． （1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　； （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）． 夯实基础一、单选题 1．如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（   ） A． B． C． D． 2．在矩形中，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下面四个命题中正确的命题个数为（    ）． ①对于实数和向量、，恒有 ②对于实数、和向量 ，恒有 ③若（是实数）时，则有 ④若（、是实数，），则有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于（　　） A．+ B．（+） C．2（+） D．﹣（+） 二、填空题 6．计算：= ． 7．若，，，则用向量、表示 ． 8．化简：= ． 9．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ． 10．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，，设向量，，如果用向量，的线性组合来表示向量，那么= ． 11．若则 (用表示) 12．在四边形ABCD中，=+，则ABCD是 形． 13．已知向量与向量的方向相反，且，那么= ． 14．已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于 . 三、解答题 15．已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      16．如图，点、在平行四边形的对角线上，且． 填空：________；________；________． 求作：． 17．如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量． 18．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设 ，． （1）求向量（用向量 、 表示）； （2）求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 19．如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB． (1)求∠ACB的度数； (2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模． 20．如图，已知梯形中，，对角线、相交于点，． （1）求的值； （2）若，用向量与表示． 21．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，设=，=． （1）填空：向量= ．（用向量，的式子表示）． （2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 能力提升 一、单选题 21．下列关于向量的说法中，不正确的是（　　） A． B． C．若（k为实数），则∥ D．若，则或 22．如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 23．计算：= ． 24．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，，设向量，，如果用向量，的线性组合来表示向量，那么= ． 三、解答题 25．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，CD∶AD=1∶2，，． （1）试用向量表示向量； （2）求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 26．如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB． (1)求∠ACB的度数； (2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 平面向量及其加减运算 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01平面向量..........................................................................................................................................................................1 题型02平面向量的加法............................................................................................................................................................5 题型03平面向量的减法............................................................................................................................................................10 分层练习.........................................................................................................................................................................................15 夯实基础.........................................................................................................................................................................................15 能力提升.........................................................................................................................................................................................31 知识点．*平面向量 平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示． 题型01平面向量 1．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查了向量的基本知识，向量的减法运算，根据向量的概念、运算及相关知识即可完成． 【详解】解：A、，故说法错误； B、是一个向量，是一个既有大小又有方向的量，而是向量的模，是一个只有大小的量，两者不相等，故说法错误； C、，故说法错误； D、与平行，故说法正确； 故选：D． 2．（八年级下·上海·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】实数与向量相乘 【详解】根据相等向量的概念逐一判断可得选项. 解：零向量与它的相反向量相等，①错； 由相等向量的定义知，②正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错； a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错； 两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错. 所以正确的命题的个数为1， 故选：B. 3．（八年级下·上海·课后作业）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与向量相乘 【详解】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 4．（八年级下·上海·课后作业）如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】B 【知识点】实数与向量相乘 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 与是等向量． 故选：． 根据等向量的定义判断即可． 本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2022八年级·上海·专题练习）式子化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与向量相乘 【详解】根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 由 . 故选：B. 6．（2022八年级·上海·专题练习）如图，已知向量，那么下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与向量相乘 【详解】根据向量加法的三角形法则，向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，与向量反向且相等，所以.故选择B. 题型02平面向量的加法 7．（2022八年级·上海·专题练习）如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算 【详解】由题意， 故选B. 8．（2022八年级·上海·专题练习）已知正六边形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算 【详解】根据向量的多边形加法法则，求解即可. 如图所示， 故选：B 本题考查向量的多边形加法法则，属于容易题. 9．（2022八年级·上海·专题练习）向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算 【详解】根据向量的加法运算即可得到结果. 故选：D 10．（八年级下·上海·期末）在□ABCD中，O是对角线的交点，那么 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】由向量的平行四边形法则及相等向量的概念可得答案． 【详解】解：因为：□ABCD， 所以，， 所以：． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，掌握向量的平行四边形法则是解题的关键． 11．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、利用平行四边形的性质求解、向量的线性运算 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【详解】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 12．（八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 【答案】（1）；；（或）；（2）图见解析， ． 【知识点】向量的线性运算 【分析】（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出； （2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出． 【详解】（1）． ∵，， ∴， ∴． ； （2）作图如下： ∵，为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键． 题型03平面向量的减法 13．（八年级下·上海·课后作业）已知向量，若与共线，则(   ) A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】实数与向量相乘、向量的线性运算 【分析】要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键. 14．（八年级下·上海徐汇·期中）在矩形ABCD中，如果模长为, 模长为1，则向量（++） 的长度为（  ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算 【分析】先求出，然后，利用勾股定理即可计算出向量（++）的长度为 【详解】 故选B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则. 15．（上海奉贤·二模）如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设，，那么＝ 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】首先利用三角形法则求得，则；然后再在△ABD中，利用三角形法则求得． 【详解】解： 则 故答案为 ： 【点睛】本题主要考查了平面向量的计算，属于基础题型． 16．（八年级下·上海徐汇·期中）已知在平行四边形ABCD中，设，,那么用向量、表示向量= ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】由在平行四边形ABCD中，可得，即可得，又有，即可求得答案． 【详解】如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， 故答案是：. 【点睛】考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 17．（八年级下·上海·课后作业）设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是 . 【答案】 【分析】根据两个向量平行的关系，写出两个向量共线的充要条件，设 ，整理出关于k和代入的关系式，把入用表示，得到关于k的方程，解方程组即可. 【详解】解：设，则 解得； 故设是两个不共线的向量，则向量与向量共线的充要条件是.故答案为. 【点睛】本题考查向量共线的充要条件，注意充分条件与必要条件的区别与联系. 18．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，求作．    【答案】见解析 【知识点】向量的线性运算 【分析】根据向量的意义即可画出与，再由平行四边形法则，即可画出即可． 【详解】解：如图，作向量，向量，则即为所求作的向量．    【点睛】本题主要考查了向量的知识，解题的关键是利用平行四边形法则作图． 19．（八年级下·上海松江·期末）如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 【答案】(1) ，；(2)见解析 【知识点】向量的线性运算 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则即可解决问题． （2）如图，作CF∥DE，且CF＝DE，连接DF，则即为所求． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 20．（八年级下·上海浦东新·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，． （1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　； （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）． 【答案】（1）﹣，﹣﹣；（2）见解析 【知识点】向量的线性运算 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则求解即可． （2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD，OA＝OC， ∴＝＝＝﹣， ＝＝﹣﹣． 故答案为：﹣，﹣﹣． （2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 夯实基础一、单选题 1．如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由△ABC中，两条中线AE、CF交于点G可知，，求出的值即可解答. 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故本题答案选B. 【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用． 2．在矩形中，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. ，故该选项错误；     B. ，但方向不同，故该选项错误；     C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以，故该选项正确； D. ，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键． 3．下面四个命题中正确的命题个数为（    ）． ①对于实数和向量、，恒有 ②对于实数、和向量 ，恒有 ③若（是实数）时，则有 ④若（、是实数，），则有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数和向量、，恒有，正确； ②对于实数、和向量 ，恒有，正确； ③若（是实数）时，则有，错误，当m=0时不成立； ④若（、是实数，），则有，正确； 故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键． 4．下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为加任何向量即得任何向量，0与向量的积得，若括号前是负号，去括号时括号里各项都要变号，从而求解． 解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选C． 5．如图，△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于（　　） A．+ B．（+） C．2（+） D．﹣（+） 【答案】C 【详解】此题主要用到了平行四边形法则，在向量BA，AD已知的情况下，可求出向量BD，又题中AD为中线，所以，则问题得解． 解：∵，，， ∴， ∵D是边BC的中点， ∴． 故选C． 二、填空题 6．计算：= ． 【答案】 【详解】原式= = =. 故答案为. 7．若，，，则用向量、表示 ． 【答案】 【分析】先设=，列出等式，再根据向量相等的定义解出x和y，即可求解. 【详解】设===，即=，由向量相等的定义可得4x-3y=-1，2x+12y=3，解得x=，y=.故答案是. 【点睛】本题考查了向量的加、减、乘的混合运算，学生掌握即可. 8．化简：= ． 【答案】 【详解】直接利用三角形法则求解，即可求得答案． 解：=+=． 故答案为． 9．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ． 【答案】+ 【分析】如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE． ∵AD＝DE，BD＝CD， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：+． 【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，，设向量，，如果用向量，的线性组合来表示向量，那么= ． 【答案】 【详解】由向量，，可求得的长，又由，即可求得，然后由三角形法则，求得． 解：∵向量，， ∴=﹣=﹣， ∵， ∴==（﹣）， ∴=+=+（﹣）=． 故答案为． 11．若则 (用表示) 【答案】 【分析】由向量的平行四边形法则，可得，再将其代入到中，即可求解. 【详解】解：， 整理得. 【点睛】本题考查了向量的运算，解题的关键在于向量的基本运算. 12．在四边形ABCD中，=+，则ABCD是 形． 【答案】平行四边形 【分析】据向量的加法的平行四边形法则可得，以AB，AC为邻边做平行四边形ABCD，则可得=+，从而可判断． 【详解】根据向量的加法的平行四边形法则可得,以AB,AC为邻边做平行四边形ABCD,则可得=+，所以四边形ABCD为平行四边形. 故答案为平行四边形. 【点睛】此题考查向量的线性运算性质及几何意义，解题关键在于掌握其运算法则. 13．已知向量与向量的方向相反，且，那么= ． 【答案】﹣2 【详解】由向量的知识，可得=﹣3，代入计算即可求得结果． 解：∵向量与向量的方向相反，且， ∴=﹣3， ∴=﹣3+=﹣2． 故答案为﹣2． 14．已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于 . 【答案】 【分析】本题考查向量和的模的知识，只要学生先求出向量的和，再求的模即可 【详解】 解：如图： ∴ 又∵ ∴. 【点睛】本题属于基础题，主要考查向量和模的运算，运用三角形法则求向量的和是解题的关键. 三、解答题 15．已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      【答案】（1）；；（2）作图见解析． 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量在方向上的分向量． 【详解】解：（1）∵EF是的中位线，． ∴==， ∵， ∴ （2）如图，过点E作EM∥AC， 则与即为向量在、方向上的分向量．    【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用． 16．如图，点、在平行四边形的对角线上，且． 填空：________；________；________． 求作：． 【答案】(1) ;(2)见解析. 【分析】（1）根据平行四边形法则，即可得出答案． （2）利用平行四边形法则来作合向量：即可． 【详解】（1），, ∵， ∴， 即是根据平行四边形法则求作的合向量． 图形如下所示：所作即为所求． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练掌握． 17．如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量． 【答案】与平行的向量有、、、、、． 【分析】根据中位线的性质和平行向量的定义即可写出与平行的向量. 【详解】解：∵、分别为等边三角形的边、的中点， ∴EF∥BC ∴与平行的向量有、、、、、． 【点睛】此题考查的是三角形的中位线的性质和平行向量，掌握三角形的中位线平行于第三边和平行向量的定义是解决此题的关键. 18．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设 ，． （1）求向量（用向量 、 表示）； （2）求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】略 【分析】（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算； （2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量向量在、方向上的分向量． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∵，且 ∴； （2）解：如图， 所以，向量、即为所求的分向量． 【考点】*平面向量． 19．如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB． (1)求∠ACB的度数； (2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模． 【答案】(1)∠ACB＝90°；(2)模分别为1和2． 【分析】（1）证明四边形ABCD是等腰梯形即可解决问题；（2）求出线段CD、AB的长度即可； 【详解】(1)∵CD∥AB，AD＝BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAB＝30°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∴∠ACB＝90°． (2)∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°， ∴AD＝CD＝BC＝1， 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴AB＝2BC＝2， ∵， ∴向量和向量的模分别为1和2． 【点睛】本题考查平面向量、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，已知梯形中，，对角线、相交于点，． （1）求的值； （2）若，用向量与表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）根据，，,可得再根据DC=AB，即可求出． 【详解】解：（1）∵CO=AC， ∴CO：OA=2：3， ∵CD∥AB， ∴． （2）∵，，， ∴ ∵DC=AB， ∴． 【点睛】本题考查平面向量、梯形的性质、平行线的性质、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，设=，=． （1）填空：向量= ．（用向量，的式子表示）． （2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【分析】（1）首先利用平面向量三角形法则求得，然后由“E是边AC的中点”来求向量； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量，方向上的分向量． 【详解】（1）∵在△ABC中，=，=， ∴=-=-． 又∵E是边AC的中点， ∴=． 故答案为； （2）如图，过点E作EM∥AB交BC于点M． 、即为向量在向量，方向上的分向量． 能力提升 一、单选题 21．下列关于向量的说法中，不正确的是（　　） A． B． C．若（k为实数），则∥ D．若，则或 【答案】D 【详解】根据平面向量的运算，向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、2（+）=2+2，正确，故本选项错误； B、|2|=2||，正确，故本选项错误； C、若=k，表示与方向一致，所以，∥正确，故本选项错误； D、若||=2||，表示向量的模是向量的模的2倍，但两个向量的方向不一定一致，所以=2或=﹣2错误，故本选项正确． 故选D． 22．如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】观察图可得：或或或．即可求得答案． 解：根据题意得：或或或． 故C正确；A，B，D错误． 故选C． 二、填空题 23．计算：= ． 【答案】 【详解】根据向量的计算法则求解即可． 解：=3+15． 故答案为3+15． 24．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，，设向量，，如果用向量，的线性组合来表示向量，那么= ． 【答案】 【详解】由向量，，可求得的长，又由，即可求得，然后由三角形法则，求得． 解：∵向量，， ∴=﹣=﹣， ∵， ∴==（﹣）， ∴=+=+（﹣）=． 故答案为． 三、解答题 25．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，CD∶AD=1∶2，，． （1）试用向量表示向量； （2）求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】（1）根据，只要求出即可解决问题； （2），（如图所示）； 【详解】（1）∵CD∶AD=1∶2， ∴，得． ∵． ∴ ∴． （2） 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 26．如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB． (1)求∠ACB的度数； (2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模． 【答案】(1)∠ACB＝90°；(2)模分别为1和2． 【分析】（1）证明四边形ABCD是等腰梯形即可解决问题；（2）求出线段CD、AB的长度即可； 【详解】(1)∵CD∥AB，AD＝BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAB＝30°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∴∠ACB＝90°． (2)∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°， ∴AD＝CD＝BC＝1， 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴AB＝2BC＝2， ∵， ∴向量和向量的模分别为1和2． 【点睛】本题考查平面向量、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$