专题04：梯形（七大题型） 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期同步培优课程

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题04 梯形 知识点一、梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 知识点二、等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 知识点三、等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点四、辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 　 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点五、三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型1：梯形的概念辨析 【例】下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【答案】A 【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可． 【解析】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑． 【例】下列四个命题中，假命题是（       ） A．有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B．等腰梯形一定有两个内角相等 C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形的两条对角线相等 【答案】A 【分析】利用直角梯形可对A进行判断；根据等腰梯形的性质对B、D进行判断；根据等腰梯形的判定方法对C进行判断． 【解析】解：A、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，如：直角梯形，故这个命题为假命题； B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题； C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题； D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理和梯形的性质和判定，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【例】下列说法正确的个数有（　　） ①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定 ②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 ③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据梯形中位线的性质，等腰梯形的判定，梯形的分类，等腰梯形的性质逐个判断，即可得出进行解答． 【详解】解：①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定，故符合题意； ②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形，故不符合题意； ③直角梯形和等腰梯形梯形是梯形的特殊形式，故不符合题意； ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线，故符合题意； 综上：正确的有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了梯形中位线的性质，等腰梯形的判定，梯形的分类，等腰梯形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并熟练运用． 题型2：根据特殊梯形的性质或判定求长度、角度、面积 【例】如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则    【答案】 【分析】取的中点，连接，得出是梯形的中位线，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】如图所示，取的中点，连接，    则是梯形的中位线， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【例】在等腰梯形中，，，，，则该等腰梯形的高的长度是 ． 【答案】6 【分析】根据题意首先证明出，然后得到是等腰直角三角形，求出，然后利用等腰梯形的面积，从而可求出的值． 【详解】解：如图所示，过点D作    ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理可得：， ∵， ∴等腰梯形的面积 ∴ ∴解得 故答案为：6． 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，有一定难度，注意掌握梯形面积的两种表示形式，从而解出梯形的高． 【例】如图，在梯形中，，点E、F分别是、的中点，如果，．那么 ．    【答案】4 【分析】连接延长，交延长线于点G，证得，于是，，，从而． 【详解】连接延长，交延长线于点G， ∵ ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴    故答案为：4 【点睛】本题考查三角形中位线性质，全等三角形的判定和性质，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【例】如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么 度．    【答案】105 【分析】作于，于，根据等腰直角三角形的性质用表示出及的长，由勾股定理及含30度直角三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和等于得出的度数即可． 【详解】解：如图，作于，于， 在中， ，， ， ，， ． 又， ， ， ， ， ． 故答案为：105．    【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰三角形的判定，难度一般，关键是巧妙作辅助线进行解答． 【例】已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于 ．      【答案】 【分析】根据等腰梯形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过D点作，交BC的延长线于E， ∴， ∵， ∴， 在等腰梯形中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即梯形的上下底之和等于， 故答案为：．      【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是根据等腰梯形的对角线长度相等解答． 【例】如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．    【答案】6 【分析】过作交延长线于点，则，证四边形为平行四边形得证为等腰直角三角形，利用勾股定理得，再根据等腰三角形的三线合一得及直角三角形的性质得，从而求得，再四边形是平行四边形，即可得解． 【详解】解：过作交延长线于点，则，   ， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ， 又四边形是等腰梯形， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ，即， ， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等腰梯形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质以及等腰梯形的性质是解题的关键． 【例】等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是 ． 【答案】120 【分析】过A、D作的垂线，易证，从而得出，，根据勾股定理可求得的长，即可求出答案． 【详解】解：过A、D作的垂线，垂足分别为E、F，   四边形是等腰梯形， ，，， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 梯形的面积是：． 故答案为：120 ． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，能够将等腰梯形的问题通过作高线转化成直角三角形是解决问题的关键． 题型3：梯形与等腰梯形的判定 【例】下列四个命题中，假命题是（       ） A．有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B．等腰梯形一定有两个内角相等 C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形的两条对角线相等 【答案】A 【分析】利用直角梯形可对A进行判断；根据等腰梯形的性质对B、D进行判断；根据等腰梯形的判定方法对C进行判断． 【详解】解：A、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，如：直角梯形，故这个命题为假命题； B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题； C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题； D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理和梯形的性质和判定，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【例】下列命题中，是真命题的是（   ） A．一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，一组对角互补的四边形是等腰梯形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是等腰梯形 【答案】C 【分析】根据平行四边形，等腰梯形的判定，逐项判断即可． 【详解】解：A．一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； B．一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是等腰梯形，故B是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故D是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，等腰梯形的判定． 【例】在下列说法中不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形． C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【分析】运用正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定依次排查即可． 【详解】解：A、已经是矩形，根据邻边相等可以判定是菱形，继而判定是正方形，故此选项正确，不符合题意； B、对角线互相平分可以判定是平行四边形，对角线相等可以继续判定是矩形，故此选项正确，不符合题意； C、平行四边形可以得出对边平行，推导内错角相等，再结合对角线平分一组对角可以得到邻边相等，继而判定是菱形，故此选项正确，不符合题意； D、“同一底的两个底角相等才叫等腰梯形”，若同侧上下两个底角相等，则是直角梯形，故此选项不正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定，掌握相关知识是解题的关键． 题型4：梯形与三角形的中位线 【例】已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，根据等腰梯形的性质得出，根据得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵ ∴， 又∵,，设交于点, ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则 ∴ 即, 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 【例】顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据同意得到一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高，然后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】根据同意可得， 一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高， ∴等腰梯形的面积（上底＋下底）高． 故答案为：． 【点睛】此题考查了梯形的中位线和梯形的面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【例】等腰梯形中，对角线的夹角为，中位线长为6，则梯形面积为 ． 【答案】或/或 【分析】作于点E，反向延长交于点F，分两种情况讨论，①当时，设，则，求得，，得到，利用梯形面积公式即可求解；②当时，同法求解即可． 【详解】解：作于点E，反向延长交于点F，    分两种情况讨论，①当时， ∵等腰梯形中，中位线长为6， ∴，，， ∵， ∴都是等边三角形， 设，则， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， 设，则，同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线定理，梯形面积计算，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键． 【例】如图，梯形中，．点、分别是对角线、的中点，如果，，那么 ．    【答案】8 【分析】取的中点G，连接，可证，所以，于是． 【详解】解：取的中点G，连接，则， ∵， ∴． ∴三点共线． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8    【点睛】本题考查中位线的性质，平行线的性质，由中位线的性质得到线段间的数量关系是解题的关键． 【例】已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】把构成梯形的条件转换成构成三角形的条件，通过从上底的一个顶点作一腰的平行线，通过平行四边形的性质结合三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：∵梯形的四条边长分别是4、5、7、8，故梯形不是等腰梯形， 分情况： 第一种：上底为4，下底为5，腰分别是7和8，如图，      显然，1、7、8不能构成三角形，此情况不存在； 第二种：上底为4，下底为7，腰分别是5和8，如图，      显然，3、5、8不能构成三角形，此情况不存在； 第三种：上底为4，下底为8，腰分别是5和7，如图，      显然，4、5、7能构成三角形， 此时，中位线长为； 第四种：上底为5，下底为7，腰分别是4和8，如图， 显然，2、4、8不能构成三角形，此情况不存在；      第五种：上底为5，下底为8，腰分别是7和4，如图， 显然，3、4、7不能构成三角形，此情况不存在；      第六种：上底为7，下底为8，腰分别是4和5，如图， 显然，1、4、5不能构成三角形，此情况不存在；      故选：C． 【点睛】此题考查梯形的中位线，三角形三边的关系，注意分情况讨论． 【例】已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）首先根据三角形中位线的性质得到，，证明出四边形是平行四边形，然后利用，得到，进一步证明出四边形是菱形； （2）延长交于点M，首先证明出，得到，，，然后得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接    ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形 ∴ ∵同理可得，是的中位线 ∴ ∴ ∴四边形是菱形； （2）如图所示，延长交于点M，    ∵，， ∴，， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴，即 ∴． ∴四边形的面积为8． 【点睛】此题考查了梯形的性质，菱形的判定定理，正方形的判定与性质、三角形的中位线性质、全等三角形的判定及性质，熟记各判定定理及性质定理是解题的关键． 【例】如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA． (1)求证：四边形OFGE是平行四边形． (2)猜想：当______°时四边形OFGE是菱形，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)30，证明见解析 【分析】（1）通过“点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA”得到、分别为、的中位线，再由中位线的性质可以证明且，即可证明四边形OFGE是平行四边形． （2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”得到时四边形OFGE是菱形，从而得到为等边三角形，推出． 【详解】（1）证明：∵矩形ABCD的对角线交于点O， ∴， 又∵点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA， ∴OE为的中位线，FG为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形OFGE是平行四边形． （2）解：由（1）知，四边形OFGE是平行四边形 当四边形OFGE是菱形时，则 ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形OFGE是菱形． 故答案为：30 【点睛】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质，掌握矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质与判定是解题关键． 【例】如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三线合一可得，进而根据矩形的性质得出，即可得出，等量代换得出，根据等边对等角即可得证； （2）根据已知条件，得出，根据含度角的直角三角形的性质，在中，设，则，勾股定理求得，根据等边三角形的性质，可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）在中，，勾股定理求得，延长，使得，则是是中位线，，，根据全等三角形的性质与判定，以及中位线的性质求得，进而求得，，过点作，则四边形是矩形，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）可得 则是等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，则，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的面积为 （3）∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，则， 如图所示，延长，使得，则是是中位线，，， ∴，    在中，，， ∴ ∴ ∴，， 则， ∴， 如图所示，过点作，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型5：与梯形有关的证明 【例】如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）先证明，进而得到≌，从而，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【例】如图，已知，过点D作交延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)设边与相交于点G，连结、，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，可得，由，得到四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论； （2）证明四边形为等腰梯形，求出，然后根据矩形的性质和三角形内角和定理求出，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）如图，    ∵，， ∴四边形为等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． 题型7：坐标系中的梯形 【例】如图，在平面直角坐标中，已知直线：与直线相交于点，且直线与y轴交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在x轴上取一点F，如果以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)、 【分析】（1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求解； （2）作轴，垂足为H，根据点、、，得到，再利用求解； （3）根据梯形的一组对边平行，另一组对边不平行，分两种情况，结合一次函数求解即可． 【解析】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点、分别代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：作轴，垂足为H，    ∵点、、， ∴ ∴； （3）解：、. ∵以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形， ∴四边形中有一组对边平行， ①当时，    ∵， ∴； ②当时，    设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，将代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 综上，符合条件的点F有两个：、． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数平行的性质，一次函数交点的问题，一次函数与图形面积，正确掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 【例】如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)， 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 综上，，． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形综合应用，等边三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 题型8：梯形的综合题 【例】在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设． （1）求边的长； （2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式； （3）如果的长为，求梯形的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）或 【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长； （2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式； （3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积． 【解析】解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、， 梯形中，， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ． （2），， ， ， ， ，， ， ， 如图2，过点作，与、分别相交于、， ，， ，， ， ， 关于的函数解析式为； （3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，， ， 当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，， ， 综上所述，梯形的面积为或． 【点睛】本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解． 【例】如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，则，在中有两的角，根据等边三角形的判定即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质易得，，则，，利用三角形的面积公式得到，代值即可得到； （3）由得到，则，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，即，解方程即可． 【解析】（1）在中，，， ， ，， ， ， 而， 为等边三角形； （2），过点P作，    ，， ，， ∴， ∴， ∴， 而， ； （3）， ， 而 ， ，即， ．    【点睛】本题考查了梯形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．如图，四边形中，，是边的中点．已知，． (1)连接，求证； (2)如图，当时，求的度数； (3)当为直角三角形时，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接并延长交的延长线于，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，再判断出，即可求出答案； （3）分两种情况①当时，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出答案；②当时，过点D作DF⊥BC于点F，，设，根据勾股定理即可列出关于x的方程，即可求出答案． 【解析】（1）证明：如图， 连接并延长交的延长线于， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ≌， ， ， ， ； （2）解：，， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； （3）（3）是直角三角形， ①当时，如图， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ； ②当时，如图，过点D作DF⊥BC于点F， 设， 由题意，四边形ABFD是矩形， ∴AB=DF，BF=AD=2， ∴FC=x-2， 在Rt△DFC中，； ， 在Rt△BDC中，， 在Rt△ABD中，， ∴， ， （舍去负值）， ③∠DBM=时，不符合题意； 综上所述的长为或． 【例】在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【答案】(1) (2) (3)6或或8． 【分析】（1）先说明与不可能垂直，只有，如图：过B作、过A作，然后运用等面积法可求得， 再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得到即可解答； （2）如图：过点A作，过点D作，根据勾股定理可得，进而得到，再在中利用勾股定理即可得到关系式； （3）分点P在C、D之间、点D与点P重合、点P在射线上三种情况，分别画出图形，然后根据图形解答即可． 【详解】（1）解：∵． ∴不可能是直角三角形，即与不可能垂直， ∵梯形是直角梯形， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴ ∴， 过A作， 则，即，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．   ； （2）解：如图：过点A作，过点D作，    由（1）可知，， ∴， ∵, ∴, ∴，即 在中，， ∴，整理得：． （3）解： ①当点P在C、D之间时，是以为腰的等腰三角形，则，如图：    过点A作，过点B作， 由题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴底边； ②如图：当点D与点P重合时，，是以为腰的等腰三角形，    此时底边； ③如图：当点P在射线上时，是以为腰的等腰三角形，则，连接，    ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 综上所述，底边的长为6或或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、掌数握形结合和分类讨论思想是解题关键． 一、选择题 1．（2023八年级下·上海徐汇·期末）下列说法正确的个数有（　　） ①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定 ②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 ③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据梯形中位线的性质，等腰梯形的判定，梯形的分类，等腰梯形的性质逐个判断，即可得出进行解答． 【详解】解：①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定，故符合题意； ②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形，故不符合题意； ③直角梯形和等腰梯形梯形是梯形的特殊形式，故不符合题意； ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线，故符合题意； 综上：正确的有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了梯形中位线的性质，等腰梯形的判定，梯形的分类，等腰梯形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并熟练运用． 2．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）下列三角形纸片中，用一条平行于三角形一边的直线，把它分割成一个四边形和一个小三角形，得到的四边形可能是等腰梯形的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求得第三个角的度数，结合等腰梯形的性质即可求解． 【详解】解：A、，没有相等的角，故不合题意， B、，有2个的角，符合题意； C、，没有相等的角，故不合题意； D、，没有相等的角，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰梯形的性质，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 3．（20-21八年级下·上海闵行·期末）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为的等腰梯形，底差等于，面积为，那么这个等腰梯形的纵横比等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据BC-AD=6求出BE=CF=3，利用勾股定理求出高AE的长，利用梯形面积公式求出AD的长，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案． 【解析】解：如图，由题意得：AB=CD=5，BC-AD=6， 作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F， ∴BE=CF=3， ∴， ∵梯形面积， ∴， ∴BC=9， ∴梯形的中位线=， ∴这个等腰梯形的纵横比=， 故选：C． ． 【点睛】此题考查勾股定理，梯形面积公式及中位线公式，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键． 二、填空题 4．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点E、F分别是、的中点，如果，．那么 ．    【答案】4 【分析】连接延长，交延长线于点G，证得，于是，，，从而． 【详解】连接延长，交延长线于点G， ∵ ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴    故答案为：4 【点睛】本题考查三角形中位线性质，全等三角形的判定和性质，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】由等腰梯形的性质得出，，可求出，进而得出，结合平行线性质得出，故得 ．过点作于点，借助特殊直接三角形的性质求出高的长，结合梯形面积公式即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，，， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， 如图，过点作于点， ，, ， ， ， 等腰梯形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和面积，平行线的性质以及直角三角形的性质，准确运用性质进行角度转化以及求出相应线段长度是本题的关键． 6．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于 ．      【答案】 【分析】根据等腰梯形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过D点作，交BC的延长线于E， ∴， ∵， ∴， 在等腰梯形中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即梯形的上下底之和等于， 故答案为：．      【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是根据等腰梯形的对角线长度相等解答． 7．（22-23八年级下·上海虹口·期末）等腰梯形中，对角线的夹角为，中位线长为6，则梯形面积为 ． 【答案】或/或 【分析】作于点E，反向延长交于点F，分两种情况讨论，①当时，设，则，求得，，得到，利用梯形面积公式即可求解；②当时，同法求解即可． 【详解】解：作于点E，反向延长交于点F，    分两种情况讨论，①当时， ∵等腰梯形中，中位线长为6， ∴，，， ∵， ∴都是等边三角形， 设，则， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， 设，则，同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线定理，梯形面积计算，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键． 8．（21-22八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 【答案】7 【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线． 【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图， ∵，， ∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°， ∵， ∴， ∵， ∴DE=2， ∵BM⊥CE， ∴∠BMD=90°， ∴四边形ABMD是矩形， ∴DM=AB=4， ∴EM=2+4=6， ∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处， ∴BE=BC， ∵BM⊥CE， ∴EC=2EM=12， ∴CD=12-2=10， ∴梯形ABCD的中位线为：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题 9．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为4或6 ． 【分析】（1）在上截取，连接，首先证明出四边形是平行四边形，然后由平分进而证明出平行四边形是菱形，然后利用得到，即可得到； （2）①设，在中利用勾股定理得到，进而得到，，然后利用梯形面积公式求解即可； ②根据题意分和时两种情况讨论，分别利用矩形和直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，在上截取，连接    ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①如图所示，    ∵平行四边形是菱形 ∴设 ∴ ∴在中， ∴，解得 ∴， ∴； ②能成为直角三角形，理由如下∶ 当时，    ∵F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵F是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 又∵ ∴ 即，点A，G重合时，能成为直角三角形 综上所述，的长为4或6 ． 【点睛】此题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）证明，，，可得，．，由勾股定理可得，从而可得答案； （2）证明，结合，，可得．，再建立方程求解即可； （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，②当，如图，再分别画图，建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴． （2）∵四边形是等腰梯形， ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∴，解得，． 即的长题． （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，    ∵， ∴， ∴，解得． 即正方形的面积是1． ②当，如图，    ∵，则， 在中，， ∴，解得． 即正方形的面积是． 综上所述，当是等腰三角形时，正方形的面积是1或． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，等腰三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 11．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为4或6 ． 【分析】（1）在上截取，连接，首先证明出四边形是平行四边形，然后由平分进而证明出平行四边形是菱形，然后利用得到，即可得到； （2）①设，在中利用勾股定理得到，进而得到，，然后利用梯形面积公式求解即可； ②根据题意分和时两种情况讨论，分别利用矩形和直角三角形的性质求解即可． 【解析】（1）如图所示，在上截取，连接    ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①如图所示，    ∵平行四边形是菱形 ∴设 ∴ ∴在中， ∴，解得 ∴， ∴； ②能成为直角三角形，理由如下∶ 当时，    ∵F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵F是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 又∵ ∴ 即，点A，G重合时，能成为直角三角形 综上所述，的长为4或6 ． 【点睛】此题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13．如图，已知直角梯形，，，过点作，垂足为点，，，点是边上的一动点，过作线段的垂直平分线，交于点，并交射线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （3）如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长．          【答案】（1）BC=5；（2）；（3）的长为或3或． 【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，设，，在中用勾股定理求出，即可解答； （2）联结，，在中，，在中，，消去二次项即可得到与的函数关系式；根据点是边上的一动点结合（1）即可得出的定义域； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，根据相等的边用勾股定理列方程求解即可． 【解析】解：（1）∵梯形中，，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在中，， 又∵，，设，， ， ∴， ∴． （2）联结，， ∵是线段的垂直平分线， ∴ ∵，， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴ （3）在中，，， ∴， 当是等腰三角形时 ①∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ② 取中点，联结 ∵为的中点 ∴为梯形中位线 ∴ ∵ ∴为中点， ∴此时与重合 ∴ ③ 联结并延长交延长线于点 此时． ∴，， ∴， ∴在中，， ∵ ∴解得，（不合题意含去） ∴综上所述，当是等腰三角形时，的长为或3或 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、勾股定理解三角形、等腰三角形性质和判定、全等三角形性质和判定，灵活运用勾股定理求线段长是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题04 梯形 知识点一、梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 知识点二、等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 知识点三、等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点四、辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 　 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点五、三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型1：梯形的概念辨析 【例1】下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D 一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【例2】下列四个命题中，假命题是（       ） A．有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B．等腰梯形一定有两个内角相等 C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形的两条对角线相等 【例3】下列说法正确的个数有（　　） ①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定 ②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 ③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线 A．个 B．个 C．个 D．个 题型2：根据特殊梯形的性质或判定求长度、角度、面积 【例4】如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则    【例5】在等腰梯形中，，，，，则该等腰梯形的高的长度是 ． 【例6】如图，在梯形中，，点E、F分别是、的中点，如果，．那么 ．    【例7】如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么 度．   【例8】已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于 ．    【例9】如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．    【例10】等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是 ． 题型3：梯形与等腰梯形的判定 【例11】下列四个命题中，假命题是（       ） A．有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B．等腰梯形一定有两个内角相等 C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形的两条对角线相等 【例12】下列命题中，是真命题的是（   ） A．一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，一组对角互补的四边形是等腰梯形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是等腰梯形 【例13】在下列说法中不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形． C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形． 题型4：梯形与三角形的中位线 【例14】已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是 ． 【例15】顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为 ． 【例16】等腰梯形中，对角线的夹角为，中位线长为6，则梯形面积为 ． 【例17】如图，梯形中，．点、分别是对角线、的中点，如果，，那么 ．    【例18】已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．6.5 【例19】已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，且，求四边形的面积． 【例20】如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA． (1)求证：四边形OFGE是平行四边形． (2)猜想：当______°时四边形OFGE是菱形，并证明． 【例21】如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 题型5：与梯形有关的证明 【例22】如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【例23】如图，已知，过点D作交延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)设边与相交于点G，连结、，若，求证：． 题型6：坐标系中的梯形 【例24】如图，在平面直角坐标中，已知直线：与直线相交于点，且直线与y轴交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在x轴上取一点F，如果以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点F的坐标． 【例25】如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 题型7：梯形的综合题 【例26】在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设． （1）求边的长； （2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式； （3）如果的长为，求梯形的面积． 【例27】如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 【例28】如图，四边形中，，是边的中点．已知，． (1)连接，求证； (2)如图，当时，求的度数； (3)当为直角三角形时，求边的长． 【例29】在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 一、选择题 1．（2023八年级下·上海徐汇·期末）下列说法正确的个数有（　　） ①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定 ②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 ③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）下列三角形纸片中，用一条平行于三角形一边的直线，把它分割成一个四边形和一个小三角形，得到的四边形可能是等腰梯形的是（    ） A．  B．  C．   D．   3．（20-21八年级下·上海闵行·期末）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为的等腰梯形，底差等于，面积为，那么这个等腰梯形的纵横比等于（  ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点E、F分别是、的中点，如果，．那么 ．    5．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为 ． 6．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于 ．  7．（22-23八年级下·上海虹口·期末）等腰梯形中，对角线的夹角为，中位线长为6，则梯形面积为 ． 8．（21-22八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 三、解答题 9．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 10．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 11．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 13．如图，已知直角梯形，，，过点作，垂足为点，，，点是边上的一动点，过作线段的垂直平分线，交于点，并交射线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （3）如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长．          2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$